Mathematik Brückenkurs

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1 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7

2 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen Grundbegriffe und Definitionen Mengenreltionen... 7 Zhlensysteme Reelle Zhlen Komplexe Zhlen Rechenopertionen Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Binomischer Lehrstz Vollständige Induktion... 53

3 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 3/86 5 Gleichungen Gleichungen. Grdes mit einer Vriblen Gleichungen. Grdes mit einer Vriblen Gleichungen höheren Grdes mit einer Vriblen Zerlegung in Linerfktoren Wurzelgleichungen Betrgsgleichungen Ungleichungen Lösungen zu den Übungsufgben... 79

4 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 4/86 Ziel: Mthemtische Vorbereitung uf ds Hochschulstudium im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik n der Fchhochschule Kiel. Hinweis: Grundlgen der Geometrie (Lehrsätze der elementren Geometrie und grundlegende geometrische Körper) werden in diesem Brückenkurs nicht behndelt und werden vorusgesetzt. Zielgruppe: Erstsemester im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Litertur: Ppul, Mthemtik für Ingenieure und Nturwissenschftler, Bnd, Vieweg Verlg Ppul, Mthemtische Formelsmmlung, Vieweg Verlg Schäfer, Mthemtik-Vorbereitung uf ds Hochschulstudium, Hrri Deutsch Verlg jedes einschlägige Lehrbuch der Ingenieurmthemtik Eqution Section

5 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 5/86 Mengen. Grundbegriffe und Definitionen Definition: Eine Menge ist eine Zusmmenfssung einzelner wohl unterschiedener Objekte (Elemente) zu einer Grundgesmtheit. Beispiel: Menge der ntürlichen Zhlen, Menge der Einwohner in Deutschlnd, Menge der Studenten in diesem Semester u.ä. Schreibweise: Flls x ein Objekt der Menge M ist: x M ( x ist Element von M ) Flls x kein Objekt der Menge M ist: x M ( x ist nicht Element von M )

6 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 6/86 Anlytische Drstellungsformen: Beschreibend: M = { x Eigenschften von x}, z.b. M = { x 0 < x< x } Aufzählend: M = {,,3,4} (endliche Menge) M = {, 4,9,6,5,... } (unendliche Menge) Leere Menge: M = { } uch: M = { } Grphische Drstellung: Mengendigrmm (Venn-Digrmm): M

7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 7/86. Mengenreltionen.. Teilmengen Definition: M ist eine Teilmenge von M, wenn jedes Element von M uch Element von M ist. Schreibweise: M M Sprechweise: M ist in M enthlten oder M ist Teilmenge von M M M Beispiel: {,3,7,4,5} { 7,4,5} M = M = M M { } { } M =,3,7,4,5 M = 7,4,5, M M, d M

8 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 8/86.. Gleichheit zweier Mengen Definition: Zwei Mengen M und M heißen genu dnn gleich, wenn beide Mengen die gleichen Elemente besitzen. M = M M M M M Symbole: dnn und nur dnn, wenn ( ) (logisches) und Teilmenge von (us) Element von (us) ( ) (logisches) oder

9 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 9/86..3 Mengenopertionen..3. Vereinigung zweier Mengen (Vereinigungsmenge) Definition: Zur Vereinigung M zweier Mengen M und M gehören genu die Elemente, die mindestens in einer der beiden Mengen M oder M liegen. Schreibweise: M = M M bzw. M = { x x M x M } Sprechweise: M vereinigt mit M M M M = M M Anmerkung: M = M M wird uch Disjunktion (Verbindung) gennnt.

10 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 0/ Durchschnitt zweier Mengen (Schnittmenge) Definition: Zum Durchschnitt M zweier Mengen M und M gehören genu die Elemente, die sowohl in M ls uch in M liegen. Schreibweise: M = M M bzw. M = { x x M x M } Sprechweise: M geschnitten mit M M M Anmerkung: M = M M M = M M wird uch Konjunktion (Verknüpfung) gennnt.

11 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs / Differenz zweier Mengen (Differenzmenge, Restmenge) Definition: Zur Differenzmenge M zweier Mengen M und M gehören genu diejenigen Elemente von M, die nicht gleichzeitig uch in M enthlten sind. Schreibweise: M = M \ M bzw. M = { x x M x M } Sprechweise: M ohne M M M M = M\ M

12 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Übungsufgben ) Berechnen Sie die Mengen M A\ B A = {,,3,4} und {,4,6,8,0} B =. = und M A ( A B) = mit \ ) Formulieren Sie eine Schreibweise für die Menge M deren Elemente x entweder in der Menge M oder in der Menge M, ber nicht in der Schnittmenge von M und M liegen (" Exklusiv - Oder "). 3) Vereinfchen Sie folgende Ausdrücke durch Betrchten des Mengendigrmms: ) A ( A\ B) b) A ( A\ B) c) A\( A B) d) B ( A\ B) e) A\( B\ A ) f) A\( A\ B ) Formelbschnitt

13 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 3/86 Zhlensysteme. Reelle Zhlen.. Ntürliche Zhlen Menge der ntürlichen Zhlen: = {0,,,3, 4,5,...} * { } = \ 0 = {,,3, 4,5,...} Hinweis: bzw. * sind bzählbr unendlich Rechenregeln (Axiome) Die Addition zweier ntürlicher Zhlen und b ist unbeschränkt usführbr. c = + bexistiert stets mit c Es gelten: Ds Kommuttivgesetz: + b= b+ Ds Assozitivgesetz: + ( b+ c) = ( + b) + c Ds Monotoniegesetz: < b + c< b+ c mit bc,,

14 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 4/86 Die Multipliktion zweier ntürlicher Zhlen und b ist unbeschränkt usführbr. c = b existiert stets mit c Es gelten: Ds Kommuttivgesetz: b= b Ds Assozitivgesetz: ( b c) = ( b) c Ds Monotoniegesetz: < b c< b c c * Ds Distributivgesetz: ( b+ c) = b+ c Zusmmenhng Addition Multipliktion: b= n = n ml b ml Anmerkung: Binomische Formeln: ( ) ± b = ± b+ b ( + b)( b) = b (llg. binomische Formel siehe später)

15 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 5/86 Die Subtrktion (=Umkehrung der Addition) ist im Bereich der ntürlichen Zhlen nur beschränkt usführbr: c = - b ist nur definiert für b. Die Division (=Umkehrung der Multipliktion) ist im Bereich der ntürlichen Zhlen nur sehr beschränkt usführbr: c = ist nur definiert, wenn b Teiler von ist. b 4 Beispiel: c = = 4 6 (ACHTUNG: Die Division durch 0 ist prinzipiell usgeschlossen!) Anmerkung: Wegen der Beschränktheit der Subtrktion in ( c = b erweitert. nur erlubt für b ) wurde ds Zhlensystem

16 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 6/86.. Gnze Zhlen Erweiterung der ntürlichen Zhlen um die negtiven Zhlen. Menge der gnzen Zhlen: = {..., 3,,, 0,,, 3, 4,...} Vorzeichenregeln: + ( ) = 0 ( b) = + b ( ) = ( b) = b Definition: Absoluter Betrg flls 0 = flls < 0 Hinweis: ist stets positiv. Beispiele: 5 = 5 weil = 5> 0 7 = ( 7) = 7 weil = 7< 0

17 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 7/86 Folgerungen: b = b + b + b " Dreiecksungleichung" Rechenregeln: Die Addition, Multipliktion und Subtrktion sind im Gnzzhlbereich eindeutig definiert. Es gelten ds Kommuttivgesetz Assozitivgesetz Distributivgesetz bzgl. der o.g. Rechenopertionen Anmerkung Die Division ist in nur eingeschränkt möglich, dher Erweiterung des Zhlenbereichs

18 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 8/86..3 Rtionle Zhlen * Erweiterung des Zhlenbereiches um Zhlen, die sich ls Bruch zweier gnzer Zhlen ( ; b ) b drstellen lssen. Die Menge der rtionlen Zhlen * = x x= mit und b b Rechenregeln: Multipliktion c c = b d b d Addition und Subtrktion c d± b c ± = b d b d c d Division : = b d b c Kürzen und Erweitern: d b d = b bzw. = c b b c

19 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 9/86 Stz: Bei der Division zweier gnzer Zhlen ergibt sich in der Regel eine unendlich periodische Dezimlzhl. Beispiel: 4,333..., 3 3 = = Hinweis: Die rtionlen Zhlen sind bezüglich der Grundrechenrten (mit Ausnhme der Division durch 0 ) bgeschlossen; es gelten die vorgennnten Gesetze. Bei gewissen Rechenopertionen (z.b. Wurzelziehen, Logrithmieren etc.) ist der Zhlenbereich erweiterungsbedürftig.

20 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 0/86..4 Irrtionle Zhlen Erweiterung der rtionlen Zhlen um die Menge der irrtionlen Zhlen zum reellen Zhlenbereich. Beispiele: ) Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck b c c = + = c = c Pythgors: c = + b

21 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 ) Ist eine rtionle Zhl? Nein! Beweis über Widerspruch: (.)

22 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Unterscheidung Arten irrtionler Zhlen: Algebrisch irrtionle Zhlen: Treten uf bei der Lösung lgebrischer Gleichungen n n mit rtionlen Koeffizienten x + x x+ = 0. Bsp.: x = 0 x=, 44 n n 0 Trnszendent irrtionle Zhlen; z.b. π, e,ln() etc.

23 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 3/86..5 Übersicht und Zhlengerde Übersicht über die bisherigen Zhlenrten: Ntürliche Zhlen = { 0; ; ; 3; } Gnze Zhlen { 0; ; ; 3; } = ± ± ± Gebrochene Zhlen = 0, ; = 0,33 ; = 0, Algebrisch irrtionle Zhlen =, 44 ; 3 =,7305 Trnzendente Zhlen e ; π ; sin(0 ) Rtionle Zhlen Irrtionle Zhlen Reelle Zhlen

24 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 4/86 Zhlengerde: Drstellung der reellen Zhlen uf der Zhlengerden π ( ) = 0 Sonderfälle: n 00 = 0 0 = = 0 = 0 0 = 0; Division durch 0 ist verboten! 0, 0 = 0 Folgende Ausdrücke sind nicht definiert: ; 0; n

25 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 5/86 Übungsufgben Vereinfchen Sie folgende Ausdrücke: 4) 7 3 ( 7 5b) ( 4 6b) ( 7b) = 5) ( + b c) ( b c) = 6) ( ) + + = 7) ( b ) : ( 7b 36 ) + = 8) 3 ( b c) 5 ( b) c ( b c ) 9) = = ) + = + ) =

26 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 6/86 ) 3) 4) 5) 6) + b = b = b + b = b 3 3 = = + x y 7) : = y x x y

27 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 7/86. Komplexe Zhlen Die reellen Zhlen sind in Bezug uf Grundrechenrten bgeschlossen. Aber: Es gibt Rechenopertionen, die im Bereich der reellen Zhlen nicht möglich sind. Beispiel: Finde eine reelle Zhl, deren Qudrt gleich 9 ist, lso x = 9 nicht möglich. Einführung einer neuen Art von Zhlen: Imginäre Zhlen.. Einführung der imginären Einheit j Definition: Die imginäre Einheit j ist eine Zhl, deren Qudrt gleich ist. Anmerkung: j = j = In Mthemtik/Physik wird die imginäre Einheit üblicherweise mit i bezeichnet, lso i = In der Elektrotechnik: j =

28 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 8/86 Einführung neuer Begriffe: Multipliziert mn die imginäre Einheit j mit einer reellen Zhl b, so entsteht die imginäre Zhl j b, lso z.b. 3 j, j, 5 j, j etc. 3 Durch Zusmmensetzung einer reellen Zhl mit einer imginären Zhl entsteht eine komplexe Zhl z= + j b ( b, ) Mn bezeichnet o ls den Relteil von z: = Re(z) und o b ls den Imginärteil von z: b= Im( z) Zu z= + j b * gehört die konjugiert komplexe Zhl z = j b

29 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 9/86.. Rechenregeln Gleichheit: Zwei komplexe Zhlen + jb und c+ jd sind gleich, wenn = c und b= d ist (Relteile gleich und Imginärteile gleich) Addition und Subtrktion: Komplexe Zhlen werden ddiert (subtrhiert), indem ihre Relteile sowie ihre Imginärteile ddiert (subtrhiert) werden. Beispiel: (.)

30 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 30/86 Multipliktion: (.3) Wird durchgeführt nch den Rechenregeln für reelle Zhlen unter Bechtung j =

31 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 3/86 Division: Vorgehensweise: Nenner durch Multipliktion mit seiner konjugiert komplexen Zhl reell mchen (.4)

32 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 3/86 Spezielle Werte: j j j n = ; = j; = ; j = jj = j j j = ; = ; 4n+ 4n j = jj = j; ; j j j = = = j; j j = = = ; j ( j) ( j) ( j) ( j j ) ( j) 4 + = + + = + + = = 4 Hinweis: Vergleiche Kpitel Komplexe Zhlen der Vorlesung Mthemtik.

33 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 33/86..3 Drstellung in der Gußschen Zhlenebene (C.F. Guß ; princeps mthemticorum ) Drstellung reeller Zhlen uf Zhlengerde Drstellung komplexer Zhlen in der Gußschen Zhlenebene Im( z) y z= x+ jy π ϕ x Re( z) Krtesische (lgebrische) Drstellung einer komplexen Zhl z= x+ jy; { z} { z} x= Re ; y = Im ;

34 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 34/86 Trigonometrische Drstellung einer komplexen Zhl: Verwendung von Polrkoordinten: x= r cos ϕ; y = r sinϕ z = x + jy = r cosϕ + j r sinϕ = r(cosϕ + j sin ϕ) Bezeichnungen: r = z = x + y :=Betrg der komplexen Zhl (Stz des Pythgors) ϕ rctn y = x := Argument, Winkel oder Phse von z

35 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 35/86 Übungsufgben 8) Berechnen Sie + j 4. 9) Berechnen Sie 3 5 j 3 sowie ( + 3 j). + 3j 0) Mn bringe die komplexe Zhl z= r(cosϕ + jsin ϕ) uf die Form z= + j b mit r = 6 und ϕ = 60. ) Mn bringe z= 3 j 3 uf die goniometrische Form z= r(cosϕ + jsin ϕ). Wie luten r und ϕ? Formelbschnitt 3

36 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 36/86 3 Rechenopertionen 3. Potenzen, Wurzeln, Logrithmen n = ( = Bsis; n = Exponent, Hochzhl) n ml Ausgngspunkt: n = b ( b = Numerus) Fllunterscheidung: Potenzieren: n, gegeben; b gesucht: n = b Rdizieren: bn, gegeben; gesucht: n n = b = b Logrithmieren: b, gegeben; n gesucht: n= log b

37 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 37/ Potenzen * Rechenregeln: ( mn, ; b, ) Multipliktion m n m+ n = n n n b = ( b) n m b =? b m n n n m Division m n = = n n m = ( b 0) b = m Potenz n m mn ( ) = n n n n n n ( ) = = ( ) Hinweis: Für > 0, b> 0 gelten die Potenzregeln uch für beliebige reelle Exponenten

38 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 38/ Wurzeln * Rechenregeln: ( mn, ; 0, b 0) n n n b = b n b = n n b ( b > 0) m n m n = ; n m n m mn mn = = = n n n + b + b

39 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 39/ Logrithmen Ausgngspunkt: n = b ( b = Numerus, = Bsis, n = Exponent) Logrithmus: Mit welcher Zhl muss potenziert werden, um b zu erhlten? Ursprünglich erklärt für n ; Verllgemeinerung: n x = b x= log b (mit > 0; ) x Definition: Der Logrithmus einer Zhl b zur Bsis ist der Exponent x, mit dem potenziert werden muss, um den Numerus b zu erhlten. * Rechenregeln: ( > 0, u> 0, v> 0, k, n ) ( ) log uv = log ( u) + log ( v) u log = log ( u) log ( v) v k ( ) log u = k log ( u) n log u = log ( u) n log + b log + log b ( )

40 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 40/86 Abkürzende Schreibweisen: Bsis 0 : log 0 ( u) : lg ( u) Bsis e : log ( ) : ln ( ) = briggscher- oder dekdischer Logrithmus e u = u logrithmus nturlis oder ntürlicher Logrithmus Bsis : log ( u) : lb( u) uch : ld ( u) = binärer Logrithmus Besondere Ausdrücke und Zusmmenhänge: 0 ( b ) ( ) log = 0 = b log = = logb 0 0 b log ( ) x x x = x =

41 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 4/86 Umrechnung von der Bsis in die Bsis b log r logbr = = K logr K = = const logb logb Spezilfälle: lg r Bsiswechsel 0 e: ln r = =,306 lg r lg e ln r Bsiswechsel e 0 : lg r = = 0, 4343 ln r ln0

42 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 4/86 Übungsufgben Vereinfchen Sie folgende Ausdrücke: ) 3) 4) 5) x y 3 5 x = y = n n n x x + y y = + b = 6) b 3 = b 7) b 3 = b 8) x+ y x y =

43 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 43/86 9) 30) 3) b b 7x+ 5y 6y+ 8x b = b 4x 5y 5x 4y = 3 3 c x+ n x = n 3 5 3) ( n x 4 4 ) ( n x) + + = 33) b 4 b = 34) 3 x x 4 x = 35) ) b) 3x x+ x 3 y 3 x + y n n = x 4 x = 3 x 5

44 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 44/86 36) ) lg 6 u 5 b ( x y) = 3 u u + v c b) log c) log c c b ) log 3 ( ) 3 + b b c + c = 38) lg 3 c bd = 39) 3 3 lg lg lg lg + c b + = = 40) lg ( b b ) lg ( b) + = b 4) lg lg ( b) lg ( b) 4) log5 x = 43) lg 0 =

45 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 45/86 44) Finden Sie die Bsis b, für die gilt: log 45) Zeigen Sie: 46) Mit welchem Fktor muss mn einen ntürlichen Logrithmus multiplizieren, um den entsprechenden dekdischen Logrithmus zu erhlten? 47) Die Gleichung C lg D+ E A B = F ist nch B bzw. nch D ufzulösen. 48) Fssen Sie zu einem Logrithmus zusmmen: ) lg x lg y x + y b) lg lg ( x y) 3lg ( x y) b 4log b = 4 b 6 = log 36 6

46 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 46/86 3. Binomischer Lehrstz Der Ausdruck ± b heißt Binom und ist Summe oder Differenz er Monome. Bildet mn Potenzen des Binoms, so ergibt sich durch Ausmultiplizieren: 0 ( + b) = ( + b) = + b ( + b) = + b+ b ( + b) = + 3 b+ 3 b + b

47 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 47/86 Gesetzmäßigkeit über ds Psclsche Dreieck (Blise Pscl 63 66): ( b) 0 + ( b) + ( b) + ( b) ( b) ( b) ( ) b 5 b 0 b 0 b 5 b b + = Mn erkennt: Die erste und letzte Zhl einer Zeile ist immer Die nderen Zhlen ergeben sich ls Summe der jeweils links und rechts drüber stehenden Zhlen der Zeile zuvor.

48 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 48/86 Andere Berechnung der Koeffizienten: (3.)

49 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 49/86 Einführung von Kurzschreibweisen (Euler ): (3.) n n n n k k ( + b) = b mit nk, k= 0 k n n k n n k k ( b) = ( ) b mit nk, k= 0 k n n n = Binomilkoeffizienten mit = = k 0 n * *

50 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 50/86 Anmerkungen: Weitere Kurzschreibweise: 3 4 n: = n! (Lies: n -Fkultät ) Aus der Definition folgt sofort: ( n+ )! = 3 4 n ( n+ ) = ( n+ ) n! n! Dmit gilt für die Binomilkoeffizienten n : k ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) k! ( n k) n k n! * ( ) ( nk, ; n k) k ( ) ( ) ( ) ( ( )) n n n n... n k n n n... n k = = k 3... k k! ( ) ( ) n n n n k n k ( n k )... 3 = ( )... 3 n = k k! n!

51 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 5/86 Spezilfälle: (3.3)

52 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 5/86 Übungsufgben 49) Berechnen Sie: 3 0 ) b) ) Entwickeln Sie (3p q). 5) Wie lutet der konstnte Term - lso der Term, der kein x enthält - in x + x 9? 3 7 5) Wie lutet der 5. Term in ( + x )? Formelbschnitt (nächster) 53) n n n = k ist zu beweisen. k= 0 Anleitung: Lehrstz = b=. Mn setze im binomischen n n n n 54) Mn zeige: = 0 4 Anleitung: Mn setze im binomischen Lehrstz = und b = und verwende vorhergehende Aufgbe. 55) Welchen Koeffizienten ht der Term im Ausdruck?

53 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 53/86 4 Vollständige Induktion (lt. inducere = hinführen) Grundlegendes Beweisverfhren in Logik und Mthemtik Anwendbr uf Aussgen, die us einer Folge von Teilussgen bestehen, lso ein gewisses n enthlten. Vorgehensweise: ) Beweis für ds (i..) kleinste n, für ds die Aussge gelten soll, uf direktem Weg. ) Induktionsnnhme: Aussge gelte für ein festes, ber beliebiges n 3) Zeigen, dss wenn die Aussge für n gilt, sie uch für n + gelten muss (Schluss von n uf n + ) Beispiel: Eine Behuptung lutet: Für lle n gilt n k= k = n ( n+ ) (n+ ) 6

54 Beweis: (4.) Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 54/86

55 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 55/86 Übungsufgben 56) Beweisen Sie durch " Schluss von n uf n + " ( vollständige Induktion ), dss gilt: n nn ( + ) 6k 5 = n(3n ) b) n = k= ) ( ) n n n x c) = d) + x+ x + + x = ( x ) x 57) Beweisen Sie durch Schluss von n uf n + " (vollständige Induktion), dss der Ausdruck durch ( x y) + teilbr ist ( n xy ) ;,. n x n n y Formelbschnitt (nächster)

56 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 56/86 5 Gleichungen Einteilung der Gleichungen z.b. nch Anzhl der uftretenden Vriblen o Gleichung mit einer Vriblen o Gleichung mit zwei Vriblen, etc. Art der Verknüpfung der Vriblen und Zhlen lgebrischen Gleichungen: rtionle Rechenopertionen +, -, *, / und ds Rdizieren (=Wurzelziehen) existieren endlich oft, ohne dss die Vrible im Exponenten erscheint, n n n n 0 i x + x x+ = 0 ( n ; lle ( i=,..., n) reell) Polynom Flls n = : Gleichung. Grdes Flls n = : Gleichung. Grdes, etc. trnszendente Gleichungen, z.b. sin x cos x= ; 3x+ 7 x+ = 5 ; ln( x+ 3) = x+ sin x; etc.

57 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 57/86 5. Gleichungen. Grdes mit einer Vriblen Die Gleichung x+ b= 0 ( 0) ht genu eine Lösung x= x = 5. Gleichungen. Grdes mit einer Vriblen (5.) x + b x+ c = 0 ( 0) stets überführbr in x b + b c x 0 + = p q

58 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 58/86 Vietscher Wurzelstz (Frnçois Viète ): x+ x = p und x x = q Diskriminnte: Ausdruck unter der Wurzel D = b 4 c bzw. Diskriminnte p D = q Es ergeben sich 3 Typen von Lösungen: D > 0 : reelle Lösungen x und x mit x x D = 0 : reelle Lösung x = x = x D < 0 : keine reellen Lösungen (komplexe Lösungen)

59 Beispiele (5.) Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 59/86

60 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 60/ Gleichungen höheren Grdes mit einer Vriblen n = 3 nlytische Lösungen (Crdnische Formel) vorhnden; ber umständlich in der Anwendung. n = 4 nlytische Lösungen vorhnden; sind ber für die Prxis kum bruchbr. n > 4 keine nlytischen Lösungen möglich, nur numerisch lösbr.

61 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 6/ Zerlegung in Linerfktoren Algebrische Gleichung. Grdes x + b x+ c = 0 Zuweisung: Polynom f( x) = x + b x+ c Nullstellen des Polynoms: (5.3)

62 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 6/86 Algebrische Gleichung 3. Grdes 3 x + b x + c x+ d = 0 (5.4)

63 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 63/86 n n Für ein Polynom n-ten Grdes f( x) = x + x x+ gelten folgende Sätze: n n 0 Stz : Besitzt ds Polynom f( x ) n der Stelle x= x eine Nullstelle, so gilt: f( x) = ( x x) gx ( ) ( x x ) heißt Linerfktor gx ( ) = reduziertes Polynom Stz : Ein Polynom n ten Grdes ht höchstens n reelle Nullstellen n n Stz 3: Besitzt f( x) = x + x x+ genu n reelle Nullstellen, so gilt: n n 0 f( x) = ( x x )( x x ) ( x x ) n Stz 4: Fundmentlstz der Algebr (C.F. Guß, Disserttion 799) Eine lgebrische Gleichung n ten Grdes ht stets n Wurzeln (diese sind evtl. komplex und evtl. mehrfch) n Stz 5: Ht eine Gleichung. n ten Grdes mit gnzzhligen Koeffizienten eine gnzzhlige Lösung, so ist diese ls Teiler in dem bsoluten Glied enthlten (Viet)

64 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 64/86 (5.5) Hinweis: Bei einer doppelten ( n fchen) Nullstelle tritt der zugehörige Linerterm doppelt ( n fch) uf.

65 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 65/86 Übungsufgben Lösen Sie die Gleichungen nch x uf: 58) ) b) x x b= + b b + b + x x + = + + x + x c) x ( x+ ) = ( x ) ( x ) d) 4 x+ 3 x x+ = + 8 4, e) x+ 6 x x + = + 9 x ) Lösen Sie die qudrtischen Gleichungen f) ( b) x = ( x ) ( x + b) g) 3 = x h) 0 + x 9x + x+ 5 3x 0 4x = 6x 6 x x+ 3x+ 3 ) (3x 7) ( x+ ) = 0 c) x + 5x+ 6= 0 b) 3x + 5x= 0 d) 3x 5x+ 4= 0

66 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 66/86 60) ( x ) ( x ) 4 ( x ) + = + 6) Gegeben sei x + ( k+ ) x+ 9k = 0. Für welches k fllen die Nullstellen dieser qudrtischen Gleichung zusmmen? 6) Ermitteln Sie die Lösungen (Wurzeln) der kubischen Gleichung 3 x 3x + 3x+ 7 = 0

67 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 67/ Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen: Die Unbeknnte x tritt in Wurzelusdrücken uf. Lösungsverfhren: ) Wurzelusdruck isolieren (evtl. mehrere Schritte nötig) ) Qudrieren (bzw. potenzieren) 3) Nch der Unbeknnten x uflösen 4) Probe ist Teil der Lösung!

68 Beispiel: (5.6) Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 68/86

69 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 69/86 Übungsufgben Lösen Sie die Gleichungen nch x uf 63) 3 x = 4 73) x = 0 64) x + x+ 8 = 9 65) x 5 = 7 74) 75) x 3x 6 = x 7 x+ 4 3 = 9 66) x 3 ( x 4) + + = 67) x x= 0 68) x+ 5 0 x = 5 x ) x+ + x+ 3 8x+ = 0 70) 3 8 x 3 = 3 7) ( 3n+ x) ( x n) = x n 7) x + 4 = 6 76) x+ 3 3 = 3 ρ gh p 0? 77) p= p e 0 h= 78) T T n n p = n =? p 79) ln x = ln6 80) ( x ) ( x ) 8) lg + 3 = lg + lg x 5 = 3 lg x

70 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 70/86 8) 83) lg x = 3 lg 4 + x ln = x 84) lg ( x ) + lg 3 = lg ( x ) 85) ( x ) ( x ) ( x ) lg + + lg lg = 0 86) ln x ln x + =

71 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 7/ Betrgsgleichungen Die Unbeknnte x tritt unter dem Absolutzeichen uf. Lösung erfolgt über Fllunterscheidung flls 0 = flls < 0

72 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 7/86 Beispiel: x = x + 5

73 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 73/86 (5.7)

74 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 74/86 Übungsufgben Für welche x gilt: 87) x x = 88) x 4 = x 89) x+ = x 90) x+ 4 = ( x x 6)

75 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 75/ Ungleichungen Beispiel: x + 5> 9 Gesucht: x =? Regeln: Addition oder Subtrktion eines beliebigen Terms uf beiden Seiten der Ungleichung ist erlubt. Multipliktion oder Division der Ungleichung mit einer positiven Zhl c > 0 ist erlubt. Multipliktion oder Division einer Ungleichung mit einer negtiven Zhl c < 0 us > < wird < > ändert ds Reltionszeichen: Hinweis: Die Lösungen sind oft Intervlle.

76 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 76/86 Beispiel: Für welche x gilt: x+ 5 x+ 4?

77 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 77/86 (5.8)

78 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 78/86 Übungsufgben Für welche x gilt: 9) x 9) ( ) 93) x 0? x x x + x 0 94) x 9 < x x 95) < x +

79 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 79/86 6 Lösungen zu den Übungsufgben Mengen: ) {,3 }; {,3} M = M = = M { } ) M = x ( x M x M ) x ( M M ) 3) Vereinfchen Sie folgende Ausdrücke durch Betrchten des Mengendigrmms: ) A b) A\ B c){ } e) A f) A B d) A B Vereinfchen von Ausdrücken 4) 3+ 4b+ 3 5) c b + c 6) ( 7 + 3) 7) 4 3b 8) 4( b c)

80 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 80/86 Bruchrechnung: 9) 0) ) ) 3) 76 8 b b b 4) b 5) 6) 4 4 ( ) ) x y y x Komplexe Zhlen 8) 0) j 9 9 9) ; j + j ) r = 3; ϕ = 30

81 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 8/86 Potenzen, Wurzeln, Logrithmen ) 3) y x n 4) x+ y 5) 6) 6 b + b 7) ( ) 3 b b 8) 9) 0 x 30) 3) c n n+ x 3) ( ) 33) 4b 34) 3 x = ) ) n x + 5 x y b) ) ) 5 lg u+ lg b ( lg x+ lg y) 3log + log + b) u ( u v) 3 c) c( c ) 4 + log log log + log + b + 3log + log b log c log ( + c) 3 37) ( ) c b

82 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 8/86 38) 39) lg + lg c lg b lg d 3 lg c b 40) lg ( ) 3 + b 3 43) 44) b = 4 45) identische Ausdrücke 46) k = lg e= ln0 4) 4) lg b x = 5 F C lg D+ E 47) B= ; D= 0 A 48) ) x lg x y b) lg ( x y) 3 lg F lg A E lg B C lg B

83 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 83/86 Binomischer Lehrstz 49) Berechnen Sie: ) 75 b) 5 50) p 6p q+ 6pq 96pq + 6q 5) x 53) Behuptung stimmt 54) Behuptung stimmt 55) 080 5) 67 Vollständige Induktion 56) Behuptungen stimmen 57) Behuptung stimmt

84 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 84/86 Gleichungen Lösen Sie die Gleichung nch x uf 58) ) b) c) b x = Qudrtische Gleichungen: 59) ) 7 ; 3 b) 5 0, 3 c) 3, 5 ± j 3 d) 6 d) 3 e) g) h) 40 ;4 7 ; 60) 3; ; 6) 4; b f) b; x = ; x = ± j 3 6) 0,

85 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 85/86 Wurzel-, Exponentil- u. logrithm. Gleichungen 63) ) 7 65) 3 66) 6 67) 68) 69) 3 70) 7) 7) 5n 5 73) keine Lösung 74) 75) 5 76) p0 p0 77) ln ρ g p 78) 79) 4 80) p ln p T p ln ln T p 3 8 8),75 8) ± 8 83) e e 84) +

86 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs 86/86 85) 0 86) e ; e Betrgsgleichungen 87) 4, 4443; 5, ) ; 89) 0 90) ; Ungleichungen 9) x 9) x 94) 95) x > 3,70 < x <, 37,70 < x < 3, 37 93) x x x

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