Kapitel 6: Der Flächeninhalt. Flächeninhalt bestimmen bedeutet : Möglichst vielen Figuren F (Maß-)Zahl A(F) zuordnen.

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1 Fläceninalt 1 Fläceninalt als Größe Fläceninalt 2 Messprozess Pysik Kapitel 6: er Fläceninalt Fläceninalt einer Fiur soll etwas über deren Größe aussaen Fläceninaltsberiff intuitiv irendwie klar, ab der Grundscule durc usleen von Fiuren mit Plättcen vorbereitet. brenzun eenüber einem anderen eriff von Größe, dem Umfan einer Fiur. efinitionen des Fläceninaltsberiffs werden immer mer verfeinert, durc den Messprozess festelet. Welcen Fiuren sind Sie bereit, einen Fläceninalt zuzusprecen? Wie sollte der definiert und emessen werden? Fläceninalt bestimmen bedeutet : Mölicst vielen Fiuren F (Maß-)Zal (F) zuordnen. Eienscaften dieser Zuordnun: 1. (F) 0 für alle Fiuren F, 2. (F 1 F 2 ) = (F 1 )+(F 2 ) F 1 F 2 =, 3. (F) = (F ) F konruent zu F, 4. (Q e ) = 1 Q e beliebi ewältes Eineitsquadrat Teorie solcer Messprozesse in der Matematik Maßteorie, Teilebiet der nalysis Hier nur die in der Sculmatematik wictien Fiuren beandelt, an einien eispielen anewandt, statt den Fläceninalt zu definieren bescreibt man den Messprozess. 6.1 Fläceninalt als Größe Im lltasebrauc keine Fiuren mit Fläceninalt 0 akzeptiert (z.. einzelne Punkte, Strecken) One diese Fläcen bilden die Fläceninalte einen so enannten Größenbereic ( Vorlesun über Größenbereice). In einem Größenbereic G sind ddition + und Kleiner-Relation < erklärt: 1. a + b = b + a Kommutativesetz 2. (a + b) + c = a + (b + c) ssoziativesetz 3. entweder a < b oder b < a oder a = b Tricotomie 4. a < b es ibt ein c G mit a + c = b einescränktes Lösbarkeitsesetz 6.2 er Messprozess Pysikalisces Modell: Fiuren sind aus omoenem Material leicer icke ausescnitten. Fiuren aben leicen Fläceninalt wenn sie leices Gewict aben. Fläceninalt von Fiuren experimentell verleicen: Fiuren aus eeinetem Material erstellen und Gewict verleicen. Fläcenmaßzalen zuordnen durc Verleicen mit dem Gewict von Eineitsquadraten oder einem anderen passenden Quadrat. Für die Scule eventuell: Fläceninalt der Kreisfläce mit einem Radiusquadrat verleicen. Wie viel mal so scwer ist die Kreisfläce? r r r

2 Messprozess Matematik 1 Zerleunsleic eränzunsleic 1 Messprozess Matematik 2 Zerleunsleic Paralleloramm Grenzen des Messprozesses durc usleen: Matematisce Fläceninaltsberiffe usleen einer Fläce mit zueinander deckunsleicen Fiuren und nzalbestimmun ( z.. Inaltsformel für Rectecke, für die Scule eeinet und ebräuclic). - Teoretisc problematisc bei Rectecken mit Seiten, die zu denen des Eineitsquadrates inkommensurabel sind, - Verleic beliebier reiecke, - krummlini berenzte Fiuren. Passt vielleict nie enau 7 Quadrate im Streifen 3 Streifen 3 7 Eineitsquadrate eriffe Zerleunsleiceit und Eränzunsleiceit von Fiuren. Grenzprozesse durc nnäerun komplizierter Fläcen durc einfacere ( z.. Kreisfläce) Zerleunsleic - eränzunsleic efinition Zwei Fiuren sind zerleunsleic wenn sie sic in paarweise konruente Fiuren zerleen lassen. Zerleunsleice Fiuren sind inaltsleic Fläceninalt des Paralleloramms iese Zerleun zeit: er Fläceninalt des Paralleloramms ist das Produkt aus der Grundseite und der Höe : =. eispiel: Fläceninalt des Paralleloramms ufabe as Paralleloramm und das Recteck sind zerleunsleic. Gilt dies auc für das nebensteende Paralleloramm? Ist dieses auc zerleunsleic zu einem Recteck mit den Seiten und?

3 Zerleunsleic eränzunsleic 2 Eränzuns-paralleloramm 2 Eränzuns-paralleloramm 1 Pytaoras Zerleun efinition Zwei Fiuren sind eränzunsleic wenn sie durc Eränzun mit konruenten Fiuren zu konruenten (i.. zerleunsleicen) Fiuren eränzt werden können. Eränzunsleice Fiuren sind inaltsleic eispiel: Pytaoras-Leebeweis c² ie weißen Fläcen sind eränzunsleic, denn sie können durc Eränzun mit den vier paarweise konruenten reiecken zu konruenten Fiuren (ier den Quadraten) eränzt werden. a² b² Satz vom Eränzunsparalleloramm E F P H er Satz Geeben ist das Paralleloramm C und ein Punkt P auf der iaonalen d=c. urc P sind Parallelen zu den Seiten des Paralleloramms ezeicnet. adurc entsteen zwei Paralleloramme EPH (elb) und FGP (ellrot). Zeien Sie, dass diese Paralleloramme den leicen Fläceninalt besitzen. Zeien Sie, dass auc die Paralleloramme FH und GE den leicen Fläceninalt besitzen. d G C nwendun Pytaoras-Zerleunsbeweis Geeben ist ein Recteck GE (ellrot). Es soll ein dazu fläcenleices Recteck mit einer voreebenen Seite konstruiert werden. H 1 C 3 E E P 2 G F Konstruktion: 1 Parallele durc zu durc, 2 Parallele durc zu durc, C Scnittpunkt von 1 und 2, P Scnittpunkt von C mit GE, 3 Parallele zu durc P, H Scnittpunkt von 3 mit C. F Scnittpunkt von 3 mit. FH ist das esucte Recteck. Für die Scule als Puzzle eeinet, wenn man die Einteilun des Katetenquadrats voribt.

4 eweis Katetensatz Trianulation reiecksformeln Cavalieri 1 Ein eweis des Katetensatzes C b a q c Wie ist wol das karierte Paralleloramm konstruiert worden? Wenn als Grundseite des Paralleloramms betractet wird, wie lan ist dann die zueörie Höe? Was ist der Fläceninalt des Paralleloramms? as Paralleloramm wird so um edret, dass auf C fällt. Um wie viel Grad? Welcer Zusammenan bestet mit dem Fläceninalt des rünen Rectecks? reiecksformeln und ire eometrisce eutun = 2 = 2 = 2 Versciedene Herleitunen füren zunäcst zu versciedenen Formen der Fläceninaltsformeln Termumformunen Fläceninalt von n-ecken as Prinzip von Cavalieri ( ) Satz von Cavalieri im Raum Sind zwei Körper leic oc und ist in jeder Höe die Scnittfläce bei beiden Körpern leic roß, so aben die Körper dasselbe Volumen Fläceninalt? x Zerleen in reiecke, reiecksfläcen berecnen!

5 Cavalieri 2 Satz von Cavalieri in der Ebene Kann man eine Gerade so zeicnen, dass jede Parallele zu dieser Geraden aus zwei Fläcen stets zueinander leiclane Strecken ausscneidet, so aben die Fläcen denselben Inalt Grenzprozesse eispiel: Fläceninalt des Kreises Ein- und umbescriebenes Secseck Einbescriebenes Secseck und Zwölfeck reiecke mit leicer Grundseite und leicer Höe aben den leicen Fläceninalt (Stralensatz). nnäerun durc einbescriebene und umbescriebene reelmäßie n-ecke. Für n näern sic deren Fläceninalte von unten bzw. oben einem emeinsamen Wert. iesen Wert definiert man als den Fläceninalt des Kreises. Grenzprozesse 1 Ganz beliebie Fiur Gitterpapier drüber leen... Kästcenläne albieren... Fläceninalt? I 1 U 1 Kästcen im Inneren zälen und addieren I 1 I 1 I 2 U 2 U 1 Kästcen im Inneren zälen und addieren I 2 Kästcen außen zälen und addieren U 1 Kästcen außen zälen und addieren U 2 Grenzprozesse 2 Grenzprozesse 3

6 Scerun 2 Scerun 1 Scerun Eienscaften Falls I n und U n sic dem leicen Wert näern, dann ist das der Fläceninalt der Fiur. I 1 I 2 I 4 U 4 U 2 U 1 Kästcenläne nocmals albieren... Kästcen im Inneren zälen und addieren I ie Scerun eine fläcentreue bbildun er eweis zum Katetensatz let die folende efinition einer bbildun der Ebene nae. Geeben sind eine Gerade, (Scerunserade) ein Winkel α mit -90 < α < 90 (Scerunswinkel) Kästcen außen zälen und addieren U 4 α P' α _ P Scerun mit Scerunserade Scerunswinkel α 90 < α < 90 Intervallscactelun für Grenzprozesse 4 bbildunsvorscrift: P : P = P P : (P,F P,P) = α, mit F P Fußpunkt des Lotes von P auf. α P' α _ P Scerun mit Scerunserade Scerunswinkel α 90 < α < 90 Eienscaften der Scerun: P' P Fixpunkterade, α α _ Fixeraden sind alle Parallelen zu, eradentreu, nict länentreu, aber Strecken parallel zu bealten ire Läne, nict winkeltreu, fläceninaltstreu. er Fläceninalt einer beliebien Fiur eribt sic als Grenzwert von Quadraten mit immer kleineren Seitenlänen. iese Quadrate können so ewält werden, dass 2 irer Seiten parallel zu sind. er Fläceninalt solcer Quadrate bleibt bei der Scerun eralten.

7 Historisce emerkunen 1 Historisce emerkunen 3 Historisce emerkunen 2 Historisce emerkunen Historisce emerkunen Quadratur des Kreises: Ein altes riecisces Problem Im ltertum war es ein zentrales nlieen der Geometrie, alle Konstruktionen exakt nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal durczufüren. ieses nlieen at die eometrisce Forscun über 2000 Jare lan voranetrieben, und die endültien ntworten auf die offenen Fraen sind nur etwas über 100 Jare alt. er Grund für die Einscränkun der Hilfsmittel war pilosopiscer Natur, Näerunen für die in Frae steenden Probleme waren seit alters er bekannt. Hier sollen einie der klassiscen Probleme kurz vorestellt werden. Konstruiere mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis mit eebenen Radius ein fläcenleices Quadrat. Leonardo da Vinci: Studie zu den Proportionen am idealen mensclicen Körper. Quadraturproblem implizit darestellt? Kreis durc die Finerspitzen der waaerect ausestreckten rme und durc den zentralen roßen Ze. Fast leicer Fläceninalt wie das Quadrat aus Körperöe und reite der ausestreckten rme. eweis für die Unmölickeit der Quadratur des Kreises erst um 1870 elunen (F.Lindemann)! Pänomena 1984 in Züric Esoteriscer utor : er Mensc ist die Lösun des Unlösbaren! Quadratur des Kreises Winkeldrittelun Würfelverdoppelun (elisces Problem)

8 Fraktale 1 Fraktale 3 Fraktale 2 Fläceninalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal 1 Problematisce Fiuren: Fraktale im 19./20. Jarundert Problematisce Fiuren: Fraktale Fläceninalt der blauen Fläce? Fläceninalt der blauen Fläce? Problematisce Fiuren: Fraktale 6.5 Fläceninalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal Problem 1 Kann man ein Vieleck (Polyon) mit Zirkel und Lineal alleine umwandeln in ein fläceninaltsleices Recteck, dessen eine Seite eine Eineitsstrecke ist, ein fläceninaltsleices Quadrat? Problem 2 Kann man diese Umwandlun auc durc Zerscneiden und Zusammenleen erreicen? Klar: Kann man Teil 1 von Problem 1 lösen, dann ist Teil 2 sofort mit Hilfe des Katetensatzes oder des Höensatzes elöst. Fläceninalt?

9 Fläceninalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal 2 Werden diese fraen positiv beantwortet, dann kann man alleine mit Hilfe von Zirkel und Lineal bzw. durc Zerscneiden den Fläceninalt beliebier Polyone verleicen: Entweder man wandelt beide in Rectecke mit einer Eineitsseite um und verleict deren andere Seitenlänen, oder man verwandelt beide in jeweils fläcenleice Quadrate und verleict diese Quadrate. ufabe: Wandeln sie das folende Viereck in ein fläcenleices Recteck mit der Strecke e als einer Seite um. C e