Vektoren. Karin Haenelt

Transkript

1 Vektoren Grundbegriffe für ds Informtion Retrievl Krin Henelt

2 Anltische Geometrie und Linere Algebr Geometrie: Konstruktionsverfhren mit Zirkel und Linel Anltische Geometrie: Umsetzung geometrischer Frgen in rechnerische Probleme, um durch Ausrechnen zu Lösungen gelngen 1637 von René Descrtes begründet in L Géométrie Linere Algebr fsst einen Großteil der rechnerischen Methoden der Anltischen Geometrie in erweiterter Form zusmmen Bosch. 2006: 1 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 2

3 Linere Algebr Definition Vektorrum Definition:ein Vektorrum V über einem Körper Kist eine Menge V mit zwei Verknüpfungen der Form + und V V V K V V ( v, w) v + w ( c, v) cv die mn Addition(+) und Sklrmultipliktion( ) nennt, und für die folgende Aiome gelten: Artin 1998, 95/96 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 3

4 Linere Algebr Definition Vektorrum Definition (Fortsetzung) 1. Bezüglich der Addition bildet V eine Abelsche Gruppe 1. Abgeschlossenheit v+ w V, für lle v,w V 2. Assozitivität (v+w)+u= v+(w+u), für lle u,v,w V 3. Neutrles Element e es gibt ein neutrles Element e: v+e= v, für e V und lle v V (hier: eist der Nullvektor ) 4. Inverses Element i es gibt ein inverses Element i: v+ i= i+ v= e, für lle v V 5. Kommuttivität v+w= w+v, für lle v,w V Artin 1998, 95/96 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 4

5 Linere Algebr Definition Vektorrum Definition (Fortsetzung): 2. Die Sklrmultipliktion ist ssozitiv mit der Multipliktion in K: (b)v= (bv) für lle, b K, v V 3. Die Sklrmultipliktionmit der reellen Zhl 1 wirkt ls identische Abbildung uf V: 1v= v, für lle v V 4. Es gelten zwei Distributivgesetze (+b)v = v+bv (v+w) = v+ wfür lle, b K, v,w V und Artin 1998, 95/96 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 5

6 Linere Algebr Definition Vektor Definition: Elemente eines Vektorrums werden uch ls Vektoren bezeichnet Bosch 2006: 26 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 6

7 Linere Algebr Beispiel eines Vektorrumes: n-fches krtesisches Produkt n-fches krtesisches Produkt: K n = {(α 1,, α n ); α i Kfür i= 1,,n} die Addition K n K n K n werde erklärt durch (α 1,, α n ) + (β 1,, β n ) = (α 1 +β 1,, α n +β n ) die sklre Multipliktion K K n K n werde erklärt durch α (α 1,, α n ) = (α α 1,, α α n ) Bosch 2006: 28 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 7

8 Linere Algebr Definitionen und Stz Linerkombintion und Bsis Definition:Eine linere Kombintion von 1,, n ht die Form n n wobei 1,, n Rdie Koeffizientender Kombintion sind. Definition: Sei Vein Vektorrum über einem Körper K, und sei (v 1,,v n ) eine geordnete Menge von Elementen von V. Eine Linerkombintion von (v 1,,v n ) ist ein Vektor der Form w = c 1 v 1 + c 2 v 2 + +c n v n, c i K Hefferon, 2012, 2 Artin, 1998, 97 Stz: eine Menge B= (v 1,,v n ) ist genu dnn eine Bsis, wenn jeder Vektor w V uf eindeutige Weise ls Linerkombintion von B geschrieben werden knn Artin, 1998, 100 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 8

9 Geometrie Vektoren in der mehrdimensionlen Geometrie Reeller n-dimensionler Rum R 1 eindimensionler Rum, Zhlengerde R 2 zweidimensionler Rum, Ebene R 3 dreidimensionler Rum R n n-dimensionler Rum geometrische Auffssung eines Vektorrumes, Beispiel R 2 R 2 (Menge ller Pre reeller Zhlen) ls Modell einer Ebene E uffssen, indem mn in Eeinen Nullpunkt und ein Koordintensstem mit den Achsen und uszeichnet einem Punkt P Eordnet mn ds Pr ( 1, 1 ) R 2 zu Bosch, 2006:51 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 9

10 Geometrie Vektor Eine Vektor ist ein Objekt, ds eine Größe und eine Richtung ht. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Richtung hben 1 2 beschreibt den eins nch rechts, zwei nch oben -Vektor im Rum R 2 wenn der Vektor in knonischer Position ist (beginnend m Punkt (0,0) des Koordintensstems), erstreckt er sich bis zum Endpunkt (1,2) des Koordintensstems Krin Henelt, Mth. Grundlgen: Hefferon, 2012, 34 10

11 Kurzfssung Bsis, Komponentendrstellung, Dimension z z Linerkombintion: Summe von Vielfchen der kombinierten Elemente Eine Bsis eines Vektorrumes ist eine Teilmenge eines Vektorrumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Rumes eindeutig ls endliche Linerkombintion drstellen lässt (Beispiel: krtesisches Bsissstem: drei Vektoren vom Größenwert 1, die senkrecht ufeinnder stehen) Eine Komponentendrstellungeines Vektors ist die Drstellung eines Vektors durch Komponenten der Bsis Komponenteneines Vektors sind die senkrechten Projektionen uf die Bsis Dimension eines Vektors ist die Anzhl der benötigten Komponenten Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 11

12 Drstellung von Vektoren Linerkombintion z z z z e e e + + = Komponentendrstellung 12 Krin Henelt, Mth. Grundlgen: ),, ( z = = z

13 Länge bzw. Betrg eines Vektors Betrg = Länge des Pfeils = Stz des Pthgors 2 b 2 c = c = + b 2 b Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhlte der Qudrte über den Ktheten gleich dem Flächeninhlt des Qudrts über der Hpothenuse Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 13

14 Sklrprodukt: Geometrische Deutung Sklrprodukt: - Multipliktion der Beträge zweier Vektoren unter Berücksichtigung der Richtungsbhängigkeit der Vektoren - ergibt eine sklre Größe b = b cosα b α Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 14

15 Sklrprodukt: Komponentendrstellung Sklres Produkt der Einheitsvektoren (hier: e und e ) e e = 1 cos( 0 ) = 1 e e = 0 cos( 90 ) = 0 ee ee = 1 ee ee = 0 Herleitung = e + e b = b e + b e b = ( e + e) ( b e + b e) = b e e + b e e + b e e + b e e = b + b (Weltner, 1999, 41) Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 15

16 Sklrprodukt: Beispiel = (2,3,1) b = ( 1,0,4) b = 2 ( 1) = 2 (Weltner, 1999, 42) Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 16

17 Litertur Michel Artin (1998). Algebr. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A Cmpo. Bsel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlg. Siegfried Bosch (2006). Linere Algebr. Heidelberg: Springer Verlg. Jim Hefferon(2012). Liner Algebr Klus Weltner(1999). Mthemtik für Phsiker. Bsiswissen für ds Grundstudium der Eperimentlphsik. Wiesbden: Vieweg & Sohn Verlgsgesellschft mbh. 11. Aufl Krin Henelt, Mth. Grundlgen: 17