BL Brennweite von Linsen

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1 BL Brennweite von Linsen Blockpraktikum Frühjahr April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen Geometrische Optik Dünne Linse Dicke Linse Strahlengang Kombination mehrerer Linsen Linsenfehler Versuchsdurchführung 6 4 Messergebnisse, Auswertung, Diskussion Fehlerrechnung Messung 1: Brennweite einer dünnen Sammellinse Messung 2: Brennweite einer dicken Sammellinse Messung 3: Brennweite einer Linsenkombination Messung 4: Sphärische Aberration

2 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN BL 2 1 Einführung In diesem Versuch sollen verschiedene Eigenschaften dünner und dicker Linsen experimentell ermittelt werden. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Geometrische Optik Die geometrische Optik ist eine Näherung der Optik, in der die Welleneigenschaften des Lichtes vernachlässigt werden. Dies ist zulässig, wenn die mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen (z.b. Linsen, Blenden, Spiegel) und die abzubildenden Objekte groß im Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes (sichtbar ca nm) sind. Mathematisch kann die geometrische Optik als Grenzfall λ 0 aus der Wellenoptik hergeleitet werden. In dieser Versuchsreihe wird das Licht mit der geometrischen Optik beschrieben, da die Wellenlänge des sichtbaren Lichts sehr viel kleiner ist als die Phänomene, die hier betrachtet werden sollen (Brechung an Linsen). In verschiedenen Versuchen sollen Brennweiten von Linsen bestimmt werden. Optische Linsen brechen das Licht, da das Licht von dem Medium Luft in das Medium Glas, d.h. in ein Medium mit größerem Brechungsindex n übergeht, und somit entsprechend dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen wird: sin(u 1 ) sin(u 2 ) = c 1 c 2 = n 2 n 1, wobei u 1 und u 2 die Ein- und Aufsfallswinkel des Lichts sind und n 1 und n 2 die Brechungsindizes des jeweiligen Mediums. Abbildung 1: Brechung von Licht an einer sphärischen Oberfläche nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz.

3 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN BL Dünne Linse Als dünne Linse bezeichnet man Linsen, deren Dicke vernachlässigbar klein ist. Die beiden Hauptebenen fallen bei einer dünnen Linse zu einer Hauptebene zusammen. Unter den Annahmen (die in der Praxis alle nicht exakt erfüllt sind), dass die Linse keine Ausdehnung besitzt und die Brennweite unabhängig von der Wellenlänge des Lichts und der Stelle der Linse ist (d.h. keine chromatische und sphärischen Aberration), gilt für die Brennweite f, die Gegenstandsweite g und die Bildweite b folgende Abbildungsgleichung (Brechkraft D := 1/f): D = 1 f = 1 g + 1 b Die Herleitung erfolgt elementargeometrisch unter Verwendung des Strahlensatzes. Mit Hilfe der Abbildungsgleichung lässt sich die Brennweite einer dünnen Linse experimentell bestimmen, indem man g und b misst. 2.3 Dicke Linse Als dicke Linse bezeichnet man Linsen, deren Dicke und Ausdehnung nicht vernachlässigbar klein sind. Bei einer dicken Linse wird jeder Lichtstrahl zwei Mal gebrochen, zunächst beim Übergang von der Luft in die Linse und anschließend beim Übergang aus der Linse in die Luft. Mit Hilfe der Konstruktion von Hauptebenen lassen sich diese zwei Brechungen jedes Lichtstrahls an der Linsenoberfläche zu einer Brechung an einer Hauptebene zusammenfassen. Die Hauptebene ist die Ebene, an der der Lichtstrahl scheinbar gebrochen wird (vgl. Abb. 2). Aus Symmetriegründen hat jede dicke Linsen zwei unterschiedliche Hauptebenen. Die Bestimmung der Brennweite einer dicken Linse ist etwas aufwändiger als bei einer dünnen Linse. Eine häufig verwendete Methode ist die sogenannte Bessel-Methode. Bei dieser bestimmt man bei festem Abstand zwischen Schirm und Gegenstand e den Abstand a zwischen den zwei Linsenpositionen bei denen man ein scharfes Bild auf dem Schirm erhält. Die Brennweite berechnet sich dann nach der Formel f = e2 a 2. (1) 4e 2.4 Strahlengang Sowohl bei dünnen als auch bei dicken Linsen erfolgt die Kontruktion von Strahlengängen durch drei ausgezeichnete Strahlen (bei ei-

4 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN BL 4 Abbildung 2: Hauptebenen einer dicken Linse. An Stelle zweier Lichtbrechungen jeweils beim Eintritt und beim Austritt aus der Linse wird nur eine Lichtbrechung an der Hauptebene betrachtet. ner dünnen Linse fallen die erste und zweite Hauptebene zu einer Hauptebene zusammen): Der parallel einfallende Strahl, der an der zweiten Hauptebene in den Brennpunkt gebrochen wird, der Strahl, der durch den Mittelpunkt der Linse geht und darum nicht gebrochen wird (beachte aber den Versatz zur zweiten Hauptebene), der Strahl, der durch den Brennpunkt geht und dann an der ersten Hauptebene so gebrochen wird, dass er parallel zur optischen Achse austritt. 2.5 Kombination mehrerer Linsen Wir betrachten nun eine Anordnung von mehreren Linsen, deren optische Achse zusammenfällt. Für die Berechnung der gesamten Brennweite genügt es dabei, ein System von zwei Linsen zu behandeln, da bei einem System von mehr als zwei Linsen die gesamte Brennweite durch sukzessive Berechnung der Brennweite von jeweils zwei Linsen berechnet werden kann. Im Fall von zwei Linsen mit Brennweiten f 1 und f 2 und Abstand d lässt sich die Gesamtbrennweite f g des Systems wie folgt berechnen 1 = d, (2) f g f 1 f 2 f 1 f 2

5 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN BL 5 wobei der letzte Term bei kleinen Abständen d zwischen den Linsen vernachlässigt werden kann (in unseren Versuchen ist das nicht der Fall). Als Beispiele sind hier die Strahlengänge eines Galilei- und eines Kepler-Fernrohrs konstruiert (siehe Abb. 3 und 4 1 ). Abbildung 3: Strahlengang eines Galilei-Fernrohrs, das aus einer Sammelund einer Zerstreuungslinse besteht. Die Brennpunkte von Sammel- und Zerstreuungslinse fallen zusammen, sodass eine Vergrößerung des beobachteten Objekts zu sehen ist. Abbildung 4: Strahlengang eines Kepler-Fernrohrs, das aus zwei Sammellinsen mit zusammenfallendem Brennpunkt besteht. 2.6 Linsenfehler Linsen zeigen häufig Abbildungsfehler, die als Linsenfehler bezeichnet werden. Im Rahmen dieses Versuches soll die sphärische Aberration genauer untersucht werden, die bei sphärischen Linsen (d.h. Linsen mit kugelförmiger Oberfläche) auftritt, da hier die Brennweite der Linse mit dem Abstand zur optischen Achse variiert (je weiter außen der Lichtstrahl auf die Linse fällt, desto kleiner wird die Brennweite der Linse, vgl. Abb. 5). Ein Maß für die sphärische Aberration erhält man durch den Unterschied der Brennweite von äußeren Randstrahlen f a und Mittelpunktstrahlen f m = f a f m. 1 Vgl. Japtik

6 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION BL 6 Abbildung 5: Sphärische Aberration bei einer sphärischen Linse. 3 Versuchsdurchführung Es wurden verschiedene Versuche durchgeführt. Zunächst wurde die Brennweite einer dünnen Sammellinse durch mehrfaches Messen von Gegenstands- und Bildweite ermittelt. Anschließend wurde nach der Methode von Bessel die Brennweite einer dicken Sammellinse gemessen. Als drittes folgte die Bestimmung der Brennweite einer Kombination der dicken Sammellinse mit einer Zerstreuungslinse nach der Methode von Bessel. Zuletzt wurde die sphärische Aberration einer weiteren dicken Sammellinse mit Hilfe zweier Blenden gemessen, die das Licht entweder nur nahe der optischen Achse oder nur am Rand der Linse durchließen. Die Längen wurden jeweils von der Messskala der optischen Bank abgelesen. 4 Messergebnisse, Auswertung, Diskussion 4.1 Fehlerrechnung Bei den gemessenen Längen l wurde jeweils ein zufälliger Fehler u z (l) geschätzt, der z.b. davon abhängt wie groß der Längenbereich ist, in dem das Endbild scharf erscheint. Der systematische Fehler wurde jeweils nach DIN mit u s (l) = 200µm l berechnet. Da der zufällige Fehler nur geschätzt wurde und nicht durch eine große Zahl statistisch verteilter unabhängiger Längenmessungen ermittelt wurde, verwenden wir zur Fehlerfortpflanzung jeweils den Größtfehler 2 u(l) = u z (l)+u s (l). Wenn wir nun eine Größe x(l 1,l 2,...,l n ) berechnen wollen, die von Größen l i (i = 1,... n) abhängen, so ergibt sich als Fehler für x u(x) = x l 1 u(l 1) + x l 2 u(l 2) + + x l n u(l n). (3) Häufig misst man mehrere verschiedene Tupel (l 1,...,l n ),...,(l(m) 1,...,l (m) und berechnet anschließend für jedes Tupel x(l 1,...,l n ), so dass man 2 Im Fall u z(l) u s(l) wird u(l) = p u 2 z(l) + u 2 s(l) verwendet. n )

7 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION BL 7 m Werte x j (j = 1,...,m) für die Größe x erhält. (Zum Beispiel misst man zehn unterschiedliche Paare für Gegenstands- und Bildweite und erhält daraus zehn Werte für die Brennweite.) Dabei hat jeder Wert von x einen Fehler, der sich aus den l i auf x nach Gleichung (3) fortgepflanzt hat. Möchte man nun einen mittleren Wert x und Fehler u(x) für die Größe x angeben, so bildet man den Mittelwert der m verschiedenen Werte x j und gewichtet mit dem Fehler u(x j ) jedes x j - Wertes (Werte mit großem Fehler werden weniger stark gewichtet). Mit dem Normierungsfaktor im Nenner ergibt sich somit für x x = xj u(x j ) 2 1 u(x j ) 2 (4) wobei die Summen jeweils von j = 1 bis j = m laufen. Als Standardabweichung σ x von x erhält man σ 2 x = σ2 x n = 1 n(n 1) (xj x) 2 u(x j ) 2 1 u(x j ) 2. (5) Den Fehler u(x) von x kann man mit der t-verteilung für ein Vertrauensniveau von 95% durch u(x) = t(f) σ x (6) berechnen, wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade und t(f) aus stochastischen Tabellen abgelesen werden kann: f t(f) 3,2 2,8 2,6 2,4 2,3 2,2 2,1 2,01 2, Messung 1: Brennweite einer dünnen Sammellinse In der ersten Messung wurden 11 verschiedene Paare für Gegenstandsweite g und Bildweite b gemessen. Mit der Abbildungsgleichung für dünne Linsen wurde für die Brechkraft D bzw. Brennweite f der Sammellinse D = (0,125 ± 0,001)cm 1, f = (7,93 ± 0,08)cm berechnet. Die Fehler wurden dabei wie im vorigen Abschnitt beschrieben ermittelt. Da wir in einer (sehr) groben Schätzung der Brennweite durch Einstellen eines nichtvergrößerten Bildes (v = 1) den Wert f 7,5cm erhielten, ist der ermittelte Wert der Brennweite von 7,93cm realistisch.

8 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION BL 8 Während die (g, b)-paare stets die gleiche Brennweite liefern (bis auf Messunsicherheiten), ist der Abbildungsmaßstab bzw. die Vergrößerung v := b/g bzw. v = f/(g f) für jedes Wertepaar (g,b) unterschiedlich. Die Abhängigkeit der Vergrößerung von der Gegenstandsweite g ist in Abbildung 6 gezeigt. Wie man sieht sind v(g) und v (g) Hyperbeln, da ihre reziproken Funktionen Geraden sind. v und v stimmen gut miteinander überein. Dies ist dadurch zu erklären, dass v = v gilt, wenn man den Strahlensatz auf den Mittelpunktsstrahl des Strahlengangs einer dünnen Linse anwendet. 3 Die geringfügigen Unterschiede zwischen v und v liegen im Rahmen der Messunsicherheiten, können aber auch dadurch erklärt werden, dass die Anwendung des Strahlensatzes nur für eine idealisierte Linse ohne Ausdehnung exakt richtig ist. 4.3 Messung 2: Brennweite einer dicken Sammellinse Mit der Methode von Bessel wurden die Brechkraft und die Brennweite einer dicken Sammellinse zu 1/f = (0,100 ± 0,0003)cm 1, f = (9,99 ± 0,03)cm bestimmt. Dabei wurden fünf Wertetripel (e,g,g ) gemessen, wobei e der Abstand des Schirms vom Gegenstand ist und g und g die Gegenstandsweiten sind bei denen ein scharfes Bild auf dem Schirm beobachtet wurde. Unter Verwendung der in Abschnitt 4.1 beschriebenen Fehlerrechnung wurde die Brennweite mit Hilfe von Gleichung (1) berechnet. Ihre Größenordnung stimmt mit der vor dem Versuch geschätzten Brennweite überein. 4.4 Messung 3: Brennweite einer Linsenkombination Wie in Messung 2 wurde die Brennweite einer Kombination der Sammellinse aus Messung 2 und einer Zerstreuungslinse nach der Methode von Bessel zu f = (14,2 ± 0,04)cm bestimmt. Löst man Formel (2) für die Brennweite eines System von zwei Linsen nach der Brennweite f 1 der Zerstreuungslinse auf, so erhält man (f Brennweite des Systems, f 2 Brennweite der Sammellinse aus Messung 2, d Abstand der beiden Linsen des Systems) f 1 = f d f 2 f f 2. (7) 3 Siehe

9 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION BL 9 Hieraus ergibt sich für die Brennweite f 1 der Zerstreuungslinse f 1 = ( 17,9 ± 0,5)cm wobei der Fehler wieder entsprechend Abschnitt 4.1 berechnet wurde. 4.5 Messung 4: Sphärische Aberration Zur Messung der sphärischen Aberration einer dicken sphärischen Linse wurde die Brennweite der Linse für Zentral- und Randstrahlen durch Verwendung von zwei Blenden mit der Bessel-Methode wie oben bestimmt. Die Differenz der beiden Brennweiten ergibt sich zu = ( 0,49 ± 0,02)cm. Der Fehler wurde dabei wie in Abschnitt 4.1 ermittelt. Eine Brennweitendifferenz zwischen Zentral- und Randstrahlen von einem halben Zentimeter ist für dicke Linsen realistisch.

10 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION BL 10 v g in cm v=f/(g-f) v=b/g (a) 4 1/v=(g-f)/f 1/v=g/b 3 2 v g in cm (b) Abbildung 6: Abhängigkeit der Vergrößerung v von der Gegenstandsweite g. a) v(g) zeigt eine hyperbolische Form, b) 1/v(g) ist eine lineare Funktion, die durch eine Regressionsgerade gefittet ist.

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