gibt die Richtung, die Pfeilspitze den Richtungssinn der Geschwindigkeit a) allgemeine Darstellung b) fahrendes Auto c) fallender Körper

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1 Kinematik Zur vollständigen Kennzeicnung einer Gescwindigkeit sind demnac außer dem Betrag noc Angaben über Rictung und Rictungssinn erforderlic. Eine solce pysikalisce Größe bezeicnet man als Vektor (gerictete Größe). Ein Vektor wird durc einen Pfeil dargestellt ( Bild ). Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag der Gescwindigkeit. Der Zusammenang zwiscen Pfeillänge und Betrag (Größe) der Gescwindigkeit wird durc einen Gescwindigkeitsmaßstab ausgedrückt. Die Pfeilacse gibt die Rictung, die Pfeilspitze den Rictungssinn der Gescwindigkeit an. a) allgemeine Darstellung b) farendes Auto c) fallender Körper Bild Beispiele für die Vektordarstellung von Gescwindig keiten untersciedlicer Größe und Rictung Lerbeispiel Ein Lkw durcfärt eine 700 m lange Steigung mit der konstanten Gescwindigkeit v = 40 km/. Am Beginn der Steigung überolt in ein Pkw, welcer die Steigung in der Zeit t = 40 s gleicförmig durcfärt. a) Wie groß ist die Gescwindigkeit des Pkw in km/? b) Wieviel Minuten benötigt der Lkw zum Durcfaren der Steigung? c) Wie groß ist der Abstand s a zwiscen Lkw und Pkw, wenn der Pkw die Steigung durcfaren at? Lösung: a) Die Gescwindigkeit des Pkw beträgt: v = _ s t = 700 m = 7,5 m 40 s s = 7,5 000 km = 7, km 000 v = 7,5 3,6 km = 63 km b) Aus v = s/t folgt für die Farzeit des Lkw: t = s v = 700 m 40 km/ = 700 m = min =,05 min m min c) In der Zeit t = 40 s, die der Pkw zum Durcfaren der 700 m langen Steigung benötigt, legt der Lkw folgenden Weg zurück: s Lkw = v Lkw t = 40 km 40 s = m 40 s = 444 m 3600 s Damit beträgt der Abstand zwiscen Pkw und Lkw: s a = s Pkw s Lkw = 700 m 444 m = 256 m Vielfac beinaltet der Begriff Rictung auc gleic den Rictungssinn, dann müssen von der Gescwindigkeit Größe und Rictung bekannt sein. 2

2 2 Statik 2.4 Allgemeines Kräftesystem Ein allgemeines Kräftesystem liegt vor, wenn die Kräfte auc wenn sie auf irer Wirklinie verscoben werden keinen gemeinsamen Scnittpunkt bilden, also keinen gemeinsamen Angriffspunkt aben ( Bild a). Scon zwei parallele Kräfte ( Bild b) bilden ein allgemeines Kräftesystem, weil ir Scnittpunkt im Unendlicen liegt. Bild c zeigt, wie ein Träger mit nur einer Belastungskraft und dazu parallelen Reaktionskräften ein allgemeines Kräftesystem bildet. a) Welle mit vier verscieden gericteten Belastungskräften b) Welle mit zwei parallelen Belastungskräften c) Träger mit einer Belastungskraft und dazu parallelen Reaktionskräften Bild Beispiele für allgemeine Kräftesysteme 2.4. Moment und Kräftepaar Aufgabe: Eine scwergängige Scraube soll mit einem Gabelsclüssel gelöst werden. Wie kann die Drewirkung eröt werden? Lösung: Entweder greift man mit beiden Händen an (Vergrößerung von F), oder man steckt ein Stück Ror auf den Griff des Sclüssels und greift am Rorende an (Vergrößerung von k). Bild 2 Gabelsclüssel mit aufgestecktem Ror zur Erzeugung einer großen Drewirkung Die Drekraftwirkung auf die Scraube ist also um so größer, je größer die Kraft F und der Abstand k sind. Den Abstand k bezeicnet man als Wirkabstand. Es ist der senkrect gemessene, also kürzeste Abstand zwiscen dem Drepunkt (Scraubenmitte) und der Wirklinie der Kraft F. Die Drekraftwirkung auf die Scraube bezeicnet man als Moment M. Die Größe des Moments ist gleic dem Produkt aus Kraft und Wirkabstand. Damit wird das Moment: 5 M Moment in Nm M = F k F Kraft in N k Wirkabstand in m Tritt eine Dreung auf, wie z. B. bei einem Kettenrad, einer Kurbel ( Bild 4) oder einem Motor, so bezeicnet man das Moment als Dremoment M. Tritt keine Dreung auf, wie z. B. bei dem eingespannten Träger in Bild 3, dann bezeicnet man das auftretende Moment als Biegemoment M b (b = Biegung) oder allgemein als statisces Moment M. Bild 3 Statisces Moment bei einem eingespannten Träger Bild 4 Dremoment bei Kettenrad und Kurbel Vielfac benutzt man den Ausdruck Dremoment auc für statisce Momente. Dies ist möglic, weil zwiscen beiden in der Ursace und in der Berecnung kein Unterscied bestet. 42

3 3 Kinetik Unter Energie verstet man das Arbeitsvermögen, also den Zustand, unter Arbeit den Vorgang selbst. Als Energie bezeicnet man die Fäigkeit, Arbeit zu verricten (gespeicerte Arbeit). Energie kann in vielen Arten auftreten. Im Brennstoff ist cemisce Energie gespeicert, die durc Verbrennen frei wird, d.. in Wärmeenergie umgewandelt wird. Die mecanisce Energie des Wassers im oberen Becken des Pumpspeicerwerkes wird durc Turbinen und Generatoren in elektrisce Energie umgewandelt, welce wiederum in Lict, Wärme oder mecanisce Energie umgewandelt werden kann. Bei Energieumwandlungen get keine Energie verloren, wird aber auc keine Energie inzugewonnen (Satz von der Eraltung der Energie). Desalb ist es nict rictig, von Energieerzeugern zu sprecen. Energie kann nur umgewandelt werden. Dabei wird ein Teil der Energie in eine für den bestimmten Zweck unbraucbare Form umgewandelt, z. B. beim Verbrennungsmotor in Wärme. Da Energie gespeicerte Arbeit ist, aben alle Energieformen die Eineit der Arbeit. Im Internationalen Eineitensystem ist die Energieeineit das Joule (J). Für Umrecnungen gilt: J = Nm = Ws In der Elektrotecnik wird meistens ein Vielfaces der Wattsekunde (Ws) als Eineit für die Energie verwendet. kw = kws = knm = kj Potentielle und kinetisce Energie Beim Hocpumpen des Wassers ins obere Becken eines Pumpspeicerwerks bzw. beim Aneben eines Fallammers wird Arbeit verrictet, die als Energie zur Verfügung stet. Die Fäigkeit eines Körpers, dank seiner eröten Lage Arbeit zu verricten, wird als Energie der Lage oder potentielle Energie W p bezeicnet. Strömt das Wasser abwärts bzw. fällt der Fallammer, so kann durc diese Bewegung Arbeit verrictet werden. Die Fäigkeit eines bewegten Körpers, Arbeit zu verricten, wird als Energie der Bewegung oder kinetisce Energie W k bezeicnet. Zum gleicförmigen Aneben eines Körpers ist die Kraft F = G längs des Weges erforderlic. Die verrictete Arbeit beträgt nac dem Aneben W = W p = G. Dies ist auc der Fall, wenn der Körper auf einer sciefen Ebene nac oben bewegt wird ( Bild ). In diesem Fall ist: W = W p = F s = G sin α sin α = G Damit gilt für die potentielle Energie: 3 W p potentielle Energie in J Bild Potentielle Energie eines Körpers W p = G G Gewictskraft in N Höe in m 34

4 Beansprucung auf Biegung Berecnung der axialen Fläcen- und Widerstandsmomente Um das axiale Widerstandsmoment W berecnen zu können, muss das axiale Fläcenmoment J bekannt sein. Das Fläcenmoment J ist der Summenausdruck Σ (ΔA y 2 ). Wird der Träger ockant gebogen ( Bild ), so ist die x-acse die Biegeacse. Das Fläcenmoment muss auf diese Acse bezogen werden: J x = Σ (ΔA y 2 ) Je weiter die Teilfläce ΔA von der Biegeacse entfernt ist, desto größer ist ir Fläcenmoment und damit auc ir Widerstandsmoment. Bild Lage der Biegeacse bei einem auf Biegung beanspructen Träger Dieselbe Sclussfolgerung kann auc aus der Verteilung der Biegespannung über den Querscnitt gezogen werden ( Bild 2, Seite 83). Die von einem Fläcenelement zu übertragende Spannung nimmt von der neutralen Faser zu den Randfasern in stetig zu. Das Fläcenelement ΔA 2 mit dem großen Abstand y 2 ( Bild ) überträgt ein größeres Biegemoment als das gleic große Fläcenelement ΔA mit dem kleinen Abstand y ; sein Anteil ΔA 2 y 2 2 am gesamten Fläcenmoment ist größer als der Anteil ΔA y 2. Daraus zu scließen, dass bei auf Biegung beanspructen Bauteilen der Werkstoff um so wertvoller wird, je größer sein Abstand von der Biegeacse ist. Ein Träger mit recteckigem Querscnitt kann ockant ein größeres Biegemoment aufnemen als flackant, ein J-Träger mit gleicer Querscnittsfläce und aus gleicem Werkstoff ein noc größeres; eine Holwelle kann bei gleicer Querscnittsfl äce und gleicem Werkstoff ein größeres Biegemoment aufnemen als eine Vollwelle ( Bild 2). a) recteckige Querscnitte b) kreisförmige Querscnitte Bild 2 Größe der Fläcen- und Widerstandsmomente bei gleicem Fläceninalt der Querscnitte, aber versciedenen Querscnittsformen Je weiter die einzelnen Fläcenteilcen der Querscnittsfläce von der Biegeacse entfernt sind, desto größer ist das axiale Fläcenmoment J Axiale Fläcen- und Widerstandsmomente von geometrisc einfacen Fläcen und von Normprofilen Für geometrisc einface Querscnittsfläcen sind in Tabellen Gleicungen zur Berecnung von Fläcen- und Widerstandsmomenten zusammengestellt. Für genormte Profile sind die Fläcen- und Widerstandsmomente ausgerecnet und in den entsprecenden DIN-Normen entalten. 87

5 Beansprucung auf Knickung 4.7. Elastisce Knickung Knickkraft F K Die Druckkraft, bei der das Bauteil ausknickt, nennt man die Knickkraft F K. Erreict die Druckkraft F den Wert der Knickkraft F K, so knickt das Bauteil aus. Ausknicken eines Stabes und Durcbiegen eines Trägers verursacen eine Krümmung der vorer geraden Stab- bzw. Trägeracse. Stab bzw. Träger erfaren eine Durcbiegung f ( Bild ). Beim Herleiten einer Gleicung für die Knickkraft kann man von der Gleicung für die Durcbiegung eines Trägers ausgeen. Bei Beansprucung auf Biegung ist die Durcbiegung: f ~ F k 3 und mit M b ~ F k: f ~ M b Bei Knickung gilt für das Moment: M ~ F K f M b = M ~ F K f gesetzt, ergibt f ~ F K f und für die Knickkraft: F K ~ Neben E, J und k ist noc die Art der Lagerung des Stabes für die Größe der Knickkraft F K maßgebend. Der Stab nac Bild 2 a wird scon bei einer geringeren Kraft F ausknicken als der Stab nac Bild 2 b. Euler at für versciedene Lagerungen (Belastungsfälle) des Knickstabes Gleicungen für die Knickkraft entwickelt. Beim Belastungsfall nac Bild 2 a, der Belastungsfall II bzw. Grundfall genannt wird, gilt für die Knickkraft: F K = π2 Beim Belastungsfall III ( Bild 2 b) ist F K = 2 π2 k, 2 d.. der Stab knickt erst bei doppelt so großer Kraft F aus, wie der Stab nac Bild 2 a. Nac Euler untersceidet man 4 möglice Belastungsfälle, d.. Lagerungsmöglickeiten des Stabes ( Tabelle, Seite 244). a) Durcbiegung eines Trägers Bild Durcbiegung eines Trägers und Ausknicken eines Stabes a) F K = π2 Belastungsfall II (Grundfall) b) Ausknicken eines Stabes b) F K = 2 π2 Belastungsfall III Bild 2 Knickkraft F K bei zwei versciedenen Lagerungen des Knickstabes Leonard Euler, Matematiker ( ) 243