Der Kosinussatz. So erhalten wir: und. Um beide Formeln miteinander vereinen zu können, stellen wir die zweite Formel nach h 2 um, und erhalten:
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- Joseph Armbruster
- vor 6 Jahren
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1 Der Kosinusstz Dreieke lssen si mit drei ngen zu irer Figur, vollständig zeinen. D er die zeinerise Lösung eines Dreieks nit so genu und zudem ret ufwendig ist, muss es u einen renerisen Weg geen, die uneknnte Größen eines Dreieks in Erfrung zu ringen. Wärend der Sinusstz immer dnn nwendr ist, wenn unter den eknnten Stüken eine Seite und ir Gegenwinkel ist (sww und ssw, wird der Kosinusstz immer ngewendet, wenn drei Seiten oder zwei Seiten und der eingeslossene Winkel eknnt sind (sss und sws. Ein elieiges spitzwinkliges Dreiek wird gezeinet, esteend us den Punkten, und und den Seiten, und. Den der Seite gegenüerliegenden Winkel nennen wir α den der Seite gegenüerliegenden Winkel nennen wir β. Hier werden wir ds een gezeinete Dreiek zunäst üer die Höe von Punkt in zwei retwinklige Dreieke zerlegen, um mit dem Stz des Pytgors reiten zu können. Wir nennen nun den Fußpunkt der Höe D und die Streke D nennen wir x. So erlten wir: ² ² ( und ² ² Um eide Formeln miteinnder vereinen zu können, stellen wir die zweite Formel n 2 um, und erlten: ² ² Wir ersetzen ds 2 der ersten Formel dur die zweite Formel und en somit den usdruk: ² ² ( Um den usdruk weiter zu vereinfen multiplizieren wir die Klmmer n der inomisen Formel us: ( 2x und erlten dnn, d si x 2 ufet, ² ² 2x Um nun x esser uszudrüken wenden wir unser Wissen üer die Winkelfunktionen n.
2 D wir ereits us unserer Gleiung entfernt en und uns nur no den Winkel die Hypotenuse und die nktete x zur Verfügung en, können wir in unserem Dreiek D nur no den Kosinus von nwenden. Entspreend lutet dnn ier die Gleiung: x os( Umgestellt n x ergit si dnn: x os( Setzen wir dies in unsere Gleiung ein, seen wir, dss ² ² 2 os( ist und dies eine ussge des Kosinusstzes ist. Selstverständli trifft diese ussge u uf ds stumpfwinklige Dreiek zu: In diesem Fll liegt die Höe von Punkt ußerl des Dreieks. Prinzipiell geen wir genuso vor, wie im oigen Dreiek. Wir ilden mittels der Höe die zwei retwinkligen Dreieke D und D und stellen die entspreenden Formeln gemäß Pytgors uf: ² ² ( ² ² stellen die zweite Formel n 2 um: ² ² und setzen dies ein: ² ² ( lösen die Klmmer uf, und erlten: ² ² 2x D si x 2 ufet ergit si: ² ² 2x Nun müssen wir no x vereinfen. u ier wenden wir wieder den Kosinus n, d nur Hypotenuse, nktete und Winkel zur Verfügung steen. x os(180 D wir vom Kosinus wissen, dss ein Kosinus von 180 einem negtiven Kosinus des Winkels α entsprit, formen wir entspreend um: x ( os( Und erlten so: x os(
3 Eingesetzt in unsere Gleiung ergit dies: ² ² 2 os( Folgli stimmt diese Formel für elieige spitz- und stumpfwinklige Dreieke Nemen wir nun n, der Kosinusstz würde uf die Form eines retwinkligen Dreieks ngewndt: Dmit würde = werden, x würde verswinden und α wäre retwinklig. D ein α von 90 = 0 ist, ieß ds für unsere Gleiung, dss der intere Teil unserer Gleiung ( 2 os( u glei Null wäre und es würde der Stz des Pytgors ürigleien. Der nennt mn u den Kosinusstz den verllgemeinerten pytgoreisen Lerstz Der Kosinusstz ² ² 2 ² ² 2 ² ² ² 2 os( os( os(
4 Der Sinusstz Kosinus, Sinus, und der Tnges gelten ledigli für Dreieke mit einem retem Winkel. Wie knn mn nun in einem Dreiek, one retem Winkel die Gerden oder Winkel erenen? Dzu git es den Sinus- und Kosinusstz. 68 6,5 m 6 m m Hier siet mn nun, dss die einzelnen Seiten nit senkret ufeinnder steen. In dem Fll geen wir einf so vor, dss wir zunäst ds Dreiek in zwei weitere Dreieke ufteilen. m sinnvollsten, wenn wir zwei Dreieke mit einem reten Winkel men, lso eine Höe einzeinen: 6 m 7 m 6,5 m Jetzt können wir zunäst den Sinus nwenden: dnn ist und. Hier seen wir, dss in eiden Gleiungen eine gleie Vrile stekt. Wenn wir nun diese isolieren und dnn die Gleiungen gleisetzen, erlten wir folgendes:
5 Wenn wir nun ds Lot uf eine ndere Seite fällen (Höe und gleiermßen vorgeen ergit si folgende llgemeine ussge für Dreieke (der Sinusstz: Dieser lässt si ntürli in vielen Vrinten sreien. Sonderfll: etren wir nun ein Dreiek, dessen Höe nit u eine gegenüerliegende Seite fllen würde, lso ein stumpfwinkliges Dreiek. Nemen wir folgendes Dreiek n: Zeinen wir nun die Höe ein, die dur den Punkt verläuft. Dzu müssen wir ntürli die Gerde etrten: D Im Dreiek D gilt nun: Und im Dreiek D gilt: 180
6 D mn 180 u ls sreien knn, ergit si dur isolieren der Vrilen und gleisetzen der Gleiungen folgendes: lso Demn gilt u ier die llgemeine ussge: eispiel I: etrten wir nun nützlie nwendungen, um den Sinusstz in der Relität nwenden zu können. efindet si, sgen wir Pul der ergsteiger uf der Spitze des erges und sein Son Gerrdt uf der Spitze des erges, Inen ist die Entfernung zueinnder eknnt. Puls Toter nit stet uf der ergspitze des erges. Den Winkel (Sewinkel, der ei Pul ist knn er j estimmen, sei er 47. Der Sewinkel ei Gerrdt ist 58. Wir en nun ier durus kein retwinkliges Dreiek, denn wie die Renung der Winkelsumme im Dreiek ergit erfolgt für den Winkel ei nit der Wert von 75. Der Sinusstz knn nun ds Prolem lösen, wenn Pul und Gerrdt wissen wollen, wie weit sie von nit entfernt sind. Der Sinusstz eißt j eknnt sind und lle Winkel und die Streke =. Demn ergit si folgende Gleiung: 3600 m m und m 75 Somit konnten wir mit dem Sinusstz die Streken estimmen. eispiel II: etrten wir nun ein eispiel us der Pysik im Geiet der Menik und Krft: Es ängt ein ild von 1000g = 10N n zwei Seilen, die n einem Punkt m ild efestigt sind er im untersiedlien Winkel und somit mit untersiedlier Länge efestigt sind und wollen jetzt wissen, wele Krft n einem Seil ziet:
7 In der Pysik enutzt mn für einen solen Fll ein Kräfteprllelogrmm. Wir wissen, dss ds ild eine gewisse Krft usüt, nämli 10 N. Zeinen wir uns diese Größe ml ein: Nun men wir us den gegeenen Krftritungen (Seile, n denen ild ängt ein Prllelogrmm, woei die Krft in der Mitte eine Digonle ist:
8 Wir können jetzt die Kräfte n den zwei Seilen estimmen. Dzu en wir son die Digonle und wir können die Winkel in den Dreieken messen zw. estimmen. Zeinen wir uns nun nur ds Prllelogrmm: f D d Wir wissen, dss die Dreieke und D kongruent sind, und mit Hilfe der Winkelsumme im Dreiek gilt dnn: D 93 f d D f = 10N ist können wir nun mit Hilfe des Sinusstzes die Kräfte n und d erenen, 10N d woei d =. Dnn gilt: N 7, 89N 93 und d 5, 74N 93
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