G1 Trigonometrie. G1 Trigonometrie. G1.1 Die trigonometrischen Grundfunktionen und ihre wichtigsten Eigenschaften

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1 G1.1 Die trigonometrischen Grundfunktionen und ihre wichtigsten Eigenschften Seitenverhältnisse und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken Beispiel: Wenn in einem Dreieck ABC zum Beispiel die Seite genu so groß ist wie die Seite c, dnn knn mn üer die Gestlt des Dreiecks, insesondere z. B. üer den Winkel, nichts ussgen (vgl. Skizzen). c Dgegen ist der Zusmmenhng zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken eindeutig: C C' ' A c B B' Die Dreiecke ABC und AB C sind ähnlich, d. h. sie stimmen prweise in den Seitenverhältnissen und den entsprechenden Winkeln üerein. Mn erkennt: In llen rechtwinkligen Dreiecken, die in einem spitzen Winkel üereinstimmen, sind die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich. Der Wert eines Seitenverhältnisses kennzeichnet den zugehörigen Winkel und umgekehrt. G111 g11.lwp erstellt m

2 Anmerkung: Zur Unterscheidung der eiden Ktheten heißt die Kthete in Bezug uf den Winkel Gegenkthete, heißt Ankthete. Die dem rechten Winkel (hier ) gegenüer liegende Seite ist die Hpotenuse. Diese Seitenverhältnisse hen esondere Nmen: Si nus Ko sin us Tngens Gegenkthete von Hpotenuse Ankthete von Hpotenuse Gegenkthete von Ankthete von ; sin c ; cos c ; tn c : c sin : cos Für esondere Winkel lssen sich die Werte der trigonometrischen Werte elementrgeometrisch erechnen. Eemplrisch sei der Winkel = 60 gegeen, der entsteht, wenn ein gleichseitiges Dreieck hliert wird. C h A /2 D B Im rechtwinkligen Teildreieck ADC mit dem Winkel gilt h 2 2 ( 2 )2 h 2 3. Drus folgt unmittelr: sin 60 o h 1 2 3, cos 60 o 2 1 2, tn 60o Winkelfunktionen m Einheitskreis Erkennr sind die Winkelfunktionen sin, cos und tn im rechtwinkligen Dreieck nur für spitze Winkel erklärt. Eine sinnvolle Erweiterung ist mit dem Hilfsmittel des Einheitskreises möglich. Dzu lässt mn einen Einheitspfeil um den Koordintenursprung rotieren und eochtet die Koordinten der Pfeilspitze. Die Definitionen der Winkelfunktionen werden dnn wie folgt erweitert: Definition: Ein Punkt P(; ) mit dem Astnd r = 1 vom Koordintenursprung ht die Koordinten Co und sin, d. h. es gilt cos und sin, wenn gilt. G112 g11.lwp erstellt m

3 Vernschulichung: Dmit ergeen sich unmittelr folgende Vorzeichenregeln für die Winkelfunktionen in den einzelnen Qudrnten, wenn zudem tn cos sin erücksichtigt wird: Qudrnt sin Co tnn I II III IV Aus Smmetriegründen folgt zudem für spitze Winkel: sin(180 o ) sin sin(180 o ) sin sin(360 o ) sin cos(180 o ) cos cos(180 o ) cos cos(360 o ) cos tn(180 o ) tn tn(180 o ) tn tn(360 o ) tn G113 g11.lwp erstellt m

4 Mit den Üerlegungen wie weiter oen lssen sich leicht uch Winkelfunktionen von negtiven Winkeln und von Winkeln, die größer sind ls 360, definieren: sin() sin cos() cos tn() tn sin(k 360 o ) sin cos(k 360 o ) cos tn(k 360 o ) tn, wenn k eine gnze Zhl ist. Weitere Zusmmenhänge: sin cos(90 o ) cos sin(90 o ) Ds Bogenmß des Winkels Winkel werden ülicherweise in (Grd) gemessen, ei dem ein rechter Winkel 90 misst, doch ist dies nicht ds einzige Winkelmß. So git es noch ds Neugrd, ei dem ein rechter Winkel 100 (Neu)Grd misst. In der Mthemtik ist vor llem ds Bogenmß des Winkels von Bedeutung: r2 r1 1 2 G114 g11.lwp erstellt m

5 Zu einem gegeenen Winkel ist die Bogenlänge proportionl zum Rdius r, ndererseits ist ei festem Rdius die Bogenlänge proportionl zum Winkel. Dgegen ist der Quotient us Bogenlänge und Rdius nur proportionl zum Winkel und eignet sich deshl zur Beschreiung des Winkels. Definition: Der zu einem Winkel gehörende Quotient us Bogenlänge und Rdius r heißt Bogenmß des Winkels: r. Zusmmenhänge zwischen Grd und Bogenmß: Zu einem Vollwinkel (360 ) gehört eine Bogenlänge (= Kreisumfng) 2r, lso ein Winkel 2, zum Winkel = 1 lso der 360. Teil und zum eliei gen Winkel zw o 2. Beispiele zu Grdmßen und Bogenmßen: im Grdmß im Bogenmß /6 45 /4 60 /3 90 / Anmerkungen: 1. Ds Bogenmß ist lso nichts nderes ls die zu einem Winkel gehörende Bogenlänge im Einheitskreis. 2. Ds Bogenmß ht ls Quotient zweier Längen keine Benennung; eine (künstliche) Benennung ist der Rdint (rd). 3. Die Winkeleinheit im Grdmß ist 1, die Einheit im Bogenmß 1. Ein Vollwinkel (360 ) misst im Bogenmß 2 6, so dss der Einheitswinkel 1 im Bogenmß etws weniger ls 60 misst. G115 g11.lwp erstellt m