Frühe Zeitmessgeräte: Wasseruhr und Sonnenuhr

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1 rüe Zeitmesseräte: Wasserur und Sonnenur Bis zur Entwicklun bzw. Erfindun der Mecaniscen Uren im. Jarundert etwa waren Wasserur und Sonnenur die fast ausscließlic erwendeten Zeitmesseräte. m folenden soll die Pysik der eute kaum mer erwendeten Wasserur und die Berecnun des Zifferblattes on Sonnenuren bescrieben werden. ) Die Wasserur Mit der Wasserur (in Griecenland κλεψυδρα enannt) war eine wetter- und taeslictunabänie Zeitmessun mölic. Sie war im einfacsten all eine uslaufur, bei der in einem meist koniscen Gefäß Wasser durc ein Loc im Boden ausfloß. Durc die Beobactun des sinkenden Wasserspieels mittels Markierunen war eine Zeitmessun mölic. Die Wasserur soll bereits im 3. orcristlicen Jartausend on den Äyptern erfunden worden sein, Galilei bescreibt eine abewandelte orm in Discorsi a due nuoe scienze (638). Die orm des stumpfen Keels sollte einen leicmäßien Wasserausfluß bewirken, sodaß die Marken zur Zeitmessun leice bstände besaßen. Die Problematik der Wasserur bestet darin, daß nur ein Gefäß der orm einer Parabel. Grades (siee weiter unten) einen leicmäßien usfluß arantiert der Keelstumpf, bei dem eine Neiun :3 erwendet wurde und der obere Durcmesser doppelt so roß wie der untere ewält wurde, erfüllt diese Bedinun nur unollkommen. Prof. Dr. insammer, Seite

2 a) Zylinderförmies Gefäß.,,, aus in einesetzt und nac aufelöst eribt: + G K J + Um die usflußzeit T bzw. die öe des Wasserspieels (t) in bänikeit on der Zeit berecnen zu können, benötit man zwei Gleicunen, die Bernoulli- und die Kontinuitätsleicun: p p ) + ρ + + ρ + p p tmospärendruck, ρ Dicte des Wassers, Erdbescleuniun ), Strömunsescwindikeit an usfluß und Oberfläce, r π, r π läcen on usfluß und Oberfläce. mit, und << eribt sic näerunsweise nac Torricelli Damit erält man aus eine Differentialleicun mit trennbaren Variablen: d d dt dt K K t c d t ej tmit t b K z b t t + K mit dt T T K i t b ej R S T K G dt K d dt t K t+ usflußzeit T KJ L NM G U V W KJ O QP Prof. Dr. insammer, Seite

3 Beispiel: êm..8.6 n der bbildun ist der Zylinder mit seinen bmessunen darestellt, einem Radius der usflußöffnun on 5 mm und einer anfänlicen Wasserspieelöe on m r êm êm tê Gezeicnet ist die öe des Wasserspieels in bänikeit on der Zeit, die bname ist nur anfans in uter Näerun linear. Die Nictlinearität rürt om bsinken des Peels er. Um dies zu ermeiden, wurden komplizierte Reelunsmecanismen escaffen (Ktesibios, 3. J..Cr.) oder man erwendete roße Gefäße. T Øê êm ier ist die usflußzeit des Wassers on der öe auf darestellt. Bei roßen usansöen eribt sic näerunsweise Linearität. Bei allen Berecnunen sind Reibunserluste, seitlice Strömunen und Turbulenzen ernaclässit worden, sodaß die usflußzeiten in Wirklickeit läner sind und die (t) Kure flacer wird. Prof. Dr. insammer, Seite 3

4 b) Optimale Gefäßform:, r r () Die optimale Gefäßform ist erreict, wenn - d/dt bei jeder öe des Wasserspieels konstant ist, d. die Wasseroberfläce () öenabäni so durc das rotationssymmetrisce Gefäß estaltet wird, daß die Gescwindikeit der Peelabsenkun eine Konstante ist., r Durc Umstellun der Differentialleicun on a) erält man b b b b d dt nsatz mit : d. mit d dt d dt d t t z ej b t e j t t usflußzeit T G KJ d dt const. Prof. Dr. insammer, Seite ür die öenabänie läce () r () π erält man: r b c b c + bzw. r r r + r K K r + r r r r r c Gescwindikeit der Peelabsenkun (r) ist die Gleicun für die Kure, durc die der Seitenriß der Gefäßwand ebildet wird. e e r r j j

5 Beispiel: êm.8.6. n der bbildun ist der Seitenriß der optimalen Gefäßform mit den bmessunen maßstabsetreu darestellt r êm êm tê öe des Wasserspieels in bänikeit on der Zeit t, die bname ist linear. Radius der usflußöffnun 5 mm, anfänlice Wasserspieelöe m Bei allen Berecnunen sind Reibunserluste, seitlice Strömunen beim usfluß und Turbulenzen ernaclässit worden. Prof. Dr. insammer, Seite 5

6 c) Keelstumpf: r r() r r r r r b b b + r r r () () b läce des Wasserspieels bei der öe, r, r r r b b r + r br r KJ π + π G G b K J nac Seite b b b b d dt G b K J ( ) K d R S T L NM dt ( ) K r r d r + b O QP π R S T U V W π r + br r dt U V W dt z b t L NM r b r r + O t QP π z d dt t Die Lösun des nterals eribt die öe t des Wasserspieels nac der Zeit t. b Prof. Dr. insammer, Seite 6

7 Beispiel: êm êm r êm.8.6. Maßstabsetreuer Seitenriß des Keelstumpfes. Die Steiun der Gefäßwand ist :3, der obere Durcmesser ist doppelt so roß wie der untere. Radius der usflußöffnun 5 mm, anfänlice Wasserspieelöe m öe des Wasserspieels in bänikeit on der Zeit t, die bname ist anfans näerunsweise linear. Die Kure ist einer Geraden besser anenäert als beim Zylinder tê Bei allen Berecnunen sind Reibunserluste, seitlice Strömunen beim usfluß und Turbulenzen ernaclässit worden. Man kann sie näerunsweise mit einer dimensionslosen usflußzal µ berücksictien (siee zb. Tecn.Pysik, Band, Mecanik der lüssikeiten und Gase, orst Kerr, Verla Europa-Lermittel ). Die öe (t) des Wasserspieels nac der Zeit t one Reibun ist dann leic der öe (t ) nac der läneren Zeit t t/µ bei Vorandensein on Reibun die Zeitacse wird edent, das bedeutet die (t) Kuren werden flacer, die Entleerunszeiten nemen um den aktor /µ zu. Die usflußzal bewet sic in der Größenordnun,85...,95. Der esamte rtikel stet im Netz unter ttp:// ttp:// ttp:// ttp:// ttp:// Prof. Dr. insammer, Seite 7