Übung: Untersuchung einfacher Funktionen

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1 MK.6. Differentition_Ueb Untersuc.mc Aufgben: Übung: Untersucung einfcer Funktionen Untersucen Sie ie folgenen zusmmengesetzen Funktion uf Differenzierbrkeit un Stetigkeit. () f( ) : für fb( ) : für < fc( ) : + für < () f( ) : für fb( ) : + 8 für < () f( ) : + für fb( ) : + für < fc( ) : 6+ für < () In welcem Punkt es Grpen von f( ) : + verläuft eine Normle prllel zur Geren g( ) :. +? () Differenzieren Sie f( ) : un g( ) :. Welce Vermutung ben Sie bei k( ) :? (6) Gegeben ist ie Funktion f6( ) : +. Welce beien Tngenten scneien sic unter einem recten Winkel un ie Abszisse unter? (7) Die Gere g7( ) : ist Tngente n en Grpen von f7(, ) : + Bestimmen Sie rus en Prmeter <. Bestimmen Sie ie Prmeter in en folgenen zusmmengesetzen Funktionen so, ss ie Funktionen überll stetig un ifferenzierbr sin. (8) f8( ) : für f8b( c, ) : + c für < (9) f9(, ) : für f9b( ) : für < Get über en LP FOSBOS inus f9c(,, ) : + für <

2 Lösungen: Untersucen Sie ie folgenen zusmmengesetzen Funktion uf Differenzierbrkeit un Stetigkeit. () f( ) : für fb( ) : fc( ) : + für < für < Alle Terme sin Polynome. Folglic sin lle Terme in irem Definitionsbereic stetig un ifferenzierbr. f( ) f( ) fb( + ) f( ) Die Funktion ist ifferenzierbr n ieser Stelle un somit uc stetig. fb( ) fb( ) fc( + ) fb( ) Die Funktion ist ifferenzierbr n ieser Stelle un somit uc stetig. :,.98.. :,... :,... f( ) fb( ) fc( ),,

3 () f( ) : für Alle Terme sin Polynome. Folglic sin lle Terme in irem Definitionsbereic stetig un ifferenzierbr. fb( ) : + 8 für < f( ) f( ) 6 fb( + ) f( ) 6 Die Funktion ist ifferenzierbr n ieser Stelle un somit uc stetig. :,.98.. :, f( ) fb( ),

4 () f( ) : + für fb( ) : + für < fc( ) : 6+ für < Scnittstelle bei berücksictigen! Alle Terme sin Polynome. Folglic sin lle Terme in irem Definitionsbereic stetig un ifferenzierbr. f( ) : für < f( ) : + für f( ) f( ) f( + ) f( ) Die Funktion ist nict ifferenzierbr bei, nun muss ie Stetigkeit untersuct weren. f( ) f( + ) Die Funktion ist stetig n ieser Stelle. f( ) f( ) fb( + ) f( ) Die Funktion ist ifferenzierbr n ieser Stelle un somit uc stetig. fb( ) fb( ) fc( + ) fb( ) unefine Die Funktion ist nict ifferenzierbr bei, nun muss ie Stetigkeit untersuct weren. fb( ) fc( + ) Die Funktion ist nict stetig n ieser Stelle. :,.98.. :,... :,... f( ) fb( ) fc( ),,

5 () In welcem Punkt es Grpen von f( ) : + verläuft eine Normle prllel zur Geren g( ) :. +? f( ) f( ) : + 8 m s : g( ). n: f( ) m s uflösen,.. yn : f n yn : f n ( ) ( ). Geört nict mer zur Aufgbe: m: g( ). t: yn m n + t uflösen, t t: yn m n + t uflösen, t.6 :,.98.. f( ) g( ) m + t yn m + t yn,,, n,, n

6 () Differenzieren Sie f( ) : un g( ) :. Welce Vermutung ben Sie bei k( ) :? f(), Stelle unten, nlog f( ) f( ) + ( ) ( ) g(), Stelle unten, nlog ( ) ( + ) ( ) + ( ) Also: un lässt en Scluss zu n n n (6) Gegeben ist ie Funktion f6( ) : +. Welce beien Tngenten scneien sic unter einem recten Winkel un ie Abszisse unter? f6( ) : f6( ) m m s m: tn π m s : : y: f6( ) m uflösen, f6( ) 7 t: y m + t uflösen, t 7 b: yb: f6( ) m s uflösen, f6( b) 7 tb: yb m s b+ tb uflösen, tb :,.98.. f6( ) m + t m s + tb y yb,,,, b

7 (7) Die Gere g7( ) : ist Tngente n en Grpen von f7(, ) : + Bestimmen Sie rus en Prmeter <. g7( ) f7(, ) + (I) m: g7( ) f7(, ) : f7(, ) (II) Aus (II) in (I) + ersetzen, 8 + uflösen, :,.98.. f7(., ) g7( )

8 Bestimmen Sie ie Prmeter in en folgenen zusmmengesetzen Funktionen so, ss ie Funktionen überll stetig un ifferenzierbr sin. (8) f8( ) : f8b c, ( ): + c für für < Alle Terme sin Polynome. Folglic sin lle Terme in irem Definitionsbereic stetig un ifferenzierbr. f8( ) f8( ) f8b( c, + ) f8( ) ( + ) + c ( + ) + c+ c c + + nur iffbr, flls -+c Die Funktion ist für c ifferenzierbr n er Stelle un somit uc stetig. :,.98.. :,... f8( ) f8b(, ),

9 (9) f9(, ) : f9b( ) : f9c(,, ) : + für für < für < Alle Terme sin Polynome. Folglic sin lle Terme in irem Definitionsbereic stetig un ifferenzierbr. - f9(, ) f9(, ) f9b( + ) f9(, ) - ( + ) ( + ) + + nur iffbr, flls + Die Funktion ist für : ifferenzierbr n er Stelle - un somit uc stetig. f9b( ) f9b( ) 6 f9c(,, + ) f9b( ) ( + ) ( + ) nur iffbr, flls 7-+ flls - -6 : 6 uflösen, : 7 + uflösen, Die Funktion ist für un ifferenzierbr n er Stelle un somit uc stetig.

10 :,.98.. :,.98.. :,.... f9(, ) f9b( ) f9c(,, ) ,,

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