P eine waagrechte Tangente besitzt.
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- Hella Boer
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1 Mtemtik MB Üungsltt Temen: unktionsuntesucungen, Etem mit und one Neenedingungen DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE VON Aufge A: Gegeen ist die unktion, in impliite om ) Bestimmen Sie die Tngentensteigung im uvenpunkt / ) eigen Sie, dss die uve im unkt / eine wgecte Tngente esitt Lösungen: Wi eecnen die Aleitungen: und (nloge Vogeensweise ei de ecten ptiellen Aleitung) ) Im lle eines elieigen uvenpunkts gilt dnn (solnge de Nenne nict Null wid) d d ) Seten wi den unkt ein, so elten wi im äle, nict im Nenne, und de uc Recnung: ) ( Aufge A: Bestimmen Sie die Etemwete de unktion unte de Neenedingung Lösung: Wi wenden die Lgngescen Multipliktoen n Es ist, : die Neenedingung Dmit egit sic die Hilfsfunktion,, Von diese ilden wi die dei offensictlicen ptiellen Aleitungen:, und
2 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT Aus den eiden esten Gleicungen folgt duc Umfomen, dss und, womit wi elten Seten wi ds in die ditte Gleicung ein, so egit sic Dmit en wi ls ndidten und duc Einseten in ekennen wi fü Minus ein Minimum und fü lus ein Mimum (Alesen de unktionswete) Aufge A: Bestimmen Sie die eltiven Etemwete de folgenden unktionen ) ) 7 c) Lösungen: Egenisse: Die Recnungen sieen uf dem in de Volesung geeigten Scem (Tg Seiten und ): ) ndidten ei /, /, /, / : Dvon sind die esten eiden keine Etemwete, die ditte Stelle ein Mimum und die lette ein Minimum ) An de Stelle / liegt ein Mimum vo c) An de Stelle / liegt kein Etemwet vo, n de Stelle,/,8 Minimum Recnungen: ) Este Aleitungen: eistiet ein 6 6 Diese eiden Gleicungen müssen gleiceitig efüllt sein! LÖSUNGEN INDEN (SCHRITT ): Aus ) und elieig, ) und elieig folgen DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE VON
3 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT Um die noc nict estimmen Vilen (elieig) uf einen Wet festngeln u können, seten wi in die noc veleiende Gleicung ein: ) :, lso ode Wi en die ndidten / und / gefunden ) :, lso Wi en die ndidten / und / UNTE ÜBERRÜEN (SCHRITT ): weite Aleitungen: 6 6 / gefunden otentielle Etemstellen 6 Dmit ilden wi die Hesse-Mti jeden de vie unkte: und eecnen ie Deteminnte fü / : D liegt ein Mimum vo 6 / : D liegt ein Minimum vo 6 / : ein Etemwet / : ein Etemwet ) 7 Este Aleitungen: 7 7 Diese eiden Gleicungen müssen gleiceitig efüllt sein! 7 LÖSUNGEN INDEN (SCHRITT ): Aus folgt 7 Seten wi nun in die weite Gleicung ein, so egit sic DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE VON
4 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT , lso und ällt wegen us! otentielle Etemstelle: / 7 UNTE ÜBERRÜEN (SCHRITT ): weite Aleitungen: 5 5 Dmit ilden wi die Hesse-Mti den gefundenen unkt: und eecnen ie Deteminnte fü / : D liegt ein Mimum vo c) Este Aleitungen: 6 9 Diese eiden Gleicungen müssen gleiceitig efüllt sein! LÖSUNGEN INDEN (SCHRITT ): Aus 6 folgt Seten wi nun in die weite Gleicung ein, so egit sic 6 9, lso und otentielle Etemstellen: / und / UNTE ÜBERRÜEN (SCHRITT ): weite Aleitungen: DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE VON
5 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT 8 Dmit ilden wi die Hesse-Mti die eiden gefundenen unkte: / : 9 ein Etempunkt Aufge A: / : und eecnen ie Deteminnte fü D liegt ein Minimum vo Welce unkt uf de Eene t vom oodintenuspung den kleinsten Astnd? Bestimmen Sie den unkt u ontolle uc mit Hilfe de us de Anltiscen Geometie eknnten Tecniken Lösung: Alte Vinte: In de Anltiscen Geometie estimmen wi einen Nomlenvekto (B T ) de Eene, stellen dmit eine Hilfsgede duc den Uspung ( g : t T ) uf und eecnen deen Ducstoßpunkt duc die Eene (Einseten egit t und de den unkt D / / Neue Vinte: ) Dmit en wi den gesucten unkt gefunden Im ie voliegenden ll stellen wi die Astndsfunktion d,, unte de Neenedingung uf Dmit elten wi die Hilfsfunktion Die ptiellen Aleitungen sind,,,,, und DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE 5 VON
6 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT Aus diesem Gleicungssstem folgt (Recnungen: Mit Gleicungen is Gleicung nc ufgelöst und dnn in die Gleicungen und eingesett), dss ist und mit de Neenedingung elten wi, und Aufge A5: Gegeen seien wei Eponentilfunktionen e und e mit, und Bestimmen Sie und so, dss sic die uven ectwinklig scneiden und de läceninlt, den sie mit de -Acse einscließen, möglicst klein wid Lösung: Alte Vinte: Hie wollen wi den läceninlt, den die eiden unktionen mit de -Acse einscließen mimieen A e d e d e e ), unte de Neenedingung, dss Hieus seen wi sofot, dss, lso A, d mimiet weden muss Es ist A und dmit (weil ) folgt De minimle läceninlt ist dnn A min (Einseten in die omel us unkt ) Neue Vinte: Wi üenemen us de Lösung Alte Vinte die omel A, Diese unktion gilt es nun unte de Neenedingung u minimieen (en wi uc us Alte Vinte üenommen) Wi eeiten Lgnge vo: A, und,,, Hilfsfunktion Diese Hilfsfunktion veeiten wi nc dem Scem im Skipt mit Hilfe de möglicen Aleitungen weite DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE 6 VON
7 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT Aleitungen: Division Einseten und d, folgt Die unktionen en dmit die unktionsgleicungen e und wi elten die läce A min e und Aufge A6: Wie muss de Öffnungswinkel eines kegelfömigen Tictes mit dem Volumen V cm³ gewält weden, wenn ei konstnte Dicke des vewendeten omogenen Blecs, de Mteilveuc möglicst geing usfllen soll Lösungen: Lösung mit Lgnge: Es gilt M s Wi seten und elten s sin s sin sin U MINIMIERENDE UNTION: M : M, UR NEBENBEDINGUNG: Die Neenedingung ist üe ds konstnte Volumen gegeen, d V, woei wi ie tn tn ü Lgnge en wi somit, V, tn Dmit können wi die Hilfsfunktion ufstellen:,, V V sin tn sin sin cos Hilfsfunktion Besse um Aleiten! Nun ilden wi die enötigten Aleitungen DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE 7 VON
8 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT Aleitungen: sin tn (*) cos sin QR sin cos sin cos sin sin Einseten cos sin cos cos cos V sin Weitee Recnungen u (*): cos sin tn tn = sin Hiemit elten wi cos : cos 5,6 7, 5 Duc Einseten in die ditte Gleicung egit sic mit Hilfe des eknnten Volumens den Rdius, 89 cm Aufge A7: Eine ugel mit dem gegeenen Rdius wede ein linde einescieen (siee igu ) Wie sind die Höe und de Rdius des lindes in Aängigkeit von u wälen, dmit die Mntelfläce des lindes miml wid? igu : ugel mit einescieenem linde Lösung: Alte Vinte: D sowol de linde, ls uc die ugel ottionssmmetisc sind, können wi uns eine weidimensionle Skie nfetigen, die lle notwendigen Infomtionen entält (siee igu ) DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE 8 VON
9 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE 9 VON igu : linde und ugel von de Seite etctet Die Mntelfläce des lindes eecnet sic u Mntelfläce M Momentn en wi noc wei Uneknnte in diese Gleicung Ds wollen wi nun änden Mit Hilfe von igu können wi seen, dss Duc die gegeenen Bedingungen gilt, dss Des Weiteen ist Wi seten nun ein und elten M Diese unktion leiten wi und seten die Aleitung gleic ' M Wi dividieen nscließend duc und multipliieen mit dem Wueltem duc Dmit egit sic
10 MATHEMATI STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT Indem wi die Wuel ieen, elten wi ist seen wi, dss wegen M '' Mit de weiten Aleitung, welce d 6, M '' wiklic ein Mimum voliegt D die Rndwete, R und, R eide die Mntelfläce liefen, liegt wiklic ds gesucte, glole Mimum vo Es sind lso und Neue Vinte: Nc de Alten Vinte wissen wi (mit : und : ), dss M, mit, konstnt (= ) Die Neenedingung lutet, Hilfsfunktion:,, Wi ilden dmit die Hilfsfunktion Aleitungen: Division Einseten Recnung ieu: und d ist (Rdius) und de (Höe) Diese Egenisse - en wi ntülic uc in de Alten Vinte elten DHBW STUTTGART MB MATHEMATI SEITE VON
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Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 EXTREMWERTAUFGABEN
Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt 11 6. Semeste BEITSBLTT 11 EXTEMWETUFGBEN In diesem beitsbltt befssen wi uns mit ufgben, bei denen einem gegebenen Köpe ein ndee Köpe eingesieben ode umsieben wid. Beispiel:
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Der Begriff der Stammfunktion
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4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
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Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund
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1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
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