. - Verwandle das Rechteck in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck mit der neuen Breite x1. und der neuen Länge y. = und neuer zugehöriger Länge

Transkript

1 Wirserg-Gymnsium Grundwissen temtik 9. rgngsstufe Lerninlte Fkten-Regeln-Beisiele Reelle Zlen Defintion der Qudrtwurzeln: Für 0 ist diejenige nit negtive Zl, deren Qudrt ergit. eißt Rdiknd. Es git Zlen, die nit rtionl sind. ( ) Weitere Beisiele: ) 65 5, d 5 65 ) ist nit definiert, d - negtiv ist. Näerungswerte für Qudrtwurzeln: ) Intervllstelung (IS): edes Intervll liegt im vorerigen. Die Intervlllängen werden elieig klein. Beisiel: IS für : < < < < ;,4 < <,5,4 < <, 5 ;,4 <,4,4 < <, 4 < usw. ) Heron-Algoritmus: Berenung von - Beginne mit einem Retek vom Fläeninlt, der Breite x0 und der Länge y 0. - Verwndle ds Retek in ein fläeninltsgleies Retek mit der neuen Breite x ls ittelwert von x0 und y 0 und der neuen Länge y ls Quotient : x. xn + yn - Wiederole diesen Sritt mit neuer Breite xn+ und neuer zugeöriger Länge yn+ is ein zufrieden stellender xn+ Näerungswert erreit ist. Die reellen Zlen: Zlen, die si weder dur endlie no dur eriodise (unendlie) Dezimlrüe drstellen lssen, eißen irrtionle Zlen. Rtionle und irrtionle Zlen ilden zusmmen die enge der reellen Zlen. Renen mit Qudrtwurzeln: -- Beisiele: Für lle R gilt: ( 5) 5 5 Für, 0 gilt: ( 0 ) 4

2 Binomise Formeln: ( + ) ( ) + ( ) ( ) n-te Wurzeln: Beisiele: Für 0 ist n 5 diejenige nit negtive Zl, deren n -te Potenz ergit Gleiung Lösungsmenge Potenzen mit rtionlen Exonenten: Beisiel: x 4 4 L { 4 ; } x L { } Für ositive Grundzlen wird vereinrt: und ( Z; N )

3 Die Stzgrue Des Pytgors Ktetenstz Stz des Pytgors Höenstz +

4 Qudrtise Funktionen und udrtise Gleiungen Die udrtise Funktion Für lle Formen gilt: Normlform: : x x + x + > 0 : Prel n oen geöffnet Seitelform: : x ( x + d) + e < 0 x ( x x ) ( x : x Nullstellenform: ) : Prel n unten geöffnet Beisiel: y y : x x : x : x 4x + ( x ) ( x ) ( x ) - x x Die Lösungsformel: Eine udrtise Gleiung der Form x + x + 0 ( 0) t die eiden Lösungen x, x, flls 4 > 0, genu eine Lösung x, flls 4 0, keine Lösung, flls 4 < 0 Der Term 4 eißt Diskriminnte..

5 Qudrtise Funktionen in Anwendungen Extremwertroleme: Beisiel: Ein Lndwirt kuft si sendrt der Länge 8 m. Er möte dmit eine möglist große retekige Fläe einzäunen. Wie muss er die Amessungen wälen? Lösung:. Sritt: Allgemeiner Anstz für die Größe, die zu mximieren zw. zu minimieren ist. x, y) x y. Sritt: Aufstellen der Neenedingung ( x + y) 8 y 40, 5 x. Sritt: Einsetzen der Neenedingung in den llgemeinen Anstz ( 40,5 x + 40, x x 5 4. Sritt: udrtise Ergänzung x + 40,5x [ x 40,5x] [ x 40,5x] x 40,5 40,5x + ( x 0,5) 40,5 40,5 ( x 0,5) + 40, Sritt: Antwortstz sreien Er muss ein Qudrt mit einer Seitenlänge von 0,5m wälen.

6 erstufiges Zusfllsexeriment. Beisiele für merstufige Zufllsexerimente: - Ein Glüksrd wird fünfml gedret und die ngezeigte Fre notiert. - Aus einer Stel, die viele Nägel entält, werden one Zurüklegen 00 Exemlre entnommen und uf ire Tuglikeit üerrüft. Berenung von Wrseinlikeiten: Erste Pfdregel: n erält die Wrseinlikeit eines Ergenisses, indem mn die Wrseinlikeiten längs des zugeörigen Pfdes multiliziert. Zweite Pfdregel: Bei merstufigen Zufllsexerimenten erält mn die Wrseinlikeit eines Ereignisses, indem mn die Summe der Wrseinlikeiten der Pfde ildet, die zu dem Ereignis geören. 0,486 0,54 0,54 0,54 0,486 0,54 0,54 0,54 P( mindestens zwei ungen ) 0,486 0,54 0,54 + 0,54 0,486 0,54 + 0,54 0,54 0,54 9,%

7 Trigonometrie y Festlegung von Sinus, Kosinus und Tngens mit Hilfe des Eineitskreises: y α sinα osα 90 x 90 Eineitskreis α tnα x Funktionswerte für esondere Winkel: α in sin α 0 os α 0 tn α 0 nit definiert

8 Witige Bezieungen: Für lle Winkel α mit 0 α 90 gilt: ( osα ) + ( sinα ) sinα tnα osα sinα os ( α 90 ) ( 90 α ) ; osα sin( 90 α ) Berenungen m retwinkligen Dreiek: Hy α AK ( α) GK( β ) β GK ( α ) AK ( β ) GK( α) sinα Hy AK( α) osα Hy GK( α) tnα AK( α) GK( β ) sin β Hy AK( ß) os β Hy GK( β ) tn β AK( β )

9 Rumgeometrie ) Ds Prism: Es entstet dur die Prllelversieung eines elieigen Vieleks. Beisiel: gerdes Dreikntrism Grundfläe G Allgemein gilt: VolumenGrundfläe ml Höe ) Der Zylinder: Er entstet dur die Prllelversieung eines elieigen Kreises. Volumen: V G r π Inlt der ntelfläe: rπ Oerfläeninlt: G + r π + rπ A o r Grundfläe mit Inlt G

10 ) Die Pyrmide: Sie entstet, wenn mn die Ekunkte eines elieigen Vieleks mit einem Punkt S ußerl der Vielekseene verindet. Beisiel: gerde Vierkntyrmide Allgemein gilt: V G d) Der Kegel: r s V r π A O r π + π r s