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1 Fläcen im Raum Grap und Scnittkurven Im ganzen Artikel bezeicnet D eine Teilmenge des R 2 und eine skalarwertige Funktion in zwei Veränderlicen. Der Grap f : D R 2 R : (x, y) z = f(x, y) G = { (x, y, z) D R ; z = f(x, y) } R 3 einer Funktion f : D R stellt zumindest wenn f inreicend regulär ist eine Fläce im Raum dar. Zur Diskussion des Fläcenverlaufs werden gewisse Kurven auf der Fläce betractet. Die Parameterlinien sind die Grapen der partiellen Abbildungen, die man durc Festalten einer der beiden Variablen y = b oder x = a erält. Man nennt die durc die partiellen Abbildungen definierten Kurven x ( x, b, f(x, b) )... x-scnittkurve ; y ( a, y, f(a, y) )... y-scnittkurve. Geometrisc ergibt sic deren Grap als Scnitt von G mit der senkrecten Ebene y = b bzw. x = a: Die Niveaulinien sind die Projektionen der Scnitte des Grapen G mit den orizontalen Ebenen z = c in die (x, y)-ebene: also N c = { (x, y) D ; f(x, y) = c }. Die Menge N c eißt Niveaulinie zum Niveau c. Beispiel : Die durc den Grapen der quadratiscen Funktion f : R 2 R : (x, y) z = x2 a 2 y2 b 2 bescriebene Fläce wird Sattelfläce oder auc yperbolisces Paraboloid genannt. Die Abbildung unten zeigt den Grapen von z = x 2 /4 y 2 /5 mit Parameterlinien sowie Scnittkurven mit den Ebenen z = c für ausgewälte Werte von c (links) sowie die Niveaulinien (rects) für dieselben Werte von c. Die sic kreuzenden Geraden sind die Niveaulinien zum Niveau c = 0.

2 Stetigkeit: Wie bei Funktionen in einer Veränderlicen wird die Stetigkeit von Funktionen in zwei Veränderlicen mittels Folgen carakterisiert. Den Begriff der Konvergenz von Folgen in zwei Veränderlicen ist wie folgt definiert: Sei (a n ) n = (a, a 2, a 3,...) eine Folge von Punkten in D mit Elementen a n = (a n, b n ) D R 2. Man sagt, die Folge (a n ) n konvergiert für n gegen a D, in Zeicen: (a n, b n ) = a n a = für n bzw. lim n a n = a, genau dann wenn die beiden Komponenten der Folge konvergieren, also wenn Folgendes gilt: lim a n = a und lim b n = b. n n Eine Funktion f : D R eißt stetig im Punkt a D, falls für alle Folgen (a n ) n, die in D gegen a konvergieren, gilt lim n f(a n) = f(a), d.. das Funktions- und das lim-zeicen sind vertauscbar. Die Abbildung zeigt eine Funktion, welce entlang einer Geraden Unstetigkeitsstellen besitzt, in allen anderen Punkten jedoc stetig ist. 2

3 2 Partielle Ableitungen Die partiellen Ableitungen einer Funktion in zwei Veränderlicen sind die Ableitungen der partiellen Abbildungen, d.. der Abbildungen, die man durc Festalten einer der beiden Variablen x = a oder y = b erält. Definition: Sei D R 2 offen, f : D R und a = D. Die Funktion f eißt im Punkt a partiell nac x differenzierbar, falls der Grenzwert f(x, b) f = lim x x a x a existiert. Weiters eißt f im Punkt a partiell nac y differenzierbar, falls der Grenzwert existiert. Die Größen f(a, y) f = lim y b y b x bzw. nennt man partielle Ableitung von f nac x (bzw. y) an der Stelle. Weiters eißt f partiell differenzierbar in a, wenn beide partiellen Ableitungen existieren. Geometrisc interpretiert man die partiellen Ableitungen als Steigung der Tangenten der beiden Scnittkurven x (x, b, f(x, b)) und y (a, y, f(a, y)). Für die beiden Tangentenvektoren v und w an den Grapen der Funktion im Punkt (a, b, f) erält man damit die Darstellung v = x 0, w = 0. Da partielles Differenzieren nicts anderes als gewönlices Differenzieren nac einer Variablen (bei Festalten der anderen) ist, gelten die üblicen Ableitungsregeln. Beispiel 2: Sei r : R 2 R : (x, y) x 2 + y 2. Diese Funktion ist außer bei (x, y) = (0, 0) überall partiell differenzierbar. Die partiellen Ableitungen lauten r x (x, y) = 2x 2 x2 + y = x 2 r(x, y), r (x, y) = 2y 2 x2 + y = y 2 r(x, y). 3

4 Das näcste Ziel ist es, beide Variablen der Funktion gleiczeitig zu variieren. Das fürt auf den Begriff der totalen Ableitung (auc Frécetableitung genannt). Definition: Sei D R 2 offen und f : D R. Die Funktion f ist im Punkt D (total) differenzierbar, falls eine lineare Abbildung A : R 2 R existiert mit und der Rest R(x, y; a, b) die Bedingung f(x, y) = f + A(x a, y b) + R(x, y; a, b) lim (x,y) (a,b) R(x, y; a, b) (x a)2 + (y b) 2 = 0 erfüllt. Die lineare Abbildung A eißt Ableitung von f im Punkt. Wir screiben für A auc Df. Die zur linearen Abbildung Df geörige ( 2)-Matrix eißt Jacobimatrix von f. Wir bezeicnen sie mit f. Die Frage, ob die totale Ableitung einer Funktion eindeutig ist und wie man sie berecnet, beantwortet der folgende Satz. Satz: Sei D R 2 offen und f : D R. Falls f in (x, y) D total differenzierbar ist, dann ist f in (x, y) auc partiell differenzierbar, und es gilt [ ] f (x, y) = (x, y), (x, y). x Die Komponenten der Jacobimatrix sind also notwendigerweise durc die partiellen Ableitungen gegeben. Beweis: Wir zeigen exemplarisc Da f in (x, y) total differenzierbar ist, gilt ( f (x, y) ) = (x, y). 2 f(x, y + ) = f(x, y) + f (x, y) [ 0 ] + R(x, y + ; x, y). Somit ist f(x, y + ) f(x, y) ( f (x, y) ) R(x, y + ; x, y) = 0 für 0. 2 Damit ist f partiell nac y differenzierbar, und die zweite Komponente der Jacobimatrix ist die partielle Ableitung von f nac y. Beispiel 3: Die Funktion f : R 2 R : (x, y) x 2 e 3y ist total differenzierbar, ire Ableitung lautet f (x, y) = [ 2xe 3y, 3x 2 e 3y] = xe 3y [2, 3x]. Interpretation der totalen Ableitung: Mit Hilfe der totalen Ableitung erält man eine lineare Approximation g(x, y) an den Funktionsgrapen in der Näe von [ ] g(x, y) = f + f x a f(x, y). y b Wir wollen nun die Ebene z = f + f [ ] x a y b 4

5 geometrisc interpretieren. Dazu benützen wir, dass die Komponenten der Jacobimatrix die partiellen Ableitungen sind. Damit lässt sic obige Gleicung screiben als z = f + (x a) + (y b), x bezieungsweise in Parameterform (x a = λ, y b = µ) x y = a b + λ 0 + µ z f x 0. Die Ebene trifft den Grapen von f im Punkt (a, b, f) und wird von den Tangentenvektoren der Scnittkurven aufgespannt. Die Gleicung z = f + (x a) + (y b), x bescreibt daer die Tangentialebene an den Grapen von f im Punkt. Die Funktion f : D R ist somit in (x, y) D total differenzierbar, genau dann wenn der Grap von f in (x, y) eine Tangentialebene besitzt. Beispiel 4: Wir berecnen die Tangentialebene an einen Punkt auf der Nordalbkugel (mit Radius r) f(x, y) = z = r 2 x 2 y 2. Sei c = f = r 2 a 2 b 2. Die partiellen Ableitungen von f in sind a = x r2 a 2 b = a 2 c, Somit lautet die Gleicung der Tangentialebene b = r2 a 2 b = b 2 c. bezieungsweise z = c a c (x a) b (y b), c a(x a) + b(y b) + c(z c) = 0. Letztere Formel gilt sogar für alle Punkte auf der Kugeloberfläce. 3 Rictungsableitung Biser waren Funktionen f : D R 2 R stets auf dem Punktraum R 2 definiert. Für die Zwecke der Rictungsableitung ist es günstig und üblic, die Argumente (x, y) R 2 als entsprecende Ortsvektoren x = [x, y] T zu screiben. In dieser Weise definiert jede Funktion f : D R 2 R auf dem Punktraum eine entsprecende Funktion auf den Spaltenvektoren. Wir identifizieren diese beiden Funktionen und müssen somit im Folgenden nict zwiscen f(x, y) und f(x) untersceiden. In Abscnitt 2 aben wir partielle Ableitungen entlang Koordinatenacsen berecnet. Jetzt wollen wir in beliebigen Rictungen differenzieren. Definition: Sei D R 2 offen, x = [x, y] T D und f : D R. Sei weiters v R 2 mit v =. Der Grenzwert v f(x) = f(x + v) f(x) f(x + v, y + v 2 ) f(x, y) (x) = lim = lim v 0 0 5

6 (falls existent) eißt Rictungsableitung von f bei x in Rictung v. Die partiellen Ableitungen sind Spezialfälle der Rictungsableitung, nämlic die Ableitung in Rictung der Koordinatenacsen. Die Rictungsableitung v f(x) bescreibt, wie sic die Funktion f im Punkt x in Rictung v ändert. Das siet man aus folgender Überlegung: Wir betracten die Gerade {x + tv t R} R 2 und die Funktion g(t) = f(x + tv) (f eingescränkt auf diese Gerade) mit g(0) = f(x). Dann gilt g g() g(0) f(x + v) f(x) (0) = lim = lim = v f(x). 0 0 Als Näcstes wollen wir klären, wie man die Rictungsableitung einfac berecnen kann. Satz: Sei D R 2 offen, v = [v, v 2 ] T R 2, v = und f : D R total differenzierbar in x = [x, y] T. Dann gilt v f(x) = f (x, y) v = x (x, y) v + (x, y) v 2. Beweis: Da f in x total differenzierbar ist, gilt Daraus folgt f(x + v) f(x) und für 0 die Aussage des Satzes. f(x + v) = f(x) + f (x) v + R(x + v, y + v 2 ; x, y). = f (x) v + R(x + v, y + v 2 ; x, y), Weitere Ausfürungen zu Fläcen im Raum finden Sie im Abscnitt 5 des Lerbucs M. Oberguggenberger, A. Ostermann: Analysis für Informatiker. Springer-Verlag, Berlin

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