26 Gebrochenrationale Funktionen; Definitionsmenge und Nullstellen. z x. f : x n x

Transkript

1 6 Gebrocenrtionle Funktionen; Deinitionsmenge und Nullstellen 6. Deinition und Klssiiktion Sind n gnzrtionle Funktionen, dnn eißt die Funktion z und gebrocenrtionle Funktion. z : n Mn untersceidet dbei zwei Klssen von gebrocenrtionlen Funktion: i) Zälergrd < Nennergrd, so eißt ect gebrocenrtionle Funktion. ii) Zälergrd Nennergrd, so eißt unect gebrocenrtionle Funktion. Beispiele: ist eine ect gebrocenrtionle Funktion ist eine unect gebrocenrtionle Funktion ist eine unect gebrocenrtionle Funktion 6. Deinitionsmenge und Polstellen Für die Deinitionsmenge der Funktion gilt: z n ID IR\ n 0 Mn bestimmt lso zunäcst die Nullstellen der Nennerunktion n und scließt diese dnn us der Menge der reellen Zlen us. Mn sgt, die Funktion t n den Nullstellen der Nennerunktion n eine Deinitionslücke. Beispiele: Bestimme die Deinitionsmenge der Funktionen.).) 3.) 6 4.) W. Strk; Berulice Oberscule Freising

2 Doc wie siet der Grp einer gebrocenrtionlen Funktion in der Näe der Deinitionslücke us? Hier gibt es einige Fälle zu untersceiden. Dzu werden wir uns ein Beispiel nseen und prllel dzu eine llgemeine Aussge ormulieren. z Sei lso und 0 die nict notwendigerweise einzige Nullstelle des n Nenners n0 0, dnn gilt ür die Deinitionsmenge: ID IR \ 0. Polstelle mit Vorzeicenwecsel Eine Polstelle mit Vorzeicenwecsel liegt vor, wenn: 0 eine Nullstelle mit ungerdzliger Vielceit ist 0 keine Nullstelle der Zälerunktion ist Bsp.: mit ID IR \ Es gilt: lim lim lim 0 0 lim lim lim 0 0 Wertetbelle: n.d. 3 4 G Die Gerde mit der Gleicung ist eine senkrecte Asymptote. W. Strk; Berulice Oberscule Freising

3 . Polstelle one Vorzeicenwecsel Eine Polstelle one Vorzeicenwecsel liegt vor, wenn: 0 eine Nullstelle mit gerdzliger Vielceit ist 0 keine Nullstelle der Zälerunktion ist Bsp.: mit ID IR \ Es gilt: lim lim lim lim lim lim lim lim Wertetbelle: n.d G Die Gerde mit der Gleicung ist ier ebenlls eine senkrecte Asymptote. Bemerkung: An einer Polstelle liegen die uneigentlicen Grenzwerte oder vor. Anstelle von Polstellen wird mncml uc der Begri Unendlickeitsstelle verwendet. 3. Beebbre Deinitionslücke Eine beebbre Deinitionslücke liegt vor, wenn gilt: 0 ist sowol Nullstelle der Nennerunktion ls uc Nullstelle der Zälerunktion Die Vielceit der Nennernullstelle ist öcstens gleic der Vielceit der Zälernullstelle. Bemerkung: In diesem Fll knn mn den Funktionsterm kürzen und es lässt sic eine stetige Fortsetzung der Funktion ngeben. st.o W. Strk; Berulice Oberscule Freising 3

4 Bsp.: n 0 Nennerunktion: Somit olgt ür die Deinitionsmenge: ID IR \ 8 Zälerunktion: z 0 Für die Funktion olgt: mit ID IR \ Kürzt mn nun so erält mn eine gekürzte Funktion ; ID IR \ G Mn becte llerdings die Deinitionslücke n der Stelle. Diese ürt dzu, dss der Grp der Funktion n der Stelle ein Loc t und somit unstetig ist. Aber dür lässt sic eine stetige Fortsetzung ngeben: IR \ IR \ st.o. 3 Die Deinitionslücke ist somit stetig beebbr. Bsp.: Nennerunktion: 8 n 0 Somit olgt ür die Deinitionsmenge: ID IR \ ; Zälerunktion: z 0 Für die Funktion olgt: mit ID IR \ ; W. Strk; Berulice Oberscule Freising 4

5 Kürzt mn nun so erält mn eine gekürzte Funktion ID IR \ ; ; G An der Stelle t die Funktion eine Polstelle mit Vorzeicenwecsel, der Grp der Funktion eine senkrecte Asymptote. An der Stelle liegt eine Deinitionslücke vor, die dzu ürt, dss der Grp der Funktion n der Stelle ein Loc t und somit unstetig ist. Aber dür lässt sic eine stetige Fortsetzung ngeben: IR \ ; IR \ ; st.o. 3 Ist nc dem Kürzen 0 weiterin eine Nullstelle der gekürzten Nennerunktion, so liegt je nc verbleibender Vielceit eine Polstelle mit oder one Vorzeicenwecsel vor. Bsp.: n 0 Nennerunktion: Somit olgt ür die Deinitionsmenge: ID IR \ Zälerunktion: z 0 und Für die Funktion olgt: mit ID IR \ W. Strk; Berulice Oberscule Freising 5

6 Kürzt mn nun so erält mn eine gekürzte Funktion Es verbleibt die ls eince Nullstelle im Nenner. Somit t die Funktion n der Stelle eine (eince) Polstelle mit Vorzeicenwecsel, der Grp der Funktion eine senkrecte Asymptote. 6.3 Nullstellen z Die Nullstellen einer gebrocen rtionlen Funktion n der Gleicung z 0, die nict uc gleiczeitig Lösungen der Gleicung sind. sind die Lösungen n 0 Beispiele: Bestimmen die Deinitionsmenge und die Nullstellen der olgenden Funktionen W. Strk; Berulice Oberscule Freising 6

7 Augben:.) Untersucen Sie ds Verlten der Funktion n den Deinitionslücken. ) ID IR \ lim lim lim lim lim d 4 Polstelle. Ordnung; VZW b) ID IR \ ; lim lim lim lim lim lim d Polstelle. Ordnung; VZW lim lim lim lim lim lim d Polstelle. Ordnung; VZW c) ID IR \ 3 ; lim lim lim lim lim lim d 3 Polstelle. Ordnung; VZW lim lim lim lim lim lim lim lim d) e) ) g) W. Strk; Berulice Oberscule Freising 7

8 ).) Untersucen Sie, ob die Deinitionslücke eine Polstelle ist. Stellen Sie gegebenenlls est, ob eine Polstelle mit oder one Vorzeicenwecsel vorliegt. Dbei sei stets IR \ 0. ) b) c) d) 3 3.) Bestimmen Sie den Prmeter IR so, dss eine stetig beebbre Deinitionslücke t. Berecnen Sie den Grenzwert n dieser Lücke. 6 ) b) 6 3 c) Gegeben ist eine Scr von reellen Funktionen mit mimlen Deinitionsmenge ID durc IR und der in IR : Bestimmen Sie ID und die Art der Deinitionslücken von jeweils in Abängigkeit von. T 993 AN II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen 4 : mit IR in irer größtmöglicen von unbängigen Deinitionsmenge ID IR\.. Bestimmen Sie den Wert des Prmeters so, dss die Deinitionslücke der zugeörigen Funktion stetig beebbr ist. Geben Sie ür diesen Wert von den Funktionsterm in vereincter Form n. T 00 AN I.0 Gegeben sind die reellen Funktionen 4 : mit IR und der von unbängigen Deinitionsmenge ID IR \ 0.. Bestimmen Sie die Art der Deinitionslücke sowie Lge, Anzl und Vielceit der Nullstellen der Funktion in Abängigkeit von. W. Strk; Berulice Oberscule Freising 8

9 T 00 AN I t t.0 Gegeben sind die reellen Funktionen t : mit t IR in der mimlen von t unbängigen Deinitionsmenge ID IR \ 0.. Ermitteln Sie die Art der Deinitionslücke sowie die Anzl der Nullstellen von t jeweils in Abängigkeit vom Prmeterwert t. T 003 AN II Gegeben sind die reellen Funktionen : 6 mit IR in der jeweils größtmöglicen Deinitionsmenge ID IR.. Ermitteln Sie in Abängigkeit von die größtmöglice Deinitionsmenge ID. Bestimmen Sie gegebenenlls die Art der Deinitionslücken und die Nullstelle von. T 006 AN II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen : mit IR 0 in der mimlen Deinitionsmenge ID.. Geben Sie ID n und ermitteln Sie die Art der Deinitionslücken in Abängigkeit von. Geen Sie dbei uc gleic u die Nullstellen der Funktion ein. LK 985 Inini II. Gegeben ist die in IR\ deinierte Funktion : ( ). ) Bestimmen Sie die Scnittpunkte des Grpen G mit den Koordintencsen, und untersucen Sie ds Verlten von in der Umgebung von. LK 99 Inini I. Gegeben ist die Scr der Funktionen : mit ID IR und IR. Der Grp der Funktion wird mit G bezeicnet. ) Geben Sie ds Verlten von ür n. Zeigen Sie, dss G zum Ursprung des Koordintensystems symmetrisc ist. W. Strk; Berulice Oberscule Freising 9