2 Vektoren in der Mechanik

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1 11 2 Vektoren in der Mechnik Viele Größen der Mechnik, in der Sttik insbesondere Krft und Moment, hben die Eigenschft von Vektoren im dreidimensionlen Rum. Die Mechnik nutt dher die Methoden und Rechenregeln der Vektorlgebr und Vektornlysis. Im Unterschied ur Mthemtik sind hinsichtlich ihrer Wirkung jedoch drei verschiedene Klssen von Vektoren u unterscheiden: freier Vektor: gegeben durch Betrg und Richtung (Orientierung und Richtungssinn) beliebige Prllelverschiebung möglich linienflüchtiger Vektor: gegeben durch Betrg, Richtung und Wirkungslinie Verschiebung nur entlng Wirkungslinie möglich gebundener Vektor: gegeben durch Betrg, Richtung und Angriffspunkt keine Verschiebung möglich

2 12 2 Vektoren in der Mechnik 2.1 Nottion Geometrische Drstellung von Vektoren 1) ls Pfeil mit Vektorsymbol 2) ls Pfeil mit voreichenbehftetem Betrg Koordintendrstellung eines Vektors Zerlegung von in Komponenten y e y e y e y y, T 2 2 y 2 Bemerkungen: Vektoren sind unbhängig vom Koordintensystem Koordinten eines Vektors seten eine eindeutige Festlegung des Koordintensystems vorus und hängen von dieser b

3 2 Vektoren in der Mechnik Elementropertionen der Vektorlgebr Opertion Geometrische Drstellung Koordintendrstellung Gleichheit b b b b, y b y, b Addition b c b c 2 2 b 2 2b cos c b c b, c y y b y, c b Sklrprodukt Vektorprodukt (Kreuprodukt) b b b c ( b ) c (b c) b b s b b cos b ( b ) c c b b 0 b c b b b b b 0 b c c b sin ( b ) c c b c ( b ) c b ( c ) (b c ) s T b b y b y b T y 2 cos T b b c y b y b det e b e y y b y b e b y b b y b b b y y b

4 14 2 Vektoren in der Mechnik 2.3 Krft und Moment Krft Krftbegriff entstmmt der täglichen Erfhrung der Muskelnspnnung beim Verschieben oder Verformen eines Körpers. Die Krft ist gekenneichnet durch Betrg und Richtung, und dmit eine Vektorgröße. Krft ist definiert ls Wirkung eines Körpers uf einen nderen in direktem Kontkt oder über eine gewisse Entfernung hinweg (.B. Grvittion) Krft tritt jeweils ls Pr kollinerer, entgegengesett gleichgroßer Vektoren uf (ctio = rectio) Kräfte bewirken Beschleunigung oder Verformung von Körpern Im SI Einheitensystem ht die Krft die Einheit 1[N] 1kg 1 m s2 1kgm s 2 Eigenschften der Krft: Der Krftvektor ht i. Allg. einen Angriffspunkt (gebundener Vektor) In der Strrkörpermechnik drf die Krft entlng ihrer Wirkungslinie verschoben werden (linienflüchtiger Vektor) Für die Untersuchung globler Effekte können uch verformbre Körper im verformten Zustnd eingefroren und ls Strrkörper betrchtet werden (Erstrrungsprinip)

5 2 Vektoren in der Mechnik 15 Moment Momente hben die Tenden, Körper u verdrehen. Sie sind gekenneichnet durch Betrg und Richtung und dmit Vektorgrößen. M Momente können durch Kräftepre drgestellt werden, d.h. Pre entgegengesett gleich großer, nicht kollinerer, prlleler Kräfte. Ds Moment ist ein freier Vektor senkrecht u F und r AB M r AB F, A F rab F B d y M Fd F r AB sin M Im SI Einheitensystem leitet sich die Einheit des Moments us M Fd b: 1[Nm] 1[N] 1[m] Verdrehwirkung Die Richtung des Momentenvektors ergibt sich us der Rechte Hnd Regel Drstellung in ebenen Problemen: d F M Fd F

6 16 2 Vektoren in der Mechnik Invrinopertionen in der Strrkörpermechnik (1) beliebige Verschiebung von Momentenvektoren (2) vektorielle Addition und Zerlegung von Momentenvektoren (3) Verschiebung von Krftvektoren entlng ihrer Wirkungslinie (4) vektorielle Addition von Krftvektoren mit gemeinsmem Angriffspunkt (5) Zerlegung von Krftvektoren in Komponenten mit gemeinsmem Angriffspunkt (6) Einführung von Nullvektoren Beispiele: Addition weier Momente M 2 M 1 Addition weier Kräfte mit sich schneidenden Wirkungslinien F 2 F 1 Addition weier prlleler Kräfte F 2 F 1