Wir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1.

Transkript

1 Trigonometrie In diesem Themenereih wenden wir uns den Winkeln im rehtekigen Dreiek zu. Du hst uf deinem Tshenrehner siher shon die Tsten sin, os und tn gesehen. Doh ws edeuten sie? Ds wollen wir herusfinden. Der Einheitskreis Wir hen ein Koordintensystem mit der x-ahse und der y-ahse. Nun wird ein Kreis geildet mit dem Rdius r1. Der Winkel x spnnt ein rehtwinkliges Dreiek uf. Die Länge der Gegenkthete entspriht nun der Funktion sin(x). Die Länge der Ankthete entspriht der Funktion os(x). Die Streke der Länge AB entspriht der Funktion tn(x). sin: Sinus os: Cosinus tn: Tngens Sinuskurve Nun möhten wir die Sinus- und Kosinuskurve etrhten. Den Tngens lssen wir vorläufig weg. Wie sehen diese us? Die Sinuskurve zeigt die Werte für sin(x) von n. Im untenstehenden Bild sehen wir, ds sin(0) 0 ist. Üershreitet mn 180 werden die Werte der y-ahse negtiv. Wir sehen dss mn die Winkel uh im Bogenmss ngeen knn. Du weißt: Umfng eines Kreises ist rπ, d r1 ist der Umfng genu π. π 360. Dies gilt nur für den Einheitskreis. D. Mrty 1

2 Kosinuskurve Die Kosinuskurve zeigt die Werte für os(x) von Der Wert os(0) 1. Wrum? Weil die Ankthete genu dem Rdius (r1) im Einheitskreis entspriht. Bei os(90) ist der Wert 0. D nun die Ankthete den Wert 0 ht. Anshliessend werden die Werte is os(70) negtiv. Jeder Wert für sin(x) und os(x) ezieht sih lso uf einen estimmten Winkel im Einheitskreis. Winkel im rehtwinkligen Dreiek Wihtig wird nun die Hypotenuse des rehtwinkligen Dreieks. Sie ist im Einheitskreis immer r, lso ht sie immer den Wert 1. Es gilt: sin( Gegenkthete x ) Hypotenuse Hypotenuse () C Gegenkthete () os( tn( Ankthete x ) Hypotenuse Gegenkthete x ) Ankthete A x Ankthete () B Wenn mn lso die Längen der drei Seiten des Dreieks kenn knn mn den Sinusoder Kosinuswert des Winkels x estimmen. Um nun den Winkel (x) zu erhlten nimmt mn den Wert für sin(x) oder os(x) und nimmt jeweils die Umkehrfunktion dvon. Den Arussinus oder den Arusosinus. Auf dem Tshenrehner sehen die Felder so us: sin -1 oder os -1. D. Mrty

3 Aufgen: 1. Zeihne wgreht eine Gerde der 11m. Am Ende der Gerde zeihnest du senkreht dzu eine Gerde der Länge 6m. Zeihne dzu die Hypotenuse und erehne diese mit dem Pythgors. Der gesuhte Winkel ist jener links unten. ) erehne sin(x) mit Hilfe der Formel von oen. ) erehne den Winkel x mit dem Arussinus. ) erehne nun uh os(x) und nshließend den Winkel mit dem Arusosinus. Untenstehendes rehtwinkliges Dreiek sei gegeen. Berehne den Winkel (x) indem du die Ktheten und die Hypotenuse misst. x Berehne nshließend noh den 3. Winkel. 3. Kurzufgen ) sin(63). ) ros (0.567) ) Ankthete 13.m Hypotenuse 16m Wie gross ist der Winkel x? Lösungen 1 Hypotenuse: 1.53m Gegenkthete: 6m Ankthete: 11m ) Gegenkthete 6 sin( x ) ) Hypotenuse 1.53 rsin(0.55)8.61 ) Ankthete 11 os( x ) Hypotenuse 1.53 ros(0.88)8.61 Ankthete 11 os( x ) Hypotenuse ros(0.93).5 3 ) 0.89 ) ) D. Mrty 3

4 Berehnung im llgemeinen Dreiek Nun möhten wir versuhen, Berehnungen im llgemeinen Dreiek durhzuführen. Mit Hilfe des Sinusstzes und des Kosinusstzes. Der Sinusstz Mit dem Sinusstz ist es möglih mit den Angen von zwei Seitenlängen und einem Winkel einen zweiten Winkel zu estimmen, oder mit zwei Winkeln und einer Seitenlänge eine zweite Seitenlänge zu estimmen. Wer die Herleitung des Sinusstzes kennen lernen möhte, der knn dies selständig tun. Im Anhng findest du die Angen. Stz: Die Seite eines Dreieks verhlten sih zueinnder wie die Sinuswerte der gegenüerliegenden Winkel! Den Sinusstz shreit mn formell in der folgenden Shreiweise: : sin( α ) sin( β ) sin( γ ) Drus lssen sih folgende drei Gleihungen konstruieren: sin( α) sin( β ) sin( α) sin( γ ) sin( β ) sin( γ ) Beispiel: Die Seitenlänge eines Dreieks eträgt 8m. Die Seitenlänge eträgt 9m. Der Winkel α ist 5. Berehne den Winkel β! sin( α) 9 sin(5) sin( β ) 0.89 rsin(0.89) Der Winkel β eträgt lso Den dritten Winkel können wir nun sehr shnell uh noh estimmen: γ Bestimmen wir noh kurz die dritte Seitenlänge! sin( γ ) 8 sin(65.56 ) 9. 4m sin( α) sin(5 ) Ist in einem llgemeinen Dreiek eine Seite und ihr gegenüerliegender Winkel eknnt, so lässt sih unhängig vom dritten Bestimmungsstük ds Dreiek uf jeden Fll mit dem Sinusstz vollständig erehnen. D. Mrty 4

5 Kosinusstz Mit dem Kosinusstz ist es möglih mit den Angen der drei Seitenlängen lle Winkel zu estimmen. Ausserdem knn mn, wenn zwei Seiten und ihr eingeshlossener Winkel gegeen sind die dritte Seitenlänge estimmen. Stz: Der Kosinusstz ist eigentlih gleih dem Stz von Pythgors nur für lle Winkel und niht nur für rehtwinklige Dreieke. Es lssen sih folgende drei Gleihungen definieren. Die Herleitung findest du uh hier im Anhng. Studiere diese. + os( α) + os( β ) + os( γ ) Anshließend muss mn noh die Wurzel ziehen! Es lssen sih nun folgende Umformungen der Gleihungen vornehmen: os( α ) + os( β ) + os( γ ) + Beispiel: Ein Dreiek ht die Seitenlängen 6m und 9m, welhe den Winkel α 3 einshließen. Berehne die restlihen Größen. Seitenlänge : + os( α ) os(3) 5.41m m + Winkel β : os( β ) ros( 0.65) Winkel γ : Versuhe nun seler Aufgen zum Sinus- und zum Kosinusstz zu lösen. Auf der nähsten Seite findest du eine Telle, in welher immer drei Angen gemht werden und drei werden gesuht. D. Mrty 5

6 Aufgen α β γ 7,5 45,76 110,58 8, 39,07 83,96 15,83 1,41 75,59 3,74 4,18 31,7 11,4 6,03 15, ,35 56,85 77,75 3,91 36,68 76,47 4,35 13,6 30,8 8,6 8,96 105,1 14,1 3,5 53,13 65,36 44,63 85,44 35,87 30,6 69,54 47,68 5,35 7,11 4,4 7,04 30,30 17,7 14,98 10,75 11,68 18,31 6,00 48,9 36,48 0,3 9,6 59,93 86,86 6,5 7,1 50,00 D. Mrty 6

7 Lösungen α β γ 7,5 9,8 4, 45,76 110,58 3,65 6,18 8, 9,75 39,07 56,97 83,96 15,83 1,41 13,39 75,59 49,40 55,01 3,74 4,18 6,87 8,06 31,7 10, 5,67 11,4 6,03 15,6 147,74 16, ,13 59,49 67,38 1,7 5,35 18,47 56,85 77,75 45,40 3,91 36,68 43,17 47,83 55,70 76,47 6,88 15,18 4,35 13,6 85,19 34,5 64,53 115,47 30,8 8,6 1,77 17,18 8,96 45,83 105,1 14,1 18,8 3,5 36,87 53, ,19 65,36 9,74 49,93 44,63 85,44 3,55 35,87 30,6 58,3 69,54 5, 47,68 5,35 7,11 130,67 3,78 5,55 4,4 8,71 3,45 7,04 30,30 96,3 3,17 53,47 16,53 17,7 14,98 10,75 8,56 59,33 38,11 11,68 18,31 9,34 33,4 10,76 6,00 48,9 36,48 0,3 113,64 43,79,57 9,6 18,5 33,76 59,93 33,1 86,86 6,5 5,83 7,1 58,66 50,00 71,34 D. Mrty 7

8 Anhng: Herleitungen D. Mrty 8

9 D. Mrty 9