Ferienkurs Theoretische Mechanik SS 2011

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1 Ferienkurs Teoretisce Mecanik SS Lösungen Freitag Aufgabe : Rotation eines Quaders um die Raumdiagonale Die Hauptacsen verlaufen durc den Scwerpunkt des Quaders parallel zu den Kanten. Die Kante der Länge a verlaufe parallel zur x -Acse, die der Länge b parallel zur x -Acse, die der Länge c parallel zur x -Acse. Mit dem Scwerpunkt des Quaders im Ursprung des Koordinatensystems berecnen wir zunäcst Θ : Θ Quader d xρ x) x x ) a/ b/ c/ ρ dx dx dx x + x )... a/ b/ c/ mit der konstanten Dicte ρ des Quaders. Für diese gilt offenbar ρ M abc ; damit folgt: 4 M a/ b/ abc c dx dx x + x ) 4M a/ ) b dx ab x + b 4 4M b ab a 4 + b 4 a ) M a + b ) Da alle drei Rictungen x, x, x bis auf die untersciedlicen Längen der entsprecenden Quaderseiten geometrisc äquivalent sind, eralten wir die Trägeitsmomente Θ und Θ durc Austauscen von a mit c bzw. von b mit c: Θ M c + b ), Θ M a + c ) Dies bestimmt den gesamten Trägeitstensor, der ja im Hauptacsensystem diagonal ist: Θ M b + c a + c a + b Der auf normierte Rictungsvektor n einer Raumdiagonale ist a n b a + b + c c Gemäß Vorlesung berecnet sic das Trägeitsmoment für eine Rotation um diese Acse gemäß Θ Diag n T M ) b + c a Θ n a b c a + c b a + b + c ) a + b c Welce der vier Raumdiagonalen man ier wält, ist für die Berecnung des Trägeitsmoments um eine Raumdiagonale aus Symmetriegründen irrelevant.

2 M a a + b + c b + c ) + b a + c ) + c a + b )) M ) 6 Aufgabe : Vollzylinder als pysikalisces Pendel a b + a c + b c a + b + c a) Wir füren zunäcst ein neues Koordinatensystem x, x, x ein, wobei die x - und x -Acse parallel zur x bzw. x -Acse durc den Scwerpunkt des Zylinders verlaufen; die x -Acse stimme mit der x -Acse überein. Wir berecnen die -Komponente des Trägeitstensors im verscobenen Koordinatensystem: Θ Zylinder d x ρ x + x + x ) ) x M mit der konstanten Dicte ρ πr L des Zylinders. Nun verwenden wir Zylinderkoordinaten r, ϕ, z) und verwenden r x + x : Θ M πr L R dr r π L/ dϕ dz r M R 4 L/ πr L 4 πl MR Da das verscobene Koordinatensystem den Scwerpunkt des Zylinders als Ursprung at, dürfen wir den Satz von Steiner verwenden, um das -Element des Trägeitstensors Θ im unverscobenen Koordinatensystem dasjenige in der Skizze der Aufgabenstellung) zu berecnen. Der Versciebungsvektor a im Satz von Steiner ist in diesem Fall Damit folgt: a R Θ Θ + M a δ a a ) MR + MR MR Das Trägeitsmoment für die Rotation des Zylinders um die Acse n,, ) T ist gegeben durc n T Θ n Θ MR. In diesem Fall ist der Ursprung des körperfesten Koordinatensystems KS in Rue, d.. in der Notation der Vorlesung ist v. Daer gilt für die kinetisce Energie des Zylinders: T T rot Θ ϕ 4 MR ϕ b) Wir wälen das in der Lösung zu Aufgabenteil a) eingefürte Koordinatensystem mit den Acsen x, x, x als körperfestes Koordinatensystem KS, wobei sic wie immer in einem körperfesten Koordinatensystem) die Acsen entsprecend der Bewegung des Zylinders mitbewegen. Dann ist der Scwerpunkt des Zylinders stets der Ursprung von KS, also gilt gemäß Vorlesung: T T trans + T rot M v + Θ ϕ

3 wobei v die Gescwindigkeiten des Scwerpunktes im Laborsystem also z.b. das Koordinatensystem aus der Skizze in der Angabe) ist. Es ist zu beacten, dass sic T rot ier auf die Rotation des körperfesten Systems KS beziet und nict das gleice T rot wie in der Lösung zu Aufgabenteil a) ist; wir verwenden also Θ und benötigen nict den Satz von Steiner. Mit v R ϕ und Θ MR folgt: T MR ϕ + MR ϕ 4 MR ϕ Dies reproduziert natürlic das Ergebnis aus a). c) Aus der zweiten Skizze in der Angabe folgt, dass der Scwerpunkt die x - Koordinate x S R cos ϕ) at. Bis auf eine beliebige additive Konstante lautet daer die potentielle Energie des Zylinders im Scwerefeld V ϕ) Mgx S MgR cos ϕ) Zusammen mit dem Ergebnis aus a) oder b) eralten wir die Lagrangefunktion des Zylinders: L T V 4 MR ϕ + MgR cos ϕ) Die Euler-Lagrange-Gleicung d L dt ϕ L ϕ lautet ier MR ϕ MgR sin ϕ) ϕ + g sin ϕ) R d) Für kleine Auslenkungen macen wir die Näerung sin ϕ) ϕ und eralten die Bewegungsgleicung ϕ + g R ϕ, also eine Gleicung für eine armonisce Scwingung mit der Frequenz g R ω : allgemeine Lösung ist bekanntermaßen nict zu verwecseln mit der Winkelgescwindigkeit). Die ϕ t) A cos ωt) + B sin ωt). Die Konstanten A und B ergeben sic aus dabei den Anfangsbedingungen. Die Bedingung ϕ ) ergibt sofort A, damit gilt ϕ t) B sin ωt) sowie ϕ t) Bω cos ωt). Mit der Bedingung ϕ ) α errecnet sic verbleibende Koeffizient zu B α ω. Somit ist die gesucte Lösung Aufgabe : Rotation eines Kegels ϕ t) α sin ωt). ω a) Wir wälen die Spitze des Kegels als Ursprung. Die x -Acse sei in Rictung des Mittelpunktes des Deckkreises ausgerictet also in der Angabenskizze senkrect nac unten), als x -Acse wälen wir die Rotationsacse. Das Trägeitsmoment für eine Dreung um die x -Acse ist dann

4 der Θ -Eintrag des Trägeitstensors: Θ d xρ x + x + x ) ] x Kegel wobei ρ die konstante Massendicte des Kegels sei. Wir werten das Integral in Zylinderkoordinaten aus, d.. x r cos ϕ), x r sin ϕ), x z. Ein orizontaler Scnitt durc den Kegel bei x z ist ein Kreis mit Radius R z. Daer ergibt sic: Θ ρ dz ρ dz π dϕ π 4 dϕ Rz/ ) 4 R z 4 sin ϕ) + dr r r sin ϕ) + z ] ) ] R z 4 ) Ein kleine Nebenrecnung mit Hilfe der Identität aus der Angabe ergibt: π dϕ sin ϕ) π Damit können wir weiterrecnen: π ) ρ dz 4 ρ π ) R 4 dϕ cos ϕ)) π 4 ) 4 R z 4 + π ) ] R ρ πr 5 ) ] R z 4 sin ϕ) π π R + 4 ) Wir verwenden nun, dass das Volumen des Kegels V Kegel πr beträgt. Damit gilt ρ und somit Θ M πr M πr πr R + 4 ) M R + 4 ) b) Die Aufgabenstellung ist eine Falle: der Satz von Steiner darf ier nict verwendet werden! Denn dieser at als Vorraussetzung, dass das unverscobene Koordinatensystem den Scwerpunkt als Ursprung besitzt. Da der Scwerpunkt eines Kegels offenbar nict die Spitze ist, ist die Anwendung ier nict zulässig. Der Ansatz zur Berecnung ist also, ein neues Koordinatensystem mit der verscobenen Dreacse als x -Acse zu definieren und Θ als Integral explizit zu berecnen: Θ Kegel d xρ x + x + x ) ] x wobei sic ier x, x und x auf das neue Koordinatensystem bezieen. Die Berecnung erfolgt dann änlic wie in Aufgabenteil a). Dies siet man explizit im Beweis; siee ierzu Aufgabe 5. 4

5 Aufgabe 4: Eine allgemeine Eigenscaft des Trägeitstensors Wir wälen ein Bezugssystem mit Scwerpunkt im Ursprung und wälen die Hauptacsen als Koordinatenacsen, recnen also im Hauptacsensystem. In diesem Fall ist der Trägeitstensor diagonal und es gilt: Θ x Θ ] N ] m µ x µ x µ ) x µ ) m µ x µ ) + x µ) Analoge Ergebnisse gelten für Θ y Θ und Θ z Θ mit entsprecend vertauscten Rollen der Indizes, und. Damit erält man: Θ y + Θ z Θ x ] m µ x µ ) + x µ) + x µ) + x µ) x µ) x µ) m µ x µ ) Damit ist die Ungleicung bewiesen. Gleiceit gilt genau dann, wenn alle Summanden im letzten Ausdruck gleic sind, d.. falls x µ ) für alle µ,..., N gilt. Dies bedeutet anscaulic, dass der starre Körper keine Ausdenung in -Rictung besitzt. Bemerkung: Der Beweis überträgt sic in offensictlicer Art und Weise auc auf kontinuierlice starre Körper. Aufgabe 5: Satz von Steiner Es seien alle Vorraussetzungen und Notationen aus der Vorlesung gegeben, insbesondere bezeicnen wir die Komponenten des Trägeitstensors im Koordinatensystem I) mit Θ ik, die im Koordinatensystem II) mit Θ ik. Wir beweisen den Satz von Steiner nur für starre Körper mit endlic vielen Massenpunkten; die Verallgemeinerung auf kontinuierlice Körper ist dann offensictlic. Nac Definition gilt im System II): Θ ik m µ x µ δik x ) ) ] µ i x µ k Da II) nac Vorraussetzung aus I) durc eine Versciebung um den Vektor a ervorget, gilt x µ x µ + a für alle µ,..., N. Damit folgt: Θ ik m µ x µ + a) δ ik x µ ) i + a i ) xµ ) k + a k ) ] 5

6 Multipliziert man alle Terme aus und verwendet die Definition von Θ ik, so ergibt sic: Θ ik Θ ik + m µ }{{} :M a ] N ] δ ik a i a k + m µ xµ a) δ ik x µ ) i a k x µ ) k a i } {{ } ) Da nac Vorraussetzung der Ursprung von I) der Scwerpunkt des starren Körpers ist, gilt N m µ x µ bzw. in Komponenten N m µ x µ ) i. Daer verscwinden alle Terme in ) und der Satz von Steiner ist bewiesen. 6