Tunneleffekte in Halb- und Supraleitern

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1 Tunneleffekte in Halb- und Supraleitern Ausarbeitung zum Vortrag im Ramen des Hauptseminars Experimentalpysik Nobelpreis-Experimente der letzten 5 Jare der Universität Duisburg-Essen im SS 5 Zara Sojaaee Duisburg, den 8.4.5

2 Inaltverzeicnis Der Nobelpreis des Jares 973 für Pysik... Tunneleffekt...4. Was ist der Tunneleffekt?...4. Die Tunnelwarsceinlickeit Der Tunnelstrom Rastertunnelmikroskop... 3 Tunneleffekt in Halbleitern pn-übergang Die Tunneldiode Anwendung der Tunneldiode... 4 Tunneleffekt in Supraleitern Experimente mit Metall-Isolator-Metall-Proben Experimente mit Metall-Isolator-Supraleiter-Proben Experimente mit Supraleiter-Isolator-Supraleiter-Proben Der Suprastrom SQUID Quellen...36

3 Der Nobelpreis des Jares 973 für Pysik Abbildung.: Der Nobelpreis des Jares 973 für Pysik Der Nobelpreis des Jares 973 für Pysik wurde an Leo Esaki, Ivar Giaever und Brian David Josepson für die Entdeckung des Tunneleffektes im Festkörper vergeben. Leo Esaki aus Japan und Ivar Giaever aus Norwegen aben zusammen eine Hälfte des Preises jeweils für ire experimentelle Entdeckung des Tunneleffektes in Halbleiter und Supraleiter bekommen. Die andere Hälfte des Preises at Josepson für seine Vorersage der Eigenscaften des Suprastroms durc eine Tunnelbarriere und die als Josepson Effekte bekannten Pänomene bekommen. Leo Esaki wurde 95 in Japan geboren. Er ist einer von vier japaniscen Wissenscaftlern, die jemals den Nobelpreis eralten aben. Er at seine Promotion in 959 in Japan abgesclossen. Wärenddessen at er bei Kobe-Kogyo und Sony gearbeitet. 957 at er die Tunneldiode (genannt Esaki Diode) entdeckt. Seit 96 at er dann bei IBM in USA gearbeitet. Im Jar 99 kerte er nac Japan zurück und ist seitdem an einer Universität tätig.

4 Ivar Giaever wurde 99 in Norwegen geboren. In 95 at er ein Studium im Fac Mascinenbauingenieur absolviert. Anscließend at er in Kanada bei General Electric gearbeitet. Dort bekam er die Gelegeneit, 3 Jare Kurse in Ingenieurwissenscaften und Angewandter Matematik zu besucen. Mit 8 Jaren war er in New York und at dort für versciedene Firmen gearbeitet. Bei Jon Fiser (General Electric) begann er Pysik zu studieren. Sein Tema waren Dünne Scicten und wie er selbst sagt, verstand er am Anfang unter Dünne Scicten Potograpie. Er at seine Promotion 964 abgesclossen. Die Experimente zur Entdeckung des Tunneleffektes in Supraleitern wurden von im in 96/96 durcgefürt. Seit Anfang der siebziger Jare at er sic mit biologiscen Problemen bescäftigt. Brian David Josepson wurde 94 in England geboren. Er at in der Universität von Cambridge studiert und at in 964 seine Promotion abgesclossen. Seit 97 ist er Dozent in Pysik. In den siebziger Jaren at er sic weiterin mit der Funktionsweise des Geirns bescäftigt. Hier ist ein aktuelles Bild von inen und weiteren Preisträgern von der Tagung der Nobelpreisträger in Lindau im Sommer 4: Abbildung.: Tagung der Nobelpreisträger in Lindau (Sommer 4) 3

5 Tunneleffekt. Was ist der Tunneleffekt? Als Giaever angefangen at, Pysik zu studieren, atte er noc keine vollständige Vorstellung vom Tunneleffekt. In seinem Nobelvortrag berictet er davon und erklärt diesen Effekt anand folgender Bilder: Abbildung.: Die Erklärung des Tunneleffektes von Giaever Er sagt dazu: Wenn man einen Ball gegen eine Wand wirft, springt der Ball zurück. Die Regeln der Pysik erlauben dem Ball die Wand zu durcdringen aber diese Warsceinlickeit ist ser gering, weil der Ball ein makroskopiscer Gegenstand ist. Zwei Metalle, die durc Vakuum getrennt sind, verdeutlicen diese Situation: Die Elektronen sind die Bälle, und das Vakuum ist die Wand. Das Energiediagramm des vorerigen Bildes wurde in Abbildung C dargestellt. Die Elektronen aben nict genügend Energie, um über die Barriere zu springen. Die beiden Metalle können aber trotzdem Elektronen austauscen, indem die Elektronen durc die Barriere tunneln. Weil die Elektronen mikroskopisce Teilcen sind und es viele von inen im Metall gibt, wird die Warsceinlickeit dieses Pänomens groß, wenn die Wand dünn genug ist. 4

6 . Die Tunnelwarsceinlickeit Eine klassisce Übung im Ramen des Quantenmecanikkurses ist die D- Potenzialbarriere: Abbildung.6: die Tunnelwarsceinlickeit Die Frage ist: Wie groß ist der Transmissionskoeffizient eines Teilcens, welces eine kleinere kinetisce Energie als die Höe der Barriere at? Die Lösung ist: Die Scrödinger Gleicung und ire Lösung für den Bereic außeralb der Barriere lautet: Eψ ψ ψ d m dx ( x) = ψ ( x), ( x) = Aexp( ikx) + B exp( ikx) me x < oder, k = ( x) = F exp( ikx), k =, x > a x > a me, x < In der Barriere gilt: ( E V ) ψ ( x) = ψ ( x) ψ d m dx ( x) = C exp( κx) + D exp( κx),, < x < a κ = m V ( E), E < V Aus den Randbedingungen an den Grenzen x= und x=a ergeben sic die folgenden Gleicungen: A + B = C + D () ik(a - B) = κ (C - D) () C exp( κ a) + Dexp(-κa) = F exp(ika) (3) κ [C exp( κa) - Dexp(-κa)] = ikf exp(ika) (4) Aus den Gleicungen (3) und (4) ergeben sic: 5

7 ( κa) = ( κ ik) F exp( ika) ( κa) = ( κ ik ) F exp( ika) κ C exp + (5) κ D exp (6) Durc Einsetzen dieser beiden Gleicungen in die Gleicungen () und () ergibt sic: κ ik ( A B) = [ κ cos( κa) ik sin ( κa) ] F exp( ika) ( A B) = [ ik cos( κa) κ sin ( κa) ] F exp( ika) + (7) (8) Eliminiert man B aus diesen beiden Gleicungen, ergibt sic die Amplitude der transmittierten Welle als Funktion der Amplitude der einfallenden Welle: ( 4k κ + ( k κ ) sin ( )) κa 4k A = F κ + Der Transmissionskoeffizient ist gleic: T F k + κ V = = sin 4 + a k κ 4E( V E) ( ) ( ) E = + sin ( κa) A ( κ ) Man siet, dass mit zunemender Dicke der Barriere der Transmissionskoeffizient abnimmt. Betractet man zwei Kupfersceiben mit einem Abstand bis 5 nm, kann man folgende Werte für den Transmissionskoeffizienten ausrecnen. Für Kupfer sind Fermienergie und Austrittsarbeit E F =7,3 ev bzw. Q W =4,65 ev.,,8 E F =7,3 ev Q W =4,65 ev,6 T,4,, a [nm] Abbildung.7: Abname des Transmissionskoeffizienten mit zunemender Dicke der Barriere Die Zuname der Höe der Barriere fürt auc zur Abname des Transmissionskoeffizienten. 6

8 ,,8 E F =7,3 ev a=5 nm T,6,4,, 7, 7, 7, 7,3 V [ev] Abbildung.8: Abname des Transmissionskoeffizienten mit zunemender Höe der Barriere Die Zuname der Energie der einfallenden Welle fürt zur Zuname des Transmissionskoeffizienten.,5x -4 V =EF +QW =,68 ev,x -4 a=5 nm T 5,x -5,,5,,9 E [ev] Abbildung.9: Zuname des Transmissionskoeffizienten mit zunemender Energie der einfallenden Welle Wenn das Produkt κ.a viel kleiner als ist, ergibt sic: T ( E) = V V + sin a 4E V ( E) ( κa) 4E V ( ) ( E ) κ T ( E) e a ( E ) m V 7

9 .3 Der Tunnelstrom Das Bild von Giaever zur Verdeutlicung des Tunneleffektes sa folgendermaßen aus: Abbildung.: Eine M-I-M-Probe Das Energiediagramm dieses Models für zwei untersciedlice Metalle siet so aus: Abbildung.: Das Energiediagramm einer M-I-M-Probe In termiscem Gleicgewict tunneln die gleice Anzal von Elektronen in beiden Rictungen. Das fürt dazu, dass insgesamt kein Strom durc die Barriere fließt. Die Ferminiveaus auf beiden Seiten liegen auf gleicer Höe. Was passiert, wenn man eine äußere Spannung V auf beide Seiten der Barriere anlegt? Jetzt verscieben sic die Ferminiveaus gegen einander um ev. 8

10 Abbildung.: Das Energiediagramm einer M-I-M-Probe unter äußere angelegte Spannung So gibt es auf der recten Seite freie Zustände für Elektronen auf der linken Seite und deswegen eröt sic der fließende Strom von Elektronen von links nac rects gegenüber entgegenkommendem Strom. Es gibt einen Nettostrom von Elektronen nac rects. Wie groß ist der Tunnelstrom? Die Tunnelwarsceinlickeit kann man mit Hilfe der WKB-Näerung (Wentzel, Kramers and Brillouin Metode) berecnen. Dazu betractet man eine Barriere mit beliebiger Form U(z) und die einfallenden Teilcen mit Energie E. Abbildung.3: Eine Barriere mit beliebiger Form Die Tunnelwarsceinlickeit wird nac der WKB-Näerung folgendermaßen berecnet: T z ( E) exp k( z) dz = exp m( U( z) E) z z z dz 9

11 Zur Vereinfacung betracten wir ein eindimensionales Modell. Der von link nac rects fließende Strom ergibt sic aus folgendem Integral: I L = e f L [ E( k ), µ ] { f [ E( k) + ev, µ ]} v( k) T ( k) L R R dk π Es gilt aber: dk = dk de de = de v Durc Einsetzen in das vorerige Integral ergibt sic: I L e = f L L R R µ U L [ E, µ ] { f [ E + ev, ]} T( E) de Auf die gleice Weise kann man den von rects nac links fließenden Tunnelstrom recnen: I R e = U R f R [ E, µ ] { f [ E ev, µ ]} T( E) de R L L Der Gesamtstrom ist damit: wobei e I = I L + I R = F L µ R U L ( E, V, µ, ) T ( E) de ( E, V, µ, µ ) = f [ E, µ ] { f [ E + ev, µ ]} f [ E, µ ] { f [ E ev, ]} F µ L R L L R Es ist klar, dass der Strom keine lineare Abängigkeit von der Spannung zeigt. Nur im Fall kleiner angelegter Spannungen kann man die Funktion F im Integral durc den ersten Satz seiner Taylor-Serie: F ( E, V, µ, µ ) L R R R F ev E und so bekommt man eine lineare Abängigkeit des Stromes von der angelegten Spannung: R L L I e V = U L F E T ( E) de

12 .4 Rastertunnelmikroskop In.3 aben wir geseen, dass der Strom exponenziell von der Barrierendicke abängt. Diese empfindlice Abängigkeit des Stroms vom Abstand nutzt man in einem Messgerät, welces als Rastertunnelmikroskop bezeicnet wird. Das Gerät bestet aus einer metalliscen Spitze, die durc einen Regelkreises kontrolliert wird. Abbildung.4: Rastertunnelmikroskop Wie im Tunnelproblem ergeleitet, ist der fließende Strom durc die Barriere ser stark vom Abstand zwiscen zwei Metallen abängig. Der Regelkreis fürt dazu, dass sic die Spitze in einem konstanten Abstand von der Probe bewegt. Dadurc fließt ein konstanter Tunnelstrom durc den Stromkreis. Die starke Abängigkeit des Stromes vom Abstand fürt zur atomaren Auflösung des Mikroskops. Abbildung.5: ein mittelmäßiges selbst aufgenommenes Bild mit STM

13 3 Tunneleffekt in Halbleitern 3. pn-übergang Was passiert, wenn man einen p-halbleiter und einen n-halbleiter kontaktiert? Dieses Bild ist uns allen bekannt und in jedem Buc zum Tema Festkörperpysik zu finden. Abbildung 3.4: pn-übergang In einem pn-übergang grenzen eine p- und eine n-leitende Halbleiterzone aneinander. An einem solcen pn-übergang diffundieren Leitungselektronen der n- Zone und Löcer der p-zone (Majoritätsträger) jeweils in das Gebiet entgegengesetzter Dotierung, in dem sie Minoritätsträger sind. Es bildet sic so am Übergang eine an Majoritätsträgern verarmte Zone. Diese Diffusion der Ladungsträger wird durc ire termisce Energie und das Konzentrationsgefälle der Ladungsträger am Übergang (Diffusionsstromdicte S D dn/dx bzw. dp/dx) verursact. Die eingedrungenen Ladungsträger rekombinieren nac einer gewissen Zeit unter Energieabgabe mit Majoritätsladungsträgern. Neue Ladungsträger werden dadurc zur Verfügung gestellt, dass Valenzelektronen durc termisce Anregung ins Leitungsband geoben werden. Bei diesem Prozess der Generation und

14 Rekombination von Ladungsträgern stellt sic ein Gleicgewictszustand mit einem Verlauf der Ladungsträgerkonzentration nac Abbildung 3.4 ein. Die zurückbleibenden ortsfesten und nict mer ladungskompensierten Dotierungsatome an der Grenzscict bilden dort eine Raumladung: die positiven Donatorionen im n- Gebiet (und die eingedrungenen positiven Löcer) bilden eine positive Raumladung und die negativen Akzeptoren im p-gebiet (und die eindiffundierten Elektronen) bilden eine negative Raumladung. Diese Raumladung at ein vom p- ins n-gebiet gerictetes elektrisces Feld zur Folge, das einen Feldstrom (S E) durc Minoritätsträger vom n- ins p-gebiet in umgekerter Rictung wie der Diffusionsstrom I D der Majoritätsträger bewirkt. Liegt am pn-übergang keine äußere Spannung an, so eben sic Diffusionsstrom und Feldstrom gegenseitig auf; der Gesamtstrom ist Null. Die Raumladungsfeldstärke, die auc als Diffusionsfeldstärke bezeicnet wird, bewirkt am Übergang eine Potentialdifferenz, die sogenannte Diffusionsspannung U D. Der Betrag der Diffusionsspannung kann aus termodynamiscen Überlegungen berecnet werden. Das Verältnis der Elektronendicte im p-gebiet zu der im n- Gebiet ist durc den Boltzmann-Faktor (Boltzmann-Näerung der Fermi-Dirac- Verteilung) gegeben: n n p n = n n A i n D = e eu D kt Daraus folgt für die Diffusionsspannung: U = D kt e n n ln kt Die Größe wird oft auc als Temperaturspannung bezeicnet. Bei e Raumtemperatur (3 K) beträgt sie U T =5,9 mv. Anderseits gilt aufgrund der Ladungsneutralität für die Breiten der positiven Raumladungszone (d n ) und der negativen Raumladungszone (d p ): d n = d n D p A D ni n A Eine genaue Analyse des Potentialverlaufs ergibt für die Breite der Raumladungszone: d = d n + d p = ε rε U e D n A + n n n A D D (3-) 3

15 Abbildung 3.5 zeigt links anscaulic die Verteilung der Ladungsträger in einem pn- Übergang. Die Kreise stellen die ortsfesten ionisierten Akzeptoren und Donatoren dar. Der graue Bereic symbolisiert das Gebiet der beweglicen Elektronen, der rote das der Löcer. Die Bänderdarstellung rects zeicnet sic dadurc aus, dass im termodynamiscen Gleicgewict one äußere Spannung das Fermi-Niveau in allen Bereicen auf gleicer Höe liegt. Die Bandkanten verscieben sic zwiscen dem n- und p-gebiet um den Energiebetrag eu D. Abbildung 3.5: pn-übergang unter äußerer angelegter Spannung Legt man nac Abbildung 3.5-b eine Spannung in Sperrrictung an (U<), dann werden die beweglicen Elektronen zum positiven Pol und die Löcer zum negativen Pol gezogen. Dadurc verbreitert sic die Raumladungszone (in Gleicung 3- wird U D ersetzt durc U D +IUI) Es fließt nur noc ein geringer Sperrstrom, der darauf berut, dass Minoritäten an den Übergang diffundieren und dort vom starken elektriscen Feld auf die andere Seite befördert werden. Bei großen Sperrspannungen sättigt der Strom und get in den Sperrsättigungsstrom I S über. Abbildung 3.5-c zeigt die Verältnisse im pn-übergang unter der Wirkung einer Spannung in Flussrictung (U>). Die angelegte Spannung baut die Diffusionsspannung ab, so dass die Bandverbiegung kleiner wird. Die Breite der Raumladungszone wird verringert (in Gleicung 3- wird U D ersetzt durc U D -IUI). Die beweglicen Ladungsträger reicern sic in der Verarmungszone an und dringen ins benacbarte Gebiet ein, wo sie mit den dortigen Majoritäten rekombinieren. Der fließende Strom nimmt mit wacsender Spannung stark zu. Nac W. Sokley gilt für die Abängigkeit des Stroms von der Spannung: eu kt I = I S e 4

16 Abbildung 3.6: Die Kennlinie eines pn-übergangs Abbildung 3.6 zeigt typisce Kennlinien für Ge- und Si-Dioden. Der Sperrsättigungsstrom I S ist bei Raumtemperatur in der Größenordnung von na für Si und µa für Ge. Er ist ser stark temperaturabängig gemäß: I S e Eg kt In Sperrrictung kann es zu einem Durcbruc kommen. Dies berut zum einen auf dem Zener-Effekt. Hierbei werden nac Abbildung 3.7-a in folge der großen Feldstärke im Inneren des Übergangs Elektronen aus dem Valenzband des p- Materials waagrect über die verbotene Zone ins Leitungsband des n-materials gezogen: sie tunneln. Der zweite Mecanismus, der zum Durcbruc fürt, ist in Abbildung 3.7-b angedeutet. Ein Elektron bewegt sic bei großer elektriscer Feldstärke so scnell, dass es bei einem Zusammenstoß mit dem Gitter einen Teil seiner Energie abgeben und ein neues freies Elektron-Loc-Paar erzeugen kann. Diese Ladungsträger werden in gleicer Weise bescleunigt und können irerseits neue freie Paare scaffen, so dass der Strom lawinenartig anwäcst: Abbildung 3.7: Durcbruc einer pn-diode 5

17 Beide Effekte weisen eine gegenläufige Temperaturabängigkeit der Durcbrucspannung U Z (Zener-Spannung) auf. Bei Si-Dioden mit U Z =5,6 V lässt sic die beste Temperaturkonstanz der Durcbrucspannung erzielen. 3. Die Tunneldiode (Esaki-Diode) Was passiert, wenn p- und n-zone oc dotiert sind? Das ist das Experiment, das Leo Esaki im Jar 957 durcfürte und dieses Bild ist einem Artikel von im entnommen. Die Konzentration von Akzeptoren in der p-zone ist,6 9 cm -3 und die der Donatoren in der n-zone ist 9 cm -3 gewesen. Die Probe wurde aus Germanium ergestellt. Abbildung 3.8: Die Kennlinie von einer ocdotierten pn-diode Der Verlauf der Kennlinie verält sic anders als bei normalen pn-dioden, da ein lokales Maximum auftritt. Das Maximum befindet sic bei einer Spannung von etwa,35 ±,5 Volt und bei Spannungen öer als,3 Volt läuft die Kurve wieder entsprecend der Gleicung von W. Sokley: I eu kt = I S e Wie man in Abbildung 3.8 siet, ist die Leitfäigkeit in Sperrrictung größer als in Durclassrictung. 6

18 Wie kann man dieses Pänomen versteen? Die auf einem pn-übergang aufbauende Diffusionsspannung U = D kt e n n ln A D ni beträgt bei den für normale Dioden üblicen Dotierungen ( 6-7 cm -3 ) etwa,3 V für Germanium und,7 V für Silizium. Sie sind damit kleiner als die entsprecenden Bandabstände E/e zwiscen Leitungs- und Valenzband von,65 V bei Ge und, V bei Si. Bei größeren Dotierungen ( 9 - cm -3 ) wird die Diffusionsspannung größer als der Bandabstand. Dieses Bild stammt aus einem Artikel von Leo Esaki: Abbildung 3.9: Das Energiediagramm der Tunneldiode In diesem Fall bildet sic am pn-übergang der spannungslosen Diode in bekannter Weise durc Diffusion von beweglicen Ladungsträgern jeweils in das Gebiet entgegengesetzter Dotierung eine ladungsträgerarme Sperrscict, in der sic die unkompensierten Ladungen von positiven Donator- und negativen Akzeptorionen gegenübersteen. Die stärkere Dotierung fürt zu größeren Raumladungen en D und en A und damit zu einer ser geringen Sperrscictdicke (< - µm) mit einer oen elektriscen Feldstärke (- kv/cm). Die sic durc Diffusion von Ladungsträgern am Übergang aufbauende Energiebarriere e U D ist im Vergleic zur mittleren termiscen Energie der Elektronen zu oc, um Leitungselektronen der n-zone über sie inweg in das p- Gebiet gelangen zu lassen. 7

19 Abbildung 3.: Verdeutlicung des negativen differenziellen Widerstandes der Tunneldiode Wie Abbildung (3.-a) am Bändermodell one äußere Spannung zeigt, liegt wegen e U D > W das Ferminiveau W F im oberen Bereic des Valenzbandes des neutralen p-gebiets und im unteren Bereic des Leitungsbandes des neutralen n-gebiets (entarteter oder degenerierter Halbleiter). Die obere Kante des Valenzbandes im p- Gebiet liegt öer als die Unterkante des Leitungsbandes des n-gebiets. Infolge dieser Bandüberlappung, und da die Grenzscictdicke und damit die Breite des Potenzialwalls ser gering ist, kann dieser von Elektronen auf Grund des quantenmecaniscen Tunneleffektes durcdrungen werden. Es können Elektronen des Valenzbandes der p-zone in das unbesetzte Leitungsband der n-zone durc die Sperrscict tunneln. Ebenfalls können Elektronen aus dem Leitungsband des n- Gebiets in das Valenzgebiet des p-gebiets tunneln. Der vom p- ins n-gebiet fließende Elektronenstrom wird als Zenerstrom (I Z, Abbildung 3.) und der Strom von n- ins p-gebiet als Esakistrom (I E ) bezeicnet. Außerdem fließen - wie bei normalen Dioden - von der p- in die n-zone ein Minoritätsträger-Sperrstrom (I S ) und in umgekerter Rictung ein Majoritätsträger-Diffusionsstrom (I D ). Liegt an der Diode keine äußere Spannung an, so kompensieren sic die in beiden Rictungen durc die Grenzscict fließenden Tunnelströme und ebenfalls Sperr- und Diffusionsstrom. 8

20 Abbildung 3.: Die untersciedlicen Ströme in einer Tunneldiode Bei einer in Vorwärtsrictung angelegten äußeren Spannung U (+ an p und an n), Bild (3.-b), wird die Energie der Leitungselektronen des n-gebiets gegenüber der Energie der Valenzelektronen des p-gebiets angeoben. Das Ferminiveau W Fn der n-seite wird gegenüber W Fp der p-seite um e U eröt. Bei kleiner Spannung steen so Elektronen unteralb W Fn auf der n-seite leeren Zuständen (Löcern) oberalb W Fp auf der p-seite gegenüber. Es findet ein Tunneln der Elektronen von der n- auf die p-seite statt. Mit wacsender anliegender Spannung sciebt sic der mit Leitungselektronen besetzte untere Teil des Leitungsbandes der n-zone am oberen von Löcern eingenommenen Bereic des Valenzbandes der p-seite vorbei. Der Bandüberlappungsbereic nimmt ab. Dabei befinden sic mit steigender Spannung die Leitungselektronen des n-gebiets zunäcst einer wacsenden, dann wieder abnemenden und scließlic verscwindenden Anzal von freien Valenzbandzuständen des p-gebiets gegenüber. So steigt der Esakistrom bei sinkendem Zenerstrom zunäcst stark an und wird dann wieder kleiner (Abbildung 3.). Wird mit zunemender Spannung scließlic die Bandüberlappung aufgeoben (Abbildung 3.-c), so geen der Esaki- und der Zenerstrom gegen Null. Die Potentialstufe am Übergang wird nun so weit abgebaut, dass der Diffusionsstrom auf Grund des normalen Ladungstransports oberalb der Scleusenspannung stark ansteigt. Bei einer in Rückwärtsrictung an die Tunneldiode angelegten Spannung (+ an n, - an p), Abbildung 3.-e, tunneln Elektronen von besetzten Valenzbandzuständen unteralb W Fp der p-seite zu unbesetzten Leitungsbandzuständen oberalb W Fn der n-seite (änlic dem Zenereffekt). Wird die Rückwärtsspannung eröt, so sinkt W Fn gegenüber W Fp weiter ab, so dass mer besetzte Energiezustände der p-seite unbesetzten Zustände der n-seite gegenübersteen. So nimmt das Tunneln von Elektronen vom p- zum n-gebiet mit wacsender Spannung zu. Der Zenerstrom steigt steil an, wärend Esaki- und Diffusionsstrom verscwinden. Bild 3.3 zeigt, wie sic die Teilströme zur resultierenden Strom-Spannungs-Kennlinie einer Tunneldiode zusammensetzen. Infolge der Abname des Tunnelstroms in Durclassrictung und der Zuname des Diffusionsstroms mit wacsender Spannung ergeben sic in der Kennlinie ein Maximum (Höcker) und ein Minimum (Tal) (I H /I D -). In dem dazwiscen liegenden fallenden Kennlinienteil nimmt mit wacsender Spannung der Strom ab. Es ergibt sic also ein Bereic mit negativem differenziellen Widerstand du/di=-r n, R n >. 9

21 3.3 Anwendung der Tunneldiode Da die Elektronen im Tunnelstrombereic die Sperrscict fast trägeitslos durcqueren, ist die Tunneldiode für Mikrowellenanwendung geeignet und kann auc als scneller Scalter in Impulsgenerator- und Impulsformerscaltungen verwendet werden. Der Tunneleffekt ist auf Spannungen bescränkt, die kleiner als die der verbotenen Zone entsprecenden Potentialdifferenz (,65 V bei Ge und, V bei GaAs) sind. Infolge des geringen Spannungsaussteuerungsbereices (etwa ±,5 V bei Ge und ±,4 V bei GaAs) ist die lieferbare Hocfrequenzleistung von Tunneldioden nur ser gering (einige mw). Der negative differenzielle Widerstand R n (etwa bis 5 Ω) der Tunneldiode bleibt bis zu ser oen Frequenzen frequenzunabängig. Er ist abängig von der Lage des Arbeitspunktes A (Abbildung 3.) im fallenden Kenlinienbereic und von der Amplitude des aussteuernden Hocfrequenzsignals. Abbildung 3.:.Arbeitsgerade einer Tunneldiode In eine näerungsweise Betractung (Kleinsignalbetrieb) ersetzt man die Kennlinie durc ire Tangente im Arbeitspunkt.

22 Abbildung 3.3 zeigt ein Kleinsignal-Ersatzscaltbild einer Tunneldiode mit einem Arbeitspunkt im fallenden Kennlinienbereic: Abbildung 3.3:.Kleinsignal-Ersatzscaltung einer Tunneldiode Hierin bedeuten C S die Sperrscictkapazität und R B der Ban- und Kontaktwiderstand des Diodencips. L Z repräsentiert die innere Zuleitungsinduktivität und C G die Geäusekapazität. Es wird eine einface Oszillatorscaltung betractet mit der Serienscaltung von Tunneldiode und Kondensatoren und Spulen. In Abbildung 3.4 ist die Scaltung im Prinzip dargestellt. Mit der Vorspannung U V (, V) wird der Arbeitspunkt der Diode im fallenden Kennlinienbereic (meist im Wendepunkt) eingestellt. Mit dem Kleinsignalersatzscaltbild der Tunneldiode nac Abbildung 3.3 ergibt sic für eine näerungsweise Betractung des Oszillators ein ungedämpfter Scwingkreis. Abbildung 3.4: Tunneldioden-Oszillator Ein gedämpfter elektromagnetiscer Scwingkreis bestet entsprecend Abbildung 3.5 aus einer Spule L, einem Kondensator C und einem omscen Widerstand R:

23 Abbildung 3.5: Gedämpfter elektromagnetiscer Scwingkreis Aus der Forderung, dass die Summe aller Spannungen in einer Masce eines Stromkreises gleic null sein muss (. Kircoff sces Gesetz), kann die Differenzialgleicung für den gedämpften elektromagnetiscen Scwingkreis ergeleitet werden: oder L I& + RI& + I = C I & + δ I & + ω I = Die Lösung dieser Gleicung für ω > δ siet folgendermaßen aus (Abbildung 3.6): I ( ω t + ) δt = I e cos ϕ d wobei: ω = ω D = d D, δ ω _ -,,5, t,5,,5 Abbildung 3.6: : Der gedämpfte Verlauf des Stroms eines Scwingkreises In einer Scaltung mit einem negativen differenziellen Widerstand (Abbildung 3.4) ergibt sic unter bestimmten Voraussetzungen eine ungedämpfte Kennlinie mit ser

24 oer Frequenz (Abbildung 3.7). Eine solce Scaltung ist eine typisce Baugruppe in der Mikrowellentecnik als Oszillator.,,,8,6,4,, _,,4,6,8,, -,-,-,8-,6-,4-,,,,4,6,8,, t Abbildung 3.7: Der ungedämpfte Verlauf des Stroms des Kreises in Abbildung 3.4 3

25 4 Tunneleffekt in Supraleitern 4. Experimente mit Metall-Isolator-Metall-Proben Im Lebenslauf von Ivar Giaever abe ic berictet, dass er sic bei Jon Fiser (General Electric) mit dem Tema Dünne Scicten bescäftigt at. Er meinte, dass nützlic elektronisce Scaltungen durc die Anwendung der Dünnscicttecnologie entwickelt werden können. Nac kurzer Zeit atten sie Tunnelexperimente mit zwei metalliscen Scicten, die durc eine Isolatorscict getrennt wurden, aufgebaut. Giaever meint in seiner Nobelvorlesung, dass er sicer sei, dass Fiser damals über Tunnelexperimente von Esaki informiert war, aber Giaever selbst wusste darüber nicts. Er at viel versuct um sic zu überzeugen, dass Elektronen sic mancmal so unerwartet veralten und zum Beispiel tunneln. Das Problem war, dass beide keine vorerige Erfarung in Experimentalpysik atten. Am Anfang gab es viele Felversuce bis klar war, dass der Abstand zwiscen zwei Metallscicten nict viel mer als Å groß sein darf, um Tunnelströme messen zu können. Um das Problem der Scwankungen der Abstände der Metallscicten zu vermindern, wurden scließlic zwei aufgedampfte Metallscicten von einer gewacsenen Isolatorscict getrennt. Abbildung 4.: Faszinierter Giaever Um den Übergang erzustellen wurde zunäcst eine Scict Aluminium auf einer Glasssceibe aufgedampft. Dann wurde diese aus dem Vakuum der Apparatur entfernt und an Luft aufgeeizt um die Aluminiumscict scnell zu oxidieren. Dann wurden, wie in Abbildung 4. gezeigt, gleiczeitig merere Aluminiumstreifen auf die vorerige Scict aufgedampft und damit gleic merere Übergänge ergestellt. 4

26 Abbildung 4.: Die Herstellung der Metall-Isolator-Metall-Proben Bis zum April 959, wurden viele erfolgreice Experimente durcgefürt. Jetzt waren die Ergebnisse reproduzierbar und die Ergebnisse waren solce Strom-Spannungs- Kennlinien. Die Experimente wurden mit untersciedlicen Scictdicken, untersciedlicen Scictfläcen und bei untersciedlicen Temperaturen gemact. Abbildung 4.3: Die eraltenen Kennlinien von den Metall-Isolator-Metall-Proben Wie wir in vorerigen Recnungen geseen aben, zeigen diese Kennlinien den von der Teorie erwarteten Verlauf. Da die Zustandsdicten konstant angenommen werden, wäcst die Zal der Elektronen, die von einer zur anderen Seite tunneln können, proportional zur Spannung. Der Nettostrom ist desalb ebenfalls proportional zur äußeren angelegten Spannung. 5

27 Bei diesen fünf Proben wurde die Dicke der Isolatorscict konstant gealten und nur die Oberfläce geändert. Das Ergebnis war, dass der Strom der Oberfläce des Übergangs proportional ist. Dadurc wurde festgestellt, dass wirklic der Tunnelstrom gemessen wurde und der Strom nict durc Kurzscluss zustande kommt. 4. Experimente mit Metall-Isolator-Supraleiter-Proben Giaever at noc an weiteren Vorlesungen in Pysik teilgenommen und in einer Festkörperpysikvorlesung at er auc Fakten zum Tema Supraleitung gelernt. Nac der BCS-Teorie gibt es bei K in Supraleitern eine Energielücke der Größe.. In der Näe des Energieniveaus E F sind alle Elektronen paarweise gekoppelt (Cooper-Paare) und wegen entgegengesetzter Spin- und Wellenvektorrictungen georcen sie der Bose-Einstein Verteilung. Man siet, dass die Zustandsdicte in unmittelbarer Näe des Ferminiveaus ser groß ist und zu kleineren Energien in, näert sie sic der Zustandsdicte der Fermionen. Oberalb des Energieniveaus E F + sind die Zustände alle frei. Bei öeren Temperaturen werden einige Cooper- Paare durc termisce Fluktuation aufgebrocen und man erält termisc angeregte Quasiteilcen. Diese sind genau wie Elektronen im Normalleiter Fermionen. Giaever at sic überlegt, dass wenn diese Teorie wirklic stimmt und seine Tunnelexperimente rictig funktionieren, sic aus der Kombination dieser beiden etwas interessantes ergeben sollte. Er at sic zuerst informiert wie groß die Bandlücke sein soll und als er begriffen at, dass es ein paar mev sind, war er sicer, dass anand seiner Messgeräte sein Experiment zu macen sei. In dieser Abbildung at er seine Idee gezeicnet: Abbildung 4.4: Das Energiediagramm des M-I-S-Kontaktes 6

28 In Abbildung 4.4-A und 4.4-B werden die Energiebändermodelle von Normalleiter und Supraleiter verglicen. Wenn sic auf einer Seite der Isolatorscict ein Supraleiter befindet, werden die Ferminiveaus des Normalleiters auf einer Seite und des Supraleiters auf der anderen Seite gleic sein. Jetzt kann kein Strom fließen, weil der Supraleiter kein Elektron in der Näe des Ferminiveaus at und den Elektronen im Normalleiter steen keine weiteren freien Zustände im Supraleiter zur Verfügung. Nur wenn die angelegte Spannung den Wert /e überscreitet, können die Elektronen vom Metall in den Supraleiter tunneln. Bei der Spannung /e setzt der Tunnelstrom mit vertikaler Tangente ein. Dieser steile Anstieg ist durc die oe Dicte der freien Zustände im Supraleiter bedingt. Bei noc öeren Spannungen verläuft die Kurve gegen die Tunnelkennlinie für zwei Normalleiter. Bei endlicen Temperaturen aben wir die Besetzung im Normalleiter etwas verscmiert und auc entsprecend einige Einzelelektronen im Supraleiter oberalb der Energielücke, die auc etwas kleiner ist. Dann eralten wir eine Kennlinie, wie sie in Kurve 3 in Abbildung 4.5 scematisc dargestellt ist: Abbildung 4.5: Die erwartete Kennlinie eines M-I-S-Kontaktes Dieses Experiment musste bei tiefen Temperaturen durcgefürt werden. Die obenliegende Aluminiumscict seiner Proben wurde gegen Blei ausgetausct und die Aluminiumoxidscict wurde viel dünner ergestellt. Bei diesem Versuc at er die Proben nict aufgeeizt, sonder nur ein paar Minuten in der Luft liegen lassen. Damit war die Dicke der Oxidscict nur ca. 3 Å. Blei wird unter 7, K und Aluminium unter, K Supraleiter. Als dieses Experiment durcgefürt wurde, at sic der Verlauf der Strom-Spannungs-Kennlinie unteralb der kritiscen Temperatur von Blei merklic geändert. 7

29 Abbildung 4.6: Die resultierten Kennlinien für die M-I-S-Probe bei untersciedlicen Temperaturen Bei tieferen Temperaturen ändert sic die Bandlücke und demzufolge die Strom- Spannungs-Kennlinie. Es ist bekannt, dass Supraleiter bei oen Magnetfeldern Normalleiter werden. Um die Korrekteit seiner Anname zu prüfen, at Giaever das Experiment bei konstanter Temperatur (,6 K) mit untersciedlicen Magnetfeldern durcgefürt. Abbildung 4.7: Die resultierten Kennlinien für die M-I-S-Probe bei untersciedlicen Magnetfeldern Die Kurven zeigen ebenfalls eine Abängigkeit der Bandlücke vom Magnetfeld. Die Größe der Bandlücke stimmte mit vorerigen Werten überein, die früer von anderen mit versciedenen Messmetoden bestimmt wurden. Giaever berictet, dass er sic in dieser Zeit zum ersten Mal als Pysiker gefült at. 8

30 4.3 Experimente mit Supraleiter-Isolator-Supraleiter-Proben Der näcste Scritt war natürlic der Aufbau einer Probe mit Supraleitern auf beiden Seiten. Wir betracten erst den Fall T. Bei e V= - wird ein Maximum des Tunnelstroms erreict, weil nun alle Einzelelektronen des Supraleiters nac rects tunneln können und dort eine besonders oe Dicte unbesetzter Zustände finden. Der Strom nimmt dann mit wacsender Spannung ab, weil die Dicte der unbesetzten Zustände in abnimmt. Bei e V= + wird dann ein besonders steiler Anstieg des Stroms beobactet. Hier kommt nun sowol die oe Dicte der besetzten, als auc der unbesetzten Zustände zur Geltung. Abbildung 4.8: Das Energiediagramm und die Kennlinie eines S-I-S-Kontaktes In dem besonders steilen Anstieg liegt der messtecnisce Vorteil bei der Verwendung von zwei Supraleitern. 9

31 4.4 Der Suprastrom Als näcstes at Giaever mit anderen seiner Kollegen die Experimente entwickelt. Es wurden Experimente mit untersciedlicen Materialien bei tieferen Temperaturen und öeren Magnetfeldern durcgefürt. Eine dieser Kennlinien ist ier dargestellt. Abbildung 4.9: Die Entdeckung des Suprastroms Kurve zeigt einen messbaren Strom one angelegte äußere Spannung. Dieser Effekt wurde von Giaever als ein metalliscer Kurzscluss erklärt. Später at er aber von einem Artikel von Brian Josepson in Pysics Letters geört. Der Effekt wurde von Josepson so erklärt, dass es möglic ist durc einen Supraleiter-Isolator- Supraleiter-Übergang one angelegte äußere Spannung einen Suprastrom fließen zu lassen. Dieser Effekt ist als DC-Josepson-Effekt bekannt. So ein Strom ist nur dann messbar, wenn die Dicke der Oxidscict klein genug ist (ca. Å). Der neu entdeckte Strom ist gegenüber dem bekannten Tunnelstrom ein Suprastrom bei U= V. Der Josepson-Gleicstrom, der von Cooper-Paaren getragen wird, kann bis zu einem Maximalwert I max gesteigert werden. Überscreitet man jedoc diese Grenze, so fällt am Kontakt eine Spannung ab und die Kennlinie springt auf einen Punkt, der durc den äußeren Widerstand bestimmt wird. An dieser Stelle in der Strom-Spannungs-Carakteristik tritt nun ein ocfrequenter Cooper-Paar- Wecselstrom (AC-Josepson-Effekt) und ein Quasiteilcen-Gleicstrom auf. Bei noc öeren Spannungen get auc diese Kennlinie in die omsce Gerade über. Wie können wir die Josepson-Effekte teoretisc bescreiben und daraus Bezieungen für den Josepson-Gleic- und Wecselstrom erleiten? Da sic alle Cooper-Paare im Grundzustand in einem quantenmecaniscen Zustand befinden (denn sie georcen der Bose-Einstein-Verteilung S= und K=), können sie durc eine Zustandsfunktion bescrieben werden: ψ = n c exp( iϕ ) bzw. ψ = ( i ) n c exp ϕ 3

32 Die Supraleiter und werden durc die Scrödinger-Gleicung bescrieben. Dabei wird die Kopplung der Supraleiter durc die Kopplungskonstante K dargestellt. Einsetzen der Zustandsfunktionen liefert: n& n& c n c n c c exp exp i ψ t + ψ i = Eψ + K t = Eψ Kψ ψ { } ( iϕ ) + i n exp( iϕ )& ϕ = E n exp( iϕ ) + K n exp( iϕ ) c i ( iϕ ) + i n exp( iϕ )& ϕ = E n exp( iϕ ) + K n exp( iϕ ) c i c c { } Als näcstes werden Real- und Imaginärteil voneinander getrennt c c i i n& c n n& c c n c K = nc K = nc sin sin ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) { E n + K n ( ϕ )} i n & cϕ = c c cos ϕ i n & cϕ = E nc + K nc cos ϕ ϕ { ( )} Da aber der Austausc immer symmetrisc sein muss und wir der Einfaceit alber gleice Supraleiter annemen ( n & = n& n = n ), folgt: n & c c, c c K = ϕ c nc sin ( ϕ ) = n& Der Strom ergibt sic nun aus der zeitlicen Änderung der Cooper-Paar-Dicten nac Multiplikation mit dem Volumen des Supraleiters und der Ladung e: ( ϕ ) S = I S, max sin ϕ c I (4-) mit I K e = V S, max n c Es wird also one Spannung ein Supragleicstrom fließen, dessen maximaler Wert nur von der Geometrie des Kontakts und der Konzentration der Cooper-Paare im Supraleiter abängt. 3

33 Aus den letzten beiden Gleicungen folgen die Bezieungen für den Fall des Spannungsabfalls. Es ergibt sic eine Differenzialgleicung für die zeitlice Änderung der Pasendifferenz: d eu ( ϕ ) ( E E ) ϕ = = dt Integration liefert: eu ( ϕ ϕ ) = t + ϕ Die Pasendifferenz wäcst also linear mit der Zeit an. Somit tritt ein Wecselstrom auf, dessen Frequenz durc die anliegende Spannung bestimmt ist: eu ν = Für eine Spannung von mv ergibt sic eine Frequenz von 4,85. Hz (also ca. 5 GHz), das eißt langwellige Ultrarotstralung. 4.5 SQUID Josepson-Tunneln von Cooperpaaren im Zusammenang mit Magnetfeldern ermöglict Experimente, die die oe Koärenz des supraleitenden Zustands änlic wie bei der Interferenz von koärentem Lict zeigen. Die Realisierung der Experimente berut darauf, dass ein ockoärenter Suprastrom auf zwei Wege aufgeteilt wird (Abbildung 4.), die die Josepson-Tunneldioden (a und b) entalten. Die Vereinigung der beiden Stromwege fürt zu einem gesclossenen Umlauf im Suprastromkreis, der nur durc die Tunnelbarriere a und b getrennt ist. Abbildung 4.: Zwei scwac aneinander gekoppelte Supraleiter (I und II) getrennt durc zwei Tunnelbarrieren (a und b) 3

34 An diesen Stellen erfärt gemäß 4- die Gesamtwellenfunktion des supraleitenden Zustandes im Bereic I einen Pasensprung gegenüber der im Bereic II. One ein die supraleitende Scleife in Abbildung 4. durcdringendes Magnetfeld (B=) seien diese Pasensprünge δ a bzw. δ b, d.. die Ströme sind über die Tunnelbarrieren a und b darstellbar als I I a b = I = I sin δ sin δ a b Bei eingescaltetem Magnetfeld B ingegen bestimmt diese, bzw. sein Vektorpotential A auc die Pasendifferenz in den beiden Supraleitern. Die Pasendifferenz zwiscen zwei beliebigen Punkten X und Y ängt in folgender Weise mit dem kanoniscen Impuls zusammen: ϕ XY = Y r r p ds X Der kanonisce Impuls at in Anweseneit eines Vektorpotentials zwei Beiträge: r r r p = mv + ea Eine Pasendifferenz wird also durc einen Strom und durc ein Vektorpotential verursact. Mann kann den Weg aber so wälen, dass man sic im Inneren des Ringes befindet, wo keine Ströme existieren. Ströme fließen nur unmittelbar an der Oberfläce, um das äußere Magnetfeld abzuscirmen. Es bleibt: ϕ XY Y e r r = A ds X Damit ergeben sic die Gesamtpasenänderungen der supraleitenden Zustandsfunktion von I nac II auf den beiden Wegen über a bzw. b zu ϕ ϕ II I II I e = δ a + e = δ b + a b r r A ds r r A ds Wegen der Eindeutigkeit der Zustandsfunktion an einem Punkt müssen die beiden Pasensprünge identisc sein und deren Subtraktion ergibt: e r r e r r e δ b δ a = A ds = B df = Φ (4-) Φ ist der magnetisce Fluss durc den Ring. Die gesamte Pasendifferenz kann also durc den magnetiscen Fluss gesteuert werden. Das zu erwartende Interferenzpänomen der Supraströme wird offensictlic, wenn wir den 33

35 Gesamtstrom I betracten, der sic aus der Summe der Ströme I a und I b unter Berücksictigung des Magnetfeldes ergibt. Mit der aus 4- folgenden willkürlicen Definition von δ (abängig von der Natur der Tunnelbarrieren und der anliegenden Spannung) durc δ δ a b e = δ e = δ + Φ Φ folgt für den Gesamtstrom: I I e = I sin δ + e = I sin δ cos Φ e + sin δ Φ Φ (4-3) Der Suprastrom durc die Parallelscaltung zweier Josepson-Tunnelbarrieren variiert also mit dem durc die supraleitende Scleife dringenden magnetiscen Fluss wie der Cosinus des Flusses. Maxima des Stroms werden erreict für Φ = N π e = N, e N =,,3, K Abbildung 4.: Abängigkeit des Stromes vom angelegtem Magnetfeld d.. jeweils, wenn ein magnetisces Flussquant umsclossen wird. Abbildung 4. zeigt den experimentell ermittelten Strom durc ein Paar von Josepson-Kontakten in Abängigkeit vom Magnetfeld zwiscen den beiden Kontakten. Die Oszillationen zeigen jeweils ein Flussquant an, sie resultieren aus dem Cosinus-Interferenzterm in 4-3. Anwendungen der ier diskutierten Josepson-Effekte sind naliegend. Die beiden stabilen Zustände eines Josepson-Kontaktes (I CP bei U= und Einelektron-Tunnelstrom bei U, Abbildung 4.9) erlauben den Aufbau von binären Scaltelementen in der Mikroelektronik, z.b. in Recnerspeicern. Diese Bauelemente sind extrem scnell, müssen jedoc gekült werden. Die Möglickeit 34

36 der Interferenz zweier Cooper-Paar-Tunnelströme in zwei parallel gescalteten Josepson-Kontakten (Abbildung 4.) at zum Bau von extrem empfindlicen Magnetometern, sog. SQUID s (Superconducting Quantum Interferometer Device), gefürt. Selbst Magnetfelder, die durc Hirnströme verursact werden, können mit Hilfe dieser Bauelemente nacgewiesen werden. 35

37 5 Quellen. Leo Esaki, Reviews of Modern Pysics, Vol. 46, No., April 974. Ivar Giaever, Pysical Review Letters, Vol. 5, No. 4, August 5, Ivar Giaever, Karl Megerle, Pysical Review, Vol., No. 4, May 5, Ivar Giaever, Pysical Review Letters, Vol. 4, No., May 3, Ivar Giaever, Reviews of Modern Pysics, Vol. 64, No., April Ivar Giaever, Pysical Review Letters, Vol. 5, No., November 5, B. D. Josepson, Reviews of Modern Pysics, Vol 64, No., April Ibac, Lüt, Festkörperpysik 9. Hering, Martin, Storer, Pysik für Ingenieure. Werner Buckel, Supraleitung. Prof. Dipl. Ing. Eric Pel, Mikrowellentecnik 36