Betrachten wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für Ψ 1 auf der linken Seite:?

Transkript

1 . Suraflüssigkeit..4. Joseson-Effekte 78 Betracten wir die zeitabängige Scrödinger-Gleicung für Ψ auf der linken Seite:? i H? E t? Da ψ Eigenzustand von H ist, ist? zeitunabängig. Damit ist? dt? e it i i? t Einsetzen in die Scrödingergleicung ergibt: dt Entsrecend gilt für den zweiten Suraleiter auf der recten Seite: Damit eralten wir für die Energiedifferenz: dϕ E E q U Dies ist die. Joseson-Gleicung. dt Eine konstante Sannung fürt zu einer zeitlic veränderlicen Pase und umgekert. Dies gilt für jeden SL, auc für den SL. Art. Daer atten wir in..3.7 (St. 7) die. Josesongleicung bereits verwendet. Wir betracten den all, daß die Sannung zeitlic konstant gealten wird. Dann folgt durc Integration: e ϕ Ut ω J t Setzen wir dies in die erste Joseson-Gleicung ein, so eralten wir: j s E E j ω J sinω Es fließt also ein Wecselstrom, dessen requenz roortional zur Sannung ist. Das Joseson-Element stellt einen Sannungs-requenz-Wandler dar. requenzen lassen sic durc Abzälen der Scwingungen ser genau messen, viel genauer als Sannungen. Daer wird eute im SI-System die Eineit Volt dadurc definiert, daß der Quotient e/ durc Konvention festgelegt wird. Desalb lassen sic Sannungsmeßgeräte direkt mit Hilfe des Josesoneffekts eicen. Dies ist viel genauer als eine Eicung mit dem Weston-Element. Beisiel: ür eine Sannung von µv eralten wir eine Joseson-requenz f J 4,8 GHz. Diese requenz wird in orm einer elektromagentiscen Welle abgestralt. Solc kleine Sannungen sind nict einfac zu realisieren. Aus diesem Grund scaltet man viele ( 5 und mer) Joseson Elemente in Serie (Joseson-Array). eu dt : Joseson - requenz J t,

2 . Suraflüssigkeit..4. Joseson-Effekte 79 Nun wollen wir statt der Sannung den Strom am Joseson Kontakt als konstant annemen. Die Pasenlage stellt sic dann entsrecend ein. ür den Surastrom galt: I s I sinϕ Ist I>I, fließt zusätzlic ein Normalstrom, der in ig..8 als Widerstand R n symbolisiert wird. Dieses Ersatzscaltbild wird als RSJ-Modell (resistively sunted junction) bezeicnet. I s bescreibt darin den Surastrom über den Joseson-Kontakt und I n den Normalstrom. ig..8: Ersatzscaltbild eines Joseson Elements für I>I. Der Gesamtstrom ist gegeben mit: I I ges ges U R n q + I dϕ + sinϕ I sinϕ Die Differentialgleicung für ϕ wird durc Searation der Variablen gelöst und nac t abgeleitet. Damit eralten wir die Sannung: : mittlere Joseson-requenz : mittlere Sannung mit der. Joseson - Gleicung folgt : U q U ( t) mit ω J U und U R I ges I R( I I cosω t) ω J U ges J Hyerbel Als Sannungsabfall eralten wir also eine Hyerbelfunktion. U(t) wird gemessen, wenn entsrecend oe requenzen aufgelöst werden können. Sonst bestimmt man die mittlere Sannung. ig..8 zeigt die entsrecende Strom-Sannungs-Carakteristik. Durc Ausmessen der Kurve bei endlicen Sannungen kann leict auf U extraoliert werden. Dies ist die gängige Metode zur Bestimmung von I und dessen Veränderung im Magnetfeld. Die Differenz aus Gesamtstrom und Normalstrom (Asymtote der Hyerbel) ergibt den Surastrom (grau markiert). ig..8: Strom-Sannungs-Carakteristik des Joseson-Elements

3 . Suraflüssigkeit..4. Joseson-Effekte Josesoneffekt im Magnetfeld Dazu betracten wir einen im Magnetfeld gekülten SL Ring mit einem Joseson Kontakt (ig..8). ig..8: Joseson-Kontakt in einem Magnetfeld. Wir wälen den Integrationsweg tief im Inneren des Rings, so daß j s ist. Ein weiter außen liegender Integrationsweg ergäbe mit der luxoidquantisierung nur eine unnötige Verkomlizierung. Es gilt wieder (s. Ka....4 / St. 48): r r q Θdr r r q Adr ür die Eindeutigkeit der Pase ist ier die scnelle Pasenvariation am Joseson Kontakt zusätzlic zur Integration entlang des Ringes wesentlic. Damit gilt: Θ r r dr + ϕ π n q int π n ϕ ( int luß im Integrationsweg) (.) Offenbar ist der luß nun nict mer quantisiert. Der luß Φ int setzt sic zusammen aus dem luß Φ ext, den die äußere Sule im Ring erzeugt und dem luß, den der Abscirmstrom im Ring erzeugt: LI int ext ext LI sinϕ dabei ist L die Induktivität des Rings. Mit ϕ aus (.) aufgelöst eralten wir: q int int ext LI sin ext LI sin π Eine numerisce Lösung dieser imliziten Gleicung für Φ int als unktion von Φ ext zeigt igur.83. int

4 . Suraflüssigkeit..4. Joseson-Effekte 8 ig..83: Numerisce Lösung der imliziten Gleicung für Φ int. One Joseson-Kontakt eralten wir die gewonte lußquantisierung. Dazu müssen wir allerdings nac jeder Änderung von Φ ext die Probe vorübergeend über T c aufwärmen, damit sic der Gleicgewictszustand einstellen kann. Mit Joseson-Kontakt ist der Verlauf von Φ int nict mer stufenförmig. ür kleine I stellt sic der luß im Inneren reversibel ein. ür größere I ergibt sic teoretisc eine negative Steigung. Dort ist das Veralten instabil und man erält eine Hysterese. Diese wird beim sog. R-SQUID (R:radio frequency) für emfindlice B-eld Messungen ausgenützt. Nun wollen wir einen Ring mit zwei Joseson Kontakten betracten. Dieser ist scematisc in igur.84 gezeigt. ig..84: Ring mit zwei Joseson Kontakten. Wegen der Eindeutigkeit der Pase gilt ier (beacte Vorzeicen des Pasensrungs relativ zur Stromrictung): q int π n ( ϕ -ϕ ) mit I ges I +I I sinϕ + I sinϕ wobei der Strom I des ersten und zweiten Joseson Elements möglicst gleic sein soll. Mit Hilfe des Additionsteorems für Sinusfunktionen eralten wir: ϕ + ϕ ϕ ϕ I ges I sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ I sin + ϕ cos I sin + ϕ cos

5 . Suraflüssigkeit..4. Joseson-Effekte 8 Dabei stellt sic ϕ so ein, daß gerade der Strom I ges fließt. Dieser wird maximal für sin ±, also: I ges, max I cos Der Verlauf des gesamten maximalen Stroms ist in ig..85 gezeigt. Wir eralten ein dem Interferenzmuster bei Beugung am Doelsalt entsrecendes Bild. ig..85: Oszillation des gesamten maximalen Stromes bei einem Ring mit Joseson Kontakten I ges,max wird wieder mit dem RSJ-Modell gemessen. Die entsrecende Strom- Sannungs-Carakteristik für untersciedlice Magnetfelder zeigt ig..86. Entsrecend ist die Oszillation mit dem Magnetfeld zu erkennen. ig..86: Strom-Sannungs-Carakteristik für einen Ring mit Joseson Kontakten Diese Anordnung bezeicnet man als -Kontakt SQUID. In einer realen Messung wird nict die gesamte Carakteristik aufgenommen, sondern ein Vorstrom eingestellt und die Sannungsoszillation als unktion des Magnetfelds gemessen. Biser aben wir die Joseson-Elemente als ser klein angenommen, d.. mit konstanter Pase inneralb des Elements. Ein größerer Joseson-Kontakt kann auc im Inneren eine örtlice Pasenvariaiton und damit untersciedlice Stromdicten aufweisen. Es läßt sic zeigen, daß man für einen omogenen Kontakt ein Interferenzmuster erält, das dem bei Beugung am Einzelsalt entsrict. (s. ig..87). ig..87: Mit dem RSJ-Modell gemessener Maximalstrom bei Pasenvariation im Einzelkontakt

6 . Suraflüssigkeit..4. Joseson-Effekte 83 Die Maxima nemen mit steigendem luß ab. Es ergibt sic die Saltfunktion (raunofer-attern) (s. Scmi St. 88): sin x, wobei x x Das raunofer Muster erält man nur bei einem omogenen Salt. Damit kann die Homogenität eines Joseson Kontakts getestet werden. Bis jetzt aben wir das Paarfeld und seinen Eigenscaften betractet. ür T> sind außerdem Einzelelektronen voranden. Zu deren Bescreibung benötigen wir die BCS Teorie, auf die im näcsten Kaitel eingegangen werden soll.

7 . Mikroskoisce Teorie.3.. Paaranzieung Mikroskoisce Teorie Die Bewegung der einzelnen Elektronen wird weder bei der London Teorie noc bei der Ginzburg-Landau Teorie berücksictigt. Dazu benötigen wir die BCS Teorie. Zunäcst wollen wir darauf eingeen, warum die Elektronen Paare bilden..3.. Paaranzieung Grundsätzlic ist die Paaranzieung ein -Körerroblem. Mit Hilfe der reduzierten Masse läßt es sic aber auf ein -Körerroblem reduzieren. Wie eralten wir nun einen gebundenen Zustand? Im Gegensatz zum - Dimensionalen benötigt man im 3-Dimensionalen dazu eine Mindeststärke des Potentials (s. Scwabl QM)..3.. Mindeststärke des Potentials Die für den gebundenen Zustand nötige Lokalisierung kostet kinetisce Energie. Nac der Unscärferelation gilt im d : 3d :?x??x?y?z??x?y?z? Das Volumen im Ortsraum mal dem Volumen im Imulsraum ist das Pasenraumvolumen. Das Volumen im Imulsraum ist mindestens: x? y? V :Volumen im Ortsraum : Volumen im Imulsraum Damit ergibt sic auscal (Tunneln des Teilcen über den Potentialtof inaus ist nict berücksictigt) die Lokalisierungsenergie zu: / 3 Vim / 3 Elok VOrt m m m Dies ist in etwa die Mindeststärke des Potentials, die für einen gebundenen Zustand benötigt wird. Ist die Lokalisierungsenergie größer als die Potentialtiefe, ergibt sic kein gebundener Zustand, sondern nur ein Resonanz-Zustand. Diese Betractung gilt für freie Teilcen. Wäre auc im estkörer eine solce Mindestenergie erforderlic, so könnte man nict versteen, wesalb sic Paare binden können. Denn die Bindungsenergie at die Größenordnung von k B T c und ist damit viel zu klein. Cooer zeigte jedoc als erster, daß bei Vorandensein einer ermisee keine Mindestenergie nötig ist. Das soll nacfolgend lausibel gemact werden. ig..88 zeigt die Besetzungswarsceinlickeit (T) für einen NL bzw. SL. z x? y? 3 3 / 3 im V im z 3

8 . Mikroskoisce Teorie.3.. Paaranzieung 85 ig..88: Besetzungswarsceinlickeit für einen NL bzw. SL bei T Im SL müssen sic zur Lokalisierung die Paare aus den k-zuständen Wellengruen bilden. Dazu ist es nötig, Zustände oberalb von k zu besetzen und Zustände unteralb von k frei zu geben. Je stärker wir im Ortsraum lokalisieren, desto stärker ist der k-raum verscmiert. Dies ist in ig..88 stark übertrieben dargestellt. Die Verscmierung k ist in der Größenordnung der reziroken Koärenzlänge. Nun soll wieder die Mindestenergie nac der Unscärferelation abgescätzt werden. Das Volumen des Imulsraumes ist gegeben mit: ( ermiimuls) V im 4π v E 4π 4π V 3 Ort E v Es ist also keine Mindeststärke des Potentials erforderlic, da >> ist. für.3... Anzieung bei metallsicen-sl (LTS) Den exerimentellen Hinweis ierfür lieferte der Isotoeneffekt. Dazu wurde die kritisce Temeratur in isotoenreinen Proben genau bestimmt. Es zeigte sic, daß T c mit der Masse M des Isotos variiert. Es gilt: T c M Dies zeigte, daß die Bewegung des Gitters eine Rolle sielt. Auc für die Debye- requenz gilt: ω D M Also sind die Pononen für die Anzieungskraft wictig. Eine Anzieung zwiscen Elektronen im estkörer durc Vermittlung von Pononen wurde erstmals von rölic vorgesclagen (95). Dazu betracten wir zunäcst die Elektron Ponon Wecselwirkung.