C(5 1) 1 Ballmaschine Netzhöhe 0,91 m Netz Spieler

Transkript

1 Aufträge Modellieren mitilfe der Ableitung. Modellieren mit Parabeln Auftrag Tennis Ein Spieler stet beim Training 5 m inter dem Netz. Er muss einscätzen, ob er den von einer Ballmascine gescossenen Ball Volle annimmt oder ob er in besser über die Grundlinie inaus ins Aus fliegen lässt. Hier können Sie einmal nacvollzieen, welce Berecnungen das mensclice Geirn bei der Erfüllung dieser Aufgabe durczufüren ätte: a 5,7 ; Steigung: tana) = 0, E 0 0,5) C5 ) Ballmascine Netzöe 0,9 m Netz Spieler / w w w50- Die dargestellte Flugban ist eine Parabel mit der Gleicung f ) = a + b + c. Entnemen Sie der Darstellung Bedingungen, sodass Sie a, b und c berecnen können. Weisen Sie nac, dass diese Bedingungen auf das folgende Gleicungssstem s. Seite 8/9) füren: I c 0 b + 00 a = 0,5 II c + 5 b + 5 a = III b + 0 a = 0, Lösen Sie dieses Gleicungssstem und bestimmen Sie die Parabel. Das Spielfeld beim Tennis ist,89 m lang. Prüfen Sie, ob der Ball ins Aus fliegen wird. Geben Sie auc an, unter welcem Winkel die Ballmascine den Ball abgescossen at, welce maimale Höe der Ball erreicte und wie oc er über dem Netz war.,89 m 50/ 6,0 m 8, m 0,97 m Auftrag Brücke Der Brückenbogen in Bild 50/ ist Teil einer Parabel mit der zugeörigen Gleicung f ) = a + b + c. Der Bogen verläuft durc die Punkte A 0 0) und C 9,95). In C liegt die Straße auf dem Bogen auf. Sie at eine Steigung von 0 %. Bestimmen Sie die Gleicung der Parabel aus diesen Bedingungen. Berecnen Sie dann die Spannweite der Brücke, die Länge des Straßenstücks und die Höen der Stützen links und rects. C9,95) A0 0) 50 50/

2 . Modellieren mit Parabeln Aufträge Auftrag Eisenban Nac dem Start im Banof bescleunigt ein Zug Minuten lang so, dass er eine Gescwindigkeit von 60 km erreict. Diese Gescwindigkeit beält der Zug Minuten lang konstant bei. Nac insgesamt 5 Minuten kommt er an die Stadtgrenze. Nun bescleunigt er in Minuten bis auf 0 km, um dann mit dieser konstanten Gescwindigkeit weiterzufaren. 6 km vom Banof entfernt überquert der Zug einen Fluss. Berecnen Sie, wie viele Minuten der Zug bis zu dieser Brücke brauct. km 0 k g f min / inweis Der Zug verält sic nict ganz realistisc: Es wird z. B. jeweils von einer gleicförmigen Bescleunigung ausgegangen. Hinweise: In den beiden Bescleunigungspasen ist das Weg-Zeitdiagramm parabelförmig. Weisen Sie nac, dass die Funktionen f, g, k folgende Funktionsgleicungen erfüllen: f ) = _ ; g ) = ; k ) = 8. Die Funktionsgleicung von at die allgemeine Form ) = a + b + c. Ermitteln Sie, welce Bedingungen erfüllen muss. Mitilfe dieser Bedingungen können Sie für nun drei Gleicungen für die drei unbekannten Parameter a, b, c angeben. Lösen Sie das Gleicungssstem s. S. 8/9) und bestimmen Sie die Funktionsgleicung von. Auftrag Rampe Betracten Sie folgende einface Modellsituation: Ein kleiner Erdwall wird im Profil bescrieben durc die Funktion f mit f ) = 5 +. An der Stelle = 5 soll tangential, also one Knick, ein Brett als Rampe angelegt werden. B A / Bestimmen Sie Steigungswinkel und Länge des Brettes. Beacten Sie dazu u. a. den Zusammenang zwiscen Tangens und Steigung. Anstelle eines geraden Brettes soll nun eine gebogene Rampe benutzt werden. Diese Rampe soll derart geformt sein, dass Sie zusätzlic zu B auc am Boden one Knick anscließt. Die Form der Rampe entsprict dem Grapen einer Parabel p mit p ) = a + b + c für 5 < < 0. Berecnen Sie, wo diese Rampe auf den Boden trifft. Auftrag wird bei der Erarbeitung verwendet. 5

3 Erarbeitung Modellieren mitilfe der Ableitung Bestimmen von Parabelgleicungen Bei vielen praktiscen Problemen sind die Ramenbedingungen bekannt, die eine Parabel erfüllen soll. Anand dieser Ramenbedingungen muss dann die Gleicung bestimmt werden, die zu der Parabel geört. Satz.0 Eine Parabel at die allgemeine Gleicung f ) = a + b + c. Ist die Funktionsvorscrift nict gegeben, müssen die Parameter a, b und c mitilfe von drei geeigneten Bedingungen bestimmt werden: Geeignet sind Bedingungen für Punkte, die auf der Parabel liegen; Steigungen der Parabel in bestimmten Punkten. Mindestens eine der drei Bedingungen muss eine Punktangabe sein. Beispiel In Auftrag sind die Punkte E 0 0,5) und C 5 ) auf der Parabel sowie die Steigung der Tangente an die Parabel im Punkt C gegeben. Somit lauten drei Bedingungen für die gesucte Parabel: I f 0) = 0,5 An der Stelle = 0 at die Funktion den Wert 0,5. II f 5) = An der Stelle = 5 at die Funktion den Wert. III f ' 5) = 0, An der Stelle = 5 beträgt die Steigung der Funktion 0,. Die Gleicungen I und II können in die allgemeine Funktionsgleicung f ) = a + b + c eingesetzt werden. Um die Gleicung III nutzen zu können, muss zuvor die allgemeine Funktion abgeleitet werden: f ') = a + b Die Parameter a, b und c werden dabei als Konstanten beandelt. Nun können die Bedingungen eingesetzt werden: I f 0) = a 0 + b 0 + c = 0,5 also 00 a + 0 b + c = 0,5 II f 5) = a 5 + b 5 + c =, also 5 a + 5 b + c = III f '5) = a 5 + b = 0, also 0 a + b = 0,5 In die Funktionsgleicung wird für der Wert 0 eingesetzt und der Term gleic 0,5 gesetzt. In die Funktionsgleicung wird für der Wert 5 eingesetzt und der Term gleic gesetzt. In die Funktionsgleicung der Ableitung wird für der Wert 5 eingesetzt und der Term gleic 0, gesetzt. 5 Die drei Bedingungen füren auf ein lineares Gleicungssstem LGS) mit drei Gleicungen für drei Unbekannte. I c 0 b + 00 a = 0,5 II c + 5 b + 5 a = III b + 0 a = 0, ) I' c 0 b + 00 a = 0,5 II' 5 b 75 a = 0,5 III' b + 0 a = 0, 5) I'' c 0 b + 00 a = 0,5 II'' 5 b 75 a = 0,5 III'' 5 a = III'' ergibt a = Die Gleicung der Parabel lautet folglic: f ) = Das LGS wird durc Additionsverfaren siee Gauß scer Algoritmus auf S. 8 f) zuerst auf Dreiecksform gebract. Dabei sollten Sie die Spalten günstig anordnen. In diesem Fall lässt sic c am leictesten eliminieren, desalb kommt c in die erste Spalte. einsetzen in I'' ergibt c = 8. 8.

4 . Modellieren mit Parabeln Erarbeitung Satz. Lineares Gleicungssstem lösen Durc Einsetzen der Punktkoordinaten bzw. der Steigungen erält man ein lineares Gleicungssstem mit drei Gleicungen und den drei Variablen a, b und c. Dieses kann mit dem Gauß scen Algoritmus auf Dreiecksform gebract und dann durc sukzessives Einsetzen gelöst werden. Tpisce Fragestellungen beim Modellieren mit Parabeln tipp Das Verfaren des Gauß scen Algoritmus wird auf den Seiten 8/9 anand von Beispielen ausfürlic erläutert. Nullstellen Wo scneidet die Parabel die -Acse? Ballmascine E 0 0,5) C5 ) Bei Auftrag Flugweite des Balles : Netz Spieler / = 0 Term gleic 0 setzen _ 575 = 0 Durc Äquivalenzumformungen in die Form + p + q bringen. = 5_ ,6 = 5_ ,8 Die recte Nullstelle ist kleiner als,89. Der Spieler muss diesen Ball folglic annemen. Er wäre nict im Aus. Steigungswinkel Häufig wird nac dem Abwurfwinkel, der Steigung in einem Punkt etc. gefragt. Bei Auftrag z. B. Auf welcen Winkel ist die Ballmascine eingestellt : f ') = 5 Die erste Ableitung bestimmen. 90 f ' 0) = = _ -Wert des Punktes E 0 6 0,5) einsetzen Wegen m = tan a) ist a = tan _ 6 ) = 9,6. und Steigung m berecnen. Sceitelpunkt Wo ist der öcste bzw. der niedrigste Punkt? Der Sceitelpunkt lässt sic mitilfe der quadratiscen Ergänzung berecnen. Einfacer ist die Überlegung, dass er der einzige Punkt der Parabel mit waagerecter Tangente ist. Also gilt ier immer: f ') = 0! Bei Auftrag ergäbe sic z. B. folgendes: f ') = 0 Voraussetzung inscreiben. 5 = 0 Ableitung einsetzen 90 = 5_ Nac umformen und kürzen. 8 f 5_ 8 ) = =,85 Gefundenen -Wert in die Funktionsgleicung einsetzen. An der öcsten Stelle ist der Ball ca.,8 m oc. Andere Verfaren zum Lösen des linearen Gleicungssstems Natürlic lässt sic das LGS auc mit dem Einsetzungsverfaren oder sogar mit mancem Tascenrecner lösen. Jedoc sollten Sie auf jeden Fall das Gauß-Verfaren beerrscen. Denn in Sonderfällen keine eindeutige Lösung oder gar keine Lösung) versagt der Tascenrecner, und das Einsetzungsverfaren ist in diesen Sonderfällen unübersictlic. Hinweis Für den Tangens gilt: Gegenkatete von a = tan a). Ankatete von a 0 A a Ankatete B a Gegenkatete So wird auc die Steigung m einer Geraden berecnet. Steigungswinkel a der Geraden berecnen:. m = tan a) bestimmen.. Umkerung des Tangens anwenden: arctan oder tan. Tipp In Aufgabe finden Sie ein Beispiel für solce Sonderfälle. 5

5 Erarbeitung Modellieren mitilfe der Ableitung Tangenten an Parabeln Bestimmung der Tangente g ) = m + b in einem Punkt B 0 0 ) einer Parabel mit Funktionsterm f ). Ansatz mitilfe der Ableitung: m = f ' 0 ) und B liegt auf der Tangente. Beispiel Tangente durc Punkt auf der Parabel) Gegeben ist eine Parabel mit f ) = Gesuct ist die Gleicung der Tangente t ) = m + b durc den Punkt P 6) auf der Parabel: f ' ) = + m = + = 7 *). Ableitung bestimmen. Ableitung an der Stelle entsprict der Steigung in P. 6 = 7 + b = b **) Der Punkt P 6) liegt sowol auf der Parabel als auc auf der Tangente t. Einsetzen und nac b umformen. Die Gleicung der Tangente t lautet mit *) und **): t ) = 7. Hinweis Das Beispiel stellt einen kompleeren Gedankengang eemplarisc dar, der allerdings über die Standardanforderungen inausget. Beispiel Tangente von Punkt außeralb an die Parabel) Die Funktionsgleicung einer parabelförmigen Brücke Straßenstück ist bereits bestimmt: P f ) = _ + 8_ + 0 Maßstab : 0). Das Straßenstück vom Punkt P 5,7) an der Spitze des kleineren Pfeilers zum Berürpunkt B 0 0 ) ist Teil der Tangente an die Parabel. Die zugeörige Geradengleicung lautet allgemein: g ) = m + b. Die Steigung m und der Acsenabscnitt b sollen ermittelt werden. Im gemeinsamen Berürpunkt B muss die Gerade g dieselbe Steigung wie die Parabel aben. Demnac gilt: f 0 ) = g 0 ) und m = f ' 0 ). Dies fürt zu den folgenden Gleicungen: 0 = _ + _ m = _ 0 + 8_ *) 5,7 = m ) + b b = m + 5,7 b = _ 0 + 8_ + 5,7 **) Punkt B 0 0 ) liegt auf der Parabel. Ableitung an der Stelle 0 entsprict der Steigung in B. Die Koordinaten des Punktes P 5,7) in die Geradengleicung g ) = m + b einsetzen und nac b umformen. m aus *) einsetzen. In die Geradengleicung 0 = m 0 + b wird nun eingesetzt und 0 bestimmt: 0 = m 0 + b _ + 8_ = _ _ ) 0 + _ 0 = _ 0 + _ 0 + _ 5,7 Lösungen: 0,9 bzw. 0,9. kleinerer Pfeiler 57 m) 5/ _ + 5,7 ) B Spannweite größerer Pfeiler m 7,89 bzw. m 0,. b,59 bzw. b 5,8 g ) = 0, + 5,8 In *) und **) eingesetzt ergeben sic m und b. Wie aus der Abbildung ersictlic ist, kommen nur die Lösungen m 0, und b 5,8 in Frage. Also at das Straßenstück eine Steigung von ca. %. Bestimmung der Gleicung der Tangente 5

6 . Modellieren mit Parabeln Aufgaben Aufgaben Trainieren Anwenden Vernetzen Lösen Sie jeweils in Gleicungs- und in Matriscreibweise. a) z = + + z = d) z z =,9,, 0,7,78 b) + z = e) Auc Nullen verlangen nac Ordnung + z = 5 z = 8 0 5,5 0 9 c) + 5 z = 9 z = 9 f) Eins ist Trumpf z 7 z = 7 Entsceiden Sie sic zuerst für eine gescickte Anordnung der Spalten und lösen Sie dann mitilfe des Gauß-Verfarens. Überprüfen Sie, falls möglic, mit Irem GTR oder CAS. a) + 7 z = 9 c) a b + c = 5 + z = 8 a + b 5 c = 5,5 + z = 6 a + 5 b 8 c = 0 b) + 5 z = 8 d) z = z = 7 + z = z = z = 7 Eine Parabel get durc die Punkte A ), B 0), C 5 ) a) Bestimmen Sie ire Gleicung. b) Berecnen Sie die Steigung in irem -Acsenscnittpunkt. c) Füren Sie a) und b) für A 9), B ), C,5) durc. Bestimmen Sie die Gleicung der Parabel a) die durc A ) und B 0) verläuft und die die -Acse mit der Steigung 6 scneidet. b) die durc R 9) und T 0 5) verläuft und in R die Steigung 6 at. 5 Bestimmen Sie die allgemeine Form und die Sceitelpunktform der Parabel a) welce durc A 5) und B 5) verläuft und in A die Steigung at. b) welce durc P 9) verläuft, in P die Steigung,5 und in Q 0,5 ) die Steigung at. c) welce in P 5) eine waagerecte Tangente at und durc A 7) verläuft. Lösen Sie diese Aufgabe einmal mit der Metode dieses Kapitels und einmal mitilfe der Sceitelpunktform. Vergleicen Sie den Aufwand. d) deren Normale in A 9) die Steigung _ at und die bei = ein Maimum at. 8 e) Wesalb ist eine Parabel durc drei Steigungsangaben nict eindeutig festgelegt? 6 Stellen Sie die Gleicungen der folgenden Parabeln in der allgemeinen Form auf: a) Die Nullstellen sind,5 und 7,5. Ir Sceitelpunkt at den -Wert. b) Der Sceitel liegt im Ursprung. An der Stelle,5 beträgt ire Steigung 6. 55

7 Aufgaben Modellieren mitilfe der Ableitung 7 Bestimmen Sie die Gleicung einer Parabel, welce die Gerade g mit der Gleicung = _ + _ in B ) berürt a) und smmetrisc zur -Acse ist. b) und smmetrisc zur Geraden : = ist. c) und durc C 6 7) verläuft. 8 Bestimmen Sie die Gleicung einer durc den Ursprung verlaufenden Parabel, die bei die Tangentensteigung und bei die Tangentensteigung at. Berecnen Sie die Koordinaten des Sceitelpunktes dieser Parabel. 9 Berecnen Sie die Gleicung der Tangente und der Normalen der Parabel zu f ) = im Punkt B f )). 0 Das abgebildete Parabelkleeblatt bestet aus insgesamt secs Parabelbögen. a) Geben Sie die Funktionsgleicungen der secs Parabeln an, aus denen die Bögen entnommen sind. b) Bestimmen Sie die Tangentensteigungen in den Punkten ), ), ) und ) bezüglic der beiden Parabeln mit den Sceiteln 0 ) und 0 ). c) Berecnen Sie jeweils den Winkel, unter denen sic die Tangenten an die Parabeln mit den Sceitelpunkten S ) und S ) in den Berürpunkten 0) bzw. 0) scneiden. d) Zeigen Sie, dass im Ursprung je zwei Parabelbögen 56/ mit entgegengesetzter Öffnung one Knick ineinander übergeen. e) Erkundigen Sie sic, wie Sie mit Irem Funktionsplotter Teile eines Funktionsgrapen zeicnen lassen können und plotten Sie das Kleeblatt. 0 Noc fit? I Von den Grapen der Eponentialfunktionen der Form f ) = a ist jeweils ein Punkt gegeben. Berecnen Sie den Wacstumsfaktor a. a) 7) b) 8) c) 0,79) d) 65) II Für den Farwiderstand eines Rennbootes kann eponentielles Wacstum in Bezug auf seine Gescwindigkeit angenommen werden. Bei 0 km betrage die nötige Scubkraft 500 N, bei 0 km 7000 N. Welce Kraft wird benötigt, damit das Boot eine Gescwindigkeit von 70 km alten kann? Trainieren Anwenden Vernetzen 56 Ein m tiefer und oben 6 m breiter Graben mit parabelförmigem Querscnitt soll so erweitert werden, dass sein Querscnitt trapezförmig wird. Um ierbei den oberen Böscungswinkel im Uferbereic beizubealten, sollen die nictparallelen Trapezseiten Parabeltangenten bilden. Bestimmen Sie 56/ a) die Parabelgleicung, b) die untere Breite des Grabens.

8 . Modellieren mit Parabeln Aufgaben Die Arcitektur des istoriscen Stammgebäudes einer bekannten spaniscen Sektkellerei ist geprägt von zalreicen Parabelbögen versciedener Größe. Die Abbildung zeigt die Empfangsalle der Firma. Einer der Parabelbögen ist dort weiß nacgezeicnet. Er at eine Spannweite unterer Bildrand) von m. Der waagerecte Sims zwiscen den Fensterreien in,9 m Höe ist 0 m lang. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleicung der zugeörigen Parabel, wenn sie -acsensmmetrisc sein soll und der untere 57/ Bildrand Teil der -Acse ist. b) Berecnen Sie die Höe des Parabelbogens. c) Berecnen Sie die beiden Winkel, unter denen der Parabelbogen im Boden am unteren Bildrand) verankert ist. Ein Fußballspieler nimmt in m Höe einen Ball mit dem Kopf an. Der Ball steigt in einem Winkel von 80 und landet 8 m weiter wieder auf dem Boden. Wie oc war der Ball geflogen? Eine Brücke mit parabelförmigem Bogen befindet sic im Bau. Rects ist der Teil CB des Bogens fertig, links soll 0 der Bogen in A enden. H In welcem Punkt P des Bogens muss die Straße aufliegen, wenn sie ein 0 Gefälle von 5 % aben soll. A8 7) Berecnen Sie auc die Koordinaten des Punkts H, in welcem die Straße auf festem Grund aufliegt. C8 ) B6 0) / 5 Virtuelle Bananensclact. a) Eine virtuelle Banane wird 6 von G aus mit dem Steigungswinkel 5 so geworfen, 5 C6 5) dass sie den Punkt H treffen würde. Überfliegt sie auc das Hindernis C? G ) H9 ) b) Reict ein Winkel von 6,? c) Berecnen Sie den kleinstmöglicen Abwurfwinkel, sodass die Banane den Punkt C streift und dann H trifft. 0 57/ d) Prüfen Sie, ob die Sceitelpunkte der drei Parabeln aus a), b) c) alle den gleicen -Wert aben. 57

9 Aufgaben Modellieren mitilfe der Ableitung 6 Um die Funktionsfäigkeit einer Abwurfmascine für Tontauben zu testen, werden naceinander zwölf Sceiben unter einem Winkel von 5 mit steigenden Abwurfgescwindigkeiten in die Luft gescleudert. Sie treffen in gleicen Abständen von jeweils 0 m wieder auf dem Boden auf. a) Berecnen Sie die maimale Höe einer jeden Tontaube und stellen Sie die Zuordnung Tontaubennummer maimale Höe der Tontaube in einer Tabelle dar. b) Bestimmen Sie die Funktionsvorscrift 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m des Grapen, auf dem alle Hocpunkte liegen 58/ 7 Auf der kanariscen Vulkaninsel Lanzarote wird in einigen Regionen auf lavaal tigen Böden ein besonderer Wein angebaut. Eine Eineit des Koordinatensstems entsprece 50 m / a) Weisen Sie nac, dass f ) = + den Hang im Bereic 5 bis 0 gut annäert b) Man siet auf dem Foto, dass die Lava-Kulen, in denen sic die Weinreben befinden, bis ca. 00 m den Hang inaufreicen. Wie steil ist der Hang in 00 m Höe ungefär? c) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion g dritten Grades der Form g ) = a + b + c für den Bereic von 0 bis,5 so, dass der zugeörige Grap die Linie der Bergsilouette im eingezeicneten Koordinatensstems möglicst gut annäern. Der öcste Punkt des Berges abe dabei die Koordinaten 0,). Plotten Sie die beiden Grapen in den angegebenen Grenzen in ein Koordinatensstem. Hinweis: Zwei Funktionsgrapen geen in einem Punkt glatt ineinander über, wenn ire Steigungen in diesem Punkt übereinstimmen. d) Welce maimale Steigung müsste ein Farzeug überwinden können, wenn es auf dieser Steigungslinie bis zum Berggipfel faren soll? 8 Der Querscnitt der Vorderansict einer Kirce at die Form eines gleicscenkligen Dreiecks mit einer 0 m langen Grundseite und einem 0 -Winkel an der Spitze. Der Gewölbequerscnitt im Innern ist parabelförmig und vom Arcitekten so gestaltet, dass die beiden Dreiecksscenkel als Parabeltangenten am Boden der Kirce auftreffen. Bestimmen Sie die Höe des parabelförmigen Gewölbes und zeigen Sie, dass die Kirce doppelt so oc wie das Parabelgewölbe ist. 58/ 58/ 0 58

10 . Modellieren mit Parabeln Aufgaben 9 Einem gleicseitigen Dreieck mit der Seitenlänge s ist ein Parabelbogen so einbescrieben, dass die Verlängerungen zweier Dreiecksseiten Parabeltangenten sind. a) Rictet man das Scaubild so ein, dass der linke untere Eckpunkt des Dreiecks im Ursprung liegt, so at die Parabel die Gleicung f ) = s +. Erläutern Sie den Weg zu dieser Gleicung. b) Zeigen Sie, dass der Parabelsceitel die Dreiecksöe albiert. c) Weisen Sie als Verallgemeinerung von Teil b) nac, dass der Parabelsceitel die Dreiecksöe auc dann albiert, wenn das umscriebene Dreieck statt gleicseitig nur gleicscenklig ist. 59/ s s s Trainieren Anwenden Vernetzen 0 Berecnen Sie auf zwei Arten die Gleicung der Tangente an die Parabel zu f ) = + 6 im Punkt B 6). a) Mitilfe der Bedingung m = f ' ). b) Zeigen Sie zuerst, dass alle Geraden durc B die Gleicung = m + 6 m) aben. Scneiden Sie nun diese Geraden mit der Parabel und bestimmen Sie dasjenige m, für welces sic genau ein Scnittpunkt ergibt. c) Beurteilen Sie den Aufwand beider Metoden. Klären Sie erst anscaulic, wesalb die folgenden Angaben keine Parabel festlegen oder diese jedenfalls nict eindeutig festlegen. Stellen Sie dann das LGS auf und erörtern Sie, was sic beim jeweiligen Lösen dieses LGS ergibt. a) Eine Parabel verläuft durc den Ursprung und den Punkt A 6 0). Sie at bei = eine waagerecte Tangente. b) Eine Parabel verläuft durc die Punkte A ), B ) und C 5 ). Bestimmen Sie die Funktionsgleicung einer Parabel, durc die der Grap der Sinusfunktion im Intervall [ 0; π ] möglicst genau angenäert wird. Überprüfen Sie die Güte der Näerung an einigen Werten. Vom Punkt P ) werden Tangenten an die Parabel mit den angegebenen Eigenscaften gelegt. Bestimmen Sie jeweils die Tangentensteigungen und die Berürpunkte. a) Ir Sceitel ist S ) und sie verläuft durc den Ursprung. b) Sie at die Nullstelle 6 und im Ursprung die Steigung. c) Sie scneidet die -Acse bei und und die -Acse bei. Der Längsscnitt des berümten Berges in der Näe von Rio de Janeiro, der nac seiner besonderen Form Zuckerut genannt wird, lässt sic rect gut durc eine Parabel annäern. a) Bestimmen Sie die Gleicung einer solcen Parabel durc die gegebenen Punkte A ), B 7 ), C 6 6 _ 8 ). b) Angenommen, ein im geradlinigen Landeanflug befindlices Sportflugzeug passiert gerade den Punkt F 5 9). Berecnen Sie, wie groß der Landeanflugswinkel a öcstens sein darf, damit der Berg nict gestreift wird. 8 a F5 9) B 7 6 C 5 A / 59

11 Aufgaben Modellieren mitilfe der Ableitung 5 Die Abbildung 60/ zeigt einen weiteren Parabelbogen im Innern der Sektkellerei aus Aufgabe. Laut Firmenangabe at der äußere Rand der von Ziegelsteinen gebildeten Parabel eine Spannweite von m und eine Höe von, m. Der untere Rand des oberalb des Parabelbogens befestigten Holzbalkens ist,75 m oc parallel über dem Boden. a) Bestimmen Sie gemäß der Firmenangabe die zugeörige Parabelgleicung. b) Angenommen, der oberalb des Parabelbogens befestigte Holzbalken würde sic infolge von Restaurierungsarbeiten so aus der recten Verankerung lösen und auf den Bogen kippen, wie es die weiße Linie in der Abbildung zeigt. Berecnen Sie, unter welcem Winkel er dann wieder aufgerictet werden müsste. 60/ 60/ Querscnitt der Halfpipe 60 6 Es ist nict alles Parabel Das Foto 60/ zeigt den 9 m oen Gatewa Arc in St. Louis am Mississippi. Bestimmen Sie die Gleicung der Parabel durc die Punkte E 0 9,) und H 0). Plotten Sie diese Parabel und dazu den Grapen der Funktion zu g ) =,78 +,78 ) +,. Dieser Grap entsprict der scwarzen Linie im Bild. Vergleicen Sie. w w w60-7 Eine Gruppe von erfarenen Skateboardfarern testet eine neuartige Halfpipe, die in der Skizze dem Grapen zu f ) = _ _ bis zum Punkt A entsprict. a) Bestimmen Sie die Gleicung der Geraden g, auf der sic ein Skateboardfarer one Berücksictigung der Erdanzieung ab dem Punkt A 0) weiterbewegen würde s. 60/). b) Unter idealen Bedingungen wäre die Flugban aller Skateboardfarer eine Parabel der Form f a ) = a + a + ) a. Der Parameter a ängt von der Ab - sprungsgescwindigkeit des Springers ab. Ein Skater springt so ab, dass seine Flugban durc den Punkt B 0) verläuft. Bestimmen Sie a so, dass die Parabel zu f a durc B verläuft. Zeigen Sie dann, dass der Punkt C 7 6) auf dieser Parabel liegt s. 60/: a = _ wie abgebildet). E H g) 60/ 5 f / A 5 f