1 Das dreidimensionale Koordinatensystem

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1 Schüleruchseite 90 9 Lösungen vorläufig Ds dreidimensionle Koordintensystem S. 90. Möglichkeit: : Linke vordere oere Ecke des gnz linken Würfels : rechte hintere oere Ecke des gnz rechten Würfels : rechte hintere untere Ecke des oersten Würfels D: linke hintere oere Ecke des oersten Würfels. Möglichkeit: Pltz des Würfels wird nummeriert, sonst wie. Möglichkeit sp. zu : linke vordere oere Ecke des Würfels in der. Etge, erste Reihe, Pltz eins. ei : rechte hintere oere Ecke des Würfels in der. Etge, dritte Reihe, Pltz drei. Um die nge nur mit Zhlen mchen zu können, muss mn zunächst einen festen usgngspunkt der Zählung wählen (= Ursprung eines Koordintensystems). Dnn muss die edeutung der einzelnen Zhlen festgelegt werden:. Zhl: nzhl der Schritte nch vorne (+) oder nch hinten ( ).. Zhl: nzhl der Schritte nch rechts (+) oder nch links ( ).. Zhl: nzhl der Schritte nch oen (+) oder nch unten ( ). eispiel: Ursprung, somit ist ( 0); (0 ); D (0 ) S. 9 x ( ) D (0 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0) = x x D(0 0 ) ( ) ) x = 0: Punkte liegen in x x -Eene x = 0: Punkte liegen in x x -Eene x = 0: Punkte liegen in x x -Eene ) x = x = 0: Punkte liegen uf x -chse. c) x = x = : Punkte liegen uf einer Prllelen zur x -chse durch den Punkt P ( 0). P ( 0); Q ( 0); x = 0; mn zeichnet die Prllelen zur x - und x -chse durch die Punkte P und Q. R (0 ); S (0 ); x = 0; mn zeichnet die Prllelen zur x - und x -chse durch die Punkte R und S. T ( 0 ); U ( 0 ); x = 0; mn zeichnet die Prllelen zur x - und x -chse durch die Punkte T und U. 5 ) (x - und x -Koordinten leien); ( 0 0); ( ); ( ); D ( ) ) (x - und x -Koordinten leien); ( 0 0); ( ); ( ); D ( ) c) (x - und x -Koordinten leien); ( 0 0); ( ); ( ); D ( ) d) (lle Koordinten verändern ihr Vorzeichen); ( 0 0); ( ); ( ); D ( ) Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

2 Schüleruchseite 9 9 Lösungen vorläufig x F ) ( 0); F (0 ); E G H = x D = D x E E 5 H G G ( ); H ( 0 ) ) (0 0); ( 0); E (0 0 ); F (0 ); G ( ); H ( 0 ) 7 x x x x II III VI VII x x x x x x x x 8 ) 5 ) H x E x D 5 7 F G x ) E x H x F 5 D G x (5 ); (5 ); ( ); D ( ); ( ); ( ); ( ); E (5 5); F (5 5); G ( 5); H ( 5) D ( ); E ( ); F ( ); Keine Schnittpunkte der Koordintenchsen G ( ); H ( ) mit den Würfelflächen vorhnden. c) Würfel nlog wie ei Teilufge ) mit den vorgegeenen Punkten D und F sttt und H. S. 9 9 Individuelle Lösungen Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

3 Schüleruchseite 9 Lösungen vorläufig 0 ) x ) (,5); (,5); (,5); H D (,5); E ( 0,5); F ( 0,5); G ( 0,5); H ( 0,5) G x E F 5 D x _ = x () x (E) = 5; _ E = x (E) x () = ; _ D = x (E) x () = 5 ) M ( 0) ) ME _ = M = = c) E ( ); F ( ) x E E D M x 7 D 5 = F x F lick von links unten in den VIII. Qudrnten; lick von rechts unten in den V. Qudrnten x x x x x 5 5 x ) x ) Die Punkte ( 5 ) und (5 ) sind 5 symmetrisch zur winkelhlierenden Eene des I. ktnten (zw. III. zw. V. zw. VII. ktnten). 5 7 Die Vertuschung der Koordinten ewirkt eine Spiegelung n der Winkelhlierenden des I. und III. Qudrnten. x Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

4 Schüleruchseite 9 95 Lösungen vorläufig ) x ) und hen gleiche x -Koordinten, lso gilt: G [] x x -Eene. 5 und D hen gleiche x - zw. x -Koordinten, lso gilt: [D] x -chse. H F D [E] [D] gilt, muss [E] x x -Eene sein. Somit sind die Würfelflächen FE und DGH prllel zur x x -Eene. c) _ = ( ) + ( 0) = 5; _ D = 5 E x d) Ds Qudrt FE mit der Seitenlänge 5 LE ist 5 uch im Schrägild unverzerrt. Dreht mn ds Steigungsdreieck 0 um 90 D gegen den Uhrzeigersinn, so ergit sich für die 5 Koordinten von E: 7 e = = ; e = 0 + = E (8 ) 8 e) ( ); F (8 7); G ( 7); H ( ) 0 x 5 α + α + ε = 80 ; (Stufenwinkel n prllelen Gerden) α = 80 5, =, α + α + β + _ β = 80 (Winkelsumme im Dreieck) β = (80, 5, ) _ = 0,5 δ = _ 0,5 = 5,5 x = x x ( + ) x + x + = 0 Die Gleichung ht nur eine Lösung für D = ( + ) = 0 = x = x x _ x + x + = 0 x + x + 9 = 0 ( x + ) = 0 x =,5; y = 0,75; (,5 0,75). Vektoren S. 9 ) Die Pfeile sind prllel, gleich lng und gleich gerichtet. ) Die Pfeile symolisieren die Geschwindigkeit des Flugzeugs. Es genügt, einen Pfeil zu zeichnen. c) Mn knn die Flugrichtung mitteilen. Es fehlt die nge des etrgs der Geschwindigkeit. S. 95 H G ) von jeder Ecke us knn mn sieen Pfeile zu den nderen Ecken zeichnen. Es git lso 7 8 = 5 Pfeile. ) = D = _ EF = HG ; = _ FE = D = GH ; D = _ = EH = _ FG ; E D = _ = HE = _ GF ; _ E = _ F = G = DH ; _ E = _ F = G = F HD ; H = G ; H = G ; _ = _ EG ; _ = _ GE ; _ F = DG ; _ F = D GD ; G ; G ; D = _ FH ; D = _ HF ; _ E = H ; _ E = H ; H ; H ; _ F = _ DE ; _ F = _ ED ; _ E ; _ E ; _ DF ; _ FD Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

5 Schüleruchseite 95 Lösungen vorläufig ) ) = ( ) = ( 5 ) ; D = ( + x _ = ( 0 ) = ( ) ; D = ( + D Ds Viereck ist ein Prllelogrmm. x + ) = ( ) ) = ( 5 ) ) = ( 0 ) = ( 0 ) ; = 0 ( c) = ( ) ; = ( ) ) = ( 5 = ( + + x D 5 _ D = ( ) ) = ( ) ; = ( ) ) ) = ( = ) ( ) x x Die ussge ist flsch. Die Längen der Pfeile, die und _ repräsentieren, sind _ zusmmen mindestens so lng wie der Pfeil zu _. (Dreiecksungleichung) 7 = = 5 8 ) = D ; _ ; D = _ ; _ E = _ F ; _ F = _ E E = D ; _ ; D = _ ; _ E = _ F ; _ F = _ E D ; _ E = _ FD ; _ F = _ ED ; _ EF D D ; _ E = _ DF ; _ DE = _ F ; _ FE (8 verschiedene Vektoren) F Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

6 Schüleruchseite Lösungen vorläufig ) ; _ ; D D ; _ ; D _ ; _ ; D D ; D ; D ( verschiedene Vektoren) 9 ) Der Springer knn 8 verschiedene Züge mchen, der Turm verschiedene Züge (7 wgerecht, 7 senkrecht). ) Individuelle Lösungen. 0 Für ein gleichschenkliges Dreieck muss der Pfeil für senkrecht zum Pfeil für sein. Für ein gleichseitiges Dreieck muss die Länge des Pfeils für ml so lng sein wie der Pfeil für. _ x _ x = ) = ; ( 5) = ( ) = ; ( ) _ = ( ) = ; ( ) ) = = ) ,7 c d : c = ,7 c d = ,9 c d = 0,7 c d c, flls,, c, d > 0 _ c c) x y 5 x y 7 = x y 5 ( x y )= x y y ( x y ) ) ) c) d) e) f) g) h) Grdmß ogenmß π_ 0, _ 9 π 7,59 8_ π 8,8 _ π, 5_ π,9 7_ π 5,50 _ π,0 _ π,0 ddition und Sutrktion von Vektoren S. 9 S. 98 nch : Gehe nch rechts in x -Richtung, nch unten in x -Richtung. nch : Gehe nch rechts in x -Richtung, nch oen in x -Richtung. nch : Gehe 5 nch rechts in x -Richtung, nch unten in x -Richtung. Für die ewegung von nch in x - und x -Richtung müssen die efehle für die ewegung von nch und von nch ddiert werden. G = + c ; _ E = + + c ; _ FH = + c ; _ F = ; DG = c Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

7 Schüleruchseite 98 Lösungen vorläufig ) _ PR ) 0 c) _ PG RQ = PQ + QR = _ PR d) _ RP e) _ PS f) RQ g) _ h) PQ _ RS _ PR = _ SR + _ RP + PQ = SQ = ; = P d c = c ; _ = c D = d ; D = D _ d _ = c ; _ = c D = d c ; D = c d 5 ) ( 7 ) ) ( 0 9 ) c) ( 5 ) ( = ) ( 7 ) = ( ) _ _ = ( ; ) _ = ( + ) _ ; _ = _ ( ) ) ( ) ) (9 0 ) c) ( 9 8) d) ( 70 8) 7 ) ( + ) ( = ) ( 7 ) ) ( 5 ) ( 5 7 = ) ( 7 c) ) ( ) ( 5 7 ) ( 8 = ) ( ) d) ( ) + ( 8 ) ( ) = ( ) e) ( ) ( ) + ( ) = ( 7 ) f) ( 8 ) + ( ) + ( ) = ( 8 ) _ = ; ( 0 ) = ( ; ) + = ( 0 Q S (0 ) _ ) Q Q ( 5); P = R = ( 5); R ( 5 9) P + R = P R ) = ( ; = ) ( 7 ; + = ) ( S ( 9) S 9 ) Q ( 9 ); P = R (5 7) ; R ( ) ) 9 ) + _ _ + d c c d c d c d ) c) c c _ c c c _ c d d c d + _ c + d _ c + d _ c d _ + c d c d 0 ) ( ); D ( ); E ( ); F ( ); G ( ) ) M ( 0,5); N ( ); S ( ) ; MN = ( ;,5 ) MS = (,5 ) ; NS = ( ) Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

8 Schüleruchseite 99 Lösungen vorläufig S. 99 = y z ; = x y + z ; c = x + y _ S = _ + _ S S = D S = D + _ S D ) gleiche Krft: doppelte Krft: _ F 0 β _ F _ F + F F _ F _ F + _ F β, ) eim Winkel 80 wird der Mnn mit der geringsten Krft gezogen, weil die Kräfte entgegenwirken. _ F _ F _ F _ F 50 N α = 0 50 N α = 0 5 Der Pfeil für F ist ( )ml so lng wie die Pfeile für _ F, F F und F F + F + F = F F. _ Die Pfeile für die Kräfte der Hoysportler sind ,805 ml _ F so lng wie die Pfeile der Profisportler. Jeder Hoysportler muss mit mindestens 80,5 % der Krft des Profisportlers ziehen, dmit die Gruppe nicht verliert. Die Repräsentnten von und schließen einen Winkel von 90 ein. _ ) f (x) = (x + ) (x ); x = ; x = ) g (x) = (x + ) (x ); x = ; x = c) k (x) = x (x ) ; x = 0; x = d) h (x) = x ( x )( x ); x = 0; x = ; x = e) s (x) = 0 x (x + ); x = 0 f) d (x) = x (x ) (x ) ; x = 0; x = ; x = g) f (x) = 5 x (x + ) (x ); x = 0; x = ; x = Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

9 Schüleruchseite 99 0 Lösungen vorläufig 8 ) I II ) I II _ x 5 y + = 0 ; I _ x 5 y + = 0 _ x = y + II _ x y = 0 x_ _ y = 5 ; I x y = II I II: y + = 0 y = ; x = I II x_ _ y 5 = 0 x y = 0 _ x = 0 x = 8; y = 9 P (E) = P (E) = ( 5_ ) 0,5 (E: Mindestens ein Würfel zeigt die ugenzhl.) Multipliktion eines Vektors mit einer Zhl (S-Multipliktion) S. 00 S. 0 ) _ Q _ = r_ P r > 0 (Strhlenstz) _ Q = r _ P ) Q = Q ; der Repräsentnt von Q ist uch r-ml so lng wie der Repräsentnt von P. Q = r P. ) ) ( 0, ) ) ( ) _ 7,5 e) ( 0 _ 5 ) f) 8,5 ( 9 c) ( c ) d) ( ) ) _ ( ) ) _ 0 ( 50 c) 5 ) ( 9 d) ) _ ( 88 0 ) S. 0 ) ( ) ( 8 + ) ( = ) ( ) ) ( + ) ( 8 8 ) + ( 9,5 ) = ( 0 7,5 ) c) ( 8 + ) ( ) ( 0,5 = 0,5 ) ( ) ) ) x x x x = r = r = = r_ = r (Strhlenstz) = r (eweis nlog) = r _ = r ( ) = ( r ehuptung. r ) = r, r < lässt sich durch = ( r) ( ) uf den in Teilufge ) egründeten Fll zurückführen. Es gilt lso: r = ( r) ( ) und dmit r ( ) = ( r) ( r ( ) = ( ) r ( )) = ( r r ) ) x = ) x = _ c) nicht lösr d) x = _ e) x = 0 f) x = 7 _ M = _ + = _ + _ ( _ _ )= _ + = + = _ ( _ + _ ). Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

10 Schüleruchseite 0 Lösungen vorläufig 8 ) M 5 x M M x _ M = _ ( + + _ M = _ ( _ M = _ ( + ) = _ ( 0 0 ) = ( ) = _ ( ) = ( + ) = _ ( ) = ( ) M = (0 0 ) ) M = ( ) ) M = ( ) x ) [] ist prllel zur x x -Eene. 9 ) 0 ),8 + 8,, c c) + d) 9 + e) u 0 v 0 ) + ) = ( ) ; = ( 0 ) ; c = ( ) ; d = ( ) x d c _ _ c d _ + x 5 c) + d) = ( ) ; = ( 5 ) ; c = ( 7,5 ) ; d = ( ) 5 x _ + _ d c c _ d 5 5 x ) richtig, d = ) flsch; = 0 c) flsch; 0 = 0 d) richtig, siehe c) e) flsch; = _ _ f) flsch; + _ + _ = 0 Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

11 Schüleruchseite 0 0 Lösungen vorläufig = ( ) ; = ( ) ; c = (,5 ) ; d = ( ) ) ( ) + ( ) = ( 0 ) ) ( ) ( 8 ) = ( 0 ) Die Zeichnungen sind nlog zu ufge 0 uszuführen. c) (,5 ) ( ) = ( 0,5 ) d) ( 0,5 ) ( ) + ( ) = (,5 ) S. 0 _ = ; _ = ; c = = MN = _ + _ = _ ( )= = _ c Somit gilt uch MN. ) x = ( c) ) ( ) = 5 ( x = _ ( ) ( 9 ) 5 ( = 5 Individuelle Lösungen 0 ) ) x = ( ) ) + ( 0,5 + ) ( ) = (,5 ) = _ S _ S ; _ = _ S _ S ; D = = _ S _ S ; D = _ = _ S _ S ; _ SD = _ S + D = _ S + _ S _ S 7 ) D P () [MN] [] [RP] Stz üer Mittellinie im Dreieck () [MR] [D] [NP] N us () und () Viereck MNPR ist ein Prllelogrmm. R M ) _, _, und _ D sind die rtsvektoren der Eckpunkte,, und D des Vierecks. () MN = _ N _ M = _ ( _ + ) _ ( _ + _ )= _ ( _ () _ RP = P _ R = _ ( + _ D ) _ ( _ + _ D )= _ ( _ ) ) MN = _ RP Viereck MNPR ist ein Prllelogrmm. c) Die Üerlegungen zw. Rechnungen gelten für Vektoren im Rum eenflls, denn es wurden für sie keinerlei Einschränkungen gemcht. 8 ) D ist rechtwinklig (Thleskreis) D = ( _ 5 )= 0 ) _ = = ; D = _ h = 0 h = _ 0 c) Schnittpunkt der Digonlen sei N. Der Schnittpunkt S der Winkelhlierenden des Winkels N mit [] ht von den Digonlen den gleichen stnd. Ist ds Prllelogrmm D ein Rechteck, so hliert S die Seite []. 9 f (x) = _ x + x + = _ (x + ) + ; S ( ) Die Prel ist mit dem Fktor _ gestreckt und nch oen geöffnet. Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

12 Schüleruchseite 0 05 Lösungen vorläufig 5 etrg von Vektoren, Länge von Strecken S. 0 _ PQ = (7 ) + ( ) = ) d = = ) D = = S. 05 = _ 0 = _ ( ) ; _ 0, = 5 0 = ( 0,8) ; c = _ c 0 = _ ( 5 ) ; d = _ d 0 = _ _ ( ) = ( 0,8 0, ) ; x = _ x 0 = _ y = 7 _ y 0 = _ 7 ( ) ; u = 0, _ u 0 = _ ( ) ( v = _ V 0 = 9 ( ) ; ) , , ,5 ) _ = ; _ = ; _ = Dreieck ist gleichschenklig ) _ = ; _ = ; _ = c) _ = ; _ = ; _ = d) _ = ; _ = ; _ = Dreieck ist gleichschenklig 5 _ PQ = (p 5) = (p 5) = ; () p 5 = p = 7 P (5 0 7) () p 5 = p = P (5 0 ) u = r _ r v v = ( r v ; r v ) _ 7 _ + u = (r v ) + (r v ) + (r v ) = r v + 8 ) x ) _ = = ; _ = = ; _ = = ; _ + = x x Ds Dreieck ist gleichschenklig rechtwinklig. 9 _ = ; _ = = = ; = ; = _ = = = ; = Für = und = ist ds Dreieck gleichseitig. 0 _ XM = ( x ) + ( x ) + ( x ) = ( x ) + ( x ) + ( x ) = 9 Mögliche Lösungen: ( 0 ); ( 0 ); ( ) Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

13 Schüleruchseite Lösungen vorläufig ) k = ( + k) + (,5 + k) + ( k) = ,5 + 7 k _ k = _ k für lle k * R k = ( + k) + (,5 + k) + ( k) = ,5 + 7 k ) _ = = 7 k = 7 7 k +,5 = 9 k _ =,75 7 ; k,7; k,7 Für k,7 oder k,7 ist ds Dreieck k gleichseitig. c) Wenn ds Dreieck k gleichschenklig ist, muss k uf der Mittelsenkrechten zu [] liegen. r = Kugelrdius; R = Zylinderrdius h_ r = 8_ r 5 h = 8_ 5 r _ r 5 R + ( _ 5 r ) r = r R = 9_ 5 r R = _ 5 r R V K = _ r π; V Z = ( _ 5 r ) 8_ 5 r = 7_ 5 r π V Z _VK = _ 7 5 = _ 5 5 = 0, Der Zylinder füllt, % des Kugelrumes us. ) (0 ); ( 0) g : y = x ) Prelgleichung: f (x) = x + x + c * G f c = * G f 9 + = 0 = + Zur estimmung der. Vrilen fehlt noch die nge eines Punktes des Grphen. f (x) = x + ( + ) x ( ) * G f + ( ) = = f (x) = x + x f (x) = (x x ) ( x + ) x + = x x für x _ G f ist eine Prel mit dem Loch ( _ _ ). y = x x = (x,5),5; S (,5,5) Sklrprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln S. 0 S. 08 ) sin 7,5 = h_,5 h =,5 sin 7,5, cos 7,5 = x_,5 x =,5 cos 7,5,78 = (c x) + h = (,8,78) +, =,9 ) = _ sin α + ( c cos α )= _ sin α + c _ _ c cos α + cos α _ (sin α + cos α) + c _ c cos α = _ + c _ c cos α = ) ) c) d) 0 ) ) 5 c) 0 d) 8 e) f) ) cos α 0,55 α 0,79 ) cos α 0, α 5,5 5 d = cos 0 = ; g = cos 0 = ; d g = cos 0 = ; e g = = 8; e = = Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

14 Schüleruchseite Lösungen vorläufig ) = ( ) ; = ; _ = ( ) ; _ = ; _ = ( ) ; _ = α = 78,7 ; β =, ; γ = 59,0 ) = ( 9 ) ; = ; _ = ( 8 ) ; _ = ; _ = ( 7 ) ; _ α = 09,7 ; β = 9,7 ; γ = 0, c) = ( ; ) = ; _ = ( ; ) _ = ; _ = ( ; ) _ α =, ; β =,8 ; γ =,8 = = S = ( d = ( d = ( = ; ) = ; ) ) ( ) ( ) ( ) = + = 0 d ; c = ( c ) ( ) ( ) ( c = ( d = ( ) = 0 = ) + = 0 = r ( ) = = 0 ) c ; = ; ) = ) c) + = 0 = d) + + = 0 ; = r = r; = ( r r ) 9 = 0, wenn mindestens ein Fktor gleich null ist. = 0, wenn oder mindestens ein Vektor gleich dem Nullvektor ist. 0 Dreieck : = ( 0 = Dreieck DEF: _ DE = ( 0 ) ; _ = ( 0 ) ; _ = ( 0 ) 5 ; _ = ; _ = cos α = _ α 50,8 ; cos β = _ 0 β 78, cos γ = _ γ 50,8 _ DE = ) ; _ DF = ( 0 ) ; _ FE = ( 0 ) 5 ; _ DF = ; _ FE = cos ¼ EDF = _ ¼ EDF 7, ; ¼ DFE 7, cos ¼ DEF = _ 0 ¼ DEF,8 ; () x + x + x = 0 x = x =,5 () x + x = 0 x = 0,75 ) nloge Vorgehensweise wie in ) ; _,5 n = 0,75 r ( n = r ( 5 ) = ) _ r ( ) ) flsch; = 0 und 0, 0 ) richtig, denn ist nur definiert für 0 und 0 c) flsch; knn uch senkrecht zu c für 0 sein. d) richtig; Stz des Pythgors in vektorieller Form Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

15 Schüleruchseite 09 0 Lösungen vorläufig ) x ) M (,5,5) G H M =,5 ; (,5 ) M = ,5 M = (,5,5 ) ; x M = ,5 D 5 M E M =,5 ; (,5 ) F M = ,5 5 cos α ¼ M = _,5 ¼ M 0, 7 8 _ cos α ¼ M = 7,5,5 ¼ M 07,8 x c) d = d) Wegen der Symmetrie im Quder knn mn eine elieige Rumdigonle herusgreifen, z.. [G] ¼ ( G, _ ) 7, ¼ ( G, _ F ) 5,9 ¼ ( G, H ) 0, c = + ( + ) = + c = _ + + = +, d = 0, 5 () = + + = + + = () ( r ) = r + r + r = r ( ) + r ( ) + r ( ) = r ( + + ) = r ( ) () ( + ) c = ( + ) c + ( + ) c + ( + ) c = ( c + c + c ) + ( c + c + c ) _ = cos α = = c + c = _ = _ = _ 0 _ = ( _ 0 ) _ 0, weil für α < 90 _ 0 > 0, d. h. _ und _ 0 sind gleichgerichtet. 7 ) ( _ + für 90 < α 80 _ 0 < 0, d. h. _ und _ 0 sind entgegengesetzt gerichtet. + ) ( )= = 0 für = S. 0 8 ) v = _ w tn α = _ α 8, ) t = _ 00,5 m_,7 s s c) s = 0,5 m_ s _ 00 s, m zu ) v zu d) α w = v + w β d) β = 90 α 7, Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

16 Schüleruchseite 0 Lösungen vorläufig x 9 Sprren: _ 0 s =,5 Windrispe: (,5 ) ) s 0 ) k = ( + k + k + k k = ( + k + k + k ) ) ) v = ,05 9, [m] cos α =,5 _ 5,58 α 5,8 k = ( + k) + ( + k) + ( + k) = k = k k = k ; ) = ( ) ; = ; k = wenn k = k = ± Für k = oder k = ist ds Dreieck gleichseitig. c) M ( ) d) M k = ( k k k ) M k = ( ) ( k k = k + k 8 k = 0 k ) M k x 7,5 v =,5 (,5 ) Vermutung: die Dreiecke k sind gleichschenklig. k = ( + k,5 + k ) ; k = ( + k) + (,5 + k) = ,5 + 5 k x v x 0,5 0 x α k = ( + k,5 + k ) ; k = ,5 + 5 k = k ( ); 0 ( ); 0,5 (,5 0) ) rechtwinklig: k k = 0 ( + k) ( + k) + (,5 + k) (,5 + k) = 0 k = ± 0,5 ds Dreieck k ist für k = 0,5 oder k = 0,5 rechtwinklig. gleichseitig: = ( ) ; = 5; k = 5 wenn ,5 + 5 k = 5 k = ± _ ds Dreieck k ist für k = _ oder k = _ gleichseitig. c) 0 k = ( k k ) ; o k = k k = 0; D 0 ( ) Mittelpunkt von [] ist, liegen lle Punkte k uf der Mittelsenkrechten zu []. ) lle Dreiecke k sind gleichschenklig ) ( M M ) ( M + M )= M M = 0, weil M = M = lso gilt _ _. ) _ _ ( M M ) ( M + M )= M M = 0 M = M, d. h. liegt uf einem Kreis mit dem Durchmesser []. Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

17 Schüleruchseite 0 Lösungen vorläufig (r + g) = r + ( r g) g = _ r r weiße Fläche: r π + ( _ r ) π = _ 9 r π r r g g r g _ lue Fläche: ( r) π _ 9 r π = 5_ 9 r π nteil der luen Fläche: 5_ 9 r π _ r π = 5_ 8 7,8 % ) h = r s = r + r = r M = r π h s r h h = r ; r = h h r = _ r ; s = ( _ r ) + ( _ r ) = r M = r _ r π = r π r 7 Ds Vektorprodukt Mntel des Kegelstumpfs: r π r π = r π ) V k = _ r π r = _ r π V = _ ( _ r ) _ r π = _ r π V Rest = V k V = _ r π _ r π = ( _ _ ) r π Verhältnis der eiden Teilkörper: _ _ _ = _ = _ = 90000,8 Der Kegelstumpf ist c.,8 ml so groß wie der geschnittene Kegel. S. S. ) = + = 0, lso = = = 8 ) geometrisch: jeder Pfeil senkrecht zur Prllelogrmmeene repräsentiert einen der gesuchten Vektoren n ; es git lso unendlich viele Vektoren n. rechnerisch: _ n n = n ( n ) n : () n + n + n = 0 n : () n + n n = 0 ) = ( 9 ; ) c = ( 0 _ () + (): n + n = 0 z.. n = r n = r; in (): r r n = 0 n = _ r n = ( r _ r ) ; z.. r = n = ( _ r ) 9 = ( ) ; ) ( c )= ( 7 ) ; ; ) c = ( 0 5 ( ) ) c = ( 0 ) ) = ( ) ; _ = ( 0 ; ) ) = ( ) ; _ = ( 0 ) ; c) = ( ) ; _ = ( ) ; = _ _ = _ 8 ( 8 ) = = _ ( 0 ) = = _ ( 7 8 ) =, Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

18 Schüleruchseite Lösungen vorläufig ) = = 7 ( ) ; = _ = ( ) ; c = D = ( 0 ) ; V = _ ( 7 ) ( 0 ) = _ 5 = 9 ) = = ( ) ; = _ = ( 7 ) ; c = D = ( 8 8 ) ; V = _ ( 9 0 ) ( 8 8 ) = _ 7 98 = 5 ) ) = ( 0 ) ( x 0 ) = 8 8 = 0; S ist rechtwinklig. c) Die Grundfläche der Pyrmide liegt in der x x -Eene; d S ( 5), eträgt h = 5 (x -Koordinte). d) = ; x = V = _ ( _ ) 5 = _ 0 5 = _ 50 x lterntiv: V = _ ( ) S = 50 _ = ( 0 x 0 ) ; zeigt in Richtung Dumen und in Richtung Zeigefinger, so zeigt _ in Richtung Mittelfinger. x x 7 Individuelle Lösungen. Vgl. uch ufge ). Wenn nicht = = c gewählt wird, zeigt jedes eispiel: ( ) c ( c ). S. 8 ) c = = ( 5 ) ) Å Å ) _ c r _ = r ( Å Å nlog: _ c r = 0 ( ) = r ( + + )= r 0 = 0 9 ) = ( ) ( + c )= ( ) ( ; _ ( ) ( ) ) ( ) = ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( + c ) ( + c ) ) ( + c ) ( + c ) ( + c ) ( + c ) ) ( + c ) ( + c ) ) + ( + c ) ( + c ) ( + c ) ( + c ) (r ) (r ) ) (r ) (r ) = (r ) (r ) r ( ) = r ( ) + c = ( c) r = ( ( c c c c c c ) ( = = ( + c ) Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

19 Schüleruchseite Lösungen vorläufig,5 ) = ( ) ( ) liefert keine Lösung. c : (I) c + c c = 0 c _,5 (I) + (II): 0 = 0 : (II),5 c c + c = 0 Die Gleichungen sind äquivlent. Es können zwei der drei Vrilen frei gewählt werden. r c =,5 r + s ; ( s ) 0 = ( z.. _ ) ; _ c = ( 5 ) sind Lösungen, die in verschiedene Richtungen weisen. Geometrische egründung: =,5 ; Zu einer Richtung im Rum git es unendlich viele verschiedene senkrechte Richtungen. c = ( r ( + r )= + r = + r ( )= + r 0 = Ds schwrze und ds grue Prllelogrmm hen den gleichen Flächeninhlt. = ( 0 8 ) ; ( x y ) = r ( 0 r = 8 ) _ ; somit x = 7,5, y = c = 7,5 ( ) ) = ( ) ; _ = ( ) ; D = ( ) ; D = ( ) = D ; _ = D ; = D = _ = D = ; _ = ( ) + + = 0 ) k S k =,5 + k ; (,5 k ) + k S k = 0,5 + k ; ( 0,5 k ) k S k =,5 + k ; (,5 k ) S k = S k = S k = DS k = ,5 + 9 k c) D = ( ) = ( ) d) _ M = _ ( _ + )=,5 ; M (,5 0,5) ( 0,5 ) MS k und D werden durch prllele Pfeile repräsentiert. MS k git die Höhe der Pyrmide n. e) V = _ G h = MS k = _ k = 9 k k MS k = k = ( ) k ( oder: V = _ ( ) ( ) ( k,5 + k,5 k = ) _ ( ) ( k,5 + k,5 k D ist ein Qudrt. + k DS k = 0,5 + k ( 0,5 k ) ) = _ k ) k 9 k + 9 k = 9 k Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

20 Schüleruchseite 5 Lösungen vorläufig ) flsch; Gegeneispiel: (0 0 0 ); ( ); ( 5 ); D ( ); = ( ) ; D = ( ) ; D = ( 0 ) ; D = = ) richtig; V ist ls Summe von Produkten gnzer Zhlen eine gnze Zhl. V = ( ) ( ) 5 c ( c = ( c ) ) c + ( ) c + ( ) c. c) ( c )= ( c c ) + ( c c ) + ( c c ) = ( c + c + c ) ( c + c + c ) c = ( ) c + ( ) c + ( ) c = ( c + c + c ) ( c + c + c ) lso gilt sogr: ( c )= ( ) c 5 ) flsch; ( r )= 0 ) richtig; ( r )= r ( )= r c) richtig; siehe Teilufge c) d) richtig; = und r = r _ ) D () D (0) = 0,9; _ D () D () 0,9; _ D () D () 0,9; _ D () 0,9; D nimmt lso exponentiell. D () D (t) = 70 0,9 t ; D (t) = T (t) 0 T (t) = ,9 t ) 0 = ,9 t _ 7 = 0,9 t lg 7 t =,9 lg 0,9 Nch Minuten ht der Tee eine Tempertur von 0. 7 ) flsch; f: x x k, k * Z; G f ist chsensymmetrisch ezüglich der y-chse. f: x x k +, k * Z; G f ist punktsymmetrisch ezüglich des Koordintenursprungs. ) flsch; eine gnzrtionle Funktion 5. Grdes ht höchstens 5 Nullstellen ; Gegeneispiel: f: x x (x + ) (x ) (x + ); f ht nur Nullstellen. c) richtig; eine gnzrtionle Funktion. Grdes ht für sehr große x-werte (x + ) und sehr kleine x Werte (x ) unterschiedliche Vorzeichen für die Funktionswerte. lso muss der Grph mindestens einml die x-chse schneiden. 8 Kreise und Kugeln im Koordintensystem S ) x 0 ) lle Punkte des Kreises hen von M den gleichen stnd. M ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. c) lle Punkte des Rumes, die von zwei festen Punkten den gleichen stnd hen, liegen in der Symmetrieeene dieser Punkte. Diese Eene geht durch den Mittelpunkt der Verindungsstrecke und ist senkrecht zu dieser Strecke. d) Zur Festlegung eines Kreises gehören drei Punkte (siehe Konstruktion). M erhält mn ls Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten. Zwei Symmetrieeenen schneiden sich in einer Gerden. Zur eindeutigen Festlegung des Mittel- punktes rucht mn eine. Symmetrieeene. Mn rucht lso vier Punkte zur Festlegung x einer Kugel Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

21 Schüleruchseite 7 Lösungen vorläufig S. ) ( x x ) ( 5 ) 5 = 9 ; (x 5) + (x ) = 9 ) ( x x c) ( x x ) ( ) 5 e) ( x x ) ( ) 5 x f) ( x x ) ( ) 5 x ) x x =,5; (x ) + (x ) + (x + ) =,5 d) ( x ) = 5; (x + ) + (x + ) = 5 = 9; (x ) + (x + ) + (x ) = 9 = ; x + x = = ; x + x + x = ) K: (x ) + (x ) + (x 7) = 5 : ( ) + ( ) + ( 7) = 9 + = 5 liegt uf der Kugel; nlog: _ M = < 5 liegt innerhl der Kugel; _ M = 0 > 5 liegt ußerhl der Kugel. ) K: (x + ) + (x + ) + (x ) = _ M = 0 > liegt ußerhl der Kugel; _ M = 8 > liegt ußerhl der Kugel; _ M = < liegt innerhl der Kugel. K: (x ) + (x + ) + (x ) = 50 ) ( ) + ( + ) + (c ) = 50 (c ) = 0 c = ) ( ) + (c + ) + ( ) = 50 (c + ) = 5 c + = 5 oder c + = 5 c = oder c = 8 c) (c ) + (c + ) + ( ) = 50 c + c = 0 c =, c = 5 K: (x m) + (x m) = ) m + m = m = ; m = ; m = ; K: (x ) + (x ) = oder K: (x + ) + (x + ) = ) ( 7 m) + ( m) = m + m + 9 = 0 (m + ) = 0 m = K: (x + ) + (x + ) = r = d = _ = (5 + ) + (5 + ) = = 0 r = 5 _ M = _ ( _ + _ )= _ ( ) = ( ) K: (x ) + (x ) = 5 S. 7 7 K : x ( 5 ) 5= Kreis mit M (5 ) und r = K : x ( 5 0 ) 5 = Kugel mit M (5 0) und r = K ist die Gleichung des Schnittkreises der Kugel K mit der x x -Eene. Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

22 Schüleruchseite 7 Lösungen vorläufig 8 ) Der Mittelpunkt muss uf der Winkelhlierenden des I. und III. Qudrnten liegen, lso M (m m), der Rdius ist m. K: (x m) + (x m) = m P ( ) * K: ( m) + ( m) = m m m + 5 = 0 m =, m = 5 K : (x ) + (x ) = K : (x 5) + (x 5) = 5 ) K: (x m) + (x r) = r P ( ) * K: (I): ( m) + ( r) = r G ( ) * K: (II): ( m) + ( r) = r K: (x + ) + (x ) = (I) (II): ( m) ( m) = 0 m = in (I): + ( r) = r r = 9 _ M M = = ; _ M M (r + r ) = 0 = Der stnd der Kugeln ist. 0 K: ( x _ m ) = 5 _ m = ( ) ; m = ( ) ; m = 5 ( 0 0 ) ; m = 5 ( 0 nstz: (x m) + (x ) + (x ) = 9 0 ) ; m 5 = ( ) ; m = ( 0 0 P (5 9) * K: (5 m) + ( ) + (9 ) = 9 (5 m) = 9 m = (oder m = 8) M ( ) ) r = _ d = PQ = _ ( ) () = _ 8 = 9 M = _ ( P + _ Q )= ( ) ) nloge Vorgehensweise; K: x ( 0 ) 5 = 9 K: (x + ) + x + (x ) = 9 5 ) K: (x ) + (x ) + (x ) = 8 K: x ( ) 5 = 8 Im Rum ist die x -Koordinte frei wählr. Deshl eschreit die Gleichung x + x = 00 einen nch oen und unten unendlich lngen Zylinder mit der x -chse ls Zylinderchse und dem Rdius r = 0. Rdius der eineschrieenen Kugel r =,5; sp.: (x +,5) + (x,5) + (x,5) =,5 Rdius der uneschrieenen Kugel r =, ; sp.: (x +,5) + (x,5) + (x,5) = 8,75 5 Im Weltll dehnt sich die Flmme wegen der fehlenden Schwerkrft nch llen Richtungen gleich strk us. In der Erdtmosphäre sind die erwärmten Teile der Flmme leichter und steigen nch oen. Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN

23 Schüleruchseite 7 9 Lösungen vorläufig ) ) V = _ ( ) = 5 x x x _ = 8 _ ( 0 ) ( 0 ) = ( ) = c) K: x + x + x = Hier lohnt eine Drstellung des kteders mit Vektoris, ei dem mn ds ild drehen knn. 7 ) X _ X ) Y 0, 0,5 0,5 _ Y 0, 0,5 0,75 0, 0, c) P (x y) = 0, P (x) P (y) = 0, 0,5 = 0, 0, 0, x _ x 0,5 0,75 0,5 0,75 y _ y y _ y 0, 0, 0, 0, 0,5 0,75 _y 0, 0, 0, 0, x und y sind (stochstisch) unhängig. Die Multipliktionstfel stimmt mit oiger dditionstfel üerein. y x _ x x _ x 0, 0,5 0, 0,5 8 ) 0,5 x x + xz = x ( 0,5 x + z) x ( 0,5 x + z) flsch ) x ( + ) = x + x x + x x flsch c) v (t x) = v t + x richtig d) x + x = (x ) (x + ) = ( x) ( + x) richtig e) 5, +,9 t + 0,5 t = 5, + 5, t 0,5 t flsch 9 β + 0 = 80 β = 50 δ = β = 50, ε = = 0 Them: Vektoren in der Physik S. 9 0 k k ) Im Gleichgewichtsfll gilt _ M = 0 ) _ M = ( 0 0 ) ( 0 0 ) + ( 0 ) ( 0 0 ) + ( 8 k = 0 k =,5 _ ) ( 0 0 ) = ( 0 0 ) + ( 0 0 ) + ( 8 0 k = 0 ) ( 0 8 k 0 ) 0 F =,5 = 7,5 ( ) Ernst Klett Verlg GmH, Stuttgrt Lösungen und Mterilien Klsse ISN