14 Geschmierte Systeme

Transkript

1 1 Gescmierte Systeme Zur Verminderung der eibungskraft und des Verscleißes werden seit Jartausenden Scmiermittel eingesetzt, deren Wirkung darauf berut, dass direkter Kontakt zwiscen zwei Festkörpern verindert und dadurc die trockene eibung durc die Flüssigkeitsreibung ersetzt wird. Die Anweseneit einer Flüssigkeitsscict zwiscen zwei Festkörpern beeinflusst aber nict nur Tangentialkräfte sondern auc Normalkräfte: Zwei trockene Glassceiben können one Müe auseinandergenommen werden, wärend zum Auseinandernemen von zwei nassen Sceiben eine ereblice Kraft erforderlic sein kann. Dieses änomen kann zum einen auf die Kapillarkräfte zurückgefürt werden, die wir im näcsten Kapitel diskutieren, zum anderen kann von rein ydrodynamiscer Natur sein: Eine viskose Flüssigkeit brauct eine gewisse Zeit um in einem engen Spalt zwiscen zwei Sceiben zusammenzufließen. Diese Ersceinung fürt bei dynamiscen Beansprucungen zu einer sceinbaren Adäsion zwiscen gescmierten Körpern, die wir als viskose Adäsion bezeicnen. In gescmierten Tribosystemen aben wir es in den meisten Fällen mit nict turbulenten Strömungen zu tun. Die Scmiermittel können weiterin in guter Näerung als inkompressibel angenommen werden. Die Grundlage für die Teorie der ydrodynamiscen Scmierung und der viskosen Adäsion bildet die stationäre Strömung zwiscen zwei parallelen latten. 1.1 Strömung zwiscen zwei parallelen latten. Die Dynamik einer linear-viskosen (Newtonscen) Flüssigkeit wird durc die Navier-Stokes- Gleicung gegeben, die für inkompressible Flüssigkeiten die folgende Form annimmt dv ρ = p + ηδv. (1.1) dt wobei ρ die Dicte und η die dynamisce Viskosität der Flüssigkeit sind. Eine inkompressible Flüssigkeit genügt darüber inaus der Gleicung divv =. (1.) Bei quasistatiscen Strömungen (so genannte scleicende Strömungen), mit denen wir in den Scmierungsproblemen meistens zu tun aben, kann der Trägeitsterm in der Navier- Stokes-Gleicung vernaclässigt werden und sie nimmt die folgende Form an ηδ v = p. (1.) Betracten wir jetzt zwei latten getrennt durc eine flüssige Scict (Bild 1). Im allgemeinen Fall können sic die latten relativ zu einander bewegen. One Einscränkung der Allgemeineit können wir die Gescwindigkeit der unteren latte als Null annemen. Die Gescwindigkeit der oberen latte bezeicnen wir durc v. v z x Bild 1. Wir betracten eine stationäre Strömung in der x-ictung. Demnac at die Gescwindigkeit v = v( z),. Die nur die x-komponente, die aber nur von der z-koordinate abängt: ( ) Gleicung (1.) nimmt die folgende Form an

2 p v = η + v x = η x x z z p = η + = z x z vz (1.) (1.5) Aus (1.5) folgt, dass der Druck von der vertikalen Koordinate z nict abängt: p = px ( ). Zweimalige Integration von (1.) ergibt p z ηv = + C z+ C x 1 (1.6) ηv p Aus den andbedingungen v () = und v ( ) = v folgt C = und C1 =. Die d x Gescwindigkeitsverteilung wird somit mit p zz ( ) ηv ηv = + x gegeben. z (1.7) 1. Hydrodynamisce eibung v Bild. Betracten wir jetzt zwei im Bild skizzierte Körper. Die Oberfläce des einen sei etwas geneigt relativ zur Oberfläce des zweiten Körpers, die wir ier als absolut eben und glatt annemen. Bei kleiner Neigung kann man die Strömung an jedem unkt als eine Strömung zwiscen zwei parallelen latten betracten und für die Gescwindigkeitsverteilung die Gleicung (1.7) benutzen: zz ( ) v v = p' + z (1.8) η Hier aben wir den Druckgradienten mit p ' bezeicnet. Aus der Masseneraltung folgt, dass die über jeden Querscnitt pro Zeiteineit fließende Flüssigkeitsmenge konstant ist: zz ( ) v v Q = v( z) dz = p' + z dz = p' + = const η 1η (1.9) Für den Druckgradienten eralten wir demnac

3 dp 1 C = v dx. (1.1) Bei einem linearen Anstieg der Höe = + ax kann (1.1) explizit integriert werden und wir bekommen für den Druck x 1 C v 1 C ext a x p = pext v dx = p d v = pext C a Bei der bestimmten Integration aben wir berücksictigt, dass p( x) = pext ist. Auf der anderen Seite ist der Druck ebenfalls gleic dem Aussendruck p ext, woraus sic ergibt: 1 C =. Für die Druckverteilung eralten wir somit + 1 v p = pext (1.11) a + 1 Sind sowol die Gescwindigkeitsverteilung als auc die Druckverteilung bekannt, so kann man leict die x- und z-komponenten der auf den oberen Körper wirkenden Kraft berecnen. Für die vertikale Kraftkomponente gilt ηabxv L= dxdy( p pext ) = α (1.1) 6 ( ξ 1) mit α = lnξ ( ξ 1) ξ + 1 und ξ = 1/. v Die orizontale Kraftkomponente ist durc die viskose Spannung σ xz = η verursact und z berecnet sic zu v ηav F = η dxdy = β (1.1) z A z= 1 6( ξ 1) mit β = lnξ ξ 1 ξ + 1. Die Abängigkeit der arameter α und β von ξ ist im Bild gezeigt. Bild. Für den eibungskoeffizienten eralten wir

4 k F = = L Bx β. (1.1) α Der eibungskoeffizient ängt von dem im Kontaktgebiet errscenden mittleren Druck ab. Wenn wir die Spaltbreite aus (1.1) berecnen und in (1.1) einsetzen, eralten wir A ηv k = β. (1.15) α Bx ist ier der mittlere Druck im Kontaktgebiet: = L/ A. Bei gleicen geometriscen η v Bedingungen ist der eibungskoeffizient eine Funktion der arameterkombination. Je Größer der Druck, desto kleiner der eibungskoeffizient. Zu beacten ist aber, dass die ηv Spaltdicke mit dem steigenden Druck ebenfalls abnimmt: = αbx. Bei ausreicend kleinen Spaltdicken brict die oben steende Teorie zusammen, da der Einfluss von auigkeiten wesentlic wird und das System in das Gebiet der Grenzscictreibung überget. Bei noc größeren Drucken steigt desalb der eibungskoeffizient wieder an. Die ηv Abängigkeit des eibungskoeffizienten von dem arameter nennt man Stribeck- Kurve. Sie bescreibt die Abängigkeit von allen auftretenden arametern. Insbesondere bestimmt sie die Abängigkeit der eibungskraft in einem gescmierten System von der ηv Gescwindigkeit. Bei großen Werten von at diese Abängigkeit einen universellen Carakter. Im Bereic der Grenzscictreibung dagegen ängt der Verlauf der Kurve von Eigenscaften der Fläce und der Scmiermittel ab. Bild Zur Grenzscictenreibung kommt es auc bei einer Verminderung der Gleitgescwindigkeit. Je größer die Gescwindigkeit, desto größer die Scictdicke des Scmiermittels und desto seltener kommen die Fläcen in direkten Kontakt an auigkeiten. Das siet man an experimentellen Ergebnissen im Bild 5.

5 Bild Viskose Adäsion Befindet sic zwiscen zwei Körpern eine flüssige Scict, so können diese weder scnell an einander gedrückt noc scnell getrennt werden. Der letztere Effekt wird oft als eine Art Adäsion empfunden. Bei dynamiscen Vorgängen ist es oft scwer zwiscen einer ecten Adäsion (die entweder durc die Oberfläcenkräfte zwiscen Festkörpern oder Kapillarbrücken bedingt ist) und dieser viskosen Adäsion zu untersceiden. Die Annäerung zweier Körper mit einer flüssigen Zwiscenscict kann nur durc Ausquetscen der Scict passieren. Bei der Trennung muss die Flüssigkeit wieder in den Spalt einfließen, es sei denn die Trennung gesciet durc Sieden (Bildung und Zusammenfließen von Dampfblasen). Beide rozesse erfordern jedoc eine bestimmte Zeit. Wir beginnen mit der Betractung der Annäerung zweier runder latten mir dem adius mit einer flüssigen Zwiscenscict (Bild). Bild. Die durc die vertikale Annärung von latten ausgequetscte Flüssigkeit fürt zu einer radialen Strömung. Aus Symmetriegründen ist klar, dass die Strömungsgescwindigkeit radial symmetrisc ist. Ist die Dicke des Spaltes zwiscen den latten viel kleiner, als der adius der latten, so ist die radiale Komponente der Gescwindigkeit viel größer als die Annärungsgescwindigkeit und wir aben es im wesentlicen mit der Strömung unter der Wirkung eines Druckgradienten zu tun, die wir im vorigen aragrapen betractet aben. Die Gescwindigkeit ist demnac gleic zz ( ) v = p' (1.16) η wobei p' = p/ r. Der Volumenstrom durc eine zylindrisce Fläce mir dem adius r ist πr πr Q = π rv( z) dz = p' z( z ) dz = p' η. (1.17)

6 Dieser Strom muss andererseits gleic dem Volumenstrom Q = πr durc die obere Fläce der Scict dank der vertikalen Bewegung der oberen latte sein: π r = p' π r. (1.18) Für den Druckgradienten ergibt sic daraus π r p' = π oder nac einer einmaligen Integration 6 p ηπ ηπ rdr r C π π. (1.19) Die Integrationskonstante bestimmt sic aus der andbedingung p( r = ) = p (Aussendruck): ηπ ηπ p = + C, C = p. π π (1.) Die Druckverteilung (1.19) nimmt somit endgültig die Form ηπ p = ( r ) + p π (1.1) an. Berecnen wir die auf die vertikale latte wirkende Druckkraft π ηπ F = π r( p( r) p ) dr = ( r ) rdr =. (1.) Bei der vorgegebenen Kraft können wir jetzt die Zeit berecnen, die gebrauct wird, damit sic die latten von einem Abstand bis zum Abstand annäern: t F d dt = ηπ, F t =. (1.) ηπ Bei großen Anfangsabständen ängt diese Zeit praktisc nur von dem minimalen Abstand ab, der zu erreicen ist: ηπ t =. (1.) F Hängt die Kraft F von der Zeit ab, so gilt t ηπ Ftdt () =. (1.5) Das eißt, die minimale erreicbare Scictdicke ängt nur vom Kraftstoß ab. Zur Illustration dieser Idee betracten wir einen mit einer viskosen Flüssigkeit bescmierten Körper, der gegen die Decke mit der Gescwindigkeit v geworfen wird. Wie lange wird er anscließend an der Decke ängen bleiben? Vor dem Stoß ist der Impuls des Körpers gleic Mv. Er wird wärend des Stoßes durc den Kraftstoß auf Null gebract. Der Kraftstoß ist demnac auc gleic Mv. Da der Kraftstoß zur Annäerung bis zum Abstand gleic dem Kraftstoß zum Trennen vom Abstand ist, muss der Kraftstoß der Scwerekraft bis zum Abreißen Mgt gleic Mv sein. Daraus folgt, dass t = v g. Das gilt nur für Newtonsce Flüssigkeiten.

7 Impuls = Mv F = Mg Aus (1.5) folgt, dass die viskose Adäsion mit Newtonscen Flüssigkeiten zum Geen auf der Decke nict benutzt werden kann. Anders ist es, wenn die Viskosität einer Flüssigkeit vom Gescwindigkeitsgradienten abängig ist. Wie man der Gleicung (1.5) entnemen kann, ist der Kraftstoß zur Annäerung bis zur Scictdicke (bzw. zum Auseinandernemen der latten vom Abstand ) proportional zur Viskosität. Bei nictlinear viskosen Flüssigkeiten ängt die Viskosität von der Gescwindigkeit ab. Sciebt man die latten zunäcst ser scnell zusammen und dann langsam auseinander, so ist der positive Kraftstoß bei der Annärung kleiner als der negative bei Auseinandernemen der latten. Diese Differenz kann dazu benutzt werden, um einen sic so bewegenden Körper im Gleicgewict an der Decke zu alten. In diesem Zusammenang ist zu bemerken, dass die Videoaufnamen von auf der Decke spazierenden Fliegen zeigen, dass sie die Füße an die feste Oberfläce ser scnell andrücken (mit einem Sclag). Die Entfernung des Fußes von der Oberfläce passiert viel langsamer. Das könnte bedeuten, dass die Haltekraft der Fliegen auf der Decke mindestens zum Teil durc die viskose Adäsion bedingt ist. η = η ( v) Bild. Impuls πη1 = < Impuls πη =