Mathematik Klassenarbeit Nr. 3. Die Ableitungsfunktion, Eigenschaften und Anwendungen

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1 0. Für Pflict- und Walteil gilt: saubere und übersictlice Darstellung, klar ersictlice Recenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeicnungen mit spitzem Bleistift bringen dir bis zu 3 Punkte. /3 1. Erkläre den Begriff Differenzenquotient kurz aber präzise. /2 2. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x + sin (x). Bestimme die Steigung der Tangente im Punkt P(π/f(π)). /3 3. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x + 1. Bestimme mit Hilfe des Differenzenquotienten die Gleicung der Ableitungsfunktion. /4 bitte wenden!

2 4. Unter den folgenden Abbildungen A bis D befinden sic das Scaubild einer Funktion f und das Scaubild irer Ableitung f. Erkläre kurz, welce beiden Abbildungen diese beiden Scaubilder zeigen. /4 A B C D Sobald du den abgegeben ast, kannst du deinen grafikfäigen Tascenrecner (GTR) für die Bearbeitung des Walteils verwenden.

3 Walteil Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. 5. Gegeben sind die Punkte A( 5 / 4), B / 0, C / 0, D(0 / 4) und E /. Bestimme mit dem GTR eine Funktion f, so dass die gegebenen Punkte möglicst na bei dem Scaubild von f liegen und notiere die Zuordnungsvorscrift. Erläutere kurz deine Überlegungen. /4 6. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x 4x 3x + 18). a) Zeicne das Scaubild von f für x-werte aus dem Bereic [-4; 4]. b) Bestimme die Gleicung der Normalen im Punkt P(2/f(2)). Zeicne anscließend diese Normale in das Koordinatensystem von Aufgabe a). c) Bestimme alle Stellen auf zwei Dezimalen genau, an denen der Steigungswinkel der Tangente an das Scaubild von f 30 beträgt. Trage an allen gefundenen Stellen die Tangente in das Koordinatensystem ein. d) Warum kann es für Teilaufgabe c) maximal zwei Lösungen geben? /10 Joker: Begründe anand einer Skizze, dass für die Steigungen m tan und m norm einer (nict orizontalen) Tangente und der zugeörigen Normalen stets gilt: m m = 1. /2 Notensclüssel siee Erwartungsorizont siee Viel Erfolg! ttp:// Scule Notengebung ttp:// von 30 Rückgabe am 29. April 2010 Note: mündlic: Aritmetisces Mittel:

4 0. Für Pflict- und Walteil gilt: saubere und übersictlice Darstellung, klar ersictlice Recenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeicnungen mit spitzem Bleistift bringen dir bis zu 3 Punkte. 3/3 1. Erkläre den Begriff Differenzenquotient kurz aber präzise. 2/2 Sind A(a/f(a)) und B(b/f(b)) zwei untersciedlice Wertepaare einer Funktion f, so eißt der Term ( ) ( ) Differenzenquotient von f im Intervall [ a; b ]. 2. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x + sin (x). Bestimme die Steigung der Tangente im Punkt P(π/f(π)). 3/3 Zunäcst muss die Ableitungsfunktion f (x) bestimmt werden: f (x) = 1 + cos (x). Die Steigung der Tangente entsprict dem Wert der Ableitung an der Stelle π: f (π) = 1 + cos(π) = 1 + ( 1) = 0 3. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x + 1. Bestimme mit Hilfe des Differenzenquotienten die Gleicung der Ableitungsfunktion. Steigung der Sekante: m = ( ) ( ) 4/4 = 2 3 (x + ) x + 1 = 2 3 (x + 3x + 3x + ) x = 3 x + 2x + 2x x 1 = 2x + 2x = 2x + 2x f (x) = lim (m ) = 2x bitte wenden!

5 4. Unter den folgenden Abbildungen A bis D befinden sic das Scaubild einer Funktion f und das Scaubild irer Ableitung f. Erkläre kurz, welce beiden Abbildungen diese beiden Scaubilder zeigen. 4/4 A B C D Sobald du den abgegeben ast, kannst du deinen grafikfäigen Tascenrecner (GTR) für die Bearbeitung des Walteils verwenden. Die Scaubilder B und C geören zu ganzrationalen Funktionen dritten Grades, desalb könnte D eine Ableitung dazu sein. Allerdings befinden sic an den Extremstellen von B und C nict die passenden Vorzeicenwecsel von D. Daer muss B oder C das Scaubild der Ableitung von A zeigen. Die steilste Stelle von A at nict eine Steigung von ca. 4 (wie C), desalb muss B die Ableitung von A darstellen.

6 Walteil Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. 5. Gegeben sind die Punkte A( 5 / 4), B / 0, C / 0, D(0 / 4) und E /. Gibt man die x-koordinaten der gegebenen Punkte z.b. in Liste L1 und die y-koordinaten z.b. in Liste L2 ein, kann man mit [STATPLOT] die Punkte ausgeben. Aufgrund der Lage der Punkte kann man merere Regressionen versucen. Beispielsweise: Rg_sin liefert f(x) 3,20 sin(0,97x + 1,38) + 1,52 Rg_x 3 liefert f(x) 0,16x 0,49x + 1,84x + 4,23 mit R = 0,94 Rg_x 4 liefert f(x) 0,044x + 0,016x 1,06x 0,19x + 4 mit R = 1 Die letzte Regression liefert wegen R² = 1 optimale Werte. 4/4 6. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x 4x 3x + 18). a) Scaubild siee unten, ergänzt um Normale aus b) und Tangenten aus c). b) Für die Gleicung der Normale benötigt man einen Punkt und die Steigung dort. Für die y-koordinate von P gilt: y = f(2) =. Für die Steigung der Normale gilt: m = = = = ( ), In die allgemeine Geradengleicung y = m x + c eingesetzt ergibt sic: = 2 + c, also c =, damit gilt für die Normale: y = x c) Hier muss die Ableitung den Wert tan(30 ) 0,5774 aben. Es gilt f (x) = (3x 8x 3). Der GTR liefert für den Ansatz (3x 8x 3) 0,8660 etwa x 3,50 und x 0,84. d) Teilaufgabe c) kann maximal zwei Lösungen aben, da eine ganzrationale Funktion dritten Grades als Ableitung eine quadratisce Funktion at. Wenn diese einen bestimmten Wert annemen soll, kann das wegen der Parabelform des Scaubilds nur an maximal zwei Stellen gesceen. 10/10

7 Joker: Begründe anand einer Skizze, dass für die Steigungen m tan und m norm einer (nict orizontalen) Tangente und der zugeörigen Normalen stets gilt: m m = 1. Die Begründung erfolgt für zwei zueinander senkrecte Geraden g1 und g2:

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