Anwendungen der Potenzreihenentwicklung: Approximation, Grenzwerte; Wachstum

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1 Anwendungen der Potenzreienentwicklung: Approximation, Grenzwerte; Wacstum Lokale Näerung einer Funktion durc ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen aben viele angeneme Eigenscaften. Man weiß viel über ir Veralten, sie sind leict auszuwerten, und daer werden sie gerne als lokale Näerung (in der Umgebung eines Punkte) komplizierterer Funktionen benutzt. Für eine Näerung auf größeren Intervallen benutzt man dagegen zum Beispiel Interpolation, ggf. auc Splines, oder die Metoder der kleinsten Quadrate. Die lineare, lokale (d.. an einer Stelle x0 ) Näerung von f durc die Tangente, auctaylorpolynom vom Grad, und Linearisierung von f genannt ist definiert durc die affin lineare Funktion Damit kann man unter anderem Näerungsverfaren für die Nullstellenbestimmung von f konstrieren, Newtonverfaren Die quadratisce, lokale Näerung durc ein quadratisces Polynom (Taylorpolynom vom Grad ) an einer Stelle x0 : Falls f n mal stetig differenzierbar ist, gilt folgende Reienentwicklung (sog. Taylorreie mit Lagrange Restglied) wobei für die Zwiscenstelle gelten soll x0 x0. T,x0 (x) = f( x0) f ( x0)(x x0) (x) = f( ) ( )(x ) ( )(x f x0 x0) T,x0 x0 f x0 x0 f(x) = f( x0) f ( )(x ) x0 x0 ( )(x... ( )(x! (z)(x f x0 x0) n! f (n) x0 x0) n (n ) f (n) x0) n z z ( ;x) (x; ) Das Bild zeigt die Exponentialfunktion (scwarz) und die ersten 3 Taylorpolynome als Näerungen (rot, blau, grün) an der Stelle x0 guten lokalen (d. in der Näe von x0 ) Approximationscarakter der Taylorpolynome. Man erkennt den Diese Reienentwicklungen sind für viele Funktionen scon tabelliert in Formelsammlungen. Zur Taylorentwicklung siee auc Taylorreie. Damit kann man solce inreicend oft differenzierbaren Funktionen in der Näe einer Stelle x0 D(f) beliebig genau durc ein Polynom annäern und eventuell den Feler abscätzen. Genutzt wird dieses zum Beispiel in Digitalrecnern. Diese können ser scnell addieren und damit multiplizieren eine Multiplikation wird ja auf Additionen zurückgefürt und damit können Digitalrecner auc scnell Polynome an einer Stelle auswerten, z.b. mit dem Hornerscema. Soll zum Beispiel der Sinuswert eines Winkels 0 < x < π/ ermittelt werden, so läuft ein kleines Programm ab, welces statt des sin(x) ein inreicend genaues Taylorpolynom an x und der Stelle x0 auswertet. Beacte, dass die geraden Ableitungen alle Null werden. sin(0) sin(x) sin(0) cos(0)(x 0) (x 0) (x 0...= x... cos(0) ) 3 3! x3 5! x5 7! x7 Bereits die Näerung mit einem Polynom vom Grad 5 (dazu nur Auswertung von 3 Potenzen nötig) ist ziemlic genau. Andere Winkel kann man durc Versciebungen (siee Trigonometrisce Funktionen ) auf Werte im Intervall (0;π/) zurückfüren. Man kann auc den Feler der Näerung abscätzen. Damit weiß der Recner bzw das Näerungsprogramm auc, wie weit die Taylorentwicklung zu treiben ist um eine vorgegebene Genauigkeit (z.b. 0 Stellen exakt) zu erreicen.

2 Geen wir mit der Näerung bis Grad 5, also berecnen mit einem so ist der Feler nac der Lagrangedarstellung im Restglied genau Der Sinus wäcst bekanntlic monoton im Intervall daer kann ier die Abscätzung genutzt werden. Für würden wir etwa den maximalen Feler eralten. Tatsäclic ist er noc kleiner, denn. x (0;π/) sin(x) x 3! x3 5! x5 Δ = sin(x) (x ) = sin(z) 3! x3 5! x5 x 7! mit 0 < z < x < π/ (0,π/) sin(z) x = π/4 π Δ 7 0, ! sin(π/4) < Das Bild zeigt die lineare (rot) und die Näerung vom Grad 3 (blau) der Sinusfunktion (scwarz) am Nullpunkt. Für das Auge für kleine Winkel nae dem Entwicklungspunkt x0 bis etwa π/ kaum zu untersceiden. Das Bild zeigt aber auc, dass die Näerung einer Funktion über ein einziges Taylorpolynom global nicts bringt. Entfernen wir uns vom Entwicklungspunkt, so wird wäcst der Feler scnell an. Die erste Näerung des Sinus, also die Linearisierung sin(x) x ( x "klein" ) wird in der Pysik benutzt, um die Pendelscwingung für kleine Ausscläge zu linearisieren und damit explizite Lösungen der genäerten Scwingungsgleicung berecnen zu können. Pendel Reienentwicklungen zur Berecnung von Grenzwerten als Alternative zu den Regeln von L'Hospital. Die Regeln von L'Hospital besagen, dass man den Grenzwert von Quotienten unter bestimmten Voraussetzungen (Zäler und Nenner geen beide gegen Null oder beide gegen unendlic) auc über den Grenzwert der Ableitungen von Zäler und Nenner berecnen kann, kurz: f(x) Falls f(x) = g(x) = g(x) x x0 f(x) ± f(x) x x0 Die Screibweise soll bedeuten, wird beliebig groß für. Dann gilt analog Die typiscen Anwendungbeispiele sind Quotienten von Funktionen, die durc Differenzieren einfacer werden. Gegebenenfalls muss man die Regeln auc merfac intereinander anwenden. f(x) (x x0 : f(x) ±,g(x) ± ) = g(x) f (x) g (x) f (x) g (x) sin(x) cos(x) = = = x cos(x) sin(x) cos(x) =, = x x Grenzwerte durc Reienentwicklungen berecnen

3 Grenzwerte durc Reienentwicklungen berecnen Leider werden verkettete Funktionen durc Differenzieren oft komplizierter. Betracten wir den Grenzwert des Quotienten sin( x x 3 ) cos(x 7 x 5 ) Mit den Regeln von L'Hospital stößt man da scnell an Grenzen, weil die Ableitungen kompliziert werden, am besten selber testen. Reienentwicklung ilft ier jedoc weiter. x 3 sin(x) = x..., cos(x) =... 4! x 0 x x 3 x Für verält sic der Sinus im Wesentlicen wie denn der Term konvergiert viel scneller gegen Null als (der Langsamste bestimmt ier das Tempo). Für x 0 verält sic dagegen cos(x) im Wesentlicen wie x, denn der Term x 4 konvergiert viel scneller gegen Null als x Wenn man die Konvergenzordnung in x Potenzen misst (sog. O Kalkül) kann man kurz screiben: x 0 : O(sin(x)) = O(x), O(cos(x) ) = O( x ) Genauer definiert bedeutet ier O(f(x)) = O( x p ): Es gibt Konstanten 0 < c c, sodass für inreicend kleines x die Ungleicung x x f(x) x c p c p > p x 4 gilt. Über die Größe der Konstanten wird nicts ausgesagt, es muss nur solce Konstanten geben. Terme "öerer Ordnung" inreicend kleinen x in die Abscätzung mit "ineinpacken". Am Beispiel: Für gilt z.b. stets x x 4 x 3 x x, kann man ab einem somit Also: O(x ( x ) x x 3 ( ) x x 3 ) = O(x) wenn x inreicend klein Wir aben nun noc die Polynome als Argument der Sinus bzw Kosinusfunktion zu berücksictigen. Diese setzen wir einfac in die obige Reienentwicklung ein: sin( x x 3 ) = ( x x 3 ( ) x 3 ) 3... cos(x 7 x 5 (x 7x ) = ( 5 ) (x 7x 5 ) 4 )... 4! Wir müssen die Klammern nict alle genau ausrecnen, es genügt jeweils die beiden kleinsten Potenzen zu seen: sin( x x 3 ) = x O( x 3 ), cos(x 7 x 5 ) = x O( x 4 ) somit sin( x x 3 ) O( ) = = cos(x 7x 5 x 3 x O( x 4 ) Das ganze Verfaren wirkt auf den ersten Blick komplizierter als es ist. Reienentwicklungen aben sic nict one Grund scon seit Jarunderten als nützlices Werkzeug zur Funktionsanalyse bewärt. Wenn man den "algebraiscen" Blick auf Potenzentwicklungen durc Übung etwas gescärft at, gestaltet sic diese Grenzwertberecnung immer einfacer. Noc ein Beispiel mit "gemiscter" Tecnik: Gesuct ist sin(exp(x) ) x x exp(x) exp(x) =... x x3 Die ersten Glieder der Taylorreie von an x0 nac der Definition oben berecnet : sin(exp(x) ) = O( ). Es ist also nac dem biserigen x Im Nenner entwickeln wir tunlicst nict, denn ier können wir einfac x ausklammern und mit dem Nenner kürzen

4 Als Grenzwert für x 0 eralten wir somit / Der Fall sin(exp(x) ) O( x = ) O(x) = x x x x 4 x 4 lässt sic oft durc Umformen auc auf Quotienten zurückfüren. f(x) = 3, x > f(x) =? Bruc erweitern, 3. Binomisce Formel: f(x) = 3 ( 3 )( 3 ) = = = 3 x ( 3 ( ) 3 x 3 x Also f(x) Allgemein get es genau so (erweitern, 3. Binomisce Formel ) : Mit diesem Trick kann man direkt auc die Ableitung der Wurzelfunktion d f Somit Wer Abscätzungen liebt und ein wenig Algebra üben möcte, der darf sic am näcstöeren Beispiel Differenzenquotienten die Ableitung bestimmen. Noc einige Aufgaben zum Testen und Üben der Tecniken. Untersuce jeweils ob der Grenzwert existiert und berecne in gegebenenfalls. Wacstum von Funktionen mit Reienentwicklung abscätzen Wacstum von Logaritmus und Exponentialfunktion Der Logaritmus wäcst langsamer als jede Potenz Diese Beauptung lautet matematisc formuliert: Beweis über Regel von L'Hospital weil die Ableitung des unberscränkt, also Voraussetzung von L'Hospital erfüllt. mit x Potenzen verrecnet werden kann. Zäler und Nenner wacsen mit Die Reienentwicklung des ier einzusetzen und mit x p zu verrecnen, wäre genauso möglic. Die Exponentialfunktion wäcst scneller als jede Potenz Betracten wir beipielaft einmal eine ser große Potenz im Vergleic zur Exponentialfunkion, also z.b. den Quotienten von L'Hospital müssten wir den Nenner 000mal differenzieren um den Grenzwert berecnen zu können. Mit Reienentwicklung ätten wir änlic argumentieren können g(x) (x) g(x) (x) = g(x) (x) f(x) = x über den Differenzenquotienten bestimmen. f( ) f(x) () = = x ( )( ) = x x = = ( x) ( x) 0 d f () = versucen und direkt über den Diese Reienentwicklung können wir auc für irgendeinen Exponenten p IN genauso aufscreiben. Will man den Beweis mit l'hospital für ein beliebiges p IN erbringen, so kann man mit vollständiger Induktion argumentieren. Skizze: x f(x) = x /3 x f(x) = x( x x ( ) ), g(x) =, (x) = x ( x ) ln x 000 exp(x) ln(x) Für jedes p > 0 : ln ln(x) x p x 000 exp(x) x p = = xpx p px p =...= 000!. exp(x) x 000 =... O( ) x 3! x 3 (00)! x00 x 00 x 000 /exp(x) x x. Mit der Regel

5 . Zeige, dass der Grenzwert Null ist für ein p IN (z:b. p=, einmal L'Hospital ). Zeige : Wenn der Grenzwert Null ist für irgendein p IN, dann ist er auc Null für den Nacfolger p. Recnung: mal L'Hospital von p zu. p