5.2 Quadratische Gleichungen
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- Heinrich Reuter
- vor 5 Jahren
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1 Mthemtik mit Mthd MK..0 0_0_Qud_Gleih.xmd Einfhe qudrtishe Gleihungen. Qudrtishe Gleihungen ef.: Eine Gleihung, in der x höhstens qudrtish (in der zweiten Potenz) vorkommt, heißt qudrtishe Gleihung. Gewöhnlihe Form: x x 0 mit den reellen Prmetern, und, woei 0 ie Lösung der qudrtishen Gleihung ie qudrtishe Gleihung wird normlerweise mit der Lösungsformel (Mitternhtsformel) gelöst. ie Formel selst wird mit Hilfe der Methode der qudrtishen Ergänzung gewonnen. Einfhe Gleihungen lssen sih uh fktorisieren (Stz von Viet). Hier wird die Formel hergeleitet und dnn enutzt. s CAS ist ohnedies in der Lge, qudrtishe Gleihungen ufzulösen. x x 0 x x 0 x k x k ( x k) Zu dieser inomishen Formel wird die Gleihung umgeformt x x lso ist k er Term fehlt uns Also wieder weg 0 s heißt qudrtish ergänzt. x x x x x x 0 Alles, ws stört, us der großen Klmmer rus. 0 Vereinfhen. Reste uf die ndere Seite. x Binom usnutzen. x x urh. Huptnenner.
2 Akürzung: Sei (Mit iskriminnte, Bestimmende) Also x Auf der linken Seite steht ein Qudrt. Links knn der Ausdruk lso nie negtiv werden. er Ausdruk rehts shon, genuer: knn uh negtiv werden. nn hätte die Gleihung keine Lösung. Mn ruht lso eine Flluntersheidung. () Fll: Sei < 0. nn wissen wir sofort: L { () Fll: Sei 0. nn gilt: x 0 Es git genu eine Lösung: L { () Fll: Sei > 0 nn knn mn die Wurzel ziehen und mn ekommt endlih zwei Lösungen: x Alles ws in den nähsten vier Zeilen steht, gehört zum () Fll. s Auflösen der Beträge liefert zwei Lösungen: x und x x und x x und x > L { ; Mit Mthd gehts gnz einfh: x x 0 uflösen x vereinfhen
3 Wieder zurük zu Kopf und Tshenrehner Bsp.: x 0 0 ( ) 6 > 0, lso () Fll. 0 0 xl xl L { - ; Bsp.: x x 0 ( ) 0 0, lso () Fll. xl L { Bsp.: x x < 0, lso () Fll. Ohne jede weitere Rehnung sieht mn: L { An den drei Beispielen sehen Sie: ie Mitternhtsformel gilt nur im () Fll. Benutzen Sie sie uh nur in diesem Fll. Vorgehensweise ohne CAS. Identifizieren Sie die Prmeter: Sie müssen evtl. x oder x zuvor usklmmern, dnn gilt: er Fktor vor dem x ist ds, der Fktor vor dem x ist ds, lles ohne x ist ds. Wenn kein x vorkommt ist 0. Fehlt ds ohne lles ist 0. Bsp.: 7x x ( x ) ( x ) 7x x x 0x x x 0 0 jetzt: 0. Berehnen Sie Am Bsp.: ( ) 0. Bestimmen Sie den Fll: () Fll: Sei < 0. Es git keine Lösung: L { Es ist keine weitere Rehnung nötig. () Fll: Sei 0. Es git genu eine Lösung: L { () Fll: Sei > 0 Es git zwei Lösungen, die mit der Formel weiter erehnet werden: L { ; Am Bsp.: xl xl
4 Biqudrtishe Gleihungen, Sustitution Mnhe Gleihungen höheren Grdes lssen sih reltiv einfh durh die Methode der Sustitution uf qudrtishe Gleihungen zurükführen. Lernen Sie die Methode n den Folgenden Beispielen kennen: Beispiel: x x 9 0 ist x x 9 0 > Ersetzen Sie ( Sustitution) x durh eine ndere Vrile, z.b. u: x 0 u u 9 0 s ist eine qudrtishe Gleihung in u und lässt sih wie gewohnt lösen. 9 u 6 u Jetzt ersetzen Sie u wieder durh x ( Rüksustitution): x u > x x x u 9 > x x 9 L { -; -; ; Beispiel: x 6 x 0 Ersetzen Sie ( Sustitution) x durh u: u 6 u 0 6 ( ) 00 u ( 6 0) u ( 6 0) Jetzt ersetzen Sie u wieder durh x : x u > keine Lösung für x x u > x x L { -; Beispiel: x 6 9 x 7 0 x wird durh u ersetzt: u 9 u u u 7 u durh x > x u > x L { -; / x u 7 > x
5 Vorgehensweise mit CAS Mthd rehnet niht nur mit reellen Zhlen, sondern uh mit komplexen. her findet Mthd immer eine Lösung, uh wenn sie für niht existiert, d sie niht reell ist. Beispiel: x x 0 ht keine Lösung, d 9 kleiner ls Null ist. Mthd: x x 0 uflösen x 9 i 9 i s Ergenis enthält die imginäre Einheit i. rn könne Sie sehen, dss es keine reelle Lösung git. x x x 0 uflösen 0 nnehmen x reell Bei Gleihungen dritten Grdes lässt Mthd ds Auslenden komplexer Lösungen zu. Bei qudrtishen Gleihungen geht es niht. nn hilft dieser Kniff. Mthd löst die die Fälle () und () ohne Proleme. Beispiel: x x 0 uflösen x ie - git es doppelt, es ist eine Lösung. Mnhml ist wihtig zu wissen, dss eine Lösung mehrfh vorkommt. Immer wenn 0 ist, git es eine doppelte Lösung. Beispiel: x x 0 0 uflösen x s Beispiel von oen. Wenn Brühe ls Lösungen vorkommen, dürfen die Koeffizienten niht ls ezimlzhl vorliegen. Mthd git dnn uh ezimlzhlen in der Lösung us. Beispiel: x x x 0 uflösen x x.0 0 uflösen x.0 x x 0 uflösen x Beispiel: x x 0 uflösen x x x uflösen x
Wurzel b bedeutet: Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert gerade die Zahl ergibt, die unter der Wurzel steht.
/0 Areitsltt Wurzel edeutet: Suhe die Zhl, die mit sih selst multipliziert gerde die Zhl ergit, die unter der Wurzel steht. Also: - suhe eine Zhl, die mit sih selst multipliziert, genu ergit. Die Lösung
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.6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y
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Umstellen von Formeln und Gleihungen. Ds Zusmmenfssen von Termen edeutet grundsätzlih ein Ausklmmern, uh wenn mn den Zwishenshritt niht immer ufshreit. 4 6 = (4 6) =. Steht eine Vrile, nh der ufgelöst
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Lösngen Montg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG Blok. Bemerkngen: Klmmern von innen nh ssen flösen; Pnkt vor Strih nd 0. / /. π d 9 9 99 00 Bemerkng z d Geht h ohne TR! Kürzen
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x a 2 (b 2 c 2 ) (a + b 4 + a + weil Klammern nicht geschlossen oder Operationszeichen keine Terme verbinden.
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Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kohls Mathe-Tandem Geometrie - Partnerrechnen im
Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Kohls Mthe-Tndem Geometrie - Prtnerrehnen im 9.-10. Shuljhr Ds komplette Mteril finden Sie hier: Shool-Sout.de Mthe-Tndem Geometrie für ds
1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
Musterlösung zur Probeklausur zur Geometrie
UNIVERSITÄT ULM Institut für Zhlentheorie un Whrsheinlihkeitstheorie Musterlösung zur Proeklusur zur Geometrie Prof. Dr. Helmut Mier, Hns- Peter Rek Gesmtpunktzhl: 3 Punkte, Punkte= % keine Age. Gi Definitionen
Rund um den Satz des Pythagoras
Wolfgng Shlottke Rund um den Stz des Pythgors Lernen n Sttionen und weiterführende ufgben für den Mthemtikunterriht uerverlg GmbH 3 Sroghty Pythgors rükwärts Die Umkehrung des Stzes des Pythgors (1) Du
4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz.
4-1 Elementre Zhlentheorie 4 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz Sei eine ungerde Primzhl, sei Z mit, 1 Frge: Wnn gibt es x Z mit x mod? Gibt es ein derrtiges x, so nennt mn einen udrtischen Rest modulo Legendre
3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl
Die Satzgruppe des Pythagoras
7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen
Relationen: Verkettungen, Wege, Hüllen
FH Gießen-Frieerg, Sommersemester 00 Lösungen zu Üungsltt 9 Diskrete Mthemtik (Informtik) 9./. Juni 00 Prof. Dr. Hns-Ruolf Metz Reltionen: Verkettungen, Wege, Hüllen Aufge. Es ezeihne R ie Reltion {(,
Das kleine 9er-Einmaleins mit den 10 Fingern lernen.
Ws? Multiplizieren 9er-Finger-Einmleins Wozu? Ds kleine 9er-Einmleins mit den 10 Fingern lernen. 1. Beide Hände mit usgestrekten Fingern zeigen nh oen. 2. Die Dumen zeigen nh ußen (Hndflähen zum Gesiht).
Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
Logarithmen und Logarithmengesetze
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.. Logrithmen und Logrithmengesetze Wir betrhten die Gleihung 5 = 5 Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Bsis 5 und dem Eponenten. Auf der rehten Seite
13. Quadratische Reste
ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) 3 Qudrtische Reste Wir ehndeln jetzt ei den Potenzresten den Sezilfll m und führen die folgende Begriffsildung ein: (3) DEF: Seien n und teilerfremd heißt qudrtischer Rest
9 Vektorprodukt. Dieses Gleichungssystem muss man nun lösen! Das ist allerdings nicht ganz einfach. Die Lösung lautet:
9 Vektorprodukt 9.1 Ds Vektorprodukt Gegeen seien zwei (komplnre) Vektoren und, die eine Eene ufspnnen. Suht mn einen Vektor n, der uf diese Eene senkreht steht, dnn muss n orthogonl zu und n orthogonl
Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b
Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:
3 Zerlegen in Faktoren (Ausklammern)
3 Zerlegen in Fktoren (Ausklmmern) 3.1 Einführung 3 + 3b = 3 ( + b) Summe Produkt Merke: Hben lle Summnden einer lgebrischen Summe einen gemeinsmen Fktor, so knn mn diesen gemeinsmen Fktor usklmmern. Die
M A T H E M A T I K B A S I C S
M A T H E M A T I K B A S I C S Mr Peter Arithmetik und Alger Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersonen Impressum Internet: Folienvorlgen und Lernkontrollen www.hep.info, hepode: Mthemtik ISBN -0905-59-4 (Shüleruh:
Darstellung von Ebenen
Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor
2.1 Motivation, Zurückführung auf ein Doppelintegral. Wir betrachten einen zylindrischen Körper K, der von der Fläche
Kpitel 2 Ds Flähenintegrl 2.1 Motivtion, Zurükführung uf ein Doppelintegrl Wir betrhten einen zylindrishen Körper K, der von der Flähe z f(x, y, seitlih von einer Zylinderflähe mit Erzeugenden prllel zur
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium
Algebr-Trining Theorie & Aufgben Serie Bruchrechnen Theorie: Kthrin Lpdul Aufgben: Bernhrd Mrugg VSGYM / Volksschule Gymnsium Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung mcht den Meister» gilt
Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten
Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:
Prof. Dr. J. Pnnek Dynmics in Logistics Vorkurs Mthemtik für Ingenieur Innen WS 207/208 Übung 3 Aufgbe : Trigonometrie () Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:
Lineare DGL zweiter Ordnung
Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit