Musterlösung Übung 1

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1 Allgemeine Cemie PC) Musterlösung Übung HS 07 Musterlösung Übung Aufgabe : Molmasse von Sauerstoff Da die Summe der natürlicen Häufigkeiten aller stabilen Isotope Σ i i = sein muss, ist die Häufigkeit des unbekannten Isotops x O Für die Masse m x von x O gilt x = 6 7 = 0.056)% d ))..) m x = m 6m 6 7 m = 8.005) u..) Somit andelt es sic beim unbekannten dritten Isotop um 8 O. Die exakte Masse von 8 O beträgt m 8 = ) u. Hinweis: Betractet man eine allgemeine Funktion z = fx, x,..., x n ),.3) deren Argumente/Variablen x, x,..., x n experimentell bestimmte Grössen natürlice Häufigkeiten, Molmassen) mit den Mittelwerten x, x,..., x n und den Unsicereiten s, s,..., s n darstellen, kann die Unsicereit s z der berecenbaren Grösse z über die Gauss sce Felerfortpflanzung aus Funktion.3) berecnet werden. Sind die Grössen x, x,..., x n statistisc unabängig, gilt für die Unsicereit s z n ) f s z = s i. x i i= x j i x, x,..., x n) In Gleicung.) sind alle beteiligten Grössen 6, m 6, 7, m 7, m) mit einer Unsicereit beaftet, die sic auf die Unsicereit der Grösse m x auswirkt. Die Unsicereit einer Grösse x sei durc das Symbol s x dargestellt. Die Unsicereit s mx von m x kann durc ) ) ) ) ) s mx m x = s mx m s mx m 6 s mx m 6 m 6 s mx 6 7 s m 7 m 7 7 ) = s m m 6 m ) 6m 6 7 m 7 s 6 {{ 7 {{ ) {{ {{ ) 6 6 {{ u s m {{ u ) 7 s m 6 7 = u {{ 7 {{ u u ) m 7 m 6m 6 7 m ) {{ 3685 u s 7 {{ berecnet werden. Die Masse des dritten natürlic vorkommenden Sauerstoffisotops 8 O beträgt daer auf die signifikanten Stellen bescränkt 8.005) u..4) Seite von 5

2 Allgemeine Cemie PC) Musterlösung Übung HS 07 Aufgabe : Dreimpuls und Kräfte Es werden die folgenden Näerungen getroffen: Die Sonne und der Saturn werden als Punktteilcen betractet. Da die Masse der Sonne m S ) um Grössenordnungen grösser ist als die Masse des Saturns m Sat ), wird angenommen, dass die Sonne stationär im Zentrum der Kreisban ist, welce durc die Bewegung des Saturns um die Sonne bescrieben wird. a) Um den Abstand zwiscen Sonne und Saturn Banradius r) zu berecnen, kann man die Tatsace nutzen, dass die Gravitationskraft zwiscen Saturn und Sonne der Zentripetalkraft entsprict, welce den Saturn auf der Umlaufban ält. Die Zentripetalkraft ist die der Zentrifugalkraft entgegengesetzte Kraft, die ein Objekt auf eine Kreisban zwingt.) Es gilt F G = G m Sm Sat = m Satv r r = F ZP,.) wobei G = ) 0 m 3 kg s der Gravitationskonstante und v der Umlaufgescwindigkeit des Saturns entsprecen. Die Umlaufgescwindigkeit ängt wiederum mit der Umlaufzeit τ = 0759 d = s und dem Banradius zusammen: Man erält somit für den Banradius b) Der Dreimpuls, eine vektorielle Grösse, beträgt v = πr τ..) r = 3 ms Gτ 4π =.47 0 m..3) L = r p,.4) wobei p der Impulsvektor des Saturns auf der Kreisban ist. Dieser Impulsvektor stet immer senkrect auf dem Ortsvektor r des Saturns, wenn das Zentrum der Kreisban im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Da die Sonne stationär ist, ist der Dreimpuls des Systems Saturn Sonne nur der Dreimpuls, der aus der Saturnbewegung resultiert. Der Dreimpuls des Systems beträgt L π ) = r p sin = r m Sat v = πm Satr {{ τ = Die SI-Eineit des Dreimpulses ist J s = kg m s. = J s..5) Aufgabe 3: Ideales Gasgesetz a) Die Datenpunkte sind in Abbildung 3- aufgetragen. b) Mit Hilfe der idealen Gasgleicung pv m = RT 3.) Seite von 5

3 Allgemeine Cemie PC) Musterlösung Übung HS p - / 0-6 Pa V m / 0-3 m 3 mol - Abbildung 3-: Auftragung von p vs. V m einer Gasprobe molekularen Stickstoffs. Eine lineare Regressionsanalyse liefert eine Steigung von 8.49) 0 4 mol m 3 Pa. kann ein linearer Zusammenang zwiscen dem Molvolumen V m und dem reziproken Druck p gefunden werden: p = RT V m, 3.) wobei R = ) J mol K der Gaskonstanten und T der Temperatur der Gasprobe entsprecen. Die aufgetragenen Datenpunkte sollten also auf einer Geraden liegen, deren Steigung RT ) entsprict. Das Ergebnis einer linearen Regression one Acsenabscnitt p V m = 0) = 0) ist in Abbildung 3- gezeigt. Damit erält man T = mol m 3 Pa R = 46 K. 3.3) c) Bei kleinen Volumen bzw. oen Drücken) erkennt man eine klare Abweicung vom linearen Veralten. Dies at damit zu tun, dass sic das Gas bei oen Drücken nict mer ideal verält, d.., dass die Wecselwirkungen zwiscen den einzelnen Stickstoffmolekülen nict mer vernaclässigt werden können. d) Das Molvolumen bei einer gegebenen Temperatur T und einem gegebenen Druck p lässt sic gemäss V m = V n = RT p 3.4) berecnen. Dabei ist zu beacten, dass für die ideale Gasgleicung im speziellen und für fast alle Gleicungen in der Pysik und Cemie im allgemeinen) die Temperaturen θ in C in absolute Temperaturen T in K umgerecnet werden müssen: T K = θ ) C Seite 3 von 5

4 Allgemeine Cemie PC) Musterlösung Übung HS 07 Somit ist für θ = C die absolute Temperatur T = 95.5 K. Die SI-Eineit des Druckes ist Pa Pascal). Eine Atmospäre atm) entsprict einem Druck von 0 35 Pa. Damit ergibt sic ein Molvolumen von N bei einer Temperatur von 95.5 K und einem Druck von 97 7 Pa von V m = RT p = J mol K 95.5 K = kg m s mol K K 97 7 Pa kg m s = m 3 mol = 5.3 L mol. 3.6) Aufgabe 4: Potentielle Energie a) Die Funktion V x) = b exp { ax) 4.) mit a = m und b = 0.75 J ist in Abbildung 4- dargestellt. Vx) / J x / m Abbildung 4-: Änderung der potentiellen Energie beim Bewegen des Objektes von x A = 0 m nac x E = gepunktete Kurve) respektive von x A = 0.5 m nac x E = 0.5 m gestricelte Kurve). b) Die Kraft, die auf ein Objekt wirkt, entsprict der negativen Ableitung seiner potentiellen Energie. Für negative x-werte ist die Ableitung der potentiellen Energie für dieses Problem ebenfalls negativ siee Abbildung 4-) und die Kraft zeigt in positiver x-rictung. Für positive x-werte ist die Ableitung der potentiellen Energie positiv und die Kraft zeigt in negativer x-rictung: dv x) F x) = dx = d b exp { ax) ) dx = ba exp { ax) exp { ax. 4.) Mit Hilfe von Gleicung 4.) erält man für die Kraft F x) an den Stellen x A = 0.5 m, x B = 0 m, x C = 0.5 m und x D = F x A ) = 4.0 N, F x B ) = 0 N, F x C ) = N und F x D ) = 0 N. 4.3a) 4.3b) 4.3c) 4.3d) Seite 4 von 5

5 Allgemeine Cemie PC) Musterlösung Übung HS 07 c) Da die kinetisce Energie des Objektes sowol am Anfang als auc am Scluss der Bewegung null ist und Reibungseffekte vernaclässigt werden, entsprict die Änderung der potentiellen Energie des Objektes, wenn es von x A nac x E verscoben wird, der Arbeit, die von aussen am Objekt geleistet werden muss. Nac Gleicung 4.) erält man V x E = ) V x A = 0 m) = b =0 = {{{{ exp { ax E ) b exp { ax A ) = b = 0.75 J, 4.4a) V x E = 0.5 m) V x A = 0.5 m) = b exp { ax E ) b exp { ax A ) Diese Ergebnisse sind in Abbildung 4- verdeutlict. = b ) =.55b =.9 J. 4.4b) Seite 5 von 5