Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Cristop Scmoeger Heiko Hoffmann SS 24 Höere Matematik II für die Facrictung Informatik Lösungsvorscläge zum 3. Übungsblatt Aufgabe 9 a) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen alle partiellen Ableitungen erster zweiter Ordnung in allen Punkten, in denen diese eistieren. (i) (ii) (iii) f : R 2 R; (, ) 2 e + e g : R 2 R; (, ) e sin()+3 : R 3 R; (,, z) cos(z) b) Berecnen Sie für die folgenden Funktionen alle partiellen Ableitungen erster Ordnung in allen Punkten, in denen diese eistieren. Sind die Funktionen im Punkt (, ) stetig partiell differenzierbar? (i) (ii) f : R 2 R; (, ) g : R 2 R; (, ) { ( ), falls,, falls. {e 2 + 2, falls (, ) (, ),, falls (, ) (, ). Lösungsvorsclag: zu a): Als Produkt, Summe Komposition von offenkig in jedem Punkte beliebig oft stetig partiell differenzierbaren Funktionen sind f, g überall zweimal (sogar beliebig oft) stetig partiell differenzierbar es folgt mit Hilfe des Satzes von H. A. Scwarz (, ) 2e + 2 e + e ( 2 + 2)e + e, (, ) 3 e + e, 2 f 2 (, ) (2 + 2)e + ( 2 + 2)e + e ( )e + e, 2 f 2 (, ) 4 e,

2 2 f (, ) 2 f (, ) 2 e + ( 2 + 2)e + e ( )e + e, (, ) cos()esin()+3, (, ) 32 e sin()+3, 2 g (, ) sin()esin()+3 + cos 2 ()e sin()+3 (cos 2 () sin())e sin()+3, 2 2 g (, ) 6esin() e sin()+3 ( )e sin()+3, 2 für alle (, ) R 2 sowie 2 g (, ) 2 g (, ) 32 cos()e sin()+3 (,, z) z sin(z), (,, z) z sin(z), (,, z) sin(z), z 2 2 (,, z) 2 z 2 cos(z), 2 2 (,, z) 2 z 2 cos(z), 2 z 2 (,, z) 2 2 cos(z), 2 (,, z) 2 (,, z) z sin(z) z2 cos(z), 2 z (,, z) 2 z (,, z) sin(z) 2 z cos(z),

3 für alle (,, z) R 3 2 z (,, z) 2 z (,, z) sin(z) 2 z cos(z) zu b) (i): Da die Menge U : {(, ) R 2 : } offen ist, ist unmittelbar klar, dass f auf U partiell differenzierbar ist mit 32 (, ) + 3 (, ) + 2 für alle (, ) U. Es sei nun R \{} R. Dann eralten wir einerseits f((, ) + (, )) f(, ) f( +, ) ; d.., f ist in jedem Punkt (, ) partiell nac der ersten Variablen differenzierbar es gilt (, ). Andererseits gilt jedoc f((, ) + (, )) f(, ) f(, ) Für folgt aus lim 3 2 f((,)+(,)) f(,) eistiert. Für gilt jedoc lim (2 + 2 ) ;, dass der Grenzwert lim f((,)+(,)) f(,) nict. Also ist f in keinem Punkt (, ) mit partiell nac differenzierbar, jedoc ist f ser wol im Punkt (, ) partiell nac der zweiten Variablen differenzierbar zwar mit (, ). Allerdings ist f nict stetig partiell differenzierbar in (, ), denn es gilt etwa mit > ( 3, ) zu b) (ii): Da die Menge R 2 \{(, )} offen ist, ist sofort klar, dass g auf dieser Menge partiell differenzierbar ist zwar mit e (, ) ( ) e (, ) ( ) 2 für alle (, ) R 2 \{(, )}. Es sei nun R \{}. Dann eralten wir sowie g((, ) + (, )) g(, ) g((, ) + (, )) g(, ) g(, ) e 2 e 2 2 e 2 e 2 2

4 da lim t te t. Mitin ist g auc in (, ) partiell differenzierbar es gilt (, ) (, ). Die Funktion g ist in (, ) sogar stetig partiell differenzierbar. Es gilt nämlic e lim t t t (siee z.b.. Saalübung der HM I) bzw. lim 2 t 2 t e t lim t e t 4 t 2, woraus für (, ) (, ) einerseits daer auc lim (,) (,) (, ) lim (,) (,) 2e (,) 2 (, ) 4 (, ) andererseits lim (,) (,) (, ) lim (,) (,) 2e (,) 2 (, ) 4 (, ) folgt.

5 Aufgabe a) Es sei f : R R eine stetige Funktion. Wir betracten die Funktion g : R 2 R; (, ) f(t) dt. Zeigen Sie, dass g stetig partiell differenzierbar ist berecnen Sie die partiellen Ableitungen. b) Es sei g : R R eine differenzierbare Funktion k R. Verifizieren Sie, dass die Funktion w : R 2 R; (t, ) g( kt) die sog. Transportgleicung löst. w w (t, ) + k t (t, ) ((t, ) R2 ) c) Es sei g : R R eine nictkonstante, stetig differenzierbare Funktion c R \{}. Beweisen Sie, dass die Funktion w c : R 2 R; (t, ) 2c +ct ct g(s) ds zweimal stetig partiell differenzierbar ist bestimmen Sie alle c R \{}, sodass w c der Wellengleicung genügt. 2 w c t 2 (t, ) 2 w c 2 (t, ) ((t, ) R2 ) Lösungsvorsclag: zu a): Der Hauptsatz der Differential- Integralrecnung liefert sofort, dass für jedes R die Funktion g(, ) : R R; t für jedes R die Funktion g(, ) : R R; t jeweils auf ganz R differenzierbar ist mit t t f(s) ds f(s) ds dg(, ) (t) f(t) dt dg(, ) (t) f(t) dt

6 (siee auc Satz 2. der 2. Saalübung der HM I). Das bedeutet aber präzise, dass g auf ganz R 2 partiell differenzierbar ist mit (, ) f() (, ) f() für (, ) R 2. Und da die partiellen Ableitungen offenbar stetig sind, ist g sogar auf ganz R 2 stetig partiell differenzierbar. zu b): Ist k, so ängt w gar nict von t wir eralten w die Transportgleicung ist dann offenkig für w erfüllt. Sei also von nun an k. Ferner sei R \{}. t Dann eralten wir einerseits andererseits w((t, ) + (, )) w(t, ) es folgt unmittelbar für alle (t, ) R 2. g( k(t + )) g( kt) g(( kt) + ( k)) g( kt) ( k) k kg ( kt) w((t, ) + (, )) w(t, ) w t g( + kt)) g( kt) g(( kt) + ) g( kt) g ( kt) w (t, ) + k (t, ) Alternativ kann man auc wie in Teil a) vorgeen die Funktionen w(, ) w(t, ) betracten. Die partiellen Ableitungen berecnet man in diesem Fall dann mit Hilfe der (eindimensionalen) Kettenregel. zu c): Wenn wir änlic wie in Teil a) vorgeen Satz 2. aus der 2. Saalübung der HM I benutzen, so eralten wir sofort w c t (t, ) 2c (cg( + ct) ( c)g( ct)) (g( + ct) + g( ct)) 2 w c (t, ) (g( + ct) g( ct)) 2c für alle (t, ) R 2. Da g selbst stetig differenzierbar ist, erkennen wir nun unmittelbar, dass w c sogar zweimal stetig partiell differenzierbar ist mit 2 w c t 2 (t, ) c 2 (g ( + ct) g ( ct))

7 2 w c 2 (t, ) 2c (g ( + ct) g ( ct)) für alle (t, ) R 2 ; die gemiscten Ableitungen lauten im Übrigen für alle (t, ) R 2. Also gilt 2 w c t (t, ) 2 w c t (t, ) 2 (g ( + ct) + g ( ct)) 2 w c t (t, ) 2 w c (t, ) 2 2 genau dann für alle (t, ) R 2, wenn ( c 2 ) () (g ( + ct) g ( ct)) 2c für alle (t, ) R 2 erfüllt ist. Dies ist sicerlic dann der Fall, wenn c oder äquivalent 2 2c c 2 erfüllt; dies ist präzise für c {±} der Fall. Wir zeigen nun, dass für c / {±} die Gleicung () nur dann für alle (t, ) R 2 erfüllt ist, wenn g konstant ist, was jedoc nac Aufgabenstellung ausgesclossen ist. Nemen wir also an, dass c / {±} gelte dass Gleicung () für alle (t, ) R 2 erfüllt sei, d.., es gilt g ( + ct) g ( ct) für alle (t, ) R 2. Dann liefert der Hauptsatz der Differential- Integralrecnung bzw. g( + ct) g() t g ( + cs) ds t g( + ct) g( ct) g ( cs) ds g( ct) g() für alle (t, ) R 2. Partielle Differentiation nac t liefert dann cg ( + ct) cg ( ct) für alle (t, ) R 2. Hieraus folgt mit t, dass 2cg () für jedes R gilt. Wegen c gilt somit g () für alle R g ist folglic konstant.

8 Aufgabe a) Wir betracten die Funktion f : R 2 R; (, ) { ( 2 2 ), falls (, ) (, ),, falls (, ) (, ). Zeigen Sie, dass f stetig partiell differenzierbar ist dass 2 f (, ) 2 f (, ) eistieren, aber voneinander verscieden sind. b) Wir betracten die Funktion 2 2, falls (, ) (, ), g : R 2 R; (, ) 6 + 6, sonst. Verifizieren Sie, dass in sämtlicen Punkten alle partiellen Ableitungen erster Ordnung eistieren, berecnen Sie diese. Zeigen Sie ferner, dass g in (, ) nict stetig ist. Lösungsvorsclag: zu a): Da die Menge R 2 \{(, )} offen ist, ist sofort klar, dass f auf dieser Menge stetig partiell differenzierbar ist zwar mit (, ) (2 + 2 )(3 2 3 ) ( 3 3 )2 ( ) 2 (, ) (2 + 2 )( ) ( 3 3 )2 ( ) 2 für alle (, ) R 2 \{(, )}. Sei nun R \{} j {, 2}. Dann eralten wir f((, ) + e j ) f(, ), wobei e j den j-ten Standardeineitsvektor bezeicnet. Mitin ist f in (, ) partiell differenzierbar mit (, ) (, ). Sei nun (, ) R2 \{(, )}. Dann gilt (, ) ( )(3 2 3 ) ( 3 3 )2 ( ) 2 (3 2 2 ) 22 ( 2 2 ) ( ) 2 (3 2 2 ) ( 2 2 ) ( ) 2 ( ) + 22 ( ) ( ) 2 Wegen 3 (2 + 2 ) {, falls, , 2 falls, 2

9 eralten wir insgesamt (, ) 5 (,) (,). Folglic ist in (, ) stetig. Ferner gilt (, ) ( )( ) ( 3 3 )2 ( ) 2 ( ) + 22 ( )2 ; ( ) 2 von ier an können wir wie eben abscätzen, indem wir die Rollen von vertauscen (wir eralten dann (, ) 5 ). Folglic ist f auf ganz R 2 stetig partiell differenzierbar. Sei nun abermals R \{}. Dann gilt sowie ((, ) + (, )) (, ) (, ) 5 4 ((, ) + (, )) (, ) (, ) 5 4. Folglic eistieren 2 f (, ) 2 f (, ) mit 2 f (, ) 2 f (, ). zu b): Da die Menge R 2 \{(, )} offen ist, ist unmittelbar klar, dass g auf dieser Menge (sogar stetig) partiell differenzierbar ist zwar mit (, ) 22 ( ) ( ) 2 (, ) 22 ( ) ( ) 2 für alle (, ) R 2 \{(, )}. Sei nun R \{} j {, 2}. j {, 2}. Dann eralten wir g((, ) + e j ) g(, ), wobei e j den j-ten Standardeineitsvektor bezeicnet. Also ist g in (, ) partiell differenzierbar mit (, ) (, ). Die Funktion g ist allerdings in (, ) nict stetig, wie sofort aus ( g n, ) n2 n 2 n folgt. n 4 2 n 6

10 Aufgabe 2 a) Es sei N N, I,..., I N R nictleere, offene Intervalle U : I... I N. Ferner sei f : U R eine in allen Punkten partiell differenzierbare Funktion mit j () für alle j {,..., N} alle U. Beweisen Sie, dass f konstant ist. (Hinweis: Betracten Sie, U zeigen Sie, dass f() f() gilt. Definieren Sie ierzu a k : (,..., k, k+,..., N ) für k {,..., N} (wobei a N ) sowie a :. Betracten Sie außerdem für k {,..., N} die Funktionen f k : [, ] R; t f(a k + t( k k )e k ), wobei e k der k-te Standardeineitsvektor im R N ist.) b) Zeigen Sie, dass für alle, > gilt. arctan ( ) ( + arctan ) π 2 Lösungsvorsclag: zu a): Es seien, U f k a k wie im Hinweis. Ferner seien k {,..., N}, t [, ] R \{}. Ist k k, so ist f k konstant daer differenzierbar mit Ableitung. Sei nun k k. Dann eralten wir mit ξ t : a k + t( k k )e k f k (t + ) f k () f(a k + (t + )( k k )e k ) f(a k + t( k k )e k ) ( k k ) f(ξ t + ( k k )e k ) f(ξ t ) ( k k ) ( k k ) k (ξ t ). Also ist eine jede der Funktionen f k differenzierbar mit f k daer konstant; insbesondere gilt f k () f k (). Daraus folgt nun wegen f(a k ) f k (), f k () f(a k ), a a N f() f () f () f(a ) f 2 () f 2 () f(a 2 )... f N () f N () f(). Mitin ist f konstant. Alternativ kann man auc so argumentieren: Nac Aufgabe 3 aus der 2. Saalübung gilt f() f() C für alle, U ein gewisses C. Die Lösung zu der besagten Aufgabe liefert aber sogar, dass man in dem ier vorliegenden Fall C nemen kann (dann das in der Lösung zu Aufgabe 3 aus der 2. Saalübung auftretende M ist ier gleic dort war C MN), woraus sofort f() f() für alle, U folgt. zu b): Wir wollen( Teil ) a) anwenden mit N 2, I I 2 (, ) (U (, ) (, )) f(, ) arctan + arctan ( ). Offenbar ist f stetig partiell differenzierbar mit (, ) ( + ) ( )

11 (, ) 2 ( + ) ( ) für alle (, ) U. Nac Teil a) ist f also konstant wegen f(, ) 2 arctan() π folgt 2 die Beauptung.