Die Linsengleichung. Die Linsengleichung 1

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1 Die Linsengleichung 1 Die Linsengleichung In diesem Projektvorschlag wird ein bereits aus der Unterstufenphysik bekannter Versuch mit mathematischen Mitteln beschrieben, nämlich die Abbildung durch eine Sammellinse (siehe Abb. 1a). Im Idealfall wird die Versuchsanordnung im Mathematikunterricht neuerlich aufgebaut, damit die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse im Experiment überprüfen können. Das Projekt kann jedoch auch ohne diesen Versuchsaufbau durchgeführt werden, weil alle nötigen Informationen in dem folgenden Info-Kasten enthalten sind, den die Schülerinnen und Schüler zu Beginn durchlesen sollen. Als mathematische Beschreibungsmittel dienen geometrische Konstruktionen der Strahlengänge, Formeln und Funktionsgraphen. Vor allem soll aus den Funktionsgraphen möglichst viel herausgelesen werden, die Ergebnisse sollen physikalisch interpretiert werden und nach Möglichkeit im Experiment nachgeprüft werden. Das Projekt bietet daher eine ausgezeichnete Gelegenheit, das Interpretieren von Funktionsgraphen zu üben und kann als Ergänzung zum Abschnitt 7.2 in MATHEMATIK VERSTEHEN 5 durchgeführt werden. Der Computer wird dabei als unentbehrliches Hilfsmittel eingesetzt. Einfachste DERIVE-Kenntnisse werden vorausgesetzt (siehe Mathematik verstehen 5, Computerheft, S ). Die Bearbeitung der einzelnen Arbeitsaufträge richtet sich nach der Verfügbarkeit von Computern. Im Allgemeinen wird es ratsam sein, die Arbeitsaufträge von kleinen Schülergruppen bearbeiten zu lassen. Nach jeder Bearbeitung eines Arbeitsauftrages sollten die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse der Klasse berichten. Die Lehrperson sollte diese an der Tafel festhalten, damit alle Ergebnisse in das Schulübungsheft übertragen werden können. Um mit den Strahlengängen bei der Abbildung durch eine Sammellinse vertrauter zu werden, können die Schülerinnen und Schüler nach dem Durchlesen des Info-Kastens das anschließende Arbeitsblatt durcharbeiten. Man findet auch beispielsweise mit Hilfe einer Internetsuchmaschine unter dem Stichwort Sammellinse eine sehr große Zahl an teilweise interaktiven Darstellungen der Strahlengänge. Es lohnt sich, diese näher anzusehen.

2 Die Linsengleichung 2 Info 1: Abbildung durch eine Sammellinse Eine Kerze, eine Sammellinse und ein Schirm werden auf einer Schiene aufgestellt, wobei die Linse fest montiert ist, die Kerze und der Schirm jedoch verschoben werden können (siehe Abb. 1). Die brennende Kerze wird durch die Linse auf den Schirm abgebildet. Um ein scharfes Bild zu erhalten, Abb. 1 muss die Kerze oder der Schirm verschoben werden. Wir bezeichnen den Mittelpunkt der Linse mit M und die beiden Brennpunkte der Linse mit F 1 und F 2 (siehe Abb. 2). Wir setzen voraus, dass die Linse symmetrisch ist und daher beide Brennpunkte vom Linsenmittelpunkt gleich weit entfernt sind. Die Entfernung g des Gegenstandes (der Kerze) vom Linsenmittelpunkt bezeichnet man als Gegenstandsweite, die Entfernung b des Bildes vom Linsenmittelpunkt als Bildweite und die Entfernung f jedes Brennpunktes vom Linsenmittelpunkt als Brennweite der Linse. Diese ist bei Linsen im Allgemeinen angegeben. Die drei Größen hängen durch die so genannte Linsengleichung zusammen: = g b f Wir wollen das Bild der Kerze zunächst konstruktiv ermitteln. Dazu kann man die folgenden Lichtstrahlen durch die Kerzenspitze heranziehen (siehe Abb. 2a): - ein Hauptstrahl geht durch den Linsenmittelpunkt M und verlässt die Linse ungebrochen, - ein Parallelstrahl verläuft parallel zur Achse und verlässt die Linse durch den Brennpunkt auf der anderen Seite, - ein Fokalstrahl geht durch den näher liegenden Brennpunkt (Fokus) und verlässt die Linse parallel zur Achse. Abb. 2a Abb. 2b Abb. 2c Zur Untersuchung des Bildes unterscheiden wir drei Fälle: a) Der Gegenstand liegt außerhalb der Brennweite, dh. g > f (siehe Abb. 2a). In diesem Fall entsteht ein reelles, verkehrtes und verkleinertes Bild. (Das Bild heißt reell, weil es auf einem Schirm aufgefangen werden kann.) b) Der Gegenstand liegt im Brennpunkt, dh. g = f (siehe Abb. 2b). In diesem Fall sind die Strahlen, die die Linse verlassen, parallel und ergeben daher keinen Schnittpunkt. Es entsteht kein Bild. c) Der Gegenstand liegt innerhalb der Brennweite, dh. g < f (siehe Abb. 2c). In diesem Fall divergieren die Strahlen nach dem Verlassen der Linse und ergeben daher keinen Schnittpunkt. Allerdings schneiden die gedachten Verlängerungen einander (in Abb. 2c punktiert gezeichnet). Das zugehörige Bild lässt sich nicht auf einem Schirm auffangen, man kann es aber sehen, wenn man von der anderen (rechten) Seite in die Linse schaut. Man bezeichnet es als ein virtuelles Bild.

3 Die Linsengleichung 3 Arbeitsblatt - Strahlengänge In den folgenden Abbildungen ist die Linse durch eine Strecke dargestellt. Konstruiere jeweils das Bild der Kerze. F 1 F 2

4 Die Linsengleichung 4 Arbeitsauftrag 1: Wenn man in der Linsengleichung eine der drei vorkommenden Größen konstant hält, bleibt eine Beziehung zwischen zwei Größen übrig. Überlegt, welche Funktionen auf diese Weise aus der Linsengleichung erhalten werden können. In der Linsengleichung stecken folgende Funktionen: g b (f konstant) b g (f konstant) g f (b konstant) f g (b konstant) b f (g konstant) f b (g konstant) In dieser Aufstellung entspricht jeweils die rechts stehende Funktion der Umkehrfunktion der links stehenden Funktion. Die Untersuchung der Umkehrfunktion bringt aber nichts wesentlich Neues gegenüber der ursprünglichen Funktion. Alle Eigenschaften, die man aus dem Graphen der Umkehrfunktion ablesen kann, kann man auch aus dem Graphen der ursprünglichen Funktion ablesen. Wir können uns daher auf die Untersuchung der drei links stehenden Funktionen beschränken. Die nachfolgenden Arbeitsaufträge können von jeder Schülergruppe hintereinander abgearbeitet werden. Es kann die Arbeit aber auch aufgeteilt werden, beispielsweise dadurch, dass jede Schülergruppe nur eine der drei Funktionen untersucht. Die Bildweite als Funktion der Gegenstandsweite Arbeitsauftrag 2: Ermittelt eine Termdarstellung der Funktion b: g b (f konstant). Wählt dann für die Brennweite f einen realistischen Wert und zeichnet mit DERIVE den Graphen dieser Funktion. Vor der Bearbeitung dieses Arbeitsauftrages sollte man auf Folgendes hinweisen: Die Funktion g b (f konstant) entspricht dem Versuchsaufbau in Abb. 1. Die Linse bleibt unverändert. Nach Wahl einer bestimmten Gegenstandsweite wird der Schirm jeweils so verschoben, dass ein scharfes Bild entsteht. Wir lösen die Linsengleichung = 1 mit Hilfe von DERIVE nach b auf: g b f b = f g g f Für die Brennweite f substituieren wir etwa f = 50 und erhalten: b = 50 g g 50 Mittels entsprechender Plot-Befehle erhalten wir den Graphen in Abb. 3. Da DERIVE die Achsen zunächst automatisch mit x und y beschriftet, müssen wir die Achsenbezeichnungen nachträglich ändern (Extras Anzeige Achsen).

5 Die Linsengleichung 5 Abb. 3 Abb. 4 Arbeitsauftrag 3: Versucht aus dem Graphen der Funktion b: g b(g) möglichst viel herauszulesen und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Man erkennt zunächst, dass der Graph zwei Asymptoten hat, von denen eine zur ersten Achse und die andere zur zweiten Achse parallel ist. Leider werden diese Asymptoten von DERIVE nicht automatisch eingezeichnet. Man kann sie aber von den Schülerinnen und Schülern in einem Ausdruck nachträglich einzeichnen lassen. Die Lage dieser Asymptoten kann man in DERIVE mit Hilfe von Grenzwertbetrachtungen ermitteln (auch wenn die Schülerinnen und Schüler noch keinen exakten Grenzwertbegriff kennen gelernt haben). Wir lassen zuerst g gegen streben (Analysis lim g von links gegen = ); DERIVE antwortet mit 50. Die zur 1. Achse parallele Asymptote hat daher die Gleichung f = 50. Lassen wir x von links her gegen 50 streben (Analysis lim g von links gegen 50 = ), so antwortet DERIVE mit -. Lassen wir analog x von rechts her gegen 50 streben, so antwortet DERIVE mit. Die zur 2. Achse parallele Asymptote hat also die Gleichung g = 50. In Hinblick auf die Versuchsanordnung in Abb. 1 müssen wir g 0 voraussetzen. Wir schränken also den Zeichenbereich ein (Einstellen Zeichenbereich Horizontal: 0) und erhalten den Graphen in Abb. 4. Für g > 50 erkennt man: Die Bildweite b(g) ist stets positiv, dh. es entsteht ein reelles Bild auf der anderen Seite der Linse. Nimmt g zu, so nimmt b ab und nähert sich unbegrenzt der Brennweite 50, zuerst schnell, dann aber immer langsamer. Das bedeutet: Wird der Gegenstand vom Brennpunkt F 1 aus von der Linse weg bewegt, so nähert sich das Bild unbegrenzt dem Brennpunkt F 2, zuerst schnell, dann aber immer langsamer. Der Brennpunkt F 2 wird aber nie erreicht. Befindet sich der Gegenstand in der Nähe des Brennpunktes F 1, so bewirkt bereits eine kleine Verschiebung des Gegenstandes eine große Verschiebung des Bildes. Ist der Gegenstand vom Brennpunkt F 1 jedoch weit entfernt, bewirkt selbst eine große Verschiebung des Gegenstandes nur eine kleine Verschiebung des Bildes. Ist der Gegenstand sehr weit von der Linse entfernt, wird man die Verschiebung des Bildes kaum mehr bemerken.

6 Die Linsengleichung 6 Für 0 g < 50 erkennt man: Es ist b(0) = 0. Dies entspricht einem theoretischen Grenzfall: Wäre der Gegenstand im Linsenmittelpunkt, dann wäre auch das Bild im Linsenmittelpunkt. Für 0 < g < 50 ist die Bildweite b(g) stets negativ, dh. es entsteht ein virtuelles Bild auf derselben Seite der Linse. Mit zunehmendem g nimmt b ab (der Betrag von b aber zu). Das bedeutet: Wird der Gegenstand von der Linse weg zum Brennpunkt F1 bewegt, so entfernt sich das virtuelle Bild in derselben Richtung unbegrenzt von der Linse weg, zuerst langsam, dann immer schneller. Befindet sich der Gegenstand in der Nähe der Linse, so bewirkt eine kleine Verschiebung des Gegenstandes nur eine kleine Verschiebung des virtuellen Bildes. Ist der Gegenstand jedoch schon nahe beim Brennpunkt F 1, so bewirkt bereits eine kleine Verschiebung des Gegenstandes eine große Verschiebung des virtuellen Bildes. An der Stelle g = 50 ist die Funktion b: g b(g) nicht definiert. Befindet sich also der Gegenstand im Brennpunkt F 1, so entsteht kein Bild. All diese Ergebnisse sollte man anhand der Strahlengänge und nach Möglichkeit auch am physikalischen Versuchsaufbau kontrollieren lassen. Die Brennweite als Funktion der Gegenstandsweite Arbeitsauftrag 4: Ermittelt eine Termdarstellung der Funktion f: g f (b konstant). Wählt dann für die Brennweite f einen realistischen Wert und zeichnet mit DERIVE den Graphen dieser Funktion. Vor der Bearbeitung dieses Arbeitsauftrags sollte man auf Folgendes hinweisen: Die Funktion g f (b konstant) entspricht der Abbildung im menschlichen Auge (siehe Abb. 5). Die Netzhaut des Auges hat eine konstante Entfernung von der Linse, dh. die Bildweite ist konstant. Um einen Gegenstand in einer bestimmten Entfernung wahrzunehmen, muss die Linse durch Verformung ihre Brennweite so verändern, dass der Gegenstand genau auf die Netzhaut abgebildet wird. Eine Verdickung der Linse verkleinert die Brennweite, eine Verdünnung der Linse vergrößert die Brennweite. Abb. 5 Wir lösen die Linsengleichung = 1 mit Hilfe von DERIVE nach f auf: g b f f = bg b+g Für die Bildweite wählen wir einen für das menschliche Auge realistischen Wert, etwa b = 17 (mm), und erhalten: f = 17 g 17+g

7 Die Linsengleichung 7 Mittels entsprechender Plot-Befehle erhalten wir den Graphen in Abb. 6: Abb. 6 Abb.7 Man erkennt, dass der Graph eine Asymptote hat, die parallel zur 1. Achse ist. Eine Grenzwertbetrachtung mit DERIVE zeigt: Strebt g gegen unendlich, dann strebt f gegen 17. Dasselbe ergibt sich, wenn g gegen - strebt. Die Asymptote hat daher die Gleichung f = 17. In Abb. 6 wurde sie nachträglich eingezeichnet. Arbeitsauftrag 5: Versucht aus dem Graphen der Funktion f: g f(g) möglichst viel herauszulesen und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Wenn wir an das menschliche Auge denken, dann muss g 0 sein, da der Gegenstand nicht im Inneren des Auges liegen kann. Wir schränken den Zeichenbereich entsprechend ein und erhalten den Graphen in Abb. 7. Wir zeichnen auch in diese Abbildung die Asymptote mit der Gleichung f = 17 ein. Für g = 0 ist auch f = 0. Dies beschreibt einen theoretischen Grenzfall: Wäre der Gegenstand im Linsenmittelpunkt, dann müsste die Brennweite der Linse null sein, dh. die Linse müsste unendlich dick sein. Für g > 0 ist auch f > 0. Mit zunehmendem g nimmt auch f zu, zuerst schnell, dann immer langsamer. Wird also der Gegenstand von der Linse weg bewegt, so muss sich die Linse verdünnen. Wird umgekehrt der Gegenstand näher an das Auge herangeführt, muss sich die Linse verdicken. Strebt die Gegenstandsweite g gegen unendlich, so strebt die Brennweite f unbegrenzt gegen die Bildweite 17 (Abstand der Netzhaut vom Linsenmittelpunkt), erreicht diesen Wert aber nie. Ist der Gegenstand nahe beim Auge, bewirkt eine kleine Verschiebung des Gegenstandes bereits eine große Änderung der Brennweite (und somit eine große Änderung der Linse). Ist der Gegenstand hingegen vom Auge weit entfernt, bewirkt eine kleine Verschiebung des Gegenstandes nur eine kleine Veränderung der Brennweite (und somit nur eine kleine Veränderung der Linse). Bei entsprechender Entfernung des Gegenstandes vom Auge wird diese Veränderung kaum mehr wahrnehmbar sein. Befindet sich der Gegenstand in unendlicher Entfernung (dh. praktisch: in sehr großer Entfernung), so muss sich die Linse so verändern, dass der Brennpunkt auf der Netzhaut liegt. All diese Ergebnisse sollte man anhand der Strahlengänge und nach Möglichkeit auch am physikalischen Versuchsaufbau kontrollieren lassen.

8 Die Linsengleichung 8 Die Brennweite als Funktion der Bildweite Arbeitsauftrag 6: Ermittelt eine Termdarstellung der Funktion f: b f(b) (g konstant). Wählt für g einen festen Wert und zeichnet mit DERIVE den Graphen dieser Funktion. Vor der Bearbeitung dieses Arbeitsauftrages sollte darauf hingewiesen werden, dass auch die Funktion f: b f eine Anwendung beim menschlichen Auge hat. Durch eine Verformung des Augapfels kann sich der Abstand der Netzhaut von der Linse verkleinern bzw. vergrößern, was zu Kurz- bzw. Weitsichtigkeit führt (Abb. 8a, b). Es ändert sich also die Bildweite. Damit trotzdem ein scharfes Bild auf der Netzhaut entsteht, muss die Linse ihre Brennweite ändern, dh. sich entsprechend verdicken bzw. verdünnen. Wenn die Linse dazu nicht mehr in ausreichendem Maß in der Lage ist, kann dies durch eine Brille behoben werden. Wenngleich sich die Bildweite im Auge nur um einen sehr kleinen Betrag ändern kann, wollen wir den Graphen im gesamten Definitionsbereich zeichnen. Abb. 8a: Kurzsichtigkeit Abb. 8b: Weitsichtigkeit Wir lösen die Linsengleichung = 1 mit Hilfe von DERIVE nach f auf: g b f f = bg b+g Wir wählen etwa g = 150 (cm) und erhalten: f = b 150 b+150 Mittels entsprechender Plot-Befehle erhalten wir den Graphen in Abb. 9. Abb. 9 Abb. 10 Man erkennt, dass der Graph eine Asymptote hat, die parallel zur 1. Achse ist. Eine Grenzwertbetrachtung mit DERIVE zeigt: Strebt b gegen unendlich, dann strebt f gegen 150.

9 Die Linsengleichung 9 Dasselbe ergibt sich, wenn b gegen - strebt. Die Asymptote hat daher die Gleichung f = 17. In Abb. 9 wurde sie nachträglich eingezeichnet. Arbeitsauftrag 7: Versucht aus dem Graphen der Funktion f: b f(b) möglichst viel herauszulesen und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Da im menschlichen Auge die Bildweite nicht negativ sein kann, schränken wir den Zeichenbereich auf b 0 ein (Abb. 10 ). Für b = 0 ist auch f = 0. Dies beschreibt einen theoretischen Grenzfall: Würde die Netzhaut durch den Linsenmittelpunkt gehen, dann müsste die Brennweite der Linse null sein, dh. die Linse müsste unendlich dick sein. Für b > 0 ist auch f > 0. Mit zunehmendem b nimmt auch f zu, zuerst etwas schneller, dann immer langsamer. Entfernt sich also die Netzhaut von der Linse, so muss sich die Linse verdünnen. Nähert sich umgekehrt die Netzhaut der Linse, so muss sich die Linse verdicken. Theoretisch kann man sagen: Strebt die Bildweite gegen unendlich, so strebt die Brennweite f gegen die Gegenstandsweite 150, ohne diesen Wert jemals zu erreichen. In der Praxis kann jedoch die Bildweite nicht allzu groß werden. Bei kleinem Abstand der Netzhaut von der Linse bewirkt eine kleine Veränderung der Bildweite eine größere Änderung der Brennweite (und somit eine größere Änderung der Linse) als bei größerem Abstand der Netzhaut von der Linse. Variation von Parametern Bei den bisher untersuchten Funktionen wurde jeweils eine Größe konstant gehalten. Man kann für diese Größe der Reihe nach verschiedene Werte einsetzen und untersuchen, wie sich dabei die Funktion und ihr Graph ändert. Dies sei hier nur für die folgende Funktion vorgeführt: b: g b (f konstant) Arbeitsauftrag 8: Setzt in der Formel b = f g für f verschiedene Werte ein und zeichnet g-f die Graphen der Funktionen g b. Beschreibt, wie sich die Graphen mit zunehmender Brennweite f ändern und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Wir setzen etwa für f der Reihe nach die Werte 50, 100, 150 ein. Die Graphen der ersten drei dieser Funktionen sind in Abb. 11 dargestellt. Von praktischem Interesse sind diese Graphen wiederum nur für g 0 (Abb. 12).

10 Die Linsengleichung 10 f=150 f=100 f=50 f=150 f=100 f=50 f=50 f=100 f=150 f=50 f=100 f=150 Abb. 11 Abb. 12 Man erkennt, dass jede dieser Funktionen an der Stelle f eine Asymptote besitzt, die zur zweiten Achse parallel ist. Für 0 g < f fällt der Graph mit zunehmender Brennweite f immer steiler ab, dh. der Betrag von b nimmt zu. Das bedeutet: Entfernt sich der Gegenstand von der Linse, so entfernt sich das virtuelle Bild mit zunehmender Brennweite f immer schneller von der Linse. Für g > f fällt der Graph mit zunehmender Brennweite f im Anfangsteil sehr steil, im restlichen Teil immer flacher ab. Man kann also sagen: Ist die Brennweite klein, so nähert sich bei zunehmender Entfernung des Gegenstandes von der Linse das Bild zuerst sehr rasch, dann sehr langsam. Ist die Brennweite groß, so nähert sich bei zunehmender Entfernung des Gegenstandes von der Linse das Bild zuerst weniger rasch, dann aber nicht so langsam. Arbeitsauftrag 9: Führt analoge Untersuchungen auch für andere bisher betrachtete Funktionen durch.

11 Die Linsengleichung 11 Info 2: Die Bildgröße in Abhängigkeit von der Gegenstandsweite und der Gegenstandsgröße In Abbildung A ist der Strahlengang für g > f, in Abbildung B für g < f dargestellt. Wir bezeichnen die Gegenstandsgröße mit x und die Bildgröße mit y. Um aufrechte und verkehrte Bilder unterscheiden zu können, versehen wir y mit einem positiven Vorzeichen, wenn das Bild aufrecht ist, und mit einem negativen Vorzeichen, wenn das Bild verkehrt ist. Abb. A Abb. B In Abb. A gilt aufgrund des Strahlensatzes (bzw. ähnlicher Dreiecke): x = y, g b in Abb. B gilt: x y = g b In beiden Fällen gilt also: Daraus ergibt sich: Setzen wir b = f g g-f x y = g b b x y = g ein, erhalten wir nach Vereinfachung: f x y = f g

12 Die Linsengleichung 12 Arbeitsauftrag 10: Lest den zweiten Info-Kasten durch. Wählt dann konkrete Werte für f und x und untersucht die Bildgröße y in Abhängigkeit von der Gegenstandsweite g. Zeichnet den Graphen der entsprechenden Funktion g y. Versucht aus dem Graphen möglichst viel herauszulesen und deutet die Ergebnisse physikalisch. Wir wählen etwa x = 10 und f = 50 (die Schülerinnen und Schüler können jedoch durchaus verschiedene f x Werte wählen). Wenn wir mit DERIVE diese Werte in der Formel y = für x bzw. f substituieren und f g anschließend vereinfachen, erhalten wir: 500 y(g) = 50 g Da wir keine negativen Gegenstandsweiten betrachten, lassen wir den Graphen nur für g 0 plotten. Da DERIVE die Achsen automatisch mit x und y beschriftet, müssen wir nachträglich die Bezeichnung der 1. Achse von x auf g abändern (Extras Anzeige Achsen Horizontale Achse). Der Graph ist in Abb. 13 dargestellt. Man erkennt: Abb.13 Ist g < f (= 50), ist y positiv. Befindet sich also der Gegenstand zwischen dem Linsenmittelpunkt M und dem Brennpunkt F 1, so entsteht ein aufrechtes Bild (wir wissen bereits, dass es virtuell ist). Mit zunehmendem g wächst auch y. Wird also der Gegenstand von M zu F 1 hin bewegt, dann wird auch das Bild größer, zuerst langsam, dann immer schneller. Bei unbegrenzter Annäherung des Gegenstandes an F 1 strebt die Bildgröße gegen unendlich. Man kann dies durch eine Grenzwertbetrachtung in DERIVE überprüfen. Lässt man g von links her gegen 50 streben, antwortet DERIVE mit. Ist g > f (= 50), ist y negativ. Befindet sich also der Gegenstand außerhalb des Brennpunktes F 1, so entsteht ein verkehrtes Bild (wir wissen bereits, dass es reell ist). Mit zunehmendem g wird der Betrag von y kleiner. Wird also der Gegenstand von der Linse weg bewegt, dann wird das verkehrte Bild kleiner, zuerst schnell, dann immer langsamer. Dabei nähert sich die Bildgröße unbegrenzt dem Wert 0. Man kann auch dies durch eine Grenzwertbetrachtung in DERIVE überprüfen. Lässt man g von links her gegen streben, antwortet DERIVE mit 0. Strebt g von rechts her gegen die Brennweite 50, nimmt der Betrag von y zu. Wird also der Gegenstand zum Brennpunkt F1 hin bewegt, dann wird das verkehrte Bild größer, zuerst langsam, dann immer schneller. Dabei strebt die Bildgröße gegen unendlich. Lässt man g von rechts her gegen 50 streben, antwortet DERIVE mit -. Für g = f existiert kein Bild.

13 Die Linsengleichung 13 Insgesamt sieht man auch: In der Nähe des Brennpunktes F 1 ruft eine kleine Verschiebung des Gegenstandes bereits eine große Änderung der Bildgröße hervor. In größerer Entfernung von F 1 ruft eine kleine Verschiebung des Gegenstandes nur eine kleine Veränderung der Bildgröße hervor. Bei entsprechender Entfernung des Gegenstandes von der Linse wird diese kaum mehr wahrnehmbar sein. Arbeitsauftrag 11: Wählt jetzt konkrete Werte für f und g und untersucht die Bildgröße y in Abhängigkeit von der Gegenstandsgröße x. Zeichnet den Graphen der entsprechenden Funktion x y. Versucht aus dem Graphen möglichst viel herauszulesen und deutet die Ergebnisse physikalisch. Dieser Arbeitsauftrag kann ähnlich erledigt werden wie der vorige. Schlussdiskussion: Am Ende des Projekts sollten in Form einer kurzen Reflexion folgende Punkte herausgearbeitet werden: Wir haben die Abbildung durch eine Sammellinse auf verschiedene Weisen untersucht, durch physikalische Experimente, durch geometrische Konstruktionen, durch Formeln und Funktionsgraphen. Jede dieser Methoden hat gewisse Vorteile und gewisse Nachteile (zum Beispiel ist es einfacher, aus Funktionsgraphen Werte herauszulesen, statt komplizierte Messungen im Experiment durchzuführen). Im Zusammenspiel ergeben diese Methoden tiefere Einsichten und ein besseres Gefühl für den Abbildungsvorgang durch eine Sammellinse. Wer im Physikunterricht nur mehr oder weniger passiv die Linsengleichung kennen gelernt hat und sonst nicht weiter damit gearbeitet hat, wird mit uns nicht konkurrieren können. Ohne Computer wären diese Untersuchungen allerdings wegen des hohen Zeitaufwandes kaum durchführbar gewesen. Literatur LERCHER, U.(2000): Untersuchung der Linsengleichung mit DERIVE. Mathematik lehren 103 (Funktionen untersuchen), S

14 Die Linsengleichung 14 Kopiervorlage 1 Arbeitsauftrag 1: Wenn man in der Linsengleichung eine der drei vorkommenden Größen konstant hält, bleibt eine Beziehung zwischen zwei Größen übrig. Überlegt, welche Funktionen auf diese Weise aus der Linsengleichung erhalten werden können. Arbeitsauftrag 2: Ermittelt eine Termdarstellung der Funktion b: g b (f konstant). Wählt dann für die Brennweite f einen realistischen Wert und zeichnet mit DERIVE den Graphen dieser Funktion. Arbeitsauftrag 3: Versucht aus dem Graphen der Funktion b: g b(g) möglichst viel herauszulesen und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Arbeitsauftrag 4: Ermittelt eine Termdarstellung der Funktion f: g f (b konstant). Wählt dann für die Brennweite f einen realistischen Wert und zeichnet mit DERIVE den Graphen dieser Funktion. Arbeitsauftrag 5: Versucht aus dem Graphen der Funktion f: g f(g) möglichst viel herauszulesen und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Arbeitsauftrag 6: Ermittelt eine Termdarstellung der Funktion f: b f(b) (g konstant). Wählt für g einen festen Wert und zeichnet mit DERIVE den Graphen dieser Funktion. Arbeitsauftrag 7: Versucht aus dem Graphen der Funktion f: b f(b) möglichst viel herauszulesen und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Arbeitsauftrag 8: Setzt in der Formel b = f g für f verschiedene Werte ein und zeichnet g-f die Graphen der Funktionen g b. Beschreibt, wie sich die Graphen mit zunehmender Brennweite f ändern und interpretiert die Ergebnisse physikalisch. Arbeitsauftrag 9: Führt analoge Untersuchungen auch für andere bisher betrachtete Funktionen durch. Arbeitsauftrag 10: Lest den zweiten Info-Kasten durch. Wählt dann konkrete Werte für f und x und untersucht die Bildgröße y in Abhängigkeit von der Gegenstandsweite g. Zeichnet den Graphen der entsprechenden Funktion g y. Versucht aus dem Graphen möglichst viel herauszulesen und deutet die Ergebnisse physikalisch. Arbeitsauftrag 11: Wählt jetzt konkrete Werte für f und g und untersucht die Bildgröße y in Abhängigkeit von der Gegenstandsgröße x. Zeichnet den Graphen der entsprechenden Funktion x y. Versucht aus dem Graphen möglichst viel herauszulesen und deutet die Ergebnisse physikalisch.

15 Die Linsengleichung 15 Kopiervorlage 2