Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

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1 Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende Winkel Genu dnn ist γ = π 2 wenn = c 2 γ c Elementrgeometrische Begründung: Sei etw (i) Sei γ = π D die Winkelsumme im Dreieck gleich π ist, knn mn ds 2 Qudrt mit Kntenlänge c wie folgt zerlegen: c 1

2 Ds schrffierte Viereck ist dnn eenflls ein Qudrt, mit Kntenlänge Es folgt: c 2 = Fläche des großen Qudrts = Fläche des kleinen Qudrts +4 ml Fläche von = ( ) 2 + 4( 1 2 ) = (ii) Sei = c 2 Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ktheden und Dnn gilt nch (i) für die Hypothenuse c von : c 2 = Es folgt c = c und somit sind und kongruent Also ist uch γ = π 2 Krtesische Koordinten in der Eene E: Lege in E ein Koordintensystem und indentifiziere so E mit R 2 ( p = ) Ein Punkt P E wird mit seinem Ortsvektor Sklrprodukt und Astnd: Ds Sklrprodukt x, y von Elementen x = 2 ( ) identifiziert x n und y = y 1 y n des R n

3 ist die Zhl x, y := y 1 + y x n y n Mn knn x, y uch ls Mtrizenprodukt uffssen: y 1 x, y = (,, x n ) (12) Eigenschften: y n = x t y ) x, y = y, x (Symmetrie) ) Für x, y, z R n und λ, µ R ist λx + µy, z = λ x, z + µ y, z x, λy + µz = λ x, y + µ x, z (Bilinerität) c) Positive Definitheit: x, x 0 für lle x R n ; Gleichheit gilt nur für x = 0 d) Ax, y = x, A t y für lle A M(n n, R) Beweis: ) Die Regeln für die Mtrizenrechnung ergeen λx + µy, z = (λx + µy) t z = (λx t + µy t )z = λ(x t z) + µ(y t, z) = λ x, z + µ y, z Die zweite Regel folgt us der ersten mit Hilfe von ) c) x, x = x2 n 0 Gleichheit gilt nur, flls = = x n = 0 d) Ax, x = (Ax) t y = (x t A t )y = x t (A t y) = x, A t y Definition: x := x, x + x = x n R n = n + heißt Betrg des Vektors 3

4 Wir etrchten nun den Fll n = 2 und identifizieren E mit R 2 Sind x und y Punkte in E, so ist der elementrgeometrische Astnd zwischen x und y definiert ls die Länge der Strecke xy, welche x und y verindet Schreie dfür d(x, y) (13) Bemerkung: d(x, y) = y x Insesondere ist x = d(0, x) der Astnd zwischen den Punkten 0 und x Beweis: x = ( x1 ) d = d(x,y) y 2 y = y 1 ( y1 y 2 ) Nch Pythgors (11) ist ( d 2 = (y) 2 ) 2 + (y 1 ) 2 y1 x Andererseits ist y x = 1, lso y x = (y y 2 ) 2 + (y 2 ) 2 2 und y x = d 2 = d (14) Korollr: Vektoren im R 2 ddiert mn wie Kräfte: Die Punkte 0, x, x+ y und y ilden ein ( Kräfte )Prllelogrmm 4

5 Beweis: V = (0, x, x + y, y) ist ein Prllelogrmm, weil gegenüer liegende Seiten von V gleich lng sind y x+y 0 x Nch (13) ist d(0, x) = x, d(y, x + y) = x + y y = x und d(0, y) = y, d(x, x + y) = x + y x = y (15) Orthogonlität und Sklrprodukt Die Strecken 0x und 0y stehen genu dnn senkrecht ufeinnder, wenn x, y = 0 Beweis: y y x y 0 α x x Nch (11) ist α genu dnn ein rechter Winkel, wenn x 2 + y 2 = y x 2, dh x, x + y, y = y x, y x = 5

6 = x, x 2 x, y + y, y, dh wenn x, y = 0 Dher definiert mn generell: Vektoren x, y R n heißen orthogonl zueinnder, wenn x, y = 0 Schreie dfür x y (16) Die Cuchy Schwrzsche Ungleichung x, y x y Gleichheit gilt genu dnn, wenn (x, y) liner hängig ist ( ) ( ) x1 y1 Beweis: Seien x =, y = Zeige llgemeiner, dss y 2 ( ) x, y 2 = x 2 y 2 det(x, y) Drus folgt: x, y x y ; Gleichheit gilt genu dnn, wenn det(x, y) = 0, dh wenn (x, y) liner hängig ist Beweis von ( ): x, y 2 + det(x, y) 2 = ( y 1 + y 2 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 = 1y y y y 2 1 = ( 1 + 2)(y y 2 2) = x 2 y 2 (17) Dreiecksungleichung: x+y x + y Ist (x, y) liner unhängig, so ist x + y < x + y Beweis: x + y 2 = x x, y + y 2 x x y + y 2 = = ( x + y ) 2, lso x + y x + y Dei gilt nch 16 die Ungleichheit, flls (x, y) liner unhängig ist 6

7 Geometrische Bedeutung von (17): Sei (,, c) ein nicht usgertetes Dreieck Setze x = c, y = c c x y x + y Nch Vorussetzung sind die Vektoren x und y liner unhängig Aus 17 ergit sich d(, ) = = x + y < x + y = d(, c) + d(c, ) In einem (nicht usgerteten) Dreieck ist lso jede Seite kürzer ls die Summe der zwei nderen 7

8 Winkel und Sklrprodukt: Führe in E = R 2 Polrkoordinten ein (siehe III4) ϕ r x = ( x1 ) Dnn ist r = cosϕ und r = sin ϕ, dh x = r ϕ = Arg x wie in III4 In der Anlysis lernt mn: cos(ϕ ψ) = cosϕcosψ + sin ϕ sinψ = ( ) cos ϕ, wenn r = x und sin ϕ ( ) cosϕ, sin ϕ ( ) cosψ sin ψ ( ) ( ) cosϕ cosψ Sind lso x = x und y = y von Null verschiedene sin ϕ sin ψ Vektoren des R 2, Arg ( x = ) ϕ( und Arg ) y = ψ, so gilt cosϕ cosψ x, y = x y, = x y cos(ϕ ψ) nch (12) sin ϕ sin ψ 8

9 x Θ = ϕ ψ Θ ψ y Ist lso Θ der Winkel zwischen 0x und 0y, so gilt Es folgt der cos Θ = x, y x y (18) Cosinusstz: x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos Θ, wenn Θ der von 0x und 0y eingeschlossene Winkel ist Beweis: x, y = x y cos Θ und x y 2 = x y, x y = x, x + y, y 2 x, y Für Θ = π erhält mn den Stz des Pythgors zurück: 2 Wegen cos π = 0 folgt us 18 x 2 y 2 = x 2 + y 2 9