6. Quadratische Gleichungen

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1 6. Qudrtische Gleichungen 6.1 Voremerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Oertionen. Sie heen sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel ziehen Qudrtwurzeln geen nur us Qudrtzhlen eine gnzzhlige Lösung. Aus llen nderen Zhlen ist die Lösung eine Zhl mit unendlich vielen Dezimlstellen, die im Gegenstz zu Brüchen nicht eriodisch ist Diese nicht eriodischen, unendlich lngen Dezimlzhlen ilden den Grossteil der irrtionlen Zhlen und ergeen zusmmen mit den rtionlen Zhlen die reellen Zhlen (vgl. Kitel 1.). "Qudrierte Zhlen" sind immer ositiv. Sowohl eine ositive wie eine negtive Zhl ergit mit sich seler multiliziert immer eine ositive Zhl. ( ) 5 5 ( ) ( 5) 5 er: -5-5 Qudrtwurzeln können nur us ositiven Zhlen gezogen werden, nur dnn hen sie eine Lösung. ist in unlösr Aus negtiven Zhlen hen Qudrtwurzeln in keine Lösung, denn es git keine reelle Zhl, die mit sich seler multiliziert, eine negtive Zhl ergit. Die Gleichung 5 ht zwei Lösungen: nämlich 1-5 und 5 L { -5 ; 5 } Kontrolle: ( 5) 5 und Normlformen der qudrtischen Gleichungen Qudrtische Gleichungen, d.h. Gleichungen mit, können wie folgt unterschieden werden: rein-qudrtische Gleichung: Die Gleichung enthält nur die Vrile. Beisiel: 5 gemischt-qudrtische Gleichung: Die Gleichung enthält die Vrilen und. Beisiel: Normlformen sind llgemein gehltene Formen, uf die sich uch komlee Aufgenstellungen zurückführen lssen. Folgende Normlformen lssen sich unterscheiden: q-normlform: q 0, q qudrtisches Glied, lineres Glied, q solutes Glied c-normlform: c 0,, c qudrtisches Glied, lineres Glied, c solutes Glied rein-qudrtische Gleichung: - c 0 (oder c) Qudrtische Gleichungen 11

2 6. Lösen von rein-qudrtischen Gleichungen Gleichungen der Form - c 0 zw. c heissen rein-qudrtische Gleichungen. Rein-qudrtische Gleichungen können genu zwei, eine oder keine Lösung hen: zwei Lösungen c > 0 c 1 c, c L { c ; c } eine Lösung ("Doellösung") c , 0 L { 0 } keine Lösung c < 0 unlösr Die Wurzel us einer negtiven Zhl ist in nicht definiert. L { } Beisiele (G ) ) D L { 8 ; 8 } ) ( 11 ) ( - 11 ) 0 D ( 11 ) ( - 11 ) L { 11; 11 } 11 Qudrtische Gleichungen

3 Dozentenseite (mit Lösung) c) 8 D \ { 0 } 7 D \ { 0 } L { -1 ; 1 } L { -1 ; 1 } d) ( - ) ( ) - D D ( - ) ( ) - usmultilizieren zusmmenfssen , L { -1.7 ; 1.7 } L { -1.7 ; 1.7 } e) 0 D D L { } Die. Wurzel us einer negtiven Zhl ist in nicht definiert, lso git es keine Lösung. L { } Qudrtische Gleichungen 115

4 6. Lösen von gemischt-qudrtischen Gleichungen Zum Lösen von gemischt-qudrtischen Gleichungen kennen wir mehrere Methoden. Nicht immer sind lle nwendr oder einfch nwendr. Es lohnt sich deshl, sie lle zu kennen und die jeweils m esten geeignete zu wählen Fktorzerlegung Die Anwendung der Fktorzerlegung geschieht mit den folgenden Schritten: Definitionsmenge estimmen Gleichung in die q-normlform ringen q 0 Linke Seite in zwei Fktoren (mit Summen) zerlegen ( 1 ) ( ) 0 Zum Finden der Werte für 1 und dient folgende Üerlegung: Welche Zhlen 1 und geen miteinnder multiliziert q und zusmmen ddiert? Die Vorzeichen von und q sind zu erücksichtigen Lösungsmenge estimmen L { 1, } Nchweis / Erklärung: Ein Produkt zweier Fktoren ergit nur dnn 0, wenn einer der eiden Fktoren 0 ist ( 1 ) ( ) 0 Der 1. Fktor soll 0 sein d.h Der. Fktor soll 0 sein d.h. 0 Beisiele (G ) ) D ( ) ( - ) 0 Welche Zhlen geen miteinnder drus folgt: 1 -, multiliziert -1 und zusmmen ddiert -1? L { ; } ) ( - 10 ) D , : ( - ) ( - 8 ) 0 Welche Zhlen geen miteinnder drus folgt: 1, 8 multiliziert 16 und zusmmen ddiert -10? L { ; 8 } Diese Methode eignet sich fst nur dnn, wenn die Lösungen us gnzen Zhlen estehen. 116 Qudrtische Gleichungen

5 Dozentenseite (mit Lösung) c) 10 D D ( 5 ) ( - ) 0 Welche Zhlen geen miteinnder drus folgt: 1-5, multiliziert -10 und zusmmen ddiert? L { -5 ; } L { -5 ; } d) 6 ( 8) D \ { -1 } 1 D \ { -1 } 6 ( 8) ( 1 ) 1 ( 1) 6 ( 8) usmultilizieren 6 8-6, : 0 ( ) ( - 6 ) 0 Welche Zhlen geen miteinnder drus folgt: 1 -, 6 multiliziert - und zusmmen ddiert -? L { - ; 6 } L { - ; 6 } Qudrtische Gleichungen 117

6 6.. Qudrtische Ergänzung Die Technik der Fktorzerlegung funktioniert fst nur dnn, wenn die Lösungen gnzzhlig sind. Im ndern Fll ist es rktisch unmöglich, die entsrechenden Summnden der eiden Fktoren heruszufinden. In diesen Fällen führt die Methode der qudrtischen Ergänzung zum Ziel. Sie siert uf den inomischen Formeln. Ds Anwenden dieser Methode ist nhnd von zwei Vrinten erläutert, ei denen sich nur die Schritte und unterscheiden: Üerlegung vi inomische Formeln (mthemtisch korrekt, er etws strkt) "Volkstümliches Rezet" (weniger strkt) Beisiel mit der 1. inomischen Formel (G ) ) D Vrilen und uf die linke, Konstnte uf die rechte Seite der Gleichung trennen (flls der Fktor vor 1 ist, muss die Gleichung noch durch diesen dividiert werden) 8-7 Üerlegung vi inomische Formeln Linke Seite der Gleichung ls Teil einer 1. oder. inomischen Formel uffssen 8-7 ( ) Wert für herusfinden: 8-7 d.h. 8 Fehlendes Glied ( sog. "qudrtische Ergänzung") uf eiden Seiten ddieren -7 ( ) Volkstümliches Rezet Hlieren Sie den Koeffizienten von (d.h. die Zhl vor dem inkl. Vorzeichen), und ddieren Sie uf eiden Seiten der Gleichung ds Qudrt dieser hlierten Zhl. Koeffizienten von (inkl. Vorzeichen) durch dividieren: 8 : Also muss uf eiden Seiten der Gleichung ( ) ddiert werden ( ) Schritte is nlog zur Lösung links Linken Teil ls inomische Formel schreien: ( ) ( ) 9 9-1, 9 Wurzel usrechnen 1, , - -1 L { 7 ; 1 } 118 Qudrtische Gleichungen

7 Dozentenseite (mit Lösung) Beisiel mit der. inomischen Formel (G ) ) D Vrilen und uf die linke, Konstnte uf die rechte Seite der Gleichung trennen : (d.h. durch den Fktor vor dividieren) - 6 Üerlegung vi inomische Formeln Volkstümliches Rezet Linke Seite der Gleichung ls Teil einer 1. oder. inomischen Formel uffssen - 6 Hlieren Sie den Koeffizienten von (d.h. die Zhl vor dem inkl. Vorzeichen), und ddieren Sie uf eiden Seiten der Gleichung ds Qudrt dieser hlierten Zhl. ( - ) d.h. 6 - ( - ) Koeffizienten von durch dividieren: ( -6 ) : - Also muss uf eiden Seiten der Gleichung ( - ) ddiert werden. - 6 ( - ) ( - ) ( - ) Schritte is nlog zur Lösung links ( - ) 9 ( - ) , 11 Wurzel usrechnen 1, , L { 0. ; 6. } c) D D d.h Vrinte: "Volkstümliches Rezet" Koeffizienten von durch dividieren (-1) : -6-1 (-6) - (-6) ( - 6 ) - 6 Schritte is nlog zur Lösung links ( - 6 ) , 6 Wurzel usrechnen 1, 6 1-6, 6 8 L { ; 8 } L { ; 8 } Qudrtische Gleichungen 119

8 Dozentenseite (mit Lösung) d) ( 1 ) ( - ) - 0 D D ( 1 ) ( - ) d.h ( 0.5 ) Vrinte: "Volkstümliches Rezet" Koeffizienten von durch dividieren 1 : Schritte is nlog zur Lösung links ( 0.5 ) , Wurzel usrechnen 1, , L { - ; } L { - ; } e) D D d.h Vrinte: "Volkstümliches Rezet" Koeffizienten von durch dividieren 8 : Schritte is nlog zur Lösung links ( ).5 16 ( ) , 0.5 Wurzel usrechnen 1, , L { -8.5 ; 0.5 } 1 L 8.5 ; 10 Qudrtische Gleichungen

9 6.. q-formel Neen den eiden mthemtischen Methoden der Fktorzerlegung und der qudrtischen Ergänzung git es uch Lösungsmethoden, die uf Formeln sieren: die q- und die c-formel der qudrtischen Gleichungen. Hen wir eine qudrtische Gleichung, ei der vor dem der Fktor 1 steht, lässt sich die q-formel nwenden. Normlform: q 0 1, q Die mthemtische Herleitung der q-formel können Sie im Kitel 6.. nchvollziehen. Allgemeines Lösungsvorgehen: Definitionsmenge estimmen Gleichung in die q-normlform ringen (wenn nötig), und die Werte für und q estimmen Achtung: Die Vorzeichen von und q uch üernehmen. Werte für und q in der Formel einsetzen (inkl. Vorzeichen ) Vrilen 1 und usrechnen Lösungsmenge estimmen Beisiele (G ) ) D Wir estimmen zuerst und q. (flls der Fktor vor 1 ist, muss die Gleichung noch durch diesen dividiert werden) q Die Vorzeichen gehören zu und q dzu Die Werte für und q in der Formel einsetzen:, q -1 1, (-1) Vrilen 1 und usrechnen: 1, 1 1, 5 1, L { 17 ; 1 } Qudrtische Gleichungen 11

10 Dozentenseite (mit Lösung) ) D Gleichung in die q-normlform ringen: : (d.h. durch den Fktor vor dividieren) q Die Werte für und q in der Formel einsetzen: -, q 1 1, Vrilen 1 und usrechnen: 1, , , L { 0.8 ;.6 } c) - 5 D D q 1, ( 5) 1, , , , 9 L { -6 ; 9 } L { -6 ; 9 } 1 Qudrtische Gleichungen

11 Dozentenseite (mit Lösung) d) 1 D \ { 0 ; } D \ { 0 ; } 1 1 ( ) ( - ) zusmmenfssen -, 0 : q 1, 1 1, , 1 0 1, , 1 L { 1 } L { 1 } e) 1 1 D D 1 1-1, : q 1, ( 7) 1, 7 1, 11 1, , L { -1. ; 5. } L { -1. ; 5. } Qudrtische Gleichungen 1

12 1 Qudrtische Gleichungen 6.. Mthemtische Herleitung der q-formel Die Gleichung q 0 soll gelöst werden. Wir wollen eweisen, dss drus die eiden folgenden Lösungen resultieren: q 1 und q 1. Schritt Auf eiden Seiten der Gleichung q sutrhieren q 0 -q. Schritt Auf eiden Seiten der Gleichung ddieren ( qudrtische Ergänzung) q. Schritt Linke Seite in Fktoren zerlegen nch der 1. inomischen Formel: ( ) q. Schritt Wurzel ziehen q 5. Schritt Auf eiden Seiten der Gleichung sutrhieren 1 q q

13 6..5 c-formel Hen wir eine qudrtische Gleichung, ei der vor dem ein Fktor ungleich 0 und ungleich 1 steht, lässt sich die c-formel nwenden. Normlform: c 0 1, c Die mthemtische Herleitung der c-formel können Sie im Kitel 6..6 nchvollziehen. Anmerkung: Mit einer Division durch lässt sich zwr jede c-form einer qudrtischen Gleichung uf die eknnte q-form zurückführen. c 0 : c 0 q : Ist der Fktor vor dem keine einfche ntürliche Zhl oder ergeen die eiden Divisionen keine gnzen Zhlen, so knn die Anwendung der q-formel llerdings komliziert werden : Aus diesem Grund ist zusätzlich zur q-formel uch eine c-formel entwickelt worden. Mit der c-formel lässt sich diese Aufge einfcher lösen ls mit der q-formel. Qudrtische Gleichungen 15

14 Allgemeines Lösungsvorgehen: Definitionsmenge estimmen Gleichung in die c-normlform ringen (wenn nötig) und Werte für, und c estimmen Achtung: Die Vorzeichen von, und c uch üernehmen. Werte für, und c in der Formel einsetzen (inkl. Vorzeichen ) Vrilen 1 und usrechnen Lösungsmenge estimmen Beisiele (G ) ) D Werte für, und c estimmen: c Werte für, und c in der Formel einsetzen: 7, -17, c 6 1, -(-17) (-17) - ( 7 6) 7 Vrilen 1 und usrechnen: 1, , , , L ; ) 5 D \ { - ; } ( - ) 1 ( ) 5 ( ) ( - ) ( ) ( - ) c Werte für, und c in der Formel einsetzen: 5, -1, c -5 1, -(-1) (-1) - ( 5 (-5)) 5 Vrilen 1 und usrechnen: 1, 1 1 ( 1'080) 1, 1 1' , 1-1.8, 6 L { 1.8 ; 6 } Qudrtische Gleichungen

15 Dozentenseite (mit Lösung) c) 1 0 D D c 1, 1 1 ( ) 1, , , , 1 L ; 1 L ; 1 d) 8 5 D D c 1, ( 8 ( 5)) 8 1, , , , 5 8 L 1; 5 8 L 1; 5 8 Qudrtische Gleichungen 17

16 Dozentenseite (mit Lösung) e) 5 5 D \ { ; 5 } D \ { ; 5 } 5 5 (-1) ( - ) ( - 5) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5 ( 5) ( ) ( 5) ( ) ( ) usmultilizieren zusmmenfssen , : c 1, ( 19) ( 19) ( ) 1, , , , L { 0. ;.5 } L { 0. ;.5 } 18 Qudrtische Gleichungen

17 6..6 Mthemtische Herleitung der c-formel Die Gleichung c 0 soll gelöst werden. Wir wollen eweisen, dss drus die eiden folgenden Lösungen resultieren: 1 c und c 1. Schritt c 0 uf eiden Seiten der Gleichung durch dividieren (Die Division durch ist erlut, weil 0 ist.) c c 0 uf eiden Seiten der Gleichung sutrhieren. Schritt c uf eiden Seiten der Gleichung ddieren c ( qudrtische Ergänzung). Schritt Linke Seite in Fktoren zerlegen nch der 1. inomischen Formel: ( ) c. Schritt Wurzel ziehen c 5. Schritt Wurzel uf der rechten Seite vereinfchen c c c c drus folgt: c 6. Schritt Auf eiden Seiten der Gleichung sutrhieren 1 c 1 c c c Qudrtische Gleichungen 19

18 6..7 Lösungsdiskussion Qudrtische Gleichungen können genu zwei, eine oder keine Lösung hen. Ds hängt dvon, o der Ausdruck in der Wurzel der Lösungsformel grösser, gleich oder kleiner ls 0 ist. Der Ausdruck in der Wurzel heisst Diskriminnte (D) [Diskriminnte Bestimmende]. ei der q-formel: D q ei der c-formel: D c Es ergeen sich somit Fälle (hier ufgezeigt nur n der q-formel): D > 0 zwei Lösungen - 0 1, ( ) 1, 1 1 1, 1 1, 1 1 -, 1 L { ; 1 } y y - D 0 eine Lösung ("Doellösung") 1 0 1, 1 y 5 1, , , , L { 1 } -5 y 1 D < 0 keine Lösung 0 1, 1, 1 1 1, 1 keine Lösung, d in nicht definiert ist L { } y y Nähere Informtionen zur grfischen Vernschulichung der Lösung finden Sie in Kitel Qudrtische Gleichungen

19 6.5 Sätze von Viet Der frnzösische Mthemtiker Viet ( ) ht folgende interessnten Zusmmenhänge uf Grund der q-formel herusgefunden: Die Multiliktion der eiden Lösungen einer qudrtischen Gleichung ergit q. Die Addition der eiden Lösungen einer qudrtischen Gleichung ergit den gleichen Wert wie, er mit umgekehrtem Vorzeichen (lso -). In mthemtischer Schreiweise: Flls q 0 und 1, je Lösungen der Gleichung sind, dnn gilt: 1 q 1 - Die Vorzeichen gehören zu und q dzu Mit den Sätzen von Viet esitzen wir ein gutes Hilfsmittel, um die Korrektheit der Lösungen von qudrtischen Gleichungen zu üerrüfen. ) L { -7 ; 5 } Lösungskontrolle: 1 q ( -7 ) 5-5 Lösungskontrolle, d q ( -7 ) 5 - Lösungskontrolle, d - - ) L { ; 11 } Lösungskontrolle: 1 q 11 Lösungskontrolle, d q Lösungskontrolle, d - - ( -1 ), d.h. - 1 Jede c-normlform knn mit der Division durch in eine q-normlform üerführt werden; drus folgt, dss die Sätze von Viet ngewndt uf die c-form so ussehen: 1 c 1 Die Vorzeichen gehören zu, und c dzu c) L { -0.5 ; } d) 6-0 L { - ; } Lösungskontrolle: 1 c ( -0.5 ) - Lösungskontrolle, d c - Lösungskontrolle: 1 c ( - ) -8 Lösungskontrolle, d c -8 1 ( -0.5 ).5 Lösungskontrolle, d ( - ) - Lösungskontrolle, d 6 - Qudrtische Gleichungen 11

20 6.6 Qudrtische Gleichungen mit zwei Uneknnten Auch ei zwei Vrilen ( und y) knn es im Verluf der Ausrechnung zu qudrtischen Gleichungen kommen. Dies führt dzu, dss die Lösung us zwei Zhlenren esteht. Beisiele (G ) ) (1) 6y 16 ( ) (y ) () y 6 1 D \ { 0 }, D y \ { } (1) 6y 16 ( ) (y ) usmultilizieren 6y 16 (y y 6) usmultilizieren 6y 16 y 6 y 1 6, - y, 1 (1)' 7 y y () y 6 1 ( y - 6 ) (y 6) (y 6) usmultilizieren 6y 18 y 6 6 ()' 6y 18 y Gleichsetzungsverfhren (Gleichungen (1)' und ()' gleichsetzen) 7 y 6y 18 -, - y, y 1 : y 1 Ausrechnen der 1. Vrilen ( in Gleichung (1)' einsetzen) y 1 y 1 7 y y 7 (y 1) 6y 1 y (y 1) usmultilizieren 8y 98 6y 1 8y 8y zusmmenfssen y 110 8y 8y - y, 110 8y 6y : y 1y 55 0 y 1, ( 1) ( 1) ( 55) y 1, y 1.75, y 5 y 1, y 1, Ausrechnen der. Vrilen (y 1, in die Umformung von Schritt einsetzen) y 1 einsetzen: y y einsetzen: y L {( 1.75) ; ( 5 ) } 1 Qudrtische Gleichungen

21 Dozentenseite (mit Lösung) ) (1) y 1 () ( ) y 5 D D (1) y 1 : (1)' 1 y () ( ) y 5 6 y 5 5 ()' y 11 Gleichsetzungsverfhren (Gleichungen (1)' und ()' gleichsetzen) c Ausrechnen der 1. Vrilen 1, ( 1) 1, , , , - Ausrechnen der. Vrilen (hier: 1, in Gleichung ()' einsetzen) 1 einsetzen: 11 y 1 (.5) 11 y 1 y1 1 einsetzen: 11 y ( ) 11 y 7 y L { ( -.5 ) ; ( - 7 ) } L { ( -.5 ) ; ( - 7 ) } Qudrtische Gleichungen 1

22 Dozentenseite (mit Lösung) c) (1) y () 1 y D \ { -1 } \ { - ; 0 } D \ { -1 }, D y \ { - ; 0 } oder D \ { -1 } \ { - ; 0 } (1) y () ( - ) ()' y 1 y Additionsverfhren (1) y ()' y y 6 y 5 8 Ausrechnen der 1. Vrilen 6 y ( y ) y y (y ) 6y y (y ) usmultilizieren y 6 6y y 6y zusmmenfssen 9y 6 y 6y y, 6y y y 6 0 : y y 0 y - 1y - 0 q y 1, 1 1 ( ) y 1, y 1, y 1-1, y Ausrechnen der. Vrilen (hier: y 1, in Gleichung (1) einsetzen) y 1 einsetzen: (1 1) y einsetzen: ( 1) L ( 1) ; 1 L ( 1) ; 1 1 Qudrtische Gleichungen

23 6.7 Qudrtische Gleichungen mit Prmetern Zusätzlich zu den Konstnten knn eine qudrtische Gleichung uch noch Prmeter enthlten. Ds Anwenden der vier Lösungsmethoden leit grundsätzlich gleich, erfordert er oft ein hohes Mss n Konzentrtion. Beisiele (G ) ) - 0 Lösungsmethode "Fktorzerlegung" D ( - ) ( - ) 0 L { ; } ) Lösungsmethode "q-formel" D, q , ( 0.75 ) , 0.5 L { 1.5 ; 0.5 } c) ( ) 0 Lösungsmethode "c-formel" D, ( ), c 1, ( 1 ) ( ) ( ( ) ), 8 L ; 0 Qudrtische Gleichungen 15

24 Dozentenseite (mit Lösung) d) D D ( - 1 ) - 0 ( - 1 ) - 0 q 1, 1 1 ( ) 1, 1 1 1, 1, , 1 ( 1) ( 1) 1, L { - ; 1 } L { - ; 1 } e) 1 D 0 D 0 1 -, ( 1) ( ) 0 c 1, ( 1) ( 1) 1, L 1, 1, 1 ; ( 1) 1 ( ) 1 1 L ; Achtung: Dmit keine Division durch 0 entsteht, folgt: 0. Ist in D ereits so festgelegt. Es entfällt somit, 0 ei der Lösungsmenge zu ergänzen Qudrtische Gleichungen

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