Wir wollen nun die gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen untersuchen.

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1 Lebezieunen Lebezieunen Wir wollen nun die eenseiie Le von Punken, Gerden und benen unersucen.. Le eines Punkes bezülic einer Gerden Ds is eine scon beknne Übun. Nics deso roz ier noc einml ein Beispiel. Bsp.: Unersucen Sie, ob der Punk A lie. uf der Gerden : x Dzu sez mn den Orsvekor von A mi der Gerdenleicun leic (Punkprobe) um zu prüfen, ob es einen Prmeer ib, so dss der Orsvekor von A die Gerdenleicun erfüll D eindeui besimm is lie der Punk A uf der Gerden. Is ds nic eindeui besimm, oder für eine der obien Gleicun uf eine flsce Ausse, dnn lie der Punk nic uf der eebenen Gerden. Aufbe:. Prüfen sie ob die Punke A5, B und C : x lieen. uf der Gerden. Le eines Punkes bezülic einer bene Hier sind zwei Fälle zu unersceiden.. Is die bene in Prmeerform eeben, dnn sez mn den Orsvekor des Punkes mi der Prmeerleicun leic (Punkprobe). Lös mn ds so erlene überbesimme Gleicunssysem ( Unbeknne und Gleicunen) und eräl eine eindeuie Lösun (für lle drei Gleicunen), dnn lie der Punk in der bene. Andernflls nürlic nic.. Is die bene in Koordinenform eeben, dnn sez mn die Koordinen des Punkes in die Koordinenleicun der bene ein. räl mn eine Gleicun mi wrer Ausse, dnn lie der Punk in der bene. Andernflls lie er nic in der bene.

2 Lebezieunen Bsp.: Besimmen Sie die Le des Punkes A 6 : x 4 4 bezülic der bene bzw. H : x x x Die beiden Prmeer und sind eindeui besimm, somi lie der Punk A in der bene. H : 6 6 f Der Punk A lie nic in der bene H. Aufben:. Prüfen sie ob die Punke A 4, B 4 und C 7 : x lieen.. Prüfen sie ob die Punke A 4 und B : x x x lieen. in der bene in der bene. Le zweier Gerden Bei der eenseiien Le zweier Gerden : x u : x b v ib es vier versciedene Fälle zu unersceiden.. Die beiden Gerden und sind idenisc, wenn sie liner bänie Ricunsvekoren u k v mi k IR ben und der Süzvekor der Gerden uf der Gerden lie.. Die beiden Gerden und sind ec prllel, wenn sie liner bänie Ricunsvekoren u k v mi k IR und der Süzvekor der Gerden nic uf der Gerden lie.. Die beiden Gerden und scneiden sic, wenn sie liner unbänie Ricunsvekoren u k v mi k IR ben und durc

3 Lebezieunen Gleicsezen der Gerdenleicunen ein eindeui lösbres Gleicunssysem ense. Den Orsvekor des Scnipunks eräl mn durc einsezen des Weres von in oder von in. 4. Die beiden Gerden und sind windscief, wenn sie liner unbänie Ricunsvekoren u k v mi k IR ben und durc Gleicsezen der Gerdenleicunen kein eindeuies lösbres Gleicunssysem ense. Am besen wir bendeln für jeden dieser Fälle ein eienes Beispiel. Unersucen Sie lso die eenseiie Le der Gerden: : x und : x,5 Zunäcs rice mn seinen Blick uf die beiden Ricunsvekoren. D 4,5 u v sind die beiden Ricunsvekoren liner bäni und die beiden Gerden scon ml prllel. Bleib nun zu klären ob die beiden Gerden idenisc oder ec prllel sind. Dzu sez mn den Süzvekor der Gerden mi der Gerden leic und eräl folendes Gleicunssysem: Ds Gleicunssysem is lösbr, die Gerden und sind der idenisc. : x und : x Zunäcs rice mn seinen Blick uf die beiden Ricunsvekoren. D u v sind die beiden Ricunsvekoren liner bäni und die beiden Gerden scon ml prllel. Bleib nun zu klären ob die beiden Gerden idenisc oder ec prllel sind. Dzu sez mn den Süzvekor der Gerden mi der Gerden leic und eräl folendes Gleicunssysem: Ds Gleicunssysem is nic lösbr, die Gerden und sind der ec prllel.

4 Lebezieunen. 4 4 : x 9 und : x 5 4 Beim Blick uf die beiden Ricunsvekoren sell mn sofor fes, dss sie liner unbäni sind u k v. Somi können die beiden Gerden nic prllel sind. Bleib zu prüfen, ob sie sic scneiden oder ob sie windscief sind. Dzu sez mn die beiden Gerde leic und nun folendes Gleicunssysem zu lösen: Lös mn zunäcs nur ml die ersen beiden Gleicunen, so fol: I. 4 7 II. 5 4 III. ( ) Sez mn und in die drie Gleicun ein, so eräl mn w eine wre Ausse. Somi is ds Gleicunssysem eindeui lösbr, die beiden Gerden ben einen Scnipunk. Sez mn nun in die Gerdenleicun von ein, so eräl mn den Orsvekor s des Scnipunkes S. 4 7 s 9 6 S 7 6 Wäre obies Gleicunssysem nic lösbr ewesen, so äbe es keinen Scnipunk. Die Gerden wären dnn windscief. (in Beispiel für den vieren Fll können wir uns dnn spren; siee Aufben späer!) 4

5 Lebezieunen In folendem Dirmm is die Voreensweise zur Unersucun der Lebezieun zwiscen den Gerden : x u und : x b v noc einml übersiclic dresell: Ricunsvekoren u, v liner bäni liner unbäni Punkprobe : B? b u Gleicunssysem lösbr Gleicsezen :? u b v Gleicunssysem lösbr j nein j nein ec S und sind windscief S Aber es ib noc eine ndere Mölickei zur Unersucun der Le zweier Gerden zueinnder. Mn spr sic dnn of eine Punkprobe oder ein umsändlices Gleicsezen mi nscließendem Lösen eines vielleic umfnreicen Gleicunssysems. Allerdins muss mn ier dnn eomerisc scon ews eüber sein. Wir nemen uns einfc die vier mölicen Fälle noc einml vor. Seien lso noc einml die Gerden : x u und : x b v Dbei sei A der Süzpunk der Gerden und B der Süzpunk der Gerden.. Die beiden Gerden und sind idenisc Die beiden Ricunsvekoren u und v sind liner bäni u k v mi k IR ; der Verbindunsvekor AB b und der Ricunsvekor u sind ebenflls liner bäni AB k u mi k IR. 5

6 Lebezieunen. Die beiden Gerden und sind ec prllel Die beiden Ricunsvekoren u und v sind liner bäni u k v mi k IR ; der Verbindunsvekor AB b und der Ricunsvekor u sind liner unbäni AB k u mi k IR.. Die beiden Gerden und scneiden sic, Die beiden Ricunsvekoren u und v sind liner unbäni u k v mi k IR ; der Verbindunsvekor AB b und die beiden Ricunsvekoren u und v sind liner bäni De AB, u, v. Den Scnipunk der beiden Gerden eräl mn so llerdins nic. Dzu muss mn wieder die beiden Gerden leicsezen und ds ensprecende Gleicunssysem lösen. 4. Die beiden Gerden und sind windscief Die beiden Ricunsvekoren u und v sind liner unbäni u k v mi k IR ; der Verbindunsvekor AB b und die beiden Ricunsvekoren u und v sind ebenflls liner unbäni De AB, u, v. Auc ds läss sic in einem Dirmm zusmmenfssen: Ricunsvekoren u, v liner bäni liner unbäni Vekoren AB, u oder v Vekoren AB, u, v liner bäni liner unbäni liner bäni De AB, u, v liner unbäni De AB, u, v ec S und sin d windscief S 6

7 Lebezieunen Aufben: 4. Unersuce die Le von und und besimme eebenenflls den Scnipunk: ) 7 : x ; : x 8 6 b) : x ; : x c) : x ; : x d) 6 : x 5 ; : x 5 e) 7 6 : x ; : x 5 5. Geeben sind die Gerden : x und : x mi IR. ) Für welce Were von sind und idenisc? b) Für welce Were von scneiden sic und? c) Für welce Were von sind und windscief? 6. Geeben sind die Punke A, B und die Gerdenscr k k : x 4 9 mi k IR. ) Besimme k so, dss k prllel zu AB is. b) Für welce Were von k sind AB und k windscief? 7. Geeben sind die Gerden : x und : x mi IR. ) Für welce Were von sind und idenisc? b) Für welce Were von scneiden sic und? Gib den Scnipunk S n. c) Für welce Were von sind und windscief? 7

8 Lebezieunen 8. Geeben sind die beiden Gerden : x und : x mi IR. Zeie, dss die Gerden für jedes IR zur Gerden windscief is. 9. Unersuce die Le der Gerden und in Abänikei von k IR. ) k : x ; : x 4 b) 4k 4 k 8 : x 4 k ; : x 4 4 k. (B I 98) Die Punke A5 und B6 9 besimmen die Gerde. Gib eine Gleicun der Gerden n und unersuce die Le zwiscen der Gerden und der Gerden : x (mi IR und IR ) in Abänikei von. Berecne dbei insbesondere, für welcen Wer des Prmeers die zueörie Gerde zur Gerden prllel is. 5 : x. (B II 98) Zeie, dss die Gerde : x mi keiner der Gerden 4 : x einen Punk emeinsm.. Seien u und v liner unbänie Vekoren. Zeien Sie, dss sic die Gerden : x v u und : x u v scneiden. 8

9 Lebezieunen.4 Le zwiscen Gerde und bene Bei der Leunersucun einer Gerden und einer bene ib es drei verscieden Fälle zu unersceiden. Die Gerde lie in der bene. Die Gerde is ec prllel zur bene. Die Gerde scneide die bene.4. Die benenleicun is in Prmeerform eeben Dnn is es m sinnvollsen die benenleicun in Koordinenform umzuwndeln..4. Die benenleicun is in Koordinenform eeben Um die eenseiien Le einer Gerden : x u und einer bene : nx nx nx c zu unersucen sez mn einfc die Gerdenleicun ls llemeinen Koordinenpunk in die Koordinenleicun der bene ein. Mn eräl somi eine Gleicun mi nur einer Unbeknnen. Is ds Gleicunssysem eindeui lösbr, so eräl mn für die Unbeknne einen Wer mi dem mn die Koordinen des Scnipunkes berecnen knn. Für ds Gleicunssysem uf eine wre Ausse, dnn lie die Gerde in der bene, bei einer flscen Ausse is die Gerde ec prllel zur bene. Bspe.: Unersuce die Le der Gerde bezülic der bene 5. : x 7 :x 6x x 5 6 Sez mn nun den llemeinen Gerdenpunk X in die benenleicun ein, so eräl mn: Somi fol: w Häe mn ier eine flsce Ausse erlen, so foler mn: ec. : x :x 4x x 4 Sez mn nun den llemeinen Gerdenpunk X benenleicun ein, so eräl mn: 4 4 Somi fol: S und ben einen Scnipunk in die Sez mn nun in den llemeinen Gerdenpunk ein so eräl mn: X S6 9

10 Lebezieunen Aufben:. Unersucen Sie die Le zwiscen der bene und der Gerden. Berecnen Sie eebenenflls den Scnipunk. ) : x : x x x b) : x : x x x c) d) e) f) 5 5 : x 7 : 6 x : x 5 : x : x 5 : x 4 : x : x Definiion: Die Scnipunke einer Gerden mi den Koordinenebenen eißen Spurpunke. Kenn mn die Spurpunke einer Gerden, so weiß mn wo diese die Koordinenebenen scneide. Durc die Kennnis der Spurpunk läss sic die Gerde im Koordinensysem ser u und leic zeicnen. Die Berecnun der Spurpunke is rec einfc: Beispiel: Berecne die Spurpunke der Gerden : x 4 4 i) S is der Scnipunk der Gerden mi der xx bene : Die xx bene die Gleicun x. Nun sez mn die x Koordine des llemeinen Gerdenpunkes X 4 4 leic null und berecne den zueörien Prmeerwer. Also x Ds nun wieder in den llemeinen Gerdenpunk der Gerden einesez liefer den S 6 5 esucen Spurpunk:

11 Lebezieunen : S : S 5 4 ii) S is der Scnipunk der Gerden mi der x x bene iii) S is der Scnipunk der Gerden mi der x x bene Aufben: 4. Berecne die Spurpunke der Gerden ) A, B 5 5 b) : x c) : x IR\ 5. Welce besondere Le im Koordinensysem eine Gerde ) mi enu zwei Spurpunken? b) mi enu einem Spurpunk? c) mi keinem Spurpunk? s ib noc so eine Sce, die vielleic ilfreic sein knn: Gil nämlic für den Ricunsvekor u der Gerden und den Normlenvekor n der bene : u n S u n Solle die bene llerdins in Prmeerform eeben sein, so muss mn diese nic unbedin in Koordinenform umwndeln um lezendlic in rfrun zu brinen, wie eine Gerde zu dieser bene lie. Sei lso die Gerden : x u und die bene : x b v w eeben. Dbei sei A der Süzpunk der Gerden und B der Süzpunk der bene.. Die Gerde und die bene scneiden sic in einem Punk S Die Ricunsvekoren u, v und w sind liner unbäni De u, v, w. Um nun die Koordinen des Scnipunkes zu ermieln müsse mn jez die Gerde und die bene leicsezen. Die Lösun des ensndenen Gleicunssysems is mi einiem Aufwnd verbunden. D überle mn sic erne, ob mn die benenleicun nic in Koordinenform umwndel und dnn die Gerde einsez (siee oben)!. Die Gerde lie in der bene Die Ricunsvekoren u, v und w sind liner bäni De u, v, w. Die Ricunsvekoren u, v und der Verbindunsvekor AB b sind ebenflls liner De AB, u, v. bäni

12 Lebezieunen. Die Gerde is ec prllel zur bene Die Ricunsvekoren u, v und w sind liner bäni De u, v, w. Die Ricunsvekoren u, v und der Verbindunsvekor AB b sind deen liner De AB, u, v. unbäni Auc ds läss sic in einem Dirmm zusmmenfssen: Ricunsvekoren u, v, w liner liner bäni De u, v, w unbäni De u, v, w Vekoren AB, u, w liner liner bäni De AB, v, w unbäni De AB, v, w S Gleicsezen!! ec Acsenbscnie einer bene: Die Scnisellen einer bene mi den Koordinencsen nenn mn Acsenbscnie der bene. Beispiel: Besimme die Acsenbscnie der bene : x x 6x 6 ) Scni mi der x Acse : Für die x Acse il: x x Sez mn diese Were in ein, so eräl mn: x 6 x Also: A b) Scni mi der x Acse : Für die x Acse il: x x Sez mn diese Were in ein, so eräl mn: x 6 x Also: A

13 Lebezieunen c) Scni mi der x Acse : Für die x Acse il: x x Sez mn diese Were in ein, so eräl mn: 6x 6 x Also: A.5 Le zweier benen Bei der Leunersucun zweier benen ib es drei verscieden Fälle zu unersceiden. Die benen scneiden sic. Die benen sind ec prllel zueinnder. Die benen sind idenisc.5. Die beiden benen sind in Prmeerform eeben Dnn is es m sinnvollsen eine dvon in Koordinenform umzuwndeln!! (Mn spr sic viel Recnerei!)..5. ine bene is in Prmeer-, die zweie bene in Koordinenform eeben Die bene is in Prmeerform, die bene in Koordinenform eeben. : x u v : nx nx nx c Um ews über die Le der beiden benen in rfrun zu brinen sez mn einfc die benenleicun der bene ls llemeinen Koordinenpunk in die Koordinenleicun der bene ein. Mn eräl somi eine Gleicun mi den beiden Unbeknnen und. Nun versuc mn ds Gleicunssysem nc (oder ) ufzulösen. Gelin ds, dnn sez mn den so erlenen Wer für in die benenleicun der bene ein. Mn eräl die Gleicun der Scnierden. Für ds Gleicunssysem uf eine wre Ausse, dnn sind die beiden benen idenisc, bei einer flscen Ausse sind sie ec prllel zueinnder. Bsp.: Unersuce die Le der beiden benen und F : x x 4x F: x 4 Sez mn nun den llemeinen benenpunk X 4 in die F benenleicun von ein, so eräl mn: Ds Gleicunssysem eine Lösun, der wissen wir scon, dss sic die beiden benen scneiden. Zur Berecun der Scnierden sez mn ds nun erlene in die Prmeerleicun der bene F ein:

14 Lebezieunen x 4 x 4 4 x 4 Die Scnierde somi die Form 4 S : x 4.5. Die beiden benen sind in Koordinenform eeben Sind die beiden benen in Koordinenform eeben: : n x n x n x c : mx mx mx d Die Normlenvekoren sind dnn n m n n und m m n m Dnn il: Normlenvekoren n, m liner bäni n k m mi k IR liner unbäni n k m c k d!!! j nein Mn ein unerbesimmes Gleicunssysem zu lösen! ec 4

15 Lebezieunen Bsp.: Besimme die eenseiie Le der beiden benen und F. : x x x F: x x x Für die beiden Normlenvekoren n und nf il: n k nf somi scneiden sic die beiden benen. Nun muss mn folendes unerbesimme Gleicunssysem lösen. x x x x x x x x x x 9x Dnn knn mn x IR frei wälen und eräl für x (us der lezen Zeile): x Beides nun einesez in die zweie Gleicun liefer x : x Somi fol für die Scnierde : x : x x x Aufben: 6. Besimme die eenseiie Le der benen und ib eebenenflls deren Scnierde n. ) : x F: x b) : x F: x c) : x F: x 4 5 d) : x 4 F: x e) : x x x F: x x x 5

16 Lebezieunen f) ) ) : x x F: x x x : x x x 6 F: x x x : x x x F: x x x 8 7. Unersucen Sie, ob die bene und prllel oder sor leic sind. ) : 4x x x 6 : x 5x 5x 5 5 b) : x 4 ec 8 c) is die Loebene von : x 5 7 A B 5 7 : x 5 durc P 4. e durc, und C4 d) : u v u v und unbänie Vekoren sind.. : u v x, wobei u und v liner 8. Berecnen Sie eine Gleicun der Scnierden von und. ) 4 5 : x : x 6 8 b) : x : x c) : x x x 4 : x x x 9. Unersucen Sie die eenseiie Le von, und und berecnen Sie eebenenflls die Scnierde. 5 5 : 4x 5x x 4 : x 4 6

17 Lebezieunen 4 : x 5 4. Besimmen Sie eine bene, die die bene : x x x 4 scneide, und eine bene, die ec prllel zu is.. Zeien Sie, dss sic die drei benen in einem Punk scneiden. Besimmen Sie die Koordinen des Scnipunkes. : x x 4x 6 : x 5 : x 4 benenscren: näl eine Koordinenleicun einer bene einen Prmeer (Scrprmeer), dnn bescreib diese Gleicun eine benenscr. Wir bendeln nur Scren, bei denen die Prmeer liner vorkommen, z.b. : x ( ) x ( ) x 4 D lle benen unersciedlice Normlenvekoren ben sind keine zwei dvon zueinnder prllel, insbesondere sind sie dnn lle nic prllel zueinnder. Bleib die Fre, ob sie sic lle in ein und derselben Gerde scneiden? Um die Le besser überblicken zu können sorieren wir: : x ( ) x ( ) x 4 x x x x x 4 x x x 4 x x x x x 4 x x X F X Somi il verkürz escrieben: (X) (X) F(X) mi den beiden benenleicunen : x x x 4 und F: x x. Für einen emeinsmen Punk S von und F il: (S) und F(S). Dmi is uc (S). Also lie uc jeder Scnipunk von und F uc in jeder Screbene. Zwei benen mi einem emeinsmen Punk ben ber immer eine Gerde emeinsm. Ds eiß, lle benen der Scr een durc die Scnierde von und F. Die Scnierde, in der sic lle benen scneiden nenn mn Träererde. Für die Träererde der benenscr, welce sic nun ls Scni der beiden benen und F erib fol: 4 : x 7

18 Lebezieunen. Besimme eine Gleicun der Träererde der Scr. ) : x ( )x x 6 b) :( )x ( )x c) : x ( )x ( )x Spurerden: Die Scnierden einer bene mi den Koordinenebenen eißen Spurerden. Die Spurerde in der xx bene wird mi s, die in der xxbene mi s und die in der xxbene mi s bezeicne. Beispiel: Berecne die Spurerden der bene : x x 6x 6 ) Scni mi der xx bene : Die xxbene die Koordinenform x. Sez mn diesen Wer in ein, so eräl mn: x 6x 6. Wäl mn x, so fol: x Also: s : x b) Scni mi der xx bene : Die xxbene die Koordinenform x. Sez mn diesen Wer in ein, so eräl mn: x 6x 6. Wäl mn x, so fol: x Also: s : x c) Scni mi der xx bene : Die xxbene die Koordinenform x. Sez mn diesen Wer in ein, so eräl mn: x x 6. Wäl mn x, so fol: x,5,5 Also: s : x. Besimme die Acsenpunke und ib die Gleicunen der Spurerden n :7x 4x 6x 4 ) b) : x x 5x 5 8

19 Lebezieunen c) : xx 4. Besimmen Sie die Spurerden der bene, die durc folende Punke besimm is: A 6 B 6 C 4., und 5. Von einer bene sind die xx Spurerde xxspurerde : x : x und die beknn. Gesuc is die xx Spurerde. 9

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