Mathematik für berufliche Gymnasien

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1 Boner Ott Deusc Matematik für beruflice Gymnasien Lineare Alebra Vektoreometrie Merkur Verla Rinteln

2 Wirtscaftswissenscaftlice Bücerei für Scule und Praxis Beründet von Handelsscul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedric Hutkap Die Verfasser: Roland Ott Studium der Matematik an der Universität Tübinen Kurt Boner Lerauftra Matematik am BSW Wanen Studium der Matematik und Pysik an der Universität Konstanz Ronald Deusc Lerauftra Matematik am BSZ Bietieim-Bissinen Studium der Matematik an der Universität Tübinen Das Werk und seine Teile sind ureberrectlic escützt. Jede Nutzun in anderen als den esetzlic zuelassenen Fällen bedarf der vorerien scriftlicen Einwilliun des Verlaes. Hinweis zu a UrG: Weder das Werk noc seine Teile dürfen one eine solce Einwilliun einescannt und in ein Netzwerk einestellt werden. Dies ilt auc für Intranets von Sculen und sonstien Bildunseinrictunen. Umscla: fruyn Fotolia.com, kleines Bild oben: Picture-Factory Fotolia.com, kleines Bild unten: Africa Studio Fotolia.com Download-Icon: Stoyan Haytov Fotolia.com * * * * * * * * * *. Auflae by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamterstellun: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 373 Rinteln info@merkur-verla.de lerer-service@merkur-verla.de Internet: ISBN

3 Geraden im Anscauunsraum Geenseitie Lae von zwei Geraden Betractet man zwei Geraden im Raum, so stellt sic die Frae, welce Lae sie zueinander aben können. Hierbei ibt es vier Mölickeiten. a) Die Geraden und scneiden sic in einem Punkt S. S b) Die Geraden und sind parallel und verscieden (ect parallel). c) Die Geraden und scneiden sic nict und sind nict parallel. Sie sind windscief. d) Die Geraden und sind identisc.

4 60 II Vektorielle Geometrie Geeben sind die Geraden : ( ) ( + r 3 ) und : ( 0 ) ( + s ; r, s. ) Berecnen Sie die Koordinaten des Scnittpunktes S von und. Lösun Der emeinsame Punkt S liet auf und, somit ilt für den Ortsvektor OS : OS = ( ) ( + r 3 ) und x = OS = ( 0 ) ( + s S ) Gleicsetzen: ( ) ( + r 3 ) ( = 0 ) ( + s O ) Umformun: r ( 3 ) ( s ) ( = 4 ) ( bzw. r 3 ) ( + s ) ( = 4 ) LGS in Matrixform: r s ( 3 4 ) Lösen mit dem Additionsverfaren: ( 3 4 ) ( ~ ) ( ~ ) Auflösun eribt: s = und r = Das LGS ist damit eindeuti lösbar, somit scneiden sic die Geraden und in enau einem Punkt S. Ortsvektor des Scnittpunktes: x = OS = ( 0 ) ( + ) ( = ) Scnittpunkt: S( ) Geeben sind die Geraden : ( 7 4 ) ( + r 3 ) und : 3 ) ( + s 6 4 ; r, s. 4 ) Untersucen Sie die eenseitie Lae der Geraden und. Lösun Untersucun auf Parallelität Die Rictunsvektoren auf lineare Abänikeit untersucen: u = k v : ( 3 ) = ( ) Da der Rictunsvektor von ein Vielfaces des Rictunsvektors von ist, sind die Geraden und parallel.

5 Geraden im Anscauunsraum 6 Mit einer Punktprobe stellt man fest, ob die Geraden Q und parallel und verscieden oder ob sie identisc v sind. P Man kann den Aufpunkt P von wälen und überprüfen, u ob P auf der Geraden liet. Punktprobe mit P(7 4 ): ( 7 4 ) ( = 0 3 ) ( + s ) Umformun: ( 6 4 ) ( = s 6 s = O 4 s = 4 ) s = 0, Es ibt kein s, sodass alle drei Gleicunen erfüllt sind. Die Geraden und sind parallel und verscieden (ect parallel). Hinweis: Wenn es ein s ibt, sodass alle drei Gleicunen erfüllt sind, sind die Geraden identisc. Geeben sind die Geraden : 3 ) ( + r 7 0 ) und : ( 6 0 ) ( + s Untersucen Sie die eenseitie Lae der Geraden und. Lösun Untersucun auf Parallelität: ( 7 0 ; r, s. 4 ) ) ( = k k = 3, 0 = 0 4 ) k = 0, Es ibt kein k, sodass alle drei Gleicunen erfüllt sind. Die Rictunsvektoren ( 7 0 ) ( und sind linear unabäni. und sind nict parallel. 4 ) Gleicsetzen: 3 ) ( + r 7 0 ) ( = 6 0 ) ( + s 4 ) Umformun: r ( 7 0 ) ( + s 4 ) ( = 3 ) r s Lösen mit dem Additionsverfaren: ( ) ~ ( ) ~ ( ) Das LGS ist unlösbar, somit scneiden sic die Geraden und nict. und sind nict parallel und scneiden sic nict. Sie sind windscief. Beacten Sie: Zwei Geraden, die nict parallel sind und die keinen emeinsamen Punkt aben, eißen windscief.

6 6 II Vektorielle Geometrie Geeben sind die Geraden : ( 0 3 ) ( + r 4 ) und : ( 7 3 ) ( + s 3 ; r, s. ) Zeien Sie: Die Geraden und scneiden sic senkrect. Lösun Lae von und Gleicsetzen eribt: ( 0 3 ) + r ( 4 ) = ( 7 3 ) + s ( 3 Umformun: r ( Lösen des Gleicunssystems: ( ) ( ~ ) ( ~ ) Das LGS ist eindeuti lösbar, die Geraden und scneiden sic in einem Punkt. Bedinun für senkrect steen: Die Rictunsvektoren 4 ) ( + s 3 ) ( = 7 0 v u und der Geraden und steen v senkrect aufeinander. u = 0 Mit u = ( 4 ) und v = ( 3 ) : 7 ) ) ( 4 ) ( 3 ) = 6 4 = 0 Die Geraden und scneiden sic senkrect, sie sind ortoonal. Geeben sind die Geraden : ( ) ( + r ) und : 0 ) ( + s a ; r, s. b ) Wie müssen a und b ewält werden, damit und parallel verlaufen? Wie lieen die Geraden in diesem Fall zueinander? Lösun Untersucun auf Parallelität: k ( ) ( = a k = a k = 0, b ) k = b Auflösun: a = ; b = 0, Für a = und b = 0, verlaufen die Geraden parallel. Punktprobe mit dem Aufpunkt A( 0 0) von in : 0 ) ( = ) ( + r r = 0, r = ) r = 3 Es ibt kein r, sodass alle drei Gleicunen erfüllt sind. Die Geraden sind für a = und b = 0, parallel und verscieden, d.. ect parallel.

7 Geraden im Anscauunsraum 63 Was man wissen sollte über die eenseitie Lae von zwei Geraden Die Geraden und sind eeben durc : OP + r x u ; r : = OQ + s v ; s Untersucun der eenseitien Lae von und in zwei Scritten. Untersucun auf Parallelität u = k v Es ibt kein k. u und v sind linear unabäni. und sind nict parallel. Es ibt ein k. v u und sind linear abäni. und sind parallel.. Gleicsetzen: OP + r u = OQ + s v Das LGS ist Punktprobe mit P in (bzw. Punktprobe mit Q in ) eindeuti lösbar. und scneiden sic in einem Punkt. unlösbar. und sind windscief. P liet auf. und sind identisc. P liet nict auf. und sind parallel und verscieden. S x x x x x x x x Ortoonale Geraden Zwei Geraden und mit den Rictunsvektoren u und v sind ortoonal, wenn ilt: u v = 0. u v = 0 v u Hinweis: Auc Geraden, die sic nict scneiden, können ortoonal zueinander sein.

8 64 II Vektorielle Geometrie Aufaben Untersucen Sie die eenseitie Lae der Geraden und. Berecnen Sie eebenenfalls die Koordinaten des Scnittpunktes S. a) : ( ) ( + r 3 ) ; : ( 4 4 ) ( + s ; r, s ) b) : ( 4 ) ( + r ) ; : ( ) ( + s ; r, s 3 ) c) : ( ) ( + r 4 ) ; : ( 6 ) ( + s, ; r, s 0, ) d) : ( ) ( + r ) ; : ( ) ( + s ; r, s ) Die Gerade verläuft durc die Punkte A(0 0) und B(0 0 ). Die Gerade verläuft durc die Punkte C( 4 3) und D( ). Untersucen Sie, ob die Geraden und windscief sind. 3 Geeben ist die Gerade : ( 4 4 ) ( + s 0 0 ) ; s. Die Gerade scneidet in einem Punkt. Die Gerade k verläuft parallel zu und die Gerade p ist zu windscief. Geben Sie jeweils eine Geradenleicun an. 4 Geeben sind die Punkte A( 0 0), B(3 4 0), C(0 3 4) und D( 0). Die Gerade verläuft durc die Punkte A und B und die Gerade durc C und D. Zeien Sie, dass sic die Geraden und scneiden. Berecnen Sie die Koordinaten des Scnittpunktes S. Liet der Scnittpunkt S zwiscen A und B? Die Geraden und scneiden sic in einem Punkt. Überprüfen Sie, ob sic und senkrect scneiden. a) : ) + r ( 4 ) ; r : ( 4 ) + s ( 3 7 ) ; s b) : r ) ; r : ( 3 0 ) + s ( 3 ) ; s 6 Geeben sind der Punkt P und die Gerade. Bestimmen Sie die Gleicun einer Geraden, die ortoonal zu ist und durc den Punkt P verläuft. a) : ( 3 ) ( + r 0 0 ) ; r, P(6 4 0) b) : ( 0 ) ( + r ; r, P( 3 7) 0 )

9 Ebenen im Anscauunsraum 77 Von der Normalenform (Koordinatenform) zur Parameterform Die Ebene E ist eeben durc ( ( 0 0 ) ) ( 3 ) = 0. Bestimmen Sie eine Gleicun der Ebene E in Parameterform. Lösun Gleicun in Koordinatenform: x 3 x + = 0 Es andelt sic um eine Gleicun mit drei Variablen. Zwei Variablen sind frei wälbar und die dritte kann man in Abänikeit von diesen beiden bestimmen. Wir wälen: x = r; x = s; r, s Aus r 3s + = 0 erält man: = r 3s + Vektorscreibweise: x x = x ( ) ( = r s r 3s + ) ( = 0 0 ) ( + r 0 ) ( + s 0 3 ) Parameterform: ( 0 0 ) + r ) + s ( 0 ; r, s 3 ) Hinweis: Man kann auc drei Punkte der Ebene E bestimmen, z. B. A( 0 0), B(0 0 ) und C( ). Mitilfe dieser Punkte kann man die Gleicun der Ebene in der Drei- Punkte-Form aneben. Die Ebene E ist eeben durc x + x =. Bestimmen Sie eine Gleicun der Ebene E in Parameterform. Lösun Gleicun in Koordinatenform: x + x + 0 = Eine Gleicun mit drei Variablen. Zwei Variable sind frei wälbar. ist frei wälbar, dann kann man entweder x oder x noc frei wälen. = r; x = s frei wälbar: x + s = Vektorscreibweise: Parameterform: Hinweis: Die Ebene E ist parallel zur -Acse. x = s x x = x ( ) ( = s s r ) ( = 0 0 ) ( + r 0 0 ) ( + s 0 ) ( + r 0 0 ) ( + s ; r, s 0 ) 0 )

10 78 II Vektorielle Geometrie Was man wissen sollte über Formen einer Ebenenleicun Parameterform Geeben sind ein Stützvektor v p und zwei Rictunsvektoren u und, die nict parallel sind. p + r u + s v ; r, s. Normalenform Geeben sind ein Stützvektor p und ein Normalenvektor n. ( p ) n = 0 Koordinatenform Geeben sind die Koeffizienten n, n, n 3 und die Konstante b. n x + n x + n 3 = b Umwandlun einer Form in eine andere Parameterform Normalenform Koordinatenform n = u v Ausmultiplizieren p + r u + s v ( p ) n = 0 n x + n x + n 3 = b Zwei Variablen (r und s) sind frei wälbar. Aufaben a) b) Bestimmen Sie eine Gleicun der Ebene E in Normalen- und in Koordinatenform. a) E: ( 3 0 ) ( + r ) ( + s 3 ) ; r, s b) E: ( 4 ) ( + r 0 ) ( + s 0 ; r, s ) c) E: r ( ) ( + s 0 ; r, s ) d) E: ( 4 0 ) ( + r 0 ) ( + s 0 0 ; r, s ) e) E: ( 0 ) ( + r 0 ) ( + s ) ; r, s f) E: ( ) ( + r 0 0 ) ( + s 0 ; r, s 0 )

11 Ebenen im Anscauunsraum 79 a) b) Geben Sie eine Koordinatenform der Ebene E an. a) E: ( ( ) ) ( 4 3 ) ( = 0 b) E: ( 4 3 ) ) ( 0 ) = 0 c) E: ( ( ) ) ( 3 0 ) ( = 0 d) E: ( 0 0 ) ) ( 0 0 ) = 0 e) E: x ( 3 8 ) = 0 f) E: x ( ) = a) b) 3 Bestimmen Sie für die Ebene E eine Gleicun in der Normalenform. a) E: x + 3 x + = 8 b) E: x x = 0 c) E: 4 x + 3 x = d) E: x + 6 = 0 e) E: x = 3 f) E: 4 x = 8 4 Bestimmen Sie eine Parameterleicun der Ebene E. a) b) a) E: x x + 3 = 4 b) E: 3 x x + 4 = 6 c) E: x x + = 0 d) E: x x = 3 e) E: 6 x = 0 f) E: 4 x + 3 = 0 ) E: ( ( 3 ) ) ( 3 ) = 0 ) E: ( ( 0 ) ) ( 6 ) = 0 i) E: ( 0 ) ) ( 0 ) ( = 0 j) E: ( ) ) ( 0 0 ) = 0 Die Ebene E et durc den Punkt P und at den Normalenvektor n. Geben Sie eine Ebenenleicun in Normalenform und Koordinatenform an. a) P(6 3 ); n = ( 3 ) b) P(0 4 ); n = 6 Eine Ebene E verläuft durc den Punkt P(3 ) und at den Normalenvektor n = ( 0 ). Prüfen Sie, ob der Punkt A in der Ebene E liet. a) A( ) b) A(4 3) c) A(3 00) d) A( 0 0) 3 ) 7 Geeben ist die Gleicun x 3 x + 4 =. Geben Sie drei Lösunen dieser Gleicun an und interpretieren Sie eometrisc. 8 Die Ebene E at die Gleicun 3 x + x = 6. Welce Werte kann annemen? Welce besondere Lae at E? Zeit die Abbildun die Ebene E? Beründen Sie Ire Antwort x x

12 Abstandsberecnunen im Raum 99 7 Abstandsberecnunen im Raum 7. Abstand von zwei Punkten Zwei Fluzeue müssen einen Mindestabstand einalten. Sind die Positionen der Fluzeue (z. B. durc GPS) bekannt, so berecnet man den Abstand der beiden Punkte. Der Abstand zwiscen zwei Punkten A und B ist die Läne (der Betra) des Vektors AB. Diese Läne wurde im Kapitel Skalarprodukt scon berecnet. Beacten Sie: Geeben sind die zwei Punkte A ( a a a 3 ) und B ( b b b 3 ). Für den Abstand d der Punkte A und B ilt: d = AB = ( b a b a b 3 a 3 ) = ( b a ) + ( b a ) + ( b 3 a 3 ) Berecnen Sie den Abstand der Punkte A( 4 7 3) und B( 3 ). Lösun Vektor AB : Abstand d: d = AB = OB OA = ( 3 ) ( ) ( = 9 4 ) ( ) = _ =,0 AB = Aufaben Geeben sind die Punkte A und B. Berecnen Sie den Abstand der Punkte A und B. a) A(6 ), B( 3 7) b) A( 0,,), B(, 0 0,) c) A(0 7 ), B(0 0 0) d) A(4 3 ), B( 4 3 ) Die Abbildun zeit einen Würfel. S ist der Scnittpunkt der Raumdiaonalen. Welcen Abstand at S von den Eckpunkten des Würfels? x S x

13 00 II Vektorielle Geometrie 7. Abstand eines Punktes von einer Ebene Ein Punkt A, der nict in der Ebene liet, at versciedene Entfernunen zu den Punkten der Ebene. Die kleinste Entfernun zu einem Ebenenpunkt eißt Abstand des Punktes A von der Ebene. A Beacten Sie: Der Abstand eines Punktes A von der Ebene E ist die kleinste Entfernun von A zu E. Berecnun des Abstandes d Gleicun der Ebene E: ( p ) n = 0 a p und n scließen den Winkel ein. Aus dem Skalarprodukt: cos( ) = ( a p ) n ( a p ) n d Rectwinklies Dreieck: cos( ) = ( a p ) d = ( a p ) cos( ) P E a p α A d n Einsetzen von cos( ): d = ( a p ) ( a p ) n ( a p ) n = ( a p ) n n p a Diese Formel liefert für 0 90 einen positiven Wert. Andernfalls eribt sic ein neativer Wert. O Nimmt man den Betra, so erält man den (positiven) Abstand d: d = ( a p ) n n mit n = n + n + n 3 Mit a a = a ( a 3 ), n n = n ( n 3 ) und p n = b erält man: ( a p ) n = n a + n a + n 3 a 3 b. Abstandsformel in Koordinatenform: d = n a + n a + n 3 a 3 b n + n + n 3