Differenzialrechnung Was du nach den Ferien kannst! Klasse 10

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1 Differenzialrecnung Was du nac den Ferien kannst! Klasse 10 Zeicne die Tangenten an den Stellen x=-4, x=-1 und x=3 an den abgebildeten Funktionsgrap, und bestimme die Tangentengleicung. Zeicne die Sekanten im Intervall [-4;-1], [-2;2] und [4;6] und bestimme die Sekantengleicungen. Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient Algebraisce Definition (Recnerisc zu einer Funktion f): Geometrisce Interpretation (Skizze): Berecnen: Gegeben sei die gebrocen rationale Funktion f mit f (x)= 4x x Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall [-3; -2] und im Intervall [2; 3]. Gegeben sei die Funktion g mit Funktionsgleicung g x =x 3 2x 1. Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall [-6; -5] und im Intervall [5; 6]. Formuliere den Zusammenang zwiscen der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung: Weitere gute Aufgaben sind: Seite 16 Nr. 3, 5 und 6.

2 Momentane Änderungsrate Limes des Differenzenquotient Algebraisce Definition (Recnerisc zu einer Funktion f): Geometrisce Interpretation (Skizze): Formuliere den Zusammenang zwiscen der mittleren Änderungsrate und der momentanen Änderungsrate, sowie den Zusammenang zwiscen den entsprecenden Sekanten und Tangenten. 1) Approximatives berecnen: Gegeben sei die Funktion 4x f x = x 2 1. Bestimme approximativ die Tangentensteigung im Punkt P(2 1,6), indem du die Sekantensteigung durc P und drei immer näer liegende Nacbarpunkte Q von P berecnest. Überprüfe dein Ergebnis mit dem GTR (nderiv und dy/dx). Zeicne die Tangente mit dem GTR. Bestimme mit dem GTR die momentane Änderungsraten an den Stellen x=1, x=2, x=3, x=4. Vermerke die Tastenkombinationen im GTR: Weitere gute Aufgaben: Seite 21 Nr. 10 a) b) und 11 a) b) sowie Nr ) Ableitung exakt berecnen: Gegeben sei die Funktion f durc f x =4x 2 3 x. a) Berecne den Differenzenquotienten an beliebiger Stelle x 0 und beliebigem. Damit: Welce mittlere Änderungsrate at die Funktion im Intervall [2; 7]? b) Füre nun die Grenzwertbetractung für 0 aus. Damit: Gib f'(1), f'(2), f'(3), f'(4) an. Überprüfe die Ergebnisse mit dem GTR. Weitere Aufgaben: Seite 23 Nr. 2 und 3 sowie Bist du sicer?. Seite 25 Nr. 12.

3 Ableitungsfunktion Definition: Tabelle von einigen biser berecneten Ableitungsfunktionen: f f' f f' Gegeben sei die Funktion g mit g x =0.01 x x² 1. Berecne mit dem GTR die Steigung bei den ganzzaligen x-werten zwiscen -5 und 5. Zeicne mit den bestimmten Steigungswerten den Grapen der Ableitungsfunktion g' von g in das Scaubild ein: Überprüfe deine Zeicnung mit dem GTR (Anleitung: Seite 27 Fig.3).

4 Markiere die Bereice in denen die Steigung der Funktion g gleic 0 (blau), größer als 1 (grün) und kleiner als 0 (rot) ist. Grapisces Ableiten: Unter grapiscem Ableiten verstet man das skizzieren des Grap der Ableitungsfunktion einer Funktion f, die nur durc iren eigenen Grapen bekannt ist (also wie die Aufgabe oben, nur one bekanntem Funktionsterm). Der Grap von einer Funktion f ist ier gegeben: Zeicne den ungefären Grapen der Ableitungsfunktion f' von f in das Scaubild ein: Weitere Aufgaben: Seite 28 Nr. 2 und 3 sowie Seite 29 Bist du sicer?.

5 Ableitungsregeln Die Funktion f sei definiert durc ein beliebiger Faktor ist. Herleitung der Faktorregel: f x :=c g x, wobei g selbst eine Funktionen ist, und c f ' x : 0 f x f x 0 c g x c g x 0 c g x c g x 0 c g x g x =c g ' x Die Funktion f sei definiert durc einem gemeinsamen Intervall sind. Herleitung der Summenregel: f x :=g x k x, wobei g und k selbst Funktionen auf f ' x : 0 f x f x 0 g x k x g x k x 0 g x g x k x k x 0 g x g x lim 0 k x k x =g ' x k ' x Potenzregel: Summenregel: Faktorregel: Weitere Aufgaben: Seite 31 Beispiel. Seite 31 Nr. 1 bis 4 jeweils Aufgaben a) b) und c). Seite 31 Bist du sicer?

6 Potenzregel - Felerquellen Screibe die Funktionsgleicungen um in eine Potenzdarstellung der Art x k und leite dann ab. Bsp: f (x)=( x) =( 3 1 x 2) =x f ' ( x)= x 2 1 =1,5 x 0,5 =1,5 x f (x)=( x) 5 f (x)=( x) 3 f (x)=( 1 5 x) f (x)=( 2x) 5 2 f (x)=( 5 (2x ) 2) f (x)=( 5x 6 2) f (x)=( x) 10 Anwendungen Tangentengleicungen ermitteln: Gegeben ist eine Funktion durc f (x)=4x 2 +4x+2. Bestimme mit den Recenregeln die Tangentengleicung einer Tangenten an den Grap der Funktion im Punkt P(2 f(2)). Bestimmte Punkte auf dem Grapen ermitteln. Gibt es Punkte auf dem Grapen, an denen die Steigung -5, -2, 0, 2, 5 beträgt? Falls ja, gib diese an. Gegeben ist eine Funktion durc f (x )=x 3 + x. Bestimme die Tangentengleicung einer Tangenten an den Grap der Funktion, die die Steigung 3 besitzt.