Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente 1 Analysis Ableitung, Änderungsrate, Tangente Teil 1 Gymnasium Klasse 10

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1 Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Analysis Ableitung, Änderungsrate, Tangente Teil Gymnasium Klasse 0 Alexander Scwarz April 0

2 Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Aufgabe : Bestimme die Ableitungsfunktion unter Verwendung bekannter Ableitungsregeln: 5 b b 5a a) f(x) = x x b) f(x) = ax a c) f(t) = ( t) d) f(a) = x a Aufgabe : Bestimme für die Funktion Grenzwertbetractung. f(x) = x x, x die Ableitung an der Stelle x durc eine Aufgabe : Ein Bestand werde im Intervall 0 x 5 durc die Funktion f(x) = 0,5x (x 8) bescrieben. Zeicne das Scaubild. Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall 0 x 5. Bestimme die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt x = näerungsweise zeicnerisc. Bestimme sie mit Hilfe der Ableitung. Wann ist die momentane Änderungsrate? Wann ist die momentane Änderungsrate am größten? Aufgabe : Ein Wacstumsprozess werde durc die Funktion f(t) = 0,5t t+, t 0 bescrieben. a) Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall [;5]. b) Bestimme die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t =. c) Bestimme die Gleicung der Tangente an das Scaubild im Punkt P(/f()). Aufgabe 5: a) Welce Tangente an das Scaubild der Funktion f mit f(x) = x x at die Steigung? b) Berecne den Inalt des Dreiecks, das von der Tangente aus a), der zugeörigen Normalen und der y-acse begrenzt wird. Aufgabe 6: Bestimme eine Funktion f, deren Ableitungsfunktion a) f (x) = 0,5 b) f (x) = x c) f (x) = x ist. Zeicne die Scaubilder von f und f in ein Koordinatensystem. Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f durc f(x) = x x. Ir Scaubild sei K. a) Zeicne K im Bereic,5 x,5. Verwende den GTR (Wertetabelle). Bestimme alle Punkte von K mit waagrecter Tangente. b) Unter welcem Winkel scneidet die Tangente an K im Punkt N(/0) die x-acse? Wie lautet die Gleicung der Ortogonalen zur Tangente durc N? Aufgabe 8: Warum lassen sic mit Hilfe der.ableitung einer Funktion f Aussagen über Hoc- Tief- und Wendepunkte des Scaubildes von f macen? Erkläre anand der Funktion f(x) = x x 5x. Zeicne dazu ein Scaubild von f und das der Ableitungsfunktion in ein gemeinsames Koordinatensystem. Verwende den GTR.

3 Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Lösungen Aufgabe : a) b) c) d) 5 f(x) = x x + x + 8 f (x) = 0x x x = 0x x x b b b f(x) = ax a f (x) = b ax b (a fällt beim Ableiten weg!) f(t) = ( t) = t+ 9t f (t) = + 8t 5a 5a 5 5 f(a) = = = = a a a a a Aufgabe : f (a) = a = a Die Berecnung der Ableitung erfolgt mit dem Ausdruck f(x+ ) f(x) lim = f (x) (x+ ) (x+ ) (x x) lim x + x+ x x + x = lim x+ = lim (x+ ) = lim = lim(x+ ) = x = f (x) Aufgabe : Mittlere Änderungsrate im Intervall 0 x 5: f(5) f(0) 7,5 = 5 =, Momentane Änderungsrate bei x = (zeicnerisc): mtangente = = Es ist f(x) = 0,5x + x mit der Ableitungsfunktion f (x) = x+ Momentane Änderungsrate bei x = (recnerisc): f () =

4 Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Die momentane Änderungsrate ist, wenn gilt f (x) = x+ = x= Die momentane Änderungsrate ist an der Stelle am größten, an der die Tangentensteigung an die Parabel maximal wird. Dies ist an der Stelle x = 0 der Fall. Andere Überlegung: Gesuct ist der Wert von x, bei dem das Scaubild von f (x) = x+ maximal wird. Diese Gerade at im Intervall 0 x 5 ir Maximum bei x = 0. Aufgabe : Es ist f(t) = 0,5t t+ mit der Ableitungsfunktion f (t) = t a) Mittlere Änderungsrate im Intervall t 5: f(5) f() 8,5 = 0,5 = 5 b) Momentane Änderungsrate bei t = : f () = c) Die allgemeine Tangentenformel lautet y= f (u) (x u) + f(u) Die Berürstelle soll u = sein. Gleicung der Tangente: y= f () (x ) + f() mit f () = und f() =,5 y= (x ) +,5 Die Tangentengleicung in P lautet y= x,5 Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktion f(x) = x x mit der Ableitungsfunktion f (x) = x a) Anand der gegebenen Tangentensteigung kann die Berürstelle berecnet werden. Ansatz: f (x) = x = x= Ansatz für die Tangentengleicung: y= f () (x ) + f() mit f () = und f() = y= (x ) Die Tangentengleicung lautet y= x 6 b) Zunäcst wird die Gleicung der Normalen ermittelt: Ansatz für die Normalengleicung: y = (x ) + f() f () y = (x ) Die Normalengleicung lautet y= 0,5x Um die Dreiecksfläce zu berecnen, zeicnet man die Tangente und die Normale in ein Koordinatensystem ein:

5 Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Aufgabe 6: ADreieck = 5 = 5 Fläceneineiten a) Wenn f (x) = 0,5 ist, dann ist f(x) = 0,5x+ C, wobei C eine beliebige Zal sein kann. Es gibt daer unendlic viele Funktionen f. b) Wenn f (x) = x ist, dann ist f(x) = x x+ C, wobei C eine beliebige Zal sein kann. Es gibt daer unendlic viele Funktionen f. 5

6 Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente c) Wenn 0,5 = x = x ist, dann ist f (x) kann. Es gibt daer unendlic viele Funktionen f.,5 f(x) = x + C, wobei C eine beliebige Zal sein Aufgabe 7: Es ist f(x) = x x und x x = f (x) a) Zeicnung: Berecnung der Punkte mit waagrecter Tangente: Die Bedingung lautet f (x) = 0: x x = 0 x ( x ) = 0 Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt x = 0 oder x = 0 x= 8 Mit f(0) = 0 lautet der erste Punkt P(0/0). Mit 8 6 f( ) = lautet der zweite Punkt Q( / ) 7 6

7 Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente b) Gleicung der Tangente an der Berürstelle x = : y= f () (x ) + f() Es ist f() = 0 und f () =. Die Tangentengleicung lautet y= (x ) + 0 y= x 6 Der Winkel der Tangente mit der x-acse ergibt sic aus dem Ansatz tanα= α 76 tanα= m Tangente Gleicung der Ortogonalen zur Tangente durc N: Dies ist die Normale zur Tangente mit der Gleicung y = (x ) + 0 y= x+ y = (x ) + f() f () Aufgabe 8: Zeicnung der Funktionen f(x) = x x 5x und f (x) = x x 5 Der Hocpunkt H von f(x) befindet sic an der Stelle x = -. Dort besitzt das Scaubild der Ableitungsfunktion eine Nullstelle mit einem Vorzeicenwecsel von + nac - Der Tiefpunkt T von f(x) befindet sic an der Stelle x = 5. Dort besitzt das Scaubild der Ableitungsfunktion eine Nullstelle mit einem Vorzeicenwecsel von - nac +. Der Wendepunkt W von f(x) befindet sic an der Stelle x =. In einem Wendepunkt besitzt das Scaubild eine minimale oder maximale Steigung. Dort besitzt das Scaubild der Ableitungsfunktion somit ein Minimum (was ier der Fall ist) oder ein Maximum. 7