Klasse 9 a/b/c 4. Schulaufgabe aus der Mathematik

Transkript

1 Klasse 9 a/b/c 4. Sculaufgabe aus der Matematik (WWG) Gruppe A 1. Von einem Würfel der Kantenlänge a wird wie unten eingezeicnet eine Pyramide abgescnitten. Berecne das Volumen der Pyramide. Würfel: Pyramide:. Eine Strecke s = [AB] wird durc den Punkt T innen stetig geteilt. Berecne den Abstand x = AT des Punktes T von A. 3. Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge s = 1 cm. Verkürzt man zwei gegenüberliegende Seiten des Quadrats um x, so dürfen die andern beiden um x verlängert werden. Wie groß muss man x wälen, um das Quadrat in ein Recteck mit maximalem Fläceninalt zu verwandeln? (Recne one Eineiten!) 4. Die rects steende Skizze zeigt das Netz einer geraden Pyramide mit quadratiscem Grundriss. a) Berecne den Oberfläceninalt der Pyramide. b) Berecne den Volumeninalt der Pyramide. Die Berecnungen dürfen one Eineiten durcgefürt werden. 6cm 16cm. Einer Pyramide der Höe = 1 cm und einem Volumen von V = 480 cm 3 wird in einer Höe von 6 cm parallel zur Grundfläce der obere Teil abgescnitten. Welcen Volumeninalt at die abgescnittene Pyramidenspitze? Viel Erfolg! Kink

2 Klasse 9 a/b/c 4. Sculaufgabe aus der Matematik (WWG) Gruppe B 1. Von einem Würfel der Kantenlänge a wird wie unten eingezeicnet eine Pyramide abgescnitten. Berecne das Volumen der Pyramide. Würfel: Pyramide:. Eine Strecke s = [AB] wird durc den Punkt T innen stetig geteilt. Berecne den Abstand x = AT des Punktes T von A. 3. Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge s = 16 cm. Verkürzt man zwei gegenüberliegende Seiten des Quadrats um x, so dürfen die andern beiden um x verlängert werden. Wie groß muss man x wälen, um das Quadrat in ein Recteck mit maximalem Fläceninalt zu verwandeln? (Recne one Eineiten!) 4. Die rects steende Skizze zeigt das Netz einer geraden Pyramide mit quadratiscem Grundriss. a) Berecne den Oberfläceninalt der Pyramide. b) Berecne den Volumeninalt der Pyramide. Die Berecnungen dürfen one Eineiten durcgefürt werden. 8cm 18cm. Einer Pyramide der Höe = 8 cm und einem Volumen von V = 160 cm 3 wird in einer Höe von 4 cm parallel zur Grundfläce der obere Teil abgescnitten. Welcen Volumeninalt at die abgescnittene Pyramidenspitze? Viel Erfolg! Kink

3 Klasse 9 a/b/c 4. Sculaufgabe aus der Matematik Gruppe A 1. Die Pyramide at als Grundfläce ein gleicscenklig rectwinkliges Dreieck mit den Katetenlängen a. Die Höe der Pyramide ist a. Damit erält man für den Volumeninalt: V = 1 3 Ga = 1 ( ) 1 3 a a = 1 6 a3. Eine Strecke s = [AB] wird durc den Punkt T stetig geteilt. Berecne den Abstand x = AT des Punktes T von A. s x = x x s, (s x) s = x, s sx = x, x + sx s = 0, x 1, = 1 ( s ± ) s 4 ( s ) = 1 ( s ± ) s = 1 x = s ( 1 + ) ( s ± s ) 3. Verkürzte Seiten: 1 x, verlängerte Seiten: 1 + x, Fläceninalt: A (x) = (1 x) (1 + x) = x + 1x = [ x 6x 7 ] = [ x 3x ] = [ x 3x ] = [ x 3x + 3 ] + 16 = (x 3) + 16 S (3 16) Der Fläceninalt wird beim Sceitel der Parabel maximal, d.. für x = 3 cm. 4. Alle Berecnungen in cm-eineiten. a) Grundfläce: G = 6 = 36 Seitenfläce: A S = 1 6 = 1 Oberfläce: A = G + 4 A S = = 96 ( cm )

4 Klasse 9 a/b/c 4. Sculaufgabe aus der Matematik Gruppe A b) 3 Aus den Zeicnungen ergibt sic: + 3 = = 3 = 4 Pyramidenvolumen: V = 1 3 G = = 48 ( cm 3). Berecne erst Grundfläce G der Pyramide: V = 1 3 G G = 3V = cm3 1 cm = 10 cm Die Grundfläce G der abgescnittenen Spitze ist nac dem Stralensatz 1 4 davon (Quadrat des Streckfaktors): G = 30 cm Volumen der Spitze: V = 1 3 G = 1 6 G = cm 1 cm = 60 cm 3

5 Klasse 9 a/b/c 4. Sculaufgabe aus der Matematik Gruppe B 1. Die Pyramide at als Grundfläce ein gleicscenklig rectwinkliges Dreieck mit den Katetenlängen a. Die Höe der Pyramide ist a. Damit erält man für den Volumeninalt: V = 1 3 Ga = 1 ( ) 1 3 a a = 1 6 a3. Eine Strecke s = [AB] wird durc den Punkt T stetig geteilt. Berecne den Abstand x = AT des Punktes T von A. s x = x x s, (s x) s = x, s sx = x, x + sx s = 0, x 1, = 1 ( s ± ) s 4 ( s ) = 1 ( s ± ) s = 1 x = s ( 1 + ) ( s ± s ) 3. Verkürzte Seiten: 16 x, verlängerte Seiten: 16 + x, Fläceninalt: A (x) = (16 x) (16 + x) = x + 16x + 6 = [ x 8x 18 ] = [ x 4x ] = [ x 4x ] = [ x 4x + 4 ] + 88 = (x 4) + 88 S (4 88) Der Fläceninalt wird beim Sceitel der Parabel maximal, d.. für x = 4 cm. 4. Alle Berecnungen in cm-eineiten. a) Grundfläce: G = 8 = 64 Seitenfläce: A S = 1 8 = 0 Oberfläce: A = G + 4 A S = = 144 ( cm )

6 Klasse 9 a/b/c 4. Sculaufgabe aus der Matematik Gruppe B b) 4 Aus den Zeicnungen ergibt sic: + 4 = = 4 = 3 Pyramidenvolumen: V = 1 3 G = = 64 ( cm 3). Berecne erst Grundfläce G der Pyramide: V = 1 3 G G = 3V = cm3 8 cm = 60 cm Die Grundfläce G der abgescnittenen Spitze ist nac dem Stralensatz 1 4 davon (Quadrat des Streckfaktors): G = 1 cm Volumen der Spitze: V = 1 3 G = 1 6 G = cm 8 cm = 0 cm 3