Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b"

Transkript

1 Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende Winkel Genu dnn ist γ = π 2 wenn = c 2 γ c Elementrgeometrische Begründung: Sei etw (i) Sei γ = π D die Winkelsumme im Dreieck gleich π ist, knn mn ds 2 Qudrt mit Kntenlänge c wie folgt zerlegen: c 1

2 Ds schrffierte Viereck ist dnn eenflls ein Qudrt, mit Kntenlänge Es folgt: c 2 = Fläche des großen Qudrts = Fläche des kleinen Qudrts +4 ml Fläche von = ( ) 2 + 4( 1 2 ) = (ii) Sei = c 2 Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ktheden und Dnn gilt nch (i) für die Hypothenuse c von : c 2 = Es folgt c = c und somit sind und kongruent Also ist uch γ = π 2 Krtesische Koordinten in der Eene E: Lege in E ein Koordintensystem und indentifiziere so E mit R 2 ( p = ) Ein Punkt P E wird mit seinem Ortsvektor Sklrprodukt und Astnd: Ds Sklrprodukt x, y von Elementen x = 2 ( ) identifiziert x n und y = y 1 y n des R n

3 ist die Zhl x, y := y 1 + y x n y n Mn knn x, y uch ls Mtrizenprodukt uffssen: y 1 x, y = (,, x n ) (12) Eigenschften: y n = x t y ) x, y = y, x (Symmetrie) ) Für x, y, z R n und λ, µ R ist λx + µy, z = λ x, z + µ y, z x, λy + µz = λ x, y + µ x, z (Bilinerität) c) Positive Definitheit: x, x 0 für lle x R n ; Gleichheit gilt nur für x = 0 d) Ax, y = x, A t y für lle A M(n n, R) Beweis: ) Die Regeln für die Mtrizenrechnung ergeen λx + µy, z = (λx + µy) t z = (λx t + µy t )z = λ(x t z) + µ(y t, z) = λ x, z + µ y, z Die zweite Regel folgt us der ersten mit Hilfe von ) c) x, x = x2 n 0 Gleichheit gilt nur, flls = = x n = 0 d) Ax, x = (Ax) t y = (x t A t )y = x t (A t y) = x, A t y Definition: x := x, x + x = x n R n = n + heißt Betrg des Vektors 3

4 Wir etrchten nun den Fll n = 2 und identifizieren E mit R 2 Sind x und y Punkte in E, so ist der elementrgeometrische Astnd zwischen x und y definiert ls die Länge der Strecke xy, welche x und y verindet Schreie dfür d(x, y) (13) Bemerkung: d(x, y) = y x Insesondere ist x = d(0, x) der Astnd zwischen den Punkten 0 und x Beweis: x = ( x1 ) d = d(x,y) y 2 y = y 1 ( y1 y 2 ) Nch Pythgors (11) ist ( d 2 = (y) 2 ) 2 + (y 1 ) 2 y1 x Andererseits ist y x = 1, lso y x = (y y 2 ) 2 + (y 2 ) 2 2 und y x = d 2 = d (14) Korollr: Vektoren im R 2 ddiert mn wie Kräfte: Die Punkte 0, x, x+ y und y ilden ein ( Kräfte )Prllelogrmm 4

5 Beweis: V = (0, x, x + y, y) ist ein Prllelogrmm, weil gegenüer liegende Seiten von V gleich lng sind y x+y 0 x Nch (13) ist d(0, x) = x, d(y, x + y) = x + y y = x und d(0, y) = y, d(x, x + y) = x + y x = y (15) Orthogonlität und Sklrprodukt Die Strecken 0x und 0y stehen genu dnn senkrecht ufeinnder, wenn x, y = 0 Beweis: y y x y 0 α x x Nch (11) ist α genu dnn ein rechter Winkel, wenn x 2 + y 2 = y x 2, dh x, x + y, y = y x, y x = 5

6 = x, x 2 x, y + y, y, dh wenn x, y = 0 Dher definiert mn generell: Vektoren x, y R n heißen orthogonl zueinnder, wenn x, y = 0 Schreie dfür x y (16) Die Cuchy Schwrzsche Ungleichung x, y x y Gleichheit gilt genu dnn, wenn (x, y) liner hängig ist ( ) ( ) x1 y1 Beweis: Seien x =, y = Zeige llgemeiner, dss y 2 ( ) x, y 2 = x 2 y 2 det(x, y) Drus folgt: x, y x y ; Gleichheit gilt genu dnn, wenn det(x, y) = 0, dh wenn (x, y) liner hängig ist Beweis von ( ): x, y 2 + det(x, y) 2 = ( y 1 + y 2 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 = 1y y y y 2 1 = ( 1 + 2)(y y 2 2) = x 2 y 2 (17) Dreiecksungleichung: x+y x + y Ist (x, y) liner unhängig, so ist x + y < x + y Beweis: x + y 2 = x x, y + y 2 x x y + y 2 = = ( x + y ) 2, lso x + y x + y Dei gilt nch 16 die Ungleichheit, flls (x, y) liner unhängig ist 6

7 Geometrische Bedeutung von (17): Sei (,, c) ein nicht usgertetes Dreieck Setze x = c, y = c c x y x + y Nch Vorussetzung sind die Vektoren x und y liner unhängig Aus 17 ergit sich d(, ) = = x + y < x + y = d(, c) + d(c, ) In einem (nicht usgerteten) Dreieck ist lso jede Seite kürzer ls die Summe der zwei nderen 7

8 Winkel und Sklrprodukt: Führe in E = R 2 Polrkoordinten ein (siehe III4) ϕ r x = ( x1 ) Dnn ist r = cosϕ und r = sin ϕ, dh x = r ϕ = Arg x wie in III4 In der Anlysis lernt mn: cos(ϕ ψ) = cosϕcosψ + sin ϕ sinψ = ( ) cos ϕ, wenn r = x und sin ϕ ( ) cosϕ, sin ϕ ( ) cosψ sin ψ ( ) ( ) cosϕ cosψ Sind lso x = x und y = y von Null verschiedene sin ϕ sin ψ Vektoren des R 2, Arg ( x = ) ϕ( und Arg ) y = ψ, so gilt cosϕ cosψ x, y = x y, = x y cos(ϕ ψ) nch (12) sin ϕ sin ψ 8

9 x Θ = ϕ ψ Θ ψ y Ist lso Θ der Winkel zwischen 0x und 0y, so gilt Es folgt der cos Θ = x, y x y (18) Cosinusstz: x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos Θ, wenn Θ der von 0x und 0y eingeschlossene Winkel ist Beweis: x, y = x y cos Θ und x y 2 = x y, x y = x, x + y, y 2 x, y Für Θ = π erhält mn den Stz des Pythgors zurück: 2 Wegen cos π = 0 folgt us 18 x 2 y 2 = x 2 + y 2 9

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren. .. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur

Mehr

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenurg/Ostfrieslnd/Wilhelmshven Fch. Technik, At. Elektrotechnik u. Informtik Prof. Dr. J. Wiee www.et-inf.fho-emden.de/~wiee Mthemtik, Teil B Inhlt:.) Grundegriffe der Mengenlehre.) Mtrizen, Determinnten

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

G2.3 Produkte von Vektoren

G2.3 Produkte von Vektoren G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen

Mehr

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt. Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen.

Mehr

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Mehr

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010

Mehr

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten

Mehr

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke Seite I Einige elementrgeometrische Sätze üer Dreiecke Durch drei nicht uf einer Gerden gelegene (d.h. nicht-kollinere) Punkte A, B, C in der euklidischen Eene ein Dreieck ABC mit Seiten,, c und (Innen-)Winkeln,,

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck 10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn

Mehr

Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2

Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2 IV. Teilung und Teilverhältnis im Punktrum ================================================================ 4.1 Der Punktrum Wir wählen einen Punkt O des zwei- zw. dreidimensionlen euklidischen Rums ls

Mehr

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Vektoren

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Vektoren Einführung in die Vektor- und Mtrizenrechnung Vektoren Sklr und Vektor Größen, deren Werte durch reelle Zhlen usgedrückt werden können, heißen Sklre. Beispiele: Msse, Ldung, Tempertur, etc. Größen, die

Mehr

Einführung in die Vektorrechnung (GK)

Einführung in die Vektorrechnung (GK) Einführung in die Vektorrechnung (GK) Michel Spielmnn Inhltsverzeichnis Grundlegende Definitionen Geometrische Vernschulichung. Punkte..................................... Pfeile.....................................

Mehr

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b 6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht

Mehr

Aufgabensammlung der höheren Mathematik

Aufgabensammlung der höheren Mathematik Aufgbensmmlung der höheren Mthemtik von Vsili P. Minorski 5., ktulisierte Auflge Hnser München 2008 Verlg C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 466 Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen Zusmmenfssung: Astände, Winkel und Spiegelungen Inhltsverzeichnis Astände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experten 1 Astände Astnd Punkt Punkt: Schreiweise: Den Astnd zweier Punkte A und B ezeichnet mn mit

Mehr

3 Hyperbolische Geometrie

3 Hyperbolische Geometrie Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck

Mehr

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen.

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen. Inhltsüersicht Kpitel 5: evil forces: Vektorrechnung Vektorrechnung in der Eene Ungleichungen in zwei Vrilen Der Vektorrum R n, Vektoropertionen Eenen im Rum Linere Gleichungssysteme Gußsche Elimintion

Mehr

Vektoren. Vorlesung bzw. 31. Oktober Vektorrechnung im Anschauungsraum 1. Seite 38. Seite 38. Seite 38. x 3

Vektoren. Vorlesung bzw. 31. Oktober Vektorrechnung im Anschauungsraum 1. Seite 38. Seite 38. Seite 38. x 3 Vektoren Seite 38 Vorlesung 3 zw 3 Oktoer 3 v im Anschuungsrum v v Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe

Mehr

Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.

Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders. Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni

Mehr

2.5 Messbare Mengen und Funktionen

2.5 Messbare Mengen und Funktionen 1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.

Mehr

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ I. Vektorräume ================================================================== 1. Geometrische Definition von Vektoren -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

Lineare Abbildung des Einheitskreises

Lineare Abbildung des Einheitskreises Linere Abbildung des Einheitskreises Peter Stender 27.06.2017 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises 27.06.2017 1 / 14 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B nicht uf der berechneten Prbel

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2) . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom

Mehr

10.2 Kurven und Bogenlänge

10.2 Kurven und Bogenlänge 10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene

Mehr

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D Vektoren, Vektorräume, Astände: D Definition: Die Menge aller (geordneten Paare reeller Zahlen (oder allgemeiner: Elemente eines elieigen Körpers, als Spalten geschrieen, ezeichnen wir als Vektoren: R

Mehr

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen 2.6. Prüfungsufgben zu Kongruenzbbildungen Aufgbe 1: Kongruenzsätze Konstruiere die Dreiecke us den gegebenen Größen und ergänze die fehlenden Größen: Teil b c α β γ A ) 5 cm 7 cm 9 cm b) 5 cm 7 cm 30

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln $Id: trig.tex,v 1.8 015/05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen.

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004 Geodäten Mthis Michelis 28. Jnur 2004 1 Vektorfelder Definition 1.1 Sei S 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld uf S ist eine Abbildung v : S 3 so, dss v(p) T n S für lle p S. Ein Vektorfeld ordnet lso

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner Abiturvorbereitung Mthemtik Linere Algebr / Anlytische Geometrie Copyright 2013 Rlph Werner 1 Linere Gleichungssysteme Ein lineres Gleichungssystem (LGS) besteht us einer Anzhl linerer Gleichungen. (m,n)-lgs

Mehr

Kürschaksche 2n-Ecke (II)

Kürschaksche 2n-Ecke (II) Kürschksche n-ecke II Kürschksche n-ecke II Fortsetzung des Beweises der Linderholmschen Vermutung: n = 4 Betrchtet mn ds Kürschksche Achteck A A... A 8 mit den Seiten A k A k = und A k A k+ = mit k 4

Mehr

Aufgabe 30: Periheldrehung

Aufgabe 30: Periheldrehung Aufge 30: Periheldrehung Auf einen Plneten soll zusätzlich zum Grvittionspotentil ds folgende Potentil einwirken U z = η r. (1 Im Folgenden sollen eene Polrkoordinten verwendet werden. Ds können wir mchen,

Mehr

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade 3 3 ANALYSIS 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde In diesem Aschnitt gehen wir von einer Gerde g und einer g nicht enthltenden Eene ε us und wollen unter llen möglichen spitzen Schnittwinkeln zwischen g und

Mehr

Mathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer

Mathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

1 Koordinatentransformationen

1 Koordinatentransformationen Technische Universität München Andres Wörfel Ferienkurs Anlysis für Physiker Vorlesung Mittwoch SS 0 Them des heutigen Tges sind zuerst Koordintentrnsformtionen, dnn implizite Funktionen. Diese zwei Kpitel

Mehr

Geometrie in der Ebene und im Raum

Geometrie in der Ebene und im Raum KAPITEL 1 Geometrie in der Eene und im Rum 1. Koordinten Wir eschreien nch einer Idee von René Descrtes (1596 1650) jeden Punkt in der Eene durch ein Pr reeller Zhlen. Die Menge der Pre reeller Zhlen küren

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen) VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

26. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen

26. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen 26. Mthemtik Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Sison 986/987 Aufgben und Lösungen OJM 26. Mthemtik-Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und

Mehr

20 1 Zahlen und Vektoren. d = d( 0, E) = u n. E = { x R 3 : x n = d }

20 1 Zahlen und Vektoren. d = d( 0, E) = u n. E = { x R 3 : x n = d } 0 1 Zhlen und Vektoren St 1.4.6 (i) Seien L = u + R v, u, v R 3 und v 0. Dnn gilt d( x 0, L) = ( u x 0) v, x 0 R 3. v (ii) Seien E = u + R v + R w, u, v, w R 3 und v w 0, und n ein Einheitsnormlenvektor

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

10 Anwendungen der Integralrechnung

10 Anwendungen der Integralrechnung 9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Die Satzgruppe des Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras 7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen

Mehr

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3 Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche

Mehr

7.1. Aufgaben zu Vektoren

7.1. Aufgaben zu Vektoren 7.. Afgben z Vektoren Afgbe : Vektoren in der Ebene ) Zeichne die folgenden Vektoren ls Ortsvektoren in eine pssende Koordintenebene (x -x -Ebene, x -x -Ebene oder x - x -Ebene) des krtesischen Koordintensystems.,,,

Mehr

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt. Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x

Mehr

4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt

4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt 1 4 Hperel 4.1 Die Hperel ls Kegelschnitt Wird ein Kreiskegel mit dem hlen Öffnungswinkel α von einer Eene σ geschnitten, die mit der Kegelchse einen Wink β < α einschliesst, so entsteht ls Schnittkurve

Mehr

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen

Mehr

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen. 10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie.

Mehr

Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten.

Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten. rllelprojektion durch Sonne 1 rllelprojektion durch Sonne 2 Kpitel 4: ffine bbildungen rllelprojektion einer Ebene in eine ndere Ebene: Motivtion für die bbildungsvorschrift von chsenffinitäten. E 1 Figuren

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers

Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers www.mthegmi.de September 2011 Eine interessnte Eigenschft unseres Schreibppiers ichel Schmitz Zusmmenfssung ällt mn von einer Ecke eines I 4 lttes ds Lot uf die igonle durch die benchbrten Eckpunkte, so

Mehr

SBP Mathe Aufbaukurs 2. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Winkelfunktionen besonderer Winkel. Zusammenhänge der Winkelfunktionen

SBP Mathe Aufbaukurs 2. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Winkelfunktionen besonderer Winkel. Zusammenhänge der Winkelfunktionen SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert

Mehr

Vektoren. Karin Haenelt

Vektoren. Karin Haenelt Vektoren Grundbegriffe für ds Informtion Retrievl Krin Henelt 13.10.2013 Anltische Geometrie und Linere Algebr Geometrie: Konstruktionsverfhren mit Zirkel und Linel Anltische Geometrie: Umsetzung geometrischer

Mehr

Übungen zur Analysis 2

Übungen zur Analysis 2 Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren

Mehr

Kapitel III Funktionen in mehreren Veränderlichen

Kapitel III Funktionen in mehreren Veränderlichen Kpitel III Funktionen in mehreren Veränderlichen Einleitung: Geometrische Interprettionen A: Funktionen f : IR IR f : M IR, M IR Grph: gegebene Kurve. {( x f(x } : x M IR 2 : explizit Legt mn ndere Koordinten

Mehr

Analysis mehrerer Variablen

Analysis mehrerer Variablen Rlf Gerkmnn Mthemtisches Institut Ludwig-Mximilins-Universität München Anlysis mehrerer Vriblen (Version vom 3. Februr 206) Inhltsverzeichnis. Abstände und Winkel......................................

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt 2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,

Mehr

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Jens Wirth, Freiberg wirth@mth.tu-freiberg.de 1 Definition y Es sei P ein Punkt uf dem Einheitskreis, 10P = φ. Dnn besitzt 1 P P die Koordinten (cos(φ), sin(φ)).

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. Simone Wrzel Mx Lein Husufgben 1. Flächeninhlte Teil 1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik 4 für Physik Anlysis 3 Wintersemester 9/1 Lösungsbltt 1.1.9 Wie gross ist der Flächeninhlt

Mehr

F A = 2F, F B = F, F C = 2F. Dabei verläuft F A entlang der vorderen Flächendiagonalen, F B und F C verlaufen entlang der Kanten.

F A = 2F, F B = F, F C = 2F. Dabei verläuft F A entlang der vorderen Flächendiagonalen, F B und F C verlaufen entlang der Kanten. Wintersemester / ZÜ. Aufgbe. z C Die Eckpunkte A, B, C eines Würfels (Kntenlänge ) sind die Anfngspunkte der Vektoren F A, F B, F C mit folgenden Beträgen: F C F A F, F B F, F C F. A x F A O B F B y Dbei

Mehr

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung

Mehr

1.1. Vorspiel bei den alten Griechen

1.1. Vorspiel bei den alten Griechen 1.1. Vorspiel bei den lten Griechen Die Mthemtiker der griechischen Antike wren ihrer Zeit und uch ihren Epigonen im "finsteren Mittellter" um Etliches vorus. Einige ihrer Entdeckungen werden wir im Lufe

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

Spiele und logische Komplexitätsklassen

Spiele und logische Komplexitätsklassen Spiele und logische Komplexitätsklssen Mrtin Horsch 26. Jnur 2006 Inhlt des Seminrvortrges Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit k Mrken Formeln mit k Vrilen und logische Komplexitätsklssen k-vrileneigenschft logischer

Mehr

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist

Mehr

G2 Grundlagen der Vektorrechnung

G2 Grundlagen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,

Mehr

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November 213 5 Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie,

Mehr

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser

Mehr

Arbeitsblatt 1 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/

Arbeitsblatt 1 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/ 1. November 006 Arbeitsbltt 1 Übungen zu Mthemtik I für ds Lehrmt n der Grund- und Mittelstufe sowie n Sonderschulen H. Strde, B. Werner WiSe 06/07 4.10.06 Präsenzufgben: 1. Zeige: Sei p eine (un) gerde

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr