Abiturprüfung Analysis Baden-Württemberg. Teil 2. Wahlaufgaben (auch CAS) Hauptprüfung der Jahrgänge 2010 bis Datei 70102

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1 Abiturprüfung Analysis Baden-Württemberg Teil Wahlaufgaben (auch CAS) Hauptprüfung der Jahrgänge 010 bis 015 Datei 7010 Stand: 10. August 015 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo für

2 7010 Abitur BW Analysis Analysis Übersicht über die Texte mit Abituraufgaben (allg. Gymnasium) aus Baden-Württemberg Pflichtaufgaben Analysis für die Jahrgänge 004 bis Wahlaufgaben Analysis Teil 1 für die Jahrgänge 004 bis Wahlaufgaben Analysis Teil für die Jahrgänge 010 bis 015 (auch CAS-Aufgaben) Wahlaufgaben Analysis Teil 3 für die Jahrgänge 000 bis 003 GK und LK Wahlaufgaben Analysis für CAS-Schulen Vektorgeometrie für die Jahrgänge 005 bis Pflichtaufgaben Geometrie für die Jahrgänge 004 bis : Wahlaufgaben Analytische Geometrie Teil 1 für die Jahrgänge 000 bis : Wahlaufgaben Analytische Geometrie Teil für die Jahrgänge 011 bis : Wahlaufgaben Analytische Geometrie Teil 3 für die Jahrgänge 000 bis 003 GK und LK 7011 Wahlaufgaben Geometrie für CAS-Schulen für die Jahrgänge 005 bis 009 Stochastik Pflichtaufgaben und Wahlaufgaben Stochastik für die Jahrgänge 013 bis 015 Alle Pflichtaufgaben In diesem Text stehen sämtliche Pflichtaufgaben (Analysis, Geometrie und Stochastik) der Jahrgänge 004 bis 015. Hierbei handelt es sich um eine reine Aufgabensammlung ohne Lösungen. Außerdem gibt es Spezialtexte, in denen Abituraufgaben nach Themen geordnet gesammelt sind. Demo für

3 7010 Abitur BW Analysis 3 Hinweise Die deutschen Bundesländer ändern immer wieder Stil und Inhalt ihrer Abituraufgaben. Der Trend geht dahin, dass man die Prüfung in einen Pflichtteil und einen Wahlteil zerlegt. Im Pflichtteil werden fundamentale Rechenfähigkeiten abgefragt, die in der Regel auch ohne Hilfsmittel erledigt werden müssen. Im Wahlteil findet man dann eher noch den Aufgabenstil, den man seit Jahrzehnten kennt, also umfangreiche Aufgaben, die in die Tiefe gehen und möglichst anwendungsbezogen sind. Durch den Trend, in der Schule immer leistungsfähigere Rechner zu verwenden (Grafikrechner, CAS- Rechner), verlieren Schüler ohnehin immer mehr die Fähigkeit und vor allem die Routine, grundlegende Aufgaben lösen zu können. Der unsanfte Druck, solche Aufgaben in Pflichtteilen ohne Hilfsmittel lösen zu müssen, ist hier ein gutes Mittel, Schüler dazu zu bringen, sich doch nicht zu sehr auf die neue Technik zu verlassen. Wer in einem anderen Bundesland als BW seine Abiturprüfung ablegen will, der kann diese Sammlung an Pflichtaufgaben hervorragend zum Lernen und Wiederholen einsetzen. Was hier erscheint, tritt mit Sicherheit in jedem Bundesland in irgendeiner Form auf, entweder auf ähnliche Weise, oder in größeren Aufgaben als Bestandteil. Im Zuge der Einschränkungen der Inhalte muss man (leider) erwähnen, dass manche Funktionsarten nicht mehr verlangt werden. So fällt auch die Quotientenregel beim Ableiten in einigen Bundesländern weg. Ich werde hier diese Einschränkungen nicht machen. Ich gehe davon aus, dass jeder selbst weglassen kann, was er nicht benötigt. Und ich kann die Bundesländer nicht ausschließen, die mehr verlangen als andere. Also handle ich hier so wie in meiner gesamten Sammlung meiner Internet- Bibliothek: Ich biete sehr viel mehr an, als der Einzelne benötigt. Jeder kann selbst auswählen. Baden-Württemberg hat folgende Einteilung der Pflichtaufgaben für Analysis vorgenommen, die ich gerne übernehme, weil sie sehr gut gemacht ist: Aufgabe 1: Aufgabe : Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Ableitung einer Funktion. Integration bzw. Bildung einer Stammfunktion. Gleichungslehre Elemente der Kurvendiskussion - Funktionsuntersuchung Funktionenkompetenz Hier findet man auch oft Schaubilder unbekannter Funktionen, aus denen man gewisse Antworten finden muss wie Zusammenhänge zwischen verschiedenen Funktionen und Verifizieren von Funktionseigenschaften Demo für

4 7010 Abitur BW Analysis 4 Meine Sammlung an Pflichtaufgaben gliedert sich in mehrere Texte: Sammlung von Original-Pflichtaufgaben Analysis, Geometrie, Stochastik aus Baden-Württemberg als reine Aufgabensammlung ohne Lösungen Die Aufgaben mit ausführlichen Lösungen Sammlung selbst erstellter ähnlicher Pflichtaufgaben Themenbereiche: Aufgaben aus und zum gezielten Üben nur dieser Themen: 7111 Pflichtaufgaben zum Thema Ableitungen Pflichtaufgaben zum Thema Integration, Stammfunktion Pflichtaufgaben zum Thema Gleichungslehre Pflichtaufgaben zum Thema Funktionsuntersuchung - Kurvendiskussion Pflichtaufgaben zum Thema Funktionenkompetenz Pflichtaufgaben zum Thema Definitionsbereiche Pflichtaufgaben zum Thema Extremwert-Sachaufgaben Demo für

5 7010 Abitur BW Analysis 5 Ab 010 wurden keine eigenen Aufgaben für Schulen mit CAS-Einsatz mehr erstellt. Dafür gab es innerhalb der Aufgaben an wenigen Stellen kleine Änderungen. Ich kennzeichne einige solcher Stellen im Aufgabentext durch Ohne CAS bzw. Nur CAS und hebe diesen CAS-Teil auch kursiv hervor. 010 I f x x 0 CAS: I.1. x f x I. Inhaltsverzeichnis Aufgabe Lösung Lärmschutzwall 6 4 x e n-ableitung mit vollst. Induktion 6 7 f x 1 cos( x) Minigolfbahn 7 8 t t I I.1 f x v t 960 e 960 e Motorboot 8 3 x a 3 4 4a I..1 1 Düse 9 35 w t 50 sin t 60 Schneeschmelze I.. f x asin ax a a I.3 0, t 01 I.1 3 f t 150t e Virusepidemie, DGl f x 0,1x 0,3x 0, 4x 3, Ortsumgehung 1 47 I. fx sinx Pokal ,t 0,8t I.3 f t 130 e e 013 A 1.1 Wirkstoff im Blut, DGl f x 0,x 0,8x 8 A 1. Bergstollen x ft x x1 1 e t 0,5t t A.1 r t e e A. fx sin x 0,5x 014 A 1.1 fx 10x e 1 3 A 1. Anzahl der Nullstellen Wasserzufluss t 3 Flächeninhalt Extremer Flächeninhalt f x x t x Abstand der Extrempunkte t A.1 f t 4 t A A 1 a Fahrzeugstau f x acos x a Extrempunkt f x x Lastkahn A.1 Entwicklung einer Population 0 7 A. fx 4 x 1 Berührung mit Ursprungskreis A A Demo für

6 7010 Abitur BW Analysis 6 Abitur BW 010 Aufgabe I.1.1 Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein geradliniger, 500 m langer Lärmschutzwall. Das Profil seines Querschnitts wird beschrieben durch die Funktion f mit 10 fx x 0 und a) Wie breit ist der Wall an seinem Fuß? f x 0 (x und f(x) in Meter). Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen Querschnitt besitzt. Der Wall soll begrünt werden. Um Erosion zu vermeiden, sollte das maximale Gefälle der Böschung nicht größer als 100% sein. Ist dies beim gegebenen Querschnittprofil der Fall? b) Berechnen Sie das Volumen des Lärmschutzwalls. Es ist geplant, den Wall auf 3 m Höhe abzutragen, um darauf einen Fahrweg anzulegen. Welche Breite hätte dieser Fahrweg? Das abzutragende Material soll dazu verwendet werden, den abgeflachten Wall zu verlängern. Um wie viel Meter würde er länger? c) Statt der Planung aus Teilaufgabe b) wird am ursprünglichen Wall die Erde so abgetragen, (6 VP) dass der Fahrweg seitlich geneigt ist. Sein rechter Rand liegt 0,4 m höher als sein linker Rand. Die Breite des Fahrwegs beträgt 4 m. Bestimmen Sie den Winkel, um den der Fahrweg gegenüber der Horizontalen geneigt ist, auf zwei Dezimalen genau. In welcher Höhe befindet sich der linke Rand des Fahrwegs? Nur CAS: Gegeben ist die Funktion f mit x Abitur BW 010 Aufgabe I 1. f x Geben Sie für n 1 einen Term f x e n x für die n-te Ableitung an. Weisen Sie die Gültigkeit des Terms mit vollständiger Induktion nach. (5 VP) (3 VP) Demo für

7 7010 Abitur BW Analysis 7 Gegeben sind die Funktionen f und g durch Abitur BW 010 Aufgabe I und gx 1 4 x fx f x 1 cos( x) Ihre Schaubilder sind K f und K g. a) Geben Sie alle Nullsteilen der Funktion f an., x R. 10 Beschreiben Sie, wie man K f aus dem Schaubild der Kosinusfunktion erhalten kann. Skizzieren Sie K g für 0 x 4. Mit CAS: Zeigen Sie, dass K g in allen Nullstellen die x-achse als Tangente hat. (5 VP) Das Schaubild K g beschreibt im Bereich 0 x 4 die Seitenansicht einer Minigolfbahn, die eine Doppelwelle als Hindernis enthält (Längenangaben in Meter). Gespielt wird von links nach rechts. b) Wie hoch liegt der höchste Punkt der Bahn? An welcher Stelle der Bahn muss der Ball die größte Steigung überwinden? Die Minigolfbahn ist 1,5 m breit. Nach einem schweren Regenguss steht das Wasser zwischen den beiden Wellen 5 cm hoch. Wie viele Liter Wasser haben sich dort gesammelt? c) Ein Ball wird so fest geschlagen, dass er bei x = 0,5 tangential von der Bahn abhebt und im Punkt P 7 0 wieder auf dem Boden auftrifft. Bestimmen Sie die maximale Höhe des Balls auf einer parabelförmigen Flugbahn. (5 VP) Mit CAS: Unter welchem Winkel zur Horizontalen trifft der Ball auf den Boden? d) Das Hindernis der Minigolfbahn soll im gleichen Bereich neu gestaltet werden. Das neue Hindernis soll drei jeweils 40 cm hohe Wellen erhalten. Am Anfang und Ende soll das Hindernis waagrecht und auf der gleichen Höhe wie bisher enden. Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, die den neuen Bahnverlauf beschreibt. Vergleichen Sie die durchschnittlichen Höhen der beiden Bahnen. Demo für

8 7010 Abitur BW Analysis 8 Abitur BW 010 Aufgabe I 3 Ein Segelboot gleitet mit der konstanten Geschwindigkeit 160 m min an einem ruhenden Motorboot vorbei. Das Motorboot nimmt zu diesem Zeitpunkt Fahrt auf und fährt dem Segelboot hinterher. Die Geschwindigkeit v(t) des Motorbootes ist für t > 0 stets positiv und wird durch t t v t 960 e 960 e ; t 0 beschrieben (Zeit t in min seit der Vorbeifahrt, Geschwindigkeit v(t) in m min ) a) Skizzieren Sie das Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild des Motorbootes für die ersten fünf Minuten. Bestimmen Sie die höchste Geschwindigkeit des Motorbootes in diesem Zeitraum. Wann nimmt die Geschwindigkeit des Motorbootes in diesem Zeitraum am stärksten ab? Welche mittlere Geschwindigkeit hat das Motorboot in den ersten fünf Minuten? Wie lange fährt das Motorboot in diesem Zeitraum schneller als das Segelboot? Zwischen welchen Zeitpunkten ist das Motorboot schneller als das Segelboot? b) Wie weit ist das Motorboot nach zwei Minuten gefahren? Bestimmen Sie einen Term der Funktion, die den vom Motorboot zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Legt das Motorboot nach diesem Modell mehr als 500 m zurück? Zu welchem Zeitpunkt überholt das Motorboot das Segelboot? c) Zum Zeitpunkt t O =,55holt das Segelboot das Motorboot wieder ein. Beide Boote verringern ab diesem Moment ihre Geschwindigkeit. Ab dem Zeitpunkt t O wird die Geschwindigkeit des (6 VP) (6 VP) Motorbootes durch die Tangente an das Schaubild der Funktion v an der Stelle t O beschrieben. Wann kommt das Motorboot zum Stillstand? Die Geschwindigkeit des Segelbootes kann ab dem Zeitpunkt t O ebenfalls durch eine Gerade beschrieben werden. Das Segelboot kommt am gleichen Ort wie das Motorboot zum Stillstand. Wann kommt das Boot zum Stillstand? (6 VP) Demo für

9 7010 Abitur BW Analysis 9 Für jedes a 0 Ihr Schaubild ist K a. Abitur BW Aufgabe I 1 ist eine Funktion f a gegeben mit f x x a 3 a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von f. Geben Sie die Asymptoten von K an. 4 4a Zeigen Sie, dass der Graph K genau zwei Wendepunkte besitzt. Bestimmen Sie deren Koordinaten. Welcher Punkt P u v von K mit 0 u hat vom Punkt A 1 0 den kleinsten Abstand? b) Ohne CAS: Zeigen Sie, dass K mit keinem anderen Schaubild K a einen gemeinsamen Mit CAS: Punkt besitzt. Zeigen Sie, dass keine zwei Kurven der Schar einen gemeinsamen Punkt besitzen. Bestimmen Sie den Punkt Q a, in dem K a eine waagrechte Tangente besitzt. Wo liegen alle Punkte Q a? c) Die Schaubilder K 1 und K schließen mit der y-achse und der Geraden x = eine Fläche ein. Bei Rotation dieser Fläche um die x-achse entsteht ein Drehkörper, der als Düse benutzt wird (Längeneinheit 1 cm). Berechnen Sie die Masse einer solchen Düse, die aus Titan mit einer Dichte von 4,5 3 besteht. Diese Düse wurde aus einem massiven Kegel mit der Höhe 3 cm und der x-achse als Rotationsachse ausgefräst Welchen Radius hatte der Grundkreis dieses Kegels mindestens? g cm (7 VP) (5 VP) (6 VP) Demo für

10 7010 Abitur BW Analysis 10 Aufgabe I.1 Abitur BW Aufgabe I Ein Staubecken wird zur Zeit der Schneeschmelze gefüllt. Da die Schneeschmelze temperaturabhängig ist, kann die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion w mit w t 50 sin t 60 für 0 t 4 beschrieben werden (t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, 1 m 3 h w t in ). a) ln welchem Zeitraum innerhalb der ersten 4 Stunden ist die momentane Zuflussrate m 3 h größer als 100? Zu welchem Zeitpunkt innerhalb der ersten 4 Stunden nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab? b) Zu Beobachtungsbeginn enthält das Staubecken 5000 m 3 Wasser. Wie viel Wasser enthält es nach 4 Stunden? Bestimmen Sie einen integralfreien Funktionsterm für die zum Zeitpunkt t im Staubecken enthaltene Wassermenge. Nach welcher Zeit sind 6000 m 3 Wasser im Becken? Nur CAS: Begründen Sie, dass die täglich zufließende Menge gleich bleibt. (5 VP) Aufgabe I. Für jedes a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch a f x asin ax a, x R. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts H a von K a für 0 x pa. Ermitteln Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle diese Hochpunkte H a liegen. b) Geben Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten des Wendepunkts W a von K a an, der den kleinsten positiven x-wert hat. Die Tangente in W a an K a schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche unabhängig von a ist. (5 VP) Demo für

11 7010 Abitur BW Analysis 11 Abitur BW Aufgabe I 3 In einer großen Stadt breitet sich eine Viruserkrankung aus. Die momentane Erkrankungsrate wird modellhaft beschrieben durch die Funktion f mit 0, t f t 150t e für t 0 Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Beobachtungsbeginn und f(t) die Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche. a) Skizzieren Sie das Schaubild von f. Wann erkranken die meisten Personen? Zeigen Sie, dass ab diesem Zeitpunkt die momentane Erkrankungsrate rückläufig ist. Wann nimmt sie am stärksten ab? CAS: und wie groß ist sie dann? (6 VP) b) Alle Neuerkrankungen werden sofort dem Gesundheitsamt gemeldet. Bei Beobachtungsbeginn sind bereits 100 Personen gemeldet. Wie viele Personen sind nach 1 Wochen insgesamt gemeldet? Die Funktion F mit F t 750 t 10t 50 e 0, t ist eine Stammfunktion von f. Geben Sie eine Funktion für die Gesamtzahl der gemeldeten Personen nach t Wochen an. Wann wird die Zahl von gemeldeten Personen erreicht? Weisen Sie nach, dass die Anzahl der Meldungen unter bleiben wird. (6 VP) In einer benachbarten Stadt mit Einwohnern ist bei Beobachtungsbeginn bereits die Hälfte der Einwohner an diesem Virus erkrankt. Es ist davon auszugehen, dass im Laufe der Zeit alle Einwohner von der Krankheit erfasst werden und dass dabei die momentane wöchentliche Erkrankungsrate proportional zur Anzahl der bisher noch nicht von der Krankheit erfassten Einwohner ist. c) Man nimmt zur Modellierung zunächst den Proportionalitätsfaktor 0,1 an. Gebe Sie eine zugehörige Differenzialgleichung an. Bestimmen sie eine Funktion, welche die Anzahl der von der Krankheit erfassten Personen beschreibt. Wie viele Personen werden demzufolge nach 4 Wochen von der Krankheit erfasst sein? Tatsächlich sind es nach 4 Wochen bereits.000 Personen. Passen Sie die Funktion an die tatsächliche Situation an. (6 VP) Demo für

12 7010 Abitur BW Analysis 1 Die Abbildung zeigt den Verlauf einer Umgehungsstraße zur Entlastung der Ortsdurchfahrt AB einer Gemeinde. Das Gemeindegebiet ist kreisförmig mit dem Mittelpunkt M und dem Radius 1,5 km. Die Umgehungsstraße verläuft durch die Punkte A und B und wird beschrieben durch die Funktion f mit 3 f x 0,1x 0,3x 0, 4x 3,. 1 LE entspricht 1 km. Abitur BW 01 - Aufgabe I 1 a) Welche Koordinaten hat der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße? Wie weit ist dieser Punkt vom Ortsmittelpunkt M entfernt? Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve. Bestimmen Sie den Punkt, in dem diese beiden Abschnitte ineinander übergehen. Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt einmündet. b) Zur Bewertung von Grundstücken wird die Fläche zwischen der Ortsdurchfahrt und der Umgehungsstraße vermessen. Wie viel Prozent dieser Fläche liegen außerhalb des Gemeindegebiets? c) Im Punkt P1,5 3 befindet sich eine Windkraftanlage. Ein Fahrzeug fährt von B aus auf der Umgehungsstraße. Von welchem Punkt der Umgehungsstraße aus sieht der Fahrer die Windkraftanlage genau in Fahrtrichtung vor sich? d) ln welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB? Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der Ortsdurchfahrt? (6 VP) Demo für N

13 7010 Abitur BW Analysis 13 Abitur BW 01 - Aufgabe I Gegeben sind die Funktion f und für jedes t > 0 die Funktion g t durch sinx bzw. gt x t sinx f x, x R. a) Skizzieren Sie die Graphen von f und g 1 für 0 x in einem gemeinsamen Koordinatensystem. Geben Sie die Periode und die Amplitude der Funktion f an. An welchen Stellen unterscheiden sich die Funktionswerte von f und g 1 im skizzierten Bereich am stärksten? CAS: Geben Sie die Lösung exakt an. Wie groß ist dieser Unterschied? b) Für welchen Wert von t schneiden sich die Graphen von f und g t im Ursprung unter einem Winkel von 45? Der Graph der Funktion f schließt im Bereich 0 x mit der x-achse eine Fläche ein. Für welchen Wert von t hat die Fläche, die der Graph von g t im gleichen Bereich mit der x-achse einschließt, den gleichen Inhalt? c) K ist der Graph der Funktion g 1. Durch Spiegelung von K an der Geraden h : y entsteht der Graph K'. Geben Sie eine zu K' gehörende Gleichung an. K rotiert um die Gerade h. Dadurch entsteht im Bereich 0,5 x 5, das Modell eines Pokals, dessen Standfläche den Mittelpunkt M0,5 hat. Der massive Boden des Pokals reicht von der Standfläche bis zur engsten Stelle. Untersuchen Sie, ob ein Liter Flüssigkeit in den Pokal passt. (6 VP) (6 VP) (1 LE entspricht,5 cm.) (6 VP) Demo für

14 7010 Abitur BW Analysis 14 Abitur BW 01 - Aufgabe I 3 Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. a) Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge im Blut des Patienten beschrieben durch die Funktion f mit 0,t 0,8t f t 130 e e 0 t 4 (t in Stunden nach der Injektion, f(t) in mg). Skizzieren Sie den Graphen von f. Das Medikament wirkt nur dann, wenn mindestens 36 mg des Wirkstoffs im Blut vorhanden sind. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt. Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zu bzw. ab? Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffmenge im Blut während der ersten 1 Stunden. (7 VP) Wenn das Medikament stattdessen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirkstoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion g mit 0,05 t gt 80 1 e t 0 (t in Minuten seit lnfusionsbeginn, g(t) in mg). b) Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden? Ohne CAS: Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig zunimmt. Mit CAS: Zeigen Sie, dass die Zunahme der Wirkstoffmenge im Blut ständig geringer wird. mg Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut 1? In welchem 15-Minuten-Zeitraum ändert sich die Wirkstoffmenge um 30 mg? min (7 VP) c) Geben Sie eine Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums an, die von der Funktion g erfüllt wird. Bei der Tropfinfusion wird dem Patienten pro Minute eine konstante Wirkstoffmenge zugeführt. Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut. Wie groß ist die konstante Zufuhr der Wirkstoffmenge pro Minute? Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut befinden? Demo für

15 7010 Abitur BW Analysis 15 Aufgabe A 1.1 Abitur BW Aufgabe A 1 Der Querschnitt eines 50 Meter langen Bergstollens wird beschrieben durch die x-achse und den Graphen der Funktion f mit mit 4 x 4 (x und f(x) in Meter). 4 f x 0,0x 0,8x 8 a) An welchen Stellen verlaufen die Wände des Stollens am steilsten? Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Stellen mit der Horizontalen ein? Nach einem Wassereinbruch steht das Wasser im Stollen 1, 7 m hoch. Wie viel Wasser befindet sich in dem Stollen? b) Im Stollen soll in 6 m Höhe eine Lampe aufgehängt werden. Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe mindestens 1,4 m von den Wänden entfernt sein. Überprüfen Sie, ob dieser Abstand eingehalten werden kann. c) Ein würfelförmiger Behälter soll so in den Stollen gestellt werden, dass er auf einer seiner Seitenflächen steht. Wie breit darf der Behälter höchstens sein? Aufgabe A 1. Für jedes t 0 ist eine Funktion f t gegeben durch 1 x ft x x11 e t Für welche Werte von t besitzt f t mehr als eine Nullstelle? (6 VP) (3 VP) (3 VP) (3 VP) Demo für

16 7010 Abitur BW Analysis 16 Aufgabe A.1 Abitur BW Aufgabe A Ein zunächst leerer Wassertank einer Gärtnerei wird von Regenwasser gespeist. Nach Beginn eines Regens wird die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion r mit 0,5t t r t e e ; 0 t 1 beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, r(t) in Liter pro Stunde). a) Bestimmen Sie die maximale momentane Zuflussrate. ln welchem Zeitraum ist diese Zuflussrate größer als 000 Liter pro Stunde? Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab? b) Wie viel Wasser befindet sich drei Stunden nach Regenbeginn im Tank? Zu welchem Zeitpunkt sind 5000 Liter im Tank? c) Zur Bewässerung von Gewächshäusern wird nach 3 Stunden begonnen, Wasser aus dem Tank zu entnehmen. Daher wird die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Tank ab diesem Zeitpunkt durch die Funktion w mit w t r t 400 ; 3 t 1 beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, w(t) in Liter pro Stunde). Wie viel Wasser wird in den ersten 1 Stunden nach Regenbeginn entnommen? Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Tank ab? Bestimmen Sie die maximale Wassermenge im Tank. Aufgabe A. Gegeben ist die Funktion f mit fx sin x für 0 x 1. Der Graph von f begrenzt mit der x-achse eine Fläche mit Inhalt A. Berechnen Sie A exakt. Der Graph einer ganzrationalen Funktion g zweiten Grades schneidet die x-achse bei x = 0 und x = 1 und schließt mit der x-achse eine Fläche ein, deren Inhalt halb so groß wie A ist. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von g. Demo für

17 7010 Abitur BW Analysis 17 Aufgabe A 1.1 0,5x Gegeben ist die Funktion f mit fx 10x e Abitur BW Aufgabe A 1. lhr Graph ist K. a) K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K. b) Für jedes u > 0 sind O(0 I 0), P(u I 0) und Q(u I f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. Für welchen Wert von u ist das Dreieck OPQ gleichschenklig? c) Auf der x-achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mittelwert, besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls. Aufgabe A Gegeben ist für jedes t > 0 eine Funktion f 1 durch f x x t x. t 3 Bestimmen Sie t so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von f t den Abstand 13 voneinander haben. (3 VP) Demo für

18 7010 Abitur BW Analysis 18 Aufgabe A.1 Abitur BW Aufgabe A Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion f mit 4 f t t t ; 0 t 30 (t in Stunden nach Beobachtungsbeginn; f(t) in Fahrzeuge pro Stunde). Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. a) Skizzieren Sie den Graphen von f. Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal? Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen. b) Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch 110 Fahrzeuge pro Stunde begrenzt. Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen? Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang? Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate 1 Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant 0 Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde? Aufgabe A. Für jedes a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch Der Graph von f a ist G a. a) G a besitzt einen Extrempunkt. Bestimmen Sie dessen Koordinaten. a f x acos x a ; y. (6 VP) ( VP) b) Durch welche Punkte der y-achse verläuft kein Graph G a? (3 VP) Demo für

19 7010 Abitur BW Analysis 19 Abitur BW Aufgabe A 1 Der Laderaum eines Lastkahns ist 50 m lang. Sein Querschnitt ist auf der gesamten Länge gleich und wird modellhaft beschrieben durch den Graphen der Funktion f mit 1 4 x f x a) Wie tief ist der Laderaum in der Mitte? Wie breit ist er in 3 m Höhe? ; -5 x 5 (x und f(x) in Meter). 15 In welchem Bereich hat der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5%? Berechnen Sie das Volumen des Laderaums. b) Zur Wartung steht der Lastkahn an Land auf einer ebenen Plattform. Dort wird er stabilisiert durch gerade Stützen, die orthogonal zur Außenwand des Laderaums angebracht sind. Betrachtet werden zwei einander gegenüberliegende Stützen, deren Befestigungspunkte im Modell durch die Punkte P1 4 f 4 und P 4 f 4 beschrieben werden. In welchem Abstand voneinander enden diese Stützen auf der Plattform? c) Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt 500 m³. Berechnen Sie die Breite der Zwischendecke. d) Untersuchen Sie, ob sich eine zylinderförmige Röhre mit Außendurchmesser 9,8 m so in Längsrichtung in den Laderaum legen lässt, dass sie ihn an der tiefsten Stelle berührt. (5 VP) (3 VP) (3 VP) Demo für

20 7010 Abitur BW Analysis 0 Aufgabe A.1 Abitur BW Aufgabe A Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 00 lässt sich durch zwei Funktionen modellhaft beschreiben. Die Funktion g mit 0,1 t g t t 1 e beschreibt die Geburtenrate und die Funktion s mit 3 0,09 t s t t6 e beschreibt die Sterberate der Population. (t in Jahren seit Beginn des Jahres 1960, g(t) und s(t) in Individuen pro Jahr). a) Bestimmen Sie die geringste Sterberate. In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten? Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat. b) Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus Individuen. Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 017. In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960? Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand 0,8 m groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe 0,5 m und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit 0,15 m pro Jahr. c) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen? Aufgabe A. Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt O0 0 und die Funktion f mit fx 4 x 1. Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von Kreisradius. (3 VP) Demo für

21 7010 Abitur BW Analysis 3 Demo für

22 7010 Abitur BW Analysis 4 Lösung Aufgabe I.1.1 Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein geradliniger, 500 m langer Lärmschutzwall. Das Profil seines Querschnitts wird beschrieben durch die Funktion f mit 10 fx x 0 und a) Wie breit ist der Wall an seinem Fuß? 1. Manuelle Lösung: Berechnung der Nullstellen: f x x 0 x 0 f x 0 (x und f(x) in Meter) x 0 x 1, 40 6,3 Die Breite des Walles an der Basis (x-achse) beträgt b 6,3 1,64 (m). Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen Querschnitt besitzt. Für alle x gilt: f x f x x 0 x 0 Also ist das Schaubild K von f symmetrisch zur y-achse. Der Wall soll begrünt werden. Um Erosion zu vermeiden, sollte das maximale Gefälle der Böschung nicht größer als 100% sein. Ist dies beim gegebenen Querschnittprofil der Fall? WISSEN: Das größte Gefälle liegt an den Wendepunkten vor. Zum Ableiten wird f umgeschrieben in 10 fx 10x 0 1 x 0 f ' x 10 x 0 x 40 u x x 0 v' 1 x 0 x 0 x x f '' x 40 Wendepunkt-Bedingung f '' x 40 f'' x 0 4 x 0 x 0 x 0 4x 0 3x x 0 x 0 0 3x 0 x x, , 3 Steigung bei x =,58: f ',58 40,58 0,871 87,1%,58 0 Wegen der Symmetrie zur y-achse gilt dies (abgesehen vom Vorzeichen) auch für x = -,58. Ergebnis: Das maximale Gefälle ist kleiner als 100%.. Mit einem Grafikrechner stellt man den Graphen der 1. Ableitungsfunktion dar und lässt sich das Maximum anzeigen. Demo für 3

23 7010 Abitur BW Analysis 5 3. Lösung mit TI Nspire CAS: Der Reihe nach wurde erledigt: Definition von f mit zwei Ableitungen. Symmetrie zur y-achse: f x fx ist immer wahr. Nullstellenberechnung (exakt und näherungsweise) Daraus erhält man die Dammbreite b 6,3 1,64 (m) Wendepunktberechnung: Berechnung der 3. Ableitung. f'' x 0 (exakt und näherungsweise) Kontrolle (Hinreichende Bedingung) für die rechte Wendestelle. Steigung an der Wendestelle: 87,1% b) Berechnen Sie das Volumen des Lärmschutzwalls. Querschnitt des Dammes: 6,3 6,3 6,3 0 A f x dx oder A f x dx 5,97 Volumen: 3 V A L 1985 (m ) Es ist geplant, den Wall auf 3 m Höhe abzutragen, um darauf einen Fahrweg anzulegen. Welche Breite hätte dieser Fahrweg? Manuelle Lösung: 10 fx 3 x 0 10 x 0 5 :5 und (x 0) 4 x 0 d. h. x 4 xs Die Breite des Fahrwegs ist also 4 m. Das abzutragende Material soll dazu verwendet werden, den abgeflachten Wall zu verlängern. Um wie viel Meter würde er länger? Berechnung des Volumens des abgetragenen Materials: Querschnittsfläche: A1 f x3dx oder A1 f x3dx,57 (CAS oder GTR). 0 3 Volumen: V A m Dieses Volumen verteilt sich auf die abgeflachte Querschnittsfläche Aus V A d folgt Ergebnis: V 184 d 54,9m A 3,40 Der Wall würde um 54,9 m länger. A 5,97,57 3,40 (m ) Demo für

24 7010 Abitur BW Analysis 61 0,5x Gegeben ist die Funktion f mit fx 10x e Lösung Aufgabe A 1.1. lhr Graph ist K. a) K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K. Manuelle Lösung Ableitungen (Produktregel) 0,5x 0,5x 0,5x f' x 10 e 10x e 0,5 5e x 0,5x 0,5x 0,5x 0,5x,5e x,5 e 4 x f'' x 5e 0,5 x 5e 1 0,5x 0,5x 0,5x 0,5x 1,5e 4x 1,5e 6 x f ''' x,5 e 0,5 4 x,5 e 1 Extrempunkte: Bedingung: 0,5x x 5e 0 x E f' x 0 1 y-koordinate: 0,5x, denn 5e 0 f 0e 7,36 Kontrolle: f'',5e 1 0 H 7, 36 Wendepunkte: Bedingung: 0,5x e 4 x f'' x 0,5 0 x W 4, denn y-koordinate: f 4 40e 5,41 0,5x,5 e 0 Kontrolle: f''' 4 1,5 e 0 W4 5, 41 Asymptote: Hinweis: GTR: lim f x 0 y 0 waagr. Asymptote. x CAS-Lösung: Da die Aufgabe lautet Geben Sie deren Koordinaten an, muss man sie nicht unbedingt berechnen. Vielmehr kann man sie auch aus einem GTR ablesen (graphische Lösung) Für den Graphen von f liest man ab: H 7,36 Zur Bestimmung des Wendepunkts muss man entweder die Nullstelle (Root) der Funktion f'' anzeigen lassen, oder man gibt f' ein, lässt den Graphen darstellen und dann den Extrempunkt anzeigen. Dessen x-koordinate ist die x-koordinate des Wendepunkts: x 4. Dazu muss man dann noch die y-koordinate berechnen. W Demo für

25 7010 Abitur BW Analysis 6 Mit CAS-Rechnern kann man eine komplette graphische Lösung erreichen: Graphische Lösung mit CASIO ClassPad II: Nach der Definition der Funktion f lässt man das Schaubild anzeigen, passt die Abmessungen des Fensters an und kann dann über das Analyse-Menü das Maximum und den Wendepunkt anzeigen lassen. Ergebnis: H 7,36 und W4 5,41 Statt der verlangten Skizze (die lediglich ein Übertragen der Grafikdarstellung des Rechners auf das Lösungsblatt bedeutet), zeige ich die Darstellung mit Mathegrafix: Die Gleichung der waagrechten Asymptote ist y 0 (x-achse). 0,5x 10xe Demo für f x

26 7010 Abitur BW Analysis 63 b) Für jedes u > 0 sind O(0 I 0), P(u I 0) und Q(u I f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. 1 Flächeninhaltsfunktion: Au u fu Bedingung: 1 CAS: A u10ue 5u e A u 8 0,5u 0,5u 0,5x 5u e 8 Lösung mit einem geeigneten Rechner: u,18 oder 5,8 Für welchen Wert von u ist das Dreieck OPQ gleichschenklig? Da das Dreieck in P einen rechten Winkel besitzt, können nur die Seiten OQ und PQ gleich lang werden. u f u u10ue u10ue 0 u 110e 0 0,5u 0,5u 0,5u Bedingung: Die Lösung u = 0 scheidet aus, weil dann das Dreieck zu einem Punkt entartet ist. Also folgt: 0,5u 1 10 e 0 : (Oder so: u 10u e 0,5u. Weil u = 0 keine brauchbare Lösung ist, muss u 0 sein. Daher kann man durch u dividieren und erhält: 110 e 0,5u ) Manuelle Lösung: 0,5u 0,5u 10e 1 e 0,1 Lösung mit CAS: 0,5u ln0,1 u ln 0,1 4,61 Ergebnis: Liegen P und Q bei u 4,61, dann ist das Dreieck gleichschenklig. c) Auf der x-achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion f den Mittelwert, besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls. WISSEN: Für den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall b 1 f(x) f xdx b a a3 Hier heißt diese Gleichung: f(x) fx 1 3 a a dx, Mit einem GTR oder CAS erhält man die Lösung a 5,50. z. B. CAS: TI Nspire:. Zeile: solve(ans=.,a) a;b gilt die Formel: Ich habe die Lösung für das Integral als Näherungszahl ( / ) ausgeben lassen. Demo für ans

27 7010 Abitur BW Analysis 64 Mit CASIO Classpad II: Nun muss man ein Intervall dazu angeben. Das erste Intervall beginnt be a1 0,86 und geht bis b1,14 Das zweite Intervall beginnt bei a 5,50 und geht bis b 8,50 Für die Aufgabe reicht eines der beiden Intervalle. : I1 0,86;,14 : I 5,50;8,50 Demo für

28 7010 Abitur BW Analysis 65 Lösung Aufgabe A Gegeben ist für jedes t > 0 eine Funktion f t durch f x x t x. Bestimmen Sie t so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von f t den Abstand 13 voneinander haben. Berechnung der Extrempunkte: Ableitungen: f'x x t und f''x t t t x Bedingung: f'x 0 x t 0 x t x t t 1, y-koordinaten: y f t t t t 1 t Kontrolle: f''t t t 0 Tt t 3. Da der Funktionsterm von f nur ungerade Exponenten enthält, ist der Graph von f t punktsymmetrisch 3 zum Ursprung. Daraus ergibt sich der Hochpunkt H t t 3 3. Und was die folgende Rechnung vereinfacht: Der Ursprung ist der Mittelpunkt der Strecke HT. Abstand Bedingung: Quadrieren: t t Rechner-Lösung: HT OT t t t t HT 13 t t 13 t t 9 4 Man erhält damit, dass dies für t,10 der Fall ist. (Die negative Lösung wird nicht gewünscht.) Graphische Lösung: Nullstellen der Hilfsfunktion h x x x berechnen: 9 4 Demo für

29 7010 Abitur BW Analysis 66 Lösung Aufgabe A.1 Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion f mit 4 f t t t ; 0 t 30 (t in Stunden nach Beobachtungsbeginn; f(t) in Fahrzeuge pro Stunde). Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. a) Skizzieren Sie den Graphen von f. Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal? Berechnung mit einem geeigneten Rechner: Der Hochpunkt ist also H Nach 10 Stunden ist also die Ankunftsrate am größten. Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen. Die Funktion f stellt die Ankunftsrate dar, also der momentane Zuwachs der Anzahlen. Die Anzahlfunktion ist also eine Stammfunktion von f: a t t 0 f x dx Für t = 6: 6 a 6 f x dx 770 Erg.: In den ersten 6 Stunden kommen also etwa 770 Fahrzeuge an. 0 b) Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch 110 Fahrzeuge pro Stunde begrenzt. Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen? Wann ist die Abfertigungsrate = 110? Erg.: Nach etwa,5 Stunden beginnt der Stau. f t 110 Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang? 1,85,54 f(t) 110 dt 34 (Rechner) Demo für

30 7010 Abitur BW Analysis 67 Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate 1 Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant 0 Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde? Dazu muss man nun berechnen, wann der Stau zu Ende ist, wann also f t 0 ist. Diese Gleichung hat als zweite Rechner-Lösung 15,9. Berechnung der Fahrzeuge im Stau: 1 15,9 f(t) 110 dt f(t) 0 dt 160,54 1 Ergebnis: Dann sind maximal etwa 1600 Fahrzeuge im Stau. Demo für

31 7010 Abitur BW Analysis 68 Für jedes a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch Der Graph von f a ist G a. Lösung Aufgabe A. a f x acos x a ; x. a) G a besitzt einen Extrempunkt. Bestimmen Sie dessen Koordinaten. 1. Lösung. Lösung Ableitungen: f ' x a sinx, f '' x a cosx Extremwertbedingung: a f ' x 0 asin x 0 a Die Nullstellen von sin x für das Intervall ; sind 0 und. In ist es nur die 0. y-koordinate: Ergebnis: E0 a a fa 0 acos 0 a aa Das Schaubild der Funktion f a entsteht aus y = cos(x) durch Streckung mit dem Faktor a in y-richtung und Verschiebung um -a in y-richtung. Der Extrempunkt der Kosinuskurve ist Kos Er geht durch die Streckung über in H Verschiebung über in H0 a -a. 1 H 0 1. S 0 a und durch die b) Durch welche Punkte der y-achse verläuft kein Graph G a? Schnittpunkt von G a mit der y-achse: Die Fragestellung bedeutet daher: f 0 a a. Welche Wertmenge hat diese Hilfsfunktion Das Schaubild dieser Kurve ist eine Halbparabel: Diese ist nach unten geöffnet. Scheitelberechnung: 1 Aus h' a 0 folgt h' a 1 a a mit S Also ist der Maximale h-wert 1 4 a a h a a a mit a > 0? h und für a ha. Das auf der y-achse liegende Intervall J, durch dessen Punkte also Kurven der Schar 1 gehen, ist J ; 4. 1 Daher gehen keine Kurven durch die Punkte P 0 y. 4 a y f x Demo für J

32 7010 Abitur BW Analysis Gegeben ist fx x 15 Lösung Aufgabe A 1 für -5 x 5 (x und f(x) in Meter). a) Wie tief ist der Laderaum in der Mitte? Wie breit ist er in 3 m Höhe? 1 4 Der Tiefpunkt ist O0 0, für die Randpunkte gilt Also hat der Kahn einen Laderaum von 5 m Tiefe. Die Breite in 3 m Höhe ist die Stelle x, für die gilt 1. Lösung (algebraisch): 1 15 x 3 x 375 x 375 4, ,. Lösung (graphisch): Man lässt den Graphen von f mit der Geraden y = 3 schneiden: 3. Lösung (CAS): Ergebnis: Die Breite in 3 m Höhe betrögt etwa 8,80 m. f f x 3 In welchem Bereich hat der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5%? Eine Neigung von 5% entspricht der Tangentensteigung m = 0, Ableitung: f' x x Bed.: f' x 0,05 x 0, x x 1,16 3 0, , Folgerung: Die Steigung ist kleiner als 5% für -1,16 < x < 1,16. Hier muss man die Symmetrie des Laderaums beachten. Für negative x muss gelten: Volumen des Laderaums. Querschnitt: f' x 0,05! A (5 x ) dx 5x x Volumen: V Querschnitt Länge 40 m 50m 000 m 3. Demo für 15

33 7010 Abitur BW Analysis 70 b) Zur Wartung steht der Lastkahn an Land auf einer ebenen Plattform. Dort wird er stabilisiert durch gerade Stützen, die orthogonal zur Außenwand des Laderaums angebracht sind. Betrachtet werden zwei einander gegenüberliegende Stützen, deren Befestigungspunkte im Modell durch die Punkte P1 4 f 4 und P 4 f 4 beschrieben werden. In welchem Abstand voneinander enden diese Stützen auf der Plattform? Die Stütze in P verläuft entlang der Normalen in P Tangentensteigung: f' Steigung der Normalen: m N f' Gleichung der Normalen in P4 15 y x Schnitt mit der x-achse: y 0 einsetzen: x 4 Algebraische Lösung: x x x 4 8,194 Die linke Stütze in P 1 beginnt bei x = - 8,194. Abstand der Enden der Stützen: 8,194 16,388 16,39 m 15. c) Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt 500 m³. Berechnen Sie die Breite der Zwischendecke. Querschnittsfläche des unteren Laderaums: 3 500m Q 10m 50m Andererseits kann man Q so berechnen: u Q f u f x dx u x dx 0 0 u u u (u x )dx 15 u x x 5 u u u u Gleichsetzen liefert: u 10 u u 3, Die Breite des Zwischendecks ist dann u, also etwa 7,58 m. Demo für

34 7010 Abitur BW Analysis 71 d) Untersuchen Sie, ob sich eine zylinderförmige Röhre mit Außendurchmesser 9,8 m so in Längsrichtung in den Laderaum legen lässt, dass sie ihn an der tiefsten Stelle berührt. Wenn der Durchmesser 9,8 m beträgt, dann hat der Radius 4,9 m. Man kann zuerst experimentell vorgehen und um den Röhrenmittelpunkt in der Zeichenebene einen Halbkreis mir Radius 4,9 einzeichnen. Dann erkennt man, dass dieser den Graphen von f z. B. bei u = schneidet. Dies beweist man nun. Dazu führt man eine Distanzfunktion ein: du MP u0 f(u 4,9) u ( u 4,9) Wie groß ist das Minimum von d? Dieses Minimum wird graphisch gesucht. Ich stelle die Distanzfunktion dar und erhalte für u 4,53 den minimalen Abstand zwischen M und der Wand Dies ist jedoch kleiner als der Röhrenradius. Ergebnis: Die Röhre lässt sich nicht in den Laderaum legen. d4,53 4,78. Demo für

35 7010 Abitur BW Analysis 7 Lösung Aufgabe A.1 Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 00 lässt sich durch zwei Funktionen modellhaft beschreiben. Die Funktion g mit 0,1 t g t t 1 e beschreibt die Geburtenrate und die Funktion s mit 0,09 t s t t6 e beschreibt die Sterberate der Population. (t in Jahren seit Beginn des Jahres 1960, g(t) und s(t) in Individuen pro Jahr). a) Bestimmen Sie die geringste Sterberate. Gegeben ist die Sterberate-Funktion 0,09 t s t t 6 e Gesucht ist ihr Maximum. 1. Algebraische Lösung s' t 0t 6e 10t6 e 0, 09 (Produktregel) 0,09 t Vereinfachen durch Ausklammern von 10 t 6 e. 0,09t s' t 10t6e 0,09 t6 Bedingung für Extremwerte: s' t 0 0,09t 10 t 6e 0,09 t 6 0 Es liegt ein Nullprodukt vor. Dieses wird Null wenn (1) t6 0 t1 6 () 0,09 t 6 0 0,09 t 6 t 6 0,09 t 8,33 Dass für t = 6 ein Minimum vorliegt, dass also s'' 6 0 ist, ist rechnerisch sehr aufwändig. Hier könnte man die Grafik aus dem Rechner als Beweis verwenden.. Graphische Lösung (GTR CASIO fx CG 0) Für solche Rechner wurde die Aufgabe konzipiert. Die geringste Sterberate wird erreicht für t = 6 und beträgt s Individuen pro Jahr. Das Maximum erreicht man nach t = 8, und beträgt 989 Individuen pro Jahr. In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten? Differenzfunktion dt gt st = Y3: Graphische Darstellung: Erg.: Für t 15,1 erhält man das Maximum. Das führt zum Jahr Demo für

36 7010 Abitur BW Analysis 73 Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat. Die Population nimmt zu, wenn die Geburtenrate größer als die Sterberate ist, also wenn die Differenzfunktion positive Werte annimmt. Dazu richtet man das Window zur Darstellung der Differenzfunktion so ein, dass man beide Nullstellen erkennt. Diese lässt man durch den Befehl ROOT ermitteln. Ergebnis: Für 3, t 35,3 ist d(t) > 0. Das führt auf die Jahre 1063 bis 005. b) Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus Individuen. Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 017. Wissen: Die Rate ist die Ableitungsfunktion der Populationsfunktion, oder umgekehrt: Die Populationsfunktion ist eine Stammfunktion der Ratenfunktion. Die Ratenfunktion ist dt gt st Populationsfunktion:, daraus folgt für die 57 0 (g(t) s(t))dt Lösung mit GTR Man definiert eine Integralfunktion als Y3 und lässt ihen Graphen anzeigen. Dazu benötigt man ein geeignetes Fenster. Mittels GSolve und YCall gibt man X = 57 ein. Das Ergebnis ist dann Y Demo für

37 7010 Abitur BW Analysis 74 In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960? Damit sie nach u Jahren wieder den Bestand von 1960 erreicht, muss gelten: Dazu bestimmt man mit einem GTR die Nullstelle der Integralfunktion Y3: Nach der nicht brauchbaren Nullstelle X = 0 erhält man die gesuchte Nullstelle t 6,87. Ergebnis: Im Jahr 1966 erreicht die Population erstmals wieder den Wert von Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. u 0 (g(t) s(t))dt 0 Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand 0,8 m groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe 0,5 m und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit 0,15 m pro Jahr. c) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in WISSEN: Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Die Größenfunktion f gehorcht beim beschränkten Wachstum der Differenzialgleichung Für die Lösung f t gilt der Ansatz: Der Aufgabe entnimmt man die Schranke f' t k S f t (*) kt f t Sa e S = 0,8 (m) den Startwert f0 0,5 m mit m f' 0 0,15 Jahr. Für t = 0 folgt damit aus (*): 0,5 t Damit lautet die Größenfunktion: f t 0,80,3 e 0,15 k 0,8 0,5 0,3 k 0,15 k 0,5. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen? Die neue Körpergröße ist dann f t f 0 1, 5 0, 5 1, 5 0, 75 m d. h. 0,5 t 0,8 0,3 e 0,75. 0,5t 0,5t 0, ,3 e 0,05 e 0, ,5 t ln ln 6 t ln 3,58 Man kann die Gleichung auch graphisch lösen: Erg.: Nach 3,6 Jahren hat die Größe um 50% zugenommen. 6 Demo für

38 7010 Abitur BW Analysis 75 Lösung Aufgabe A. Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt O0 0 und die Funktion f mit fx 4 x 1. Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von Kreisradius. Gegeben ist fx 4 x 1. Man erkennt, dass es für den Radius einen kleinsten Wert gibt, dazu gehören dann zwei Berührpunkte. Vergrößert man den Radius, schneiden sich Kreis und Graph von f viermal. Wenn der Kreis den Graphen im Hochpunkt berührt (r = 4), sind noch 3 gemeinsame Punkte vorhanden. Wenn der Kreisradius größer als 4 ist, dann gibt es zwei Schnittpunkte. Man muss also lediglich den Radius herausfinden, der den kleinstmöglichen Abstand des Kreis- Pu fu Mittelpunktes O0 0 von einem Punkt des Graphen von f darstellt. Definition einer Abstandsfunktion: du MP u fu u 16 u 1 Gesucht ist das Minimum für diese Funktion. Lösung (graphisch mit GRT) Ergebnis:. Minimumanzeige: r gemeinsame Punkte r 1,94 0 r 1,94 1, 94 r 4 4 r 4 3 r 4 Demo für