Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Transkript

1 Stzgruppe des Pytgors Inlt: 1 er Stz des Pytgors Pytgors im Rum 3 ufstellen von Formeln 4 Prktise nwendungen 5 er Ktetenstz 6 er Höenstz 7 Exkurs: Konstruktion retwinkliger reieke 8 ekliste 9 Hinweise zur enutzung ie vorliegenden Folienvorlgen entlten folgende Elemente: nnd von eispielen werden neue Regeln, efinitionen und Kenntnisse eingefürt ie ufgen in den eispielen sind meist so gestellt, dss sie von den Sülerinnen und Sülern u selstständig ereitet werden können ie Merkekästen steen meist im nsluss n ein einfürendes eispiel und fssen witige Regeln, efinitionen und Kenntnisse zusmmen Sie sollten von den Sülerinnen und Sülern unedingt gesrieen werden Hier können die Sülerinnen und Süler die gelernten Regeln und Kenntnisse üen und festigen Im nsluss n die Üungsufgen finden Sie jeweils die usfürlien Lösungen dzu Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 1

2 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 1: er Stz des Pytgors 1 er Stz des Pytgors eispiel 1: erene zu den retwinkligen reieken die Qudrte der Seitenlängen Ws fällt uf, wenn du die Qudrte der Seitenlängen miteinnder vergleist? reiek 1: 3 reiek : reiek 3: 5,5 4,8 reiek 4:,4 7 7,3 7,4 reiek 1: reiek : reiek 3: reiek 4: reiek 1: reiek : reiek 3: 4,8 5,5 7,3 3,04 30,5 53,9 reiek 4: 7,4 7,4 49 5,76 54,76 ie Summe us und ergit jeweils den Wert von reiek 1: = 5 reiek : = 100 reiek 3: 3, ,5 = 53,9 reiek 4: ,76 = 54,76 Zustzufge: Zeine weitere retwinklige reieke und üerprüfe die Formel + = Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten!

3 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 1: er Stz des Pytgors Merke: er Stz des Pytgors In jedem retwinkligen reiek gilt: + = rin sind und die Seiten, die den reten Winkel ufspnnen Sie werden Kteten gennnt ie Seite eißt Hypotenuse Sie ist immer die längste Seite des reieks und liegt gegenüer dem reten Winkel Gilt umgekert in einem reiek + =, dnn ist ds reiek retwinklig eweis: Setzt mn vier retwinklige, kongruente reieke wie geildet zusmmen, erält mn ein Vierek die vier Seiten von glei lng sind (= ) und die Winkel jeweils α + β = 90 sind, ist ein Qudrt u die eingeslossene (weiße) Fläe ist ein β Qudrt mit der Seitenlänge ( ) und dem Fläeninlt: α w = ( ) (I) en Fläeninlt w des weißen Qudrts knn mn er u erenen, indem mn vom Fläeninlt = den Fläeninlt der 4 reieke ziet 1 Für den Fläeninlt eines der retwinkligen reieke gilt: 1 = Somit gilt: w = 1 4 w = (II) us Gleiung (I) und (II) folgt: ( ) = + = + + = Ws zu eweisen wr α β - - β α β α Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 3

4 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 1: er Stz des Pytgors Üung: erene mit dem Stz des Pytgors die felende Seitenlänge in den retwinkligen reieken reiek 1: reiek : 7,5 x 8,7 y 6,7 1,3 reiek 3: reiek 4: 5,8 9,7 14,7 0,8 In reiek 1 ist x die Hypotenuse lso gilt: 7,5 + 6,7 = x 101,14 = x 10,06 = x zw x = 10,06 In reiek 3 ist eine Ktete lso gilt: + 14,7 = 5,8 14,7 = 449,55 = 1,0 In reiek ist y eine Ktete lso gilt: y + 8,7 = 1,3 8,7 y = 75,6 y = 8,69 In reiek 4 ist die Hypotenuse lso gilt: 0,8 + 9,7 = 94,73 = 9,73 = zw = 9,73 Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 4

5 3 m 4 m 4 m Stzgruppe des Pytgors Kpitel : Pytgors im Rum Pytgors im Rum eispiel 1: ) Üertrge die ildung ins Heft und erene mit den eingezeineten Kntenlängen die Rumdigonle d = des Quders Hinweis: Zeine eine geeignete Hilfslinie ein und üerlege dir, wo retwinklige reieke vorkommen ) Üerlege dir eine Formel, mit der mn die Rumdigonle eines Quders in ängigkeit von den Knten, und estimmen knn Ws ergit si für die Rumdigonle eines Würfels? d 8 m 3 m ) Mn muss zunäst die igonle der Grundfläe einzeinen dur entsteen die eiden retwinkligen reieke und ie igonle d ist die Hypotenuse des retwinkligen reieks rin lutet der Stz des Pytgors: d = + (4 m) d = + 16 m ie Streke knn mn mit dem Stz des Pytgors im retwinkligen erenen d 8 m 3 m Im reiek gilt: = (8 m) + (3 m) Einsetzen in d = + 16 m ergit: d = (8 m) + (3 m) + 16 m 8 m d = 89 m d = 9,43 m ) Mit den llgemeinen Knten, und erält mn: d = + + d = + + In einem Würfel ist = = mit folgt: d = + + = 3 = 3 Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 5

6 m m Stzgruppe des Pytgors Kpitel : Pytgors im Rum Merke: Für die Rumdigonle d eines Quders mit den Kntenlängen, und gilt: d = + + Für die Rumdigonle d eines Würfels mit der Kntenlänge gilt: d = 3 d d Üung 1: E F Üertrge den Quder ins Heft und erene die Längen der Streken, E und 5 m 3 m ie Streke ist die igonle des Quders Mit der Formel d = mn: d = = + 9 m 4 m 6,16 m 5 m + ie Streke E knn im retwinkligen reiek EF erenet werden Es gilt: E = (3 m) + (5 m) = 34 m E = 34 m 5,8 m ie Streke knn im retwinkligen reiek G erenet werden Es gilt: = (3 m) + ( m) = 13 m = 13 m 3,6 m + erält + E E 5 m F 3 m G F G Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 6

7 8 m Stzgruppe des Pytgors Kpitel : Pytgors im Rum eispiel : Üertrge ds Srägild der qudrtisen Pyrmide ins Heft und mrkiere die drin vorkommenden retwinkligen reieke s s = Grundknte; s = Seitenknte; = Pyrmidenöe; s = Seitenöe; d = igonle der qudrt Grundfläe 0,5 d Wie lutet jeweils der Stz des Pytgors in diesen reieken? s s 0,5d s s 0,5 0,5 0,5 s = (0,5) + s = (0,5d) + s = (0,5) + s S Üung : ie Höe einer qudrtisen Pyrmide eträgt 8 m, die Kntenlänge der Grundfläe ist 6 m ) erene die Höe s des Seitendreieks S ) Wie lng ist die Seitenknte s? 6 m s s M Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 7

8 8 m 8 m Stzgruppe des Pytgors Kpitel : Pytgors im Rum ) Mit der Hilfslinie EM entstet ds grue retwinklige reiek MSE rin lutet der Stz des Pytgors: S (8 m) + (3 m) = s 73 m = s 8,54 m = s zw s = 8,54 m 6 m 3 m E s M s 3 m ) ie Länge der Knte s knn im retwinkligen reiek MS erenet werden rin lutet der Stz des Pytgors: S S s + (3 m) = s Und mit s = 8,54 m: (8,54 m) + (3 m) = s 81,93 m = s 9,05 m = s zw s = 9,05 m 6 m s s M s M s 3 m Üung 3: erene die Seitenlänge s des Kegels Trge zunäst eine Hilfslinie ein, sodss ein retwinkliges reiek entstet 8 m 15 m s Mit dem Rdius r = 7,5 m erält mn ds grue reiek rin lutet der Stz des Pytgors: (7,5 m) + (8 m) = s 840,5 m = s 8 m s 8,99 m = s zw s = 8,99 m 7,5 m Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 8

9 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 3: ufstellen von Formeln 3 ufstellen von Formeln eispiel 1: rüke die igonle d eines Qudrts dur dessen Seitenlänge us d ie igonle d und die Seiten des Qudrts ilden ein retwinkliges reiek rin lutet der Stz des Pytgors: d = + d = d = d = teilweise Wurzel zieen d Merke: Für die igonle d eines Qudrts mit der Seitenlänge gilt: d = Umgekert knn mn us der igonlen d eines Qudrts die Seitenlänge erenen Es gilt: = d Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 9

10 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 3: ufstellen von Formeln eispiel : ) rüke die Höe eines gleiseitigen reieks in ängigkeit von der Seitenlänge us ) Stelle eine Formel für den Fläeninlt gleiseitiger reieke uf ) ie Höe teilt ds gleiseitige reiek in zwei kongruente retwinklige reieke Im gruen reiek lutet der Stz des Pytgors: (0,5) + = 30 ur Umformen erält mn: 0,5 + = 0,5 0,5 = 0,75 = 0,75 Mit 0,75 = 3 1 = 3 4 erält mn: = 3 ) Für den Fläeninlt jedes reieks gilt: = 1 g (mit der Grundseite g und der Höe ) Im gleiseitigen reiek ist g = und = 3 1 = 3 = 3 4 mit folgt für den Fläeninlt : Merke: Für die Höe eines gleiseitigen reieks mit der Seitenlänge gilt: = 3 Für den Fläeninlt eines gleiseitigen reieks mit der Seitenlänge gilt: = 3 4 Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 10

11 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 3: ufstellen von Formeln Üung 1: d 3 rüke die igonle d des Reteks in ängigkeit von us Hinweis: te eim Einsetzen in den Stz des Pytgors uf die Klmmersetzung! 6 Im gruen reiek lutet der Stz des Pytgors: d = (6) + (3) d = d = 45 teilweise Wurzel zieen d 6 3 d = 45 teilweise Wurzel zieen d = 9 5 = 3 5 Üung : rüke die Seiten x und y in ängigkeit von e us x e Tipp: Ergänze ds reiek zu einem gleiseitigen reiek 30 y Wenn mn ds reiek n der Seite x spiegelt, entstet ds gleiseitige reiek ie Streke y ist lso y = 4e Im gruen reiek folgt mit dem Stz des Pytgors: (4e) = (e) + x 60 e 16e = 4e + x 4e 1e = x x e 1e = x teilweise Wurzel zieen x = e 4 3 teilweise Wurzel zieen y = 4e 60 x = e 3 Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 11

12 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 4: Prktise nwendungen 4 Prktise nwendungen Üung 1: Wie weit knn mn von einem 0 m oen Mst eines Siffes üer ds Meer seen? er Erdrdius eträgt 6370 km S S 0 m M 6370 km w H 6370,0 km M w 6370 km H ete: 0 m = 0,0 km ie Sitweite w wird dur die Erdkrümmung egrenzt er Punkt H, wo die Sitweite m Horizont endet, der Erdmittelpunkt M und die Mstspitze S ilden ds retwinklige reiek MHS rin gilt der Stz des Pytgors: w + (6370 km) = (6370,0 km) (6370 km) w = (6370,0 km) (6370 km) w = 54,8 km w = 15,96 km ntwort: Von dem 0 m oen Mst us knn mn 16 km weit üer ds Meer seen Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 1

13 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 4: Prktise nwendungen Üung : S Mit dem Stz des Pytgors knn mn ei einem swingenden Pendel die Höe erenen, um die es usswingt 50 m Wie groß ist, wenn die Pendellänge 50 m ist und der usslg n rets 0 m eträgt? =? 0 m Im reiek gilt der Stz des Pytgors: + (0 m) = (50 m) m = 500 m = 100 m = 45,8 m mit folgt: = 50 m 45,8 m = 4, m ntwort: ie Höe des Pendelusslgs eträgt 4,m 50 m 50 m 0 m 0 m =? Üung 3: Üerlege dir, wie mn den Stz des Pytgors usnutzen knn, um die retter eines Regls oder eines Srnks möglist senkret zusmmenzufügen Mn muss die Länge der igonlen so wälen, dss d = + ist Weil dnn im reiek der Stz des Pytgors gilt, muss es retwinklig sein d = ( m) + (0,8 m) d = 4,64 m d =,15 m ntwort: Mn muss die Srnkretter so neinnder fixieren, dss die igonle,15 m lng ist Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 13

14 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 5: er Ktetenstz 5 er Ktetenstz eispiel: Üertrge folgende reieke ins Heft und zeine jeweils die Höe zur Grundseite ein reiek 1: reiek : q p q 5 m 3,9 m 3,15 m,85 m p 8 m 7,45 m Ergänze dnn die folgende Telle: q p reiek 1: reiek : 5 m 8 m Weler Zusmmenng fällt uf, wenn mn die Werte für und mit den Produkten p und q vergleit? q p reiek 1: 5 m 3 m m 9,9 m 15,1 m reiek : 8 m 1 m 7 m 55,5 m 8,1 m Vermutung: = p und = q In reiek 1 ist: In reiek ist: 9,9 m 5 m m und 15,1 m 5 m 3 m 55,5 m 8 m 7 m und 8,1 m 8 m 1 m Zustzufge: Üerprüfe die Vermutung n weiteren retwinkligen reieken Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 14

15 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 5: er Ktetenstz Merke: er Ktetenstz In einem retwinkligen reiek mit γ = 90 gilt: = p und = q q und p nennt mn die q p Hypotenusensnitte Grfise Vernsuliung des Ktetenstzes: s Retek mit den Seiten und q t den gleien Fläeninlt wie ds Qudrt mit der Seite s Retek mit den Seiten und p t den gleien Fläeninlt wie ds Qudrt mit der Seite q p q p eweis: Wenn mn ein retwinkliges reiek entlng der Höe dursneidet, erält mn zwei reieke, die änli zu dem ursprünglien (großen) reiek sind s eißt, diese eiden reieke sind jeweils eine Verkleinerung des α q p β ursprünglien reieks Teste selst: Zeine zweiml ds gleie retwinklige reiek und sneide eines dvon entlng der Höe dur ree dnn eide Teildreieke um und vergleie mit dem gnzen reiek Ergänze nun mitilfe der änlien reieke folgende Lüken: (I) = und (II) = Wie ergeen si drus die Gleiungen des Ktetenstzes? Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 15

16 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 5: er Ktetenstz Weil die reieke, und änli zueinnder sind, sind u die Verältnisse entspreender Seiten glei Verglei von reiek mit reiek : q (I) = = q Verglei von reiek mit reiek : p (II) = = p α q q α γ 1 = 90 α = β γ 1 γ 1 γ uf die Rükseite gekippt p β p γ β γ = 90 β = α Ws zu eweisen wr Üung 1: Üertrge folgende reieke ins Heft, zeine die Höe zur Grundseite ein und üerprüfe dur Nmessen den Ktetenstz reiek 1: reiek : 4,5 m,8 m 4 m 3 m Zustzufge: Zeine weitere retwinklige reieke und üerprüfe den Ktetenstz Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 16

17 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 5: er Ktetenstz reiek 1: Es ist: q = 1,5 m ; p = 3,8 m; = 5,3 m; = 4,5 m; =,8 m Einsetzen in = p ergit: (4,5 m) 5,3 m 3,8 m 0,5 m 0,14 m Einsetzen in = q ergit: (,8 m) 5,3 m 1,5 m 7,84 m 7,95 m,8 m reiek : Es ist: q = 1,8 m ; p = 3, m; = 5 m; = 4 m; = 3 m Einsetzen in = p ergit: (4 m) = 5 m 3, m 16 m = 16 m Einsetzen in = q ergit: (3 m) = 5 m 1,8 m 9 m = 9 m 4,5 m 3, m 3,8 m 1,5 m 1,8 m 3 m 4 m Üung : erene die Streke x mitilfe des Ktetenstzes reiek 1: reiek : 6,8 m 5,4 m x x 6,4 m,3 m In reiek 1 lutet der Ktetenstz: 6,8 = 5,4 x 46,4 = 5,4 x : 5,4 8,56 = x zw x = 8,56 m In reiek ist die Hypotenuse = 6,4 m +,3 m = 8,7 m mit lutet der Ktetenstz: x = 6,4 8,7 x = 55,68 x = 7,46 m Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 17

18 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 6: er Höenstz 6 er Höenstz eispiel: Üertrge folgende reieke ins Heft und zeine jeweils die Höe zur Grundseite ein reiek 1: reiek : 4 m 3 m q p q p 5 m 6,5 m 3,3 m 5,6 m Ergänze dnn die folgende Telle q p reiek 1: reiek : Weler Zusmmenng fällt uf, wenn mn die Werte für mit dem Produkt q p vergleit? q p reiek 1: 3, m 1,8 m,4 m 5,76 m reiek : 1,7 m 4,8 m,85 m 8,1 m Vermutung: = q p In reiek 1 ist: 5,76 m = 3, m 1,8 m In reiek ist: 8,1 m 1,7 m 4,8 m Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 18

19 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 6: er Höenstz Merke: er Höenstz In einem retwinkligen reiek mit γ = 90 gilt: = q p q p Grfise Vernsuliung des Höenstzes: In einem retwinkligen reiek t ds Qudrt üer der Höe den gleien Fläeninlt wie ds Retek us den Hypotenusensnitten p und q q p q p q eweis: er Höenstz knn wie der Ktetenstz mitilfe änlier reieke ewiesen werden Weil die reieke, und änli zueinnder sind, sind u die Verältnisse entspreender Seiten glei Verglei von reiek mit reiek : (I) = q Verglei von reiek mit reiek : p (II) = Gleisetzen von (I) und (II) ergit: p = q q = q p Ws zu eweisen wr α q α q γ 1 = 90 α = β γ 1 γ 1 γ uf die Rükseite gekippt p β γ β p γ = 90 β = α Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 19

20 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 6: er Höenstz Üung 1: Üertrge folgende reieke ins Heft, zeine die Höe zur Grundseite ein und üerprüfe dur Nmessen den Höenstz reiek 1: reiek : 4 m m 4,5 m 6 m 3,9 m Zustzufge: Zeine weitere retwinklige reieke und üerprüfe den Höenstz reiek 1: Es ist: q = 0,9 m ; p = 3,6 m und = 1,8 m Einsetzen in = q p ergit: (1,8 m) = 0,9 m 3,6 m 3,4 m = 3,4 m 3,6 4 m 0,9 m reiek : Es ist: q = 3,4 m ; p =,6 m und,95 m Einsetzen in = q p ergit: (,95 m) 3,4 m,6 m 4,5 m 3,9 m 8,70 m 8,84 m 3,4 m,6 m Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 0

21 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 6: er Höenstz Üung : erene x zw mitilfe des Höenstzes ete: In reiek 4 wird sowol der Ktetenstz ls u der Höenstz enötigt reiek 1: reiek : 5, x 1,4 x 6,5 3,9 reiek 3: reiek 4: 4 11,5 5 x 6 In reiek 1 lutet der Höenstz: 5, = 1,4 x 7,04 = 1,4 x : 1,4,18 = x zw x =,18 In reiek lutet der Höenstz: 6,5 = 3,9 x 4,5 = 3,9 x : 3,9 10,83 = x zw x = 10,83 In reiek 3 lutet der Höenstz: = 11,5 5 = 56,5 = 7,5 In reiek 4 muss mn zuerst x mitilfe des Ktetenstzes erenen: 4 = x (x + 6) 0 = x + 6x 16 x 1 = und x = 8 nur positive Werte in Frge kommen, ist x = die Lösung Mit dem Höenstz erält mn nun: = 6 = 1 = 3,46 Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 1

22 Exkurs: Konstruktion retwinkliger reieke 7 Konstruktion retwinkliger reieke eispiel: Zeine ein retwinkliges reiek mit den Seiten = 3 m, = 4 m und = 5 m Vrinte 1: s reiek stet uf einer der eiden Kteten 3 m 5 m 3 m 4 m 4 m Vrinte : s reiek soll uf der Hypotenuse liegen Zeine zuerst die Hypotenuse 5 m Zeine dnn einen Hlkreis üer der Hypotenuse mit r = 0,5 =,5 m M r =,5 m Zeine einen Kreisogen um mit dem Rdius r = = 4 m ort, wo dieser Kreisogen den Hlkreis sneidet, ist der Punkt N dem Stz des Tles muss der Winkel γ immer 90 etrgen r = 4 m Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten!

23 Stzgruppe des Pytgors ekliste 1) Wie lutet der Stz des Pytgors? Gi die Formel n und die edeutung der Vrilen drin ) Worn erkennt mn in einem retwinkligen reiek die Hypotenuse und worn die eiden Kteten? 3) Wie erenet mn in einem retwinkligen reiek mit dem Stz des Pytgors eine felende Seite, wenn zwei Seiten eknnt sind? 4) Wie knn mn mit dem Stz des Pytgors die Rumdigonle eines Quders erenen, wenn mn lle Kntenlängen des Quders kennt? 5) Mrkiere in der qudrtisen Pyrmide drei retwinklige reieke Zeine felende Linien ein 6) Mit weler Formel knn mn die igonle d eines Qudrts us der Seitenlänge erenen? 7) Mit weler Formel knn mn die Höe eines gleiseitigen reieks in ängigkeit von der Seitenlänge erenen? 8) Nenne eine prktise nwendung, ei der der Stz des Pytgors eine Rolle spielt 9) Ws sind die Hypotenusensnitte p und q in einem retwinkligen reiek? 10) Wie lutet der Ktetenstz? Ws edeuten die Vrilen drin? 11) Wie lutet der Höenstz? Ws edeuten die Vrilen drin? Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 3

24 ntworten zur ekliste: 1) In einem retwinkligen reiek gilt: + = rin sind und die Kteten und die Hypotenuse ) ie eiden Kteten spnnen den reten Winkel uf ie Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt gegenüer dem reten Winkel 3) Mn setzt die eiden eknnten Seiten in die Formel + = ein und löst die erltene Gleiung n der uneknnten Vrilen uf 4) Mn muss zuerst d 1 im retwinkligen reiek erenen nsließend knn d im gruen reiek erenet werden Es gilt: d = + + 5) ie reieke MP, MFP und FP sind retwinklig 6) d = 7) = 3 8) Sitweite üer ds Meer, usslg eines Pendels, Montge zweier retter in einem reten Winkel 9) ie Höe teilt in die Hypotenusensnitte q und p 10) (I) = p und (II) = q 11) = q p s P M d 1 q ntworten zur ekliste: 1) In einem retwinkligen reiek gilt: + = rin sind und die Kteten und die Hypotenuse ) ie eiden Kteten spnnen den reten Winkel uf ie Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt gegenüer dem reten Winkel 3) Mn setzt die eiden eknnten Seiten in die Formel + = ein und löst die erltene Gleiung n der uneknnten Vrilen uf 4) Mn muss zuerst d 1 im retwinkligen reiek erenen nsließend knn d im gruen reiek erenet werden Es gilt: d = + + 5) ie reieke MP, MFP und FP sind retwinklig 6) d = 7) = 3 8) Sitweite üer ds Meer, usslg eines Pendels, Montge zweier retter in einem reten Winkel s P M d 1 d d p F F 9) ie Höe teilt in die Hypotenusensnitte q und p 10) (I) = p und (II) = q 11) = q p q p Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 4

25 Stzgruppe des Pytgors Hinweise zur enutzung Ser geerte Lererinnen und Lerer, mit diesen Folienvorlgen können Sie Iren Sülerinnen und Sülern effektiv und kräftesonend ds Tem Stzgruppe des Pytgors vermitteln lle OHP-Folien sind so konzipiert, dss Inen ufwendige Erklärungen n der Tfel ersprt leien Jedes Kpitel eginnt mit einem einfürenden eispiel, mit dessen Hilfe si die Süler/innen die jeweiligen Regeln und Kenntnisse selstständig erreiten können Witige mtemtise Sätze und Zusmmenfssungen sind in den Merkekästen ervorgeoen, die Ire Süler/innen direkt von der Folie sreien können Im nsluss drn folgen jeweils Üungsufgen mit usfürlien Lösungen, die eenflls von der Folie ins Suleft üertrgen werden können m Ende der Unteritseineit finden Sie eine ekliste, mit der die Süler/innen den eigenen Kenntnisstnd in kompkter Form üerprüfen und wiederolen können Wie Sie nun die einzelnen Folien optiml im Unterrit einsetzen, zeigen Inen folgende Hinweise und nmerkungen Kpitel 1: er Stz des Pytgors Lernziele: ie Sülerinnen und Süler lernen den Stz des Pytgors kennen und sollen dmit felende Seiten in retwinkligen reieken erenen Hinweise zur urfürung: Im einfürenden eispiel uf Folie können die Süler/innen den Zusmmenng + = uf empirise Weise n versiedenen retwinkligen reieken selstständig entdeken und üerprüfen ie zweite Folie entält den Stz des Pytgors, seine geometrise edeutung und einen eweis er eweis knn von den Sülerinnen und Sülern mit etws Hilfestellung u selstständig durgefürt werden zu ist es insesondere ser ilfrei, wenn die Süler/innen vier identise retwinklige reieke zeinen, ussneiden und seler in der uf Folie 3 geildeten Weise nordnen In der Üung 1 (Folie 4) sollen die Süler/innen dnn mit dem Stz des Pytgors felende Seiten in retwinkligen reieken erenen ie reieke der Üung 1 ruen nur skizzenft ins Suleft üertrgen werden Zeitedrf: -3 Sulstunden; je n Umfng der zusätzlien Üungen us dem Sulu u mer Kpitel : Pytgors im Rum Lernziele: ie Sülerinnen und Süler trinieren ir räumlies Vorstellungsvermögen, indem sie mit dem Stz des Pytgors Streken in Qudern, qudrtisen Pyrmiden und Kegeln erenen Hinweise zur urfürung: In eispiel 1 (Folie 5) sollen die Süler/innen mit dem Stz des Pytgors die Rumdigonle eines Quders erenen nnd der Kros können die Süler/innen den geildeten Quder u dnn leit skizzieren, wenn sie mit dem Zeinen von Srägildern nit mer so vertrut sind (Gegeenenflls muss ier ds Zeinen von Srägildern kurz wiederolt werden) es erfrungsgemäß einigen Süler/innen Müe ereitet, nnd von Srägildern den Stz des Pytgors ufzustellen, sollten die enötigten retwinkligen reieke seprt gezeinet werden (vgl Folie 5 und 6) usgeend von dem Zleneispiel uf Folie 5 können dnn insesondere leistungsstärkere Süler/innen die llgemeine Formel für die Rumdigonle eines Quders zw Würfels erleiten uf Folie 6 sind diese Formeln in einem Merkeksten zusmmengefsst In Üung 1 können die Süler/innen dnn ir räumlies Vorstellungsvermögen trinieren und weitere Streken in einem Quder erenen Wele retwinkligen reieke es in einer qudrtisen Pyrmide git und wie der Stz des Pytgors drin jeweils lutet, lernen die Süler/innen in eispiel der Folie 7 u ier muss eventuell kurz wiederolt werden, wie mn ds Srägild einer qudrtisen Pyrmide skizziert ie Kros geen dzu eine wertvolle Hilfestellung In den Üungen und 3 uf Folie 7 und 8 können die Süler/innen dnn ds gelernte Wissen nwenden Zeitedrf: 5-6 Sulstunden; je n Umfng der zusätzlien Üungen us dem Sulu u mer Kpitel 3: ufstellen von Formeln Lernziele: ie igonlenformel in Qudrten und die Höenformel in gleiseitigen reieken sollen mit dem Stz des Pytgors ergeleitet werden Gleizeitig soll der Umgng mit Vrilen geüt werden Hinweise zur urfürung: eispiel 1 uf Folie 9 zeigt den Süler/innen, wie sie mit dem Stz des Pytgors die igonlenformel in Qudrten erleiten können Erfrungsgemäß ereitet eim Lösen von Gleiungen mit einer zusätzlien Vrilen ds Wurzelzieen Proleme Eine kurze Wiederolung, wie mn teilweise eine Wurzel ziet, knn ier vonnöten sein In den eiden Üungen der Folie 11 sollen die Süler/innen dnn seler Streken in ängigkeit von einer Vrilen erenen Insesondere ei Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 5

26 Stzgruppe des Pytgors Hinweise zur enutzung Üung enötigen erfrungsgemäß viele Süler/innen den Tipp, dss mn retwinklige reieke mit den spitzen Winkeln 30 und 60 zu gleiseitigen reieken erweitern knn Zeitedrf: 3-4 Sulstunden; je n Umfng der zusätzlien Üungen us dem Sulu u mer Kpitel 4: Prktise nwendungen Lernziele: ie Sülerinnen und Süler lernen, wie mn mit dem Stz des Pytgors prktise Prolemstellungen lösen knn Hinweise zur urfürung: lle drei eispiele können one weitere Erklärung direkt von den Süler/innen ereitet werden In Üung 1 uf Folie 1 soll die mximle Sitweite von einem Siffsmst us üer ds Meer erenet werden In Üung uf Folie 13 get es um die erenung der usslgsöe eines pysiklisen Pendels Und in Üung 3 lernen die Süler/innen, wie mn den Stz des Pytgors usnutzen knn, um zwei Srnkretter genu senkret neinnder zu fixieren Zeitedrf: Sulstunden; je n Umfng der zusätzlien Üungen us dem Sulu u mer Kpitel 5: er Ktetenstz Lernziele: ie Sülerinnen und Süler lernen den Ktetenstz kennen und sollen dmit felende Streken in retwinkligen reieken erenen Hinweise zur urfürung: Im einfürenden eispiel uf Folie 14 lernen die Süler/innen den Ktetenstz uf empirise Weise kennen esonders einprägsm wird der Ktetenstz, wenn die Süler/innen die Zusmmenänge = p und = q n selst gezeineten retwinkligen reieken erkunden uf der Folie 15 folgt ein Merkeksten mit dem Ktetenstz, die grfise Vernsuliung und der eweis Mit der Hilfestellung uf Folie 15 können viele Süler/innen den eweis sier u seler durfüren In den Üungen 1 und der Folien 16 und 17 sollen die Süler/innen dnn den Ktetenstz n weiteren reieken estätigen zw felende Streken in retwinkligen reieken erenen Zeitedrf: 3-4 Sulstunden; je n Umfng der zusätzlien Üungen us dem Sulu u mer Kpitel 6: er Höenstz Lernziele: ie Sülerinnen und Süler lernen den Höenstz kennen und sollen dmit felende Streken in retwinkligen reieken erenen Hinweise zur urfürung: nnd der Zleneispiele uf Folie 18 können die Süler/innen die ezieung = q p ret leit selstständig entdeken Ein Hinweis uf die Messungenuigkeit (insesondere ei reiek ) ist ier llerdings ilfrei N der grfisen Vernsuliung des Höenstzes (Folie 19) folgt ein eweis, den die Süler/innen mit etws Hilfestellung u selst-ständig durfüren können In Üung 1 uf Folie 0 sollen die Süler/innen den Höenstz n zwei weiteren retwinkligen reieken zw n selst gezeineten reieken estätigen Wie mn den Höenstz nwendet, um in retwinkligen reieken felende Streken zu erenen, können die Süler/innen sließli in Üung uf Folie 1 trinieren Zeitedrf: 3-4 Sulstunden; je n Umfng der zusätzlien Üungen us dem Sulu u mer Exkurs: Konstruktion retwinkliger reieke Mit der Folie können Sie Iren Sülerinnen und Sülern zwei Konstruktionsmöglikeiten für retwinklige reieke vorstellen, die in vielen eispielen und Üungen des vorliegenden Tems enötigt werden In der ersten (trivilen) Vrinte werden die Kteten entlng der Krolinien des Heftes gezeinet Wie mn ein retwinkliges reiek er u so zeinen knn, dss es uf der Hypotenuse liegt, zeigt die zweite Konstruktionsvrinte Zeitedrf: 10-0 min ekliste ws mn nun wissen sollte nnd der Frgen der ekliste uf Folie 3 können Sie die witigsten Kenntnisse zum Tem Stzgruppe des Pytgors in kompkter Form frgen und wiederolen uf diese Weise erlten Ire Süler/innen einen guten Üerlik üer den eigenen Kenntnisstnd ie ntworten uf die Frgen finden Sie ls Kopiervorlge in doppelter usfürung, sodss Sie nur jeweils 1 ltt für zwei Süler/innen kopieren müssen Zeitedrf: 30 min Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom Nur zur nsit, ownlod veroten! 6