2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

Transkript

1 . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren. Im Übrigen gilt die Klmmerregel, d.h. Terme in Klmmern müssen ls erstes berechnet werden. Ht es verschchtelte Klmmern, müssen wir die Klmmern von innen nch ussen uflösen. Achtung: Beispiele Wenn wir Klmmern uflösen, vor denen ein Minuszeichen steht, dnn müssen sämtliche Vorzeichen in der Klmmer geändert werden. ) + 6b + + b = 6 + 7b b) - b - = b c) - ( b - ) = - b + = 6 b d) 5 - [ b - ( - b ) ] - = 5 - [ b - + b ] - = 5 - b + - b - = 6 5b e) + ( - b ) - ( b - ) + - b - b b 7 - b f) -b + - [ + c - ( + c ) ] -b + - [ + c - - c ] -b c + + c - b - b g) - [ - b - ( b ) ] - [ - b b ] - + b b - + b b - Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 11

2 . Multipliktion = 6 Fktor Fktor Produkt Regel 1 Fktoren können mit jedem Fktor multipliziert werden. ) b = b b) 5b c = 0bc Regel Bei gleichen Fktoren wird die Potenzschreibweise ngewendet 1. c) = d) = 6 Regel (Vorzeichenregel) Die Multipliktion zweier positiver oder zweier negtiver Zhlen ergibt ein positives Produkt. Ist eine der beiden Zhlen negtiv, wird ds Produkt uch negtiv. Bei der Multipliktion von mehr ls Fktoren wird ds Produkt negtiv, wenn die Anzhl der negtiven Fktoren ungerde ist. e) b = b f) ( - ) ( -b ) = b g) (-b ) = b h) ( - ) b = -b i) b ( -c ) ( -d ) = bcd j) ( -b ) ( -c ) ( -d ) = -bcd Regel Bei der Multipliktion eines Fktors mit einer Summe, muss jeder Summnd mit dem Fktor multipliziert werden. Anlog muss uch bei der Multipliktion einer Differenz vorgegngen werden. k) ( 5b + c ) = 5b + c l) ( b - c ) = b - c m) ( + b ) = 6 + 8b n) -b ( - b ) = 6b - 1b 1 Potenzschreibweise siehe Kpitel 8 1 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

3 Regel 5 Bei der Multipliktion von Summen muss jeder Summnd der einen Summe mit jedem Summnd der nderen Summe multipliziert werden. o) ( + b ) ( c + d ) = c + d + bc + bd ( + b ) ( c + d ) c + d + b c + b d p) ( - b ) ( c - d ) c = c + (-d ) = -d + (-b ) c = -6bc + (-b ) (-d ) = bd c - d - 6bc + bd Regel 6 Gleichrtige Ausdrücke in der Lösung können jeweils zusmmengefsst werden. q) ( + b ) ( + b ) = + b + b + b = + b + b r) ( - c ) ( - c ) = + (-c ) = -c + (-c ) = -c + (-c ) (-c ) = c - 5c + c Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 1

4 Regel 7 Anlog ist ds Vorgehen bei mehr ls Summnden in der Summe. s) ( b + c - d ) = b + c d t) ( - b ) ( + b - c ) = + b - c - b - b + bc = b c b + bc u) ( c + d ) ( b - c + d ) c b = 6bc + c (-c ) = -9c + c d = 6cd + d b = bd + d (-c ) = -cd + d d = d 6bc + bd - 9c + cd + d Regel 8 Mehrere Klmmern werden miteinnder multipliziert, indem zuerst Klmmern usmultipliziert werden (= Schritt 1) und dnn ds Ergebnis noch mit der. Klmmer multipliziert wird (= Schritt ). v) ( + b ) ( c + d ) ( e + f ) Schritt 1: ( + b ) ( c + d ) = ( c + d + bc + bd ) Schritt : ( c + d + bc + bd ) ( e + f ) = ce + cf + de + df + bce + bcf + bde + bdf w) ( - b ) ( + b ) ( 5 + 6b ) Schritt 1: ( - b ) ( + b ) = + b + ( -b ) + ( -b ) b = + 8b - b - 6b = + 5b - 6b Schritt : ( + 5b - 6b ) ( 5 + 6b ) = 5 + 6b + 5b 5 + 5b 6b + (-6b ) 5 + (-6b ) 6b = 0 + b + 0b - 6b + 5 b - 0b = b - 6b b - 6b 1 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

5 b) Multipliktion ) = 5 b) 7 = 11 weil = 5 c) = 5 6 d) 7 5 = 8 8 Fzit: Potenzen mit gleicher Bsis werden multipliziert, indem mn ihre Exponenten ddiert. c) Division ) 5 : = weil = 1 1 = 1 1 b) 8 : 7 = c) 0 6 : ( ) = 5 d) 1 : ( 5 ) = e) 15 9 : (5 5 ) = 5 f) 16 : (8 8 ) = - Fzit: Potenzen mit gleicher Bsis werden dividiert, indem mn ihre Exponenten subtrhiert... Spezilfälle ) n 1 = denn 5 7 = = n 7 5 ber durch Kürzen erhlten wir = 1 = 1 b) 0 = 1 denn 0 ergibt sich z.b. durch die Division von 0 = =. D Zähler und Nenner identisch sind, ht der Bruch deshlb den Wert Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

6 Die binomischen Formeln lssen sich uf ndere Vriblen, Konstnten und Vorzeichenvrinten nwenden. Aus einer der binomischen Grundformen ergibt sich die Lösung jeweils durch Ersetzen der neuen Vriblen in der Lösung der binomischen Grundform, ein "normles" Multiplizieren entfällt. ) ( x + y ) ( + b ) = + b + b x y x x y (y) = x + 6xy + 9y b) ( 5b - ) ( - b ) = - b + b 5b (5b) 5b () = 5b - 0b + 9 oder geordnet c) ( + c ) ( + b ) = + b + b 9 0b + 5b c () c c c + c d) ( - + b ) ( + b ) = + b + b (-) b (-) (-) b b 9-6b + b e) ( -x - y ) ( - b ) = - b + b (-x) y (-x) (-x) y (y) 16x + xy + 9y f) ( - b ) ( + b ) ( + b ) ( - b ) = - b b b () (b) 9 - b g) ( 8 - b ) ( -8 + b ) (-1) usklmmern: ( -1 ) ( b - 8 ) ( b - 8 ) ( - b ) = - b + b b 8 (-1) [ (b) b 8 (8) ] b - 9b 18 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

7 .5 Zerlegen von Summen in Fktoren (Ausklmmern) Je nch Aufgbenstellung ist nicht nur ds Ausmultiplizieren von Summen gefrgt, sondern uch ds Gegenteil: ds Zerlegen einer Summe bzw. einer Differenz in ihre Fktoren. Dbei geht es um ds Erkennen gemeinsmer Glieder in der Summe bzw. der Differenz. Beispiele ) b + c - d = ( b + c d ) Allen Gliedern gemeinsm ist die Vrible, sie lässt sich deshlb usklmmern. b) 9b - 1b + 6bc = b ( b + c ) Allen Gliedern gemeinsm ist die Vrible b, sie lässt sich deshlb usklmmern. c) 6xyz + x z - 10xy = x ( yz + xz 5y ) Allen Gliedern gemeinsm ist die Vrible x, sie lässt sich deshlb usklmmern. d) c - 6bc + 1bc 6c ( - b + b ) 6c ( - b + b ) e) 15cd e - 10cde - 5cd 5cd ( de - e - 5d ) Klmmern Sie bei den folgenden Aufgben negtive Fktoren us. f) -x y - 6x y - 8xy 5cd ( -5d + de - e ) -xy ( x + xy + y ) -xy ( x + xy + y ) g) 6bc - 1b - 65 b -1b ( -c ) -1b ( 5 - c + 1 ) h) 5-0b ( b + 1 ) -5 ( b + 1 ) Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 19

8 .6 Zerlegen von Summen in binomische Formeln Oft stellen Terme uch ds Resultt einer binomischen Formel dr. Sie lssen sich dher durch Zerlegung wieder in die Ausgngsschreibweise zurückverwndeln. ) x + xy + y = ( x + y ) ( x + y ) = ( x + y ) b) c - cd + d = ( c - d ) ( c - d ) = ( c d ) c) 5-16b = ( 5 + b ) ( 5 b ) Schwierig ist dbei ds Erkennen, ob es sich um binomische Formeln hndelt. + b + b + 9b - 1b - 0c - 5c 9 + 6b + b ist keine binomische Formel (ds letzte Glied müsste b nsttt b sein) ist eine binomische Formel (nur noch nicht richtig geordnet) us - 1b + 9b ergibt sich ( - b ) ist keine binomische Formel (ds letzte Glied müsste + 5c sein) ist keine binomische Formel (ds Mittelglied müsste doppelt so gross sein) ( + b ) ( + b ) = 9 + 1b + b b ist eine binomische Formel (die Glieder sind lediglich vertuscht) us 9b - 5 ergibt sich ( 7b - 5 ) ( 7b + 5 ) b ist keine binomische Formel in (ds letzte Glied müsste - 9b sein) d) + 6b + 9b ( + b ) ( + b ) ( + b ) 1. binomische Formel (d überll +) e) 9x - 0xy + 5y ( x - 5y ) ( x - 5y ) ( x - 5y ). binomische Formel (d ) f) 6-16b ( 6 + b ) ( 6 - b ) Vrinte 1: nur. binomische Formel Vrinte : Fktorisierung und. binomische Formel ( 6 + b ) ( 6 - b ) ( 9 - b ) = ( + b ) ( - b ) g) 16-1 ( + 1 ) ( + 1 ) ( - 1 ) ( + 1 ) ( - 1 ). binomische Formel (d qudrtische Terme: + - ) entspricht nochmls einer. binomischen Formel ( + 1 ) ( + 1 ) ( - 1 ) h) ( 9 + ) ( + ) ( - ) ( 9 + ) ( 9 - ). binomische Formel (d qudrtische Terme: + - ) entspricht nochmls einer. binomischen Formel ( 9 + ) ( + ) ( - ) 0 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

9 c) b + 5bc + c In Frge kommende Vrinten: ( b + c ) ( b + c ) b + 6bc + bc + c Mittelglied: + 7bc ( b + c ) ( b + c ) b + bc + bc + c Mittelglied: + 5bc ( b + c ) ( b + c ) d) 6x - 6xy - 1y usklmmern: 6 ( x - xy - y ) In Frge kommende Vrinten: ( x + y ) ( x - y ) x - xy + xy - y Mittelglied: - xy ( x + y ) ( x - y ) x - xy + xy - y Mittelglied: + xy 6 ( x + y ) ( x - y ) e) - b - 5b In Frge kommende Vrinten: Mittelglied ( + b ) ( - 5b ) - 10b + b - 5b - 9b ( - b ) ( + 5b ) + 10b - b - 5b + 9b ( - 5b ) ( + b ) + b - 5b - 5b - b ( + 5b ) ( - b ) - b + 5b - 5b + b Vrinte ist lso die Lösung. ( - 5b ) ( + b ) f) usklmmern: ( ) In Frge kommende Vrinten: Mittelglied ( + 1 ) ( - 6 ) ( - 1 ) ( + 6 ) ( + ) ( - ) ( - ) ( + ) Vrinte ist lso die Lösung. ( + ) ( - ) Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

10 .8 Division 1 : = Dividend Divisor Quotient Bei der Division muss jedes Glied des Dividenden durch den Divisor dividiert werden. ) ( + 6b - b ) : () = + b b + b - b Zweckmässig ist oft die Lösung mit Hilfe der Bruch-Drstellung: + 6b b Durch Ausklmmern von erhält mn: ( + b b ) Anschliessendes Kürzen führt uch zum Ergebnis + b b b) ( xy - xy + 16x ) : (x) xy : (x) = y (-xy ) : (x) = -y 16x : (x) = x x + y - y c) ( 6 - b + ) : () 6 : () = ( -b ) : () = -b : () = 1 - b + 1 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

11 Aufgbe.1 Berechnen Sie die Resultte der folgenden Additionen und Subtrktionen. ) - ( b + c + d ) - b - c - d b) -n - ( n + n ) -n - 5n c) m - ( m - ) d) - (-b + c ) + b - c e) -5e (-5e + 7 ) 0 f) - (-b + c - d ) + b - c + d g) -6g ( g - 7g - 1 ) -g + g + 6 h) (-8z + 7 ) - (-8z - 1 ) 19 i) ( x - y + z ) - ( x - z ) -y + z j) (-e + 9e ) - ( e - ) -e + 9e + k) ( x - y ) - (-x + 9z ) - ( 5y - 8z ) x - 9y - z l) p - ( q - r ) - ( r - q ) p m) v - ( 5w + 10 ) - w - ( 8v - 7 )- 1 + ( 6v - 9w ) -18w - n) -[- ( p + 8 ) + 6p ] p o) 8x - [ x - ( x - 7x + )] x - 11x + 11 p) -9s + 6t - [ t - ( 5s - 8t ) - ( s + 7t ) - s ] t q) -[ ( - ) + ( 5b - )] + [ ( - )- ( 5b - )] - 10b r) - [ b - c - ( - b )] - b + c s) -e + e - ( e - e ) -e t) y + x - ( 6y + x ) x + y - 6y u) - - b + (- + b - ) - - v) x - 5y - ( 5x + 9y - x ) - y + (-6x - 1y ) x - 11x - 7y w) (-10g - 9h ) - ( g + h - 7h ) + h - ( 5h - 11g + h ) -5h - h x) -c - [ ( + 7c - 6bc + b ) - (-7c + bc - )] + 6 -b + 9bc - c - 1c y) 5x - ( y - x - ( 15y - 6x ) + x - [ y - ( x - y )] ) - x -x + 19y Aufgbe. Berechnen Sie die Resultte der folgenden Multipliktionen. ) c ( c + 5d ) 8c + 0cd b) ( 6 + c - b ) 1-6b + c c) ( -x ) ( -5y - c + 6x ) 8cx - x + 0xy d) ( - ) ( y + x - y - ) -x + y - y + 8 e) ( -b ) ( b b ) - b + b - b + 8b f) 5 ( x + 9y ) + ( 5y - x ) 11x + 55y g) 10 ( 5b - 6 ) - ( b + ) 8b - 6 h) m - m ( n + m ) - 6mn + m -8mn i) c ( c - 5 ) c - 0c + 50c j) - ( - b) ( + b ) b - Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 7

12 Aufgbe. Berechnen Sie die Resultte der folgenden Multipliktionen. ) (-c + d ) (-c + 1d ) c - 1cd + 1d b) ( n - ) ( n + 1 ) n - n - c) ( t + ) ( t + 5 ) t + 7t + 10 d) ( - z ) ( b + z ) b + z - bz - z e) (-r + 6 ) (-r + ) r - 10r + f) (-f - g ) (-g + 1 ) fg - f + g - g g) ( x - y ) ( x - y ) 6x - 1xy + 6y h) ( z - 1 ) ( z + 1 ) z + z - z - 1 i) ( 10x + 5y ) ( x - 6y ) 0x - 60x y + 10xy - 0y j) ( 8 - t ) ( - t ) t - 1t + k) ( 1 + n ) ( 15 - n ) -n + 1n + 15 l) ( d - 1 ) (-d + 8 ) -6d + 19d - 8 m) ( x + 5 ) ( x - 5 ) x - 5 n) ( z - 1 ) ( z + 1 ) z - 1 o) (-n + 10 ) (-n - 10 ) 9n p) ( 5n + ) (-5n + ) -5n + 16 q) ( 17 + n ) ( 17 - n ) 89-16n r) ( - - b ) ( - - b ) + b + b 8 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

13 Aufgbe. Berechnen Sie die Resultte der folgenden Multipliktionen. ) ( w - 8 ) ( v + ) 8vw - v + w - 16 b) ( k + 9p ) (-9p - k ) 16k - 7kp - 81p c) ( c + ) ( c - ) c + c - 8 d) ( w + v ) ( w - ) -v + vw + 8w - 8w e) ( + 5b - 8 ) ( - b + 1 ) 6 + 1b 5b + 1b 8 f) ( c - - d ) ( d c ) 1c + 0c + 18cd 6d 18d 1 g) ( x - 7y + z ) ( z + - y ) x xy + xz + 1y - 8y 11yz + z + 8z h) (- - 6b - 5 ) ( + 5b - 6 ) 1 9b - 0b + 11b + 0 i) ( m + n ) ( n - m ) ( m + n ) 1m 8m n + 7mn + 18n j) ( b - ) ( b + ) ( b + 5 ) 6b + 7b b 0 k) ( e - f ) ( 5 - e ) ( + f ) 18e 1e f + 5e + 8ef + ef 0f 0f l) ( 8m - ) ( 5 - m ) ( m + ) 96m + 100m + 16m 60 m) (- + 5b ) ( 5b - ) (- - 5b ) b + 100b 15b n) ( 9v - 8w ) ( v + 6w ) ( 6w - v ) 5v 6v w + 7vw 88w o) ( 10 - b ) ( b - 5 ) ( 5 + b ) b + 50b + 175b 50 p) ( x + y + z ) x + 6xy + 8xz + 9y + yz + 16z Aufgbe.5 Berechnen Sie die Resultte der folgenden Additionen und Subtrktionen. ) + b) c) d) b + b - b b + b e) 5 b - b - b + 5b b + b f) bc + bc - bc - bc bc - bc g) xy z + y z - xy z - y z xy z - y z h) xy - xz + 5xy - xy + xy 6xy - xy - xz i) 5m n + mn - m n - m n + mn mn - m n j) de f - ef + de f + ef - de f + ef 0 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 8

14 Aufgbe.6 Berechnen Sie die Resultte der folgenden Multipliktionen. ) 6 b) c) 6 7 d) 5 e) 1 5 f) 5 b 7 b g) c 5 c 8 8 c h) x y x 6xy 18x 7 y 5 i) xy z 5x yz x 6 y z 15x 10 y 7 z 5 j) x yz xy 5 z 7 8x yz 96x 6 y 7 z 1 Aufgbe.7 Berechnen Sie die Resultte der folgenden Divisionen. ) 6 : b) 8 : c) 7 : 6 d) : () e) 5 : (6 ) f) 9 6 : () 5 g) 16 1 : (8 ) 9 h) 60 b : (5 b ) 1 b i) 8 8 b : ( b) 1 5 j) 6 5 b c : (9 bc ) bc k) 1 b c : (6 b c ) b l) 0 b c : (8 b c ) 5 Aufgbe.8 Berechnen Sie die Resultte. ) c) e) g) i) 0 b b b 6 bc c b) 5b - oder 5 b 5 b -1 c oder 5 c b h) 6 96b k) b 6b 6 j) d) f) b b 6 c 5 b c -1 oder - oder 8-8b 18b l) ( b ) 5 b 9b 1 5 b c Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 9

15 Aufgbe.9 Berechnen Sie die Resultte der folgenden binomischen Terme. ) ( b + c ) b + bc + c b) ( - b ) - b + b c) ( + b ) 9 + 1b + b d) ( + b ) ( - b ) - b e) ( c - d ) 16c - 16cd + d f) ( 5c - e ) ( 5c + e ) 5c - e g) ( + b ) + b + b h) ( - c ) - c + c i) ( c + d ) ( c - d ) c - d j) ( e - f ) e - 6e f + 9f Aufgbe.10 Berechnen Sie die Resultte. ) ( x - y ) ( x - y + z ) x - xy + xz + y - yz b) ( x - y ) ( 5x - y + y + xy - x ) -x + 10x + 6x y - 8xy - 18xy + 8y - y c) ( y - x - 8 ) ( y - 1x + ) 8x + 80x - 8xy + y - d) ( x + 1 ) ( x + ) ( x + ) x + 6x + 11x + 6 e) ( m - n ) ( m + n ) ( n - m ) -m + m n + mn - n f) ( -c + d ) c - cd + d g) ( -w - v ) w + vw + v h) ( b - ) - 16b + 16b i) ( -5x + y ) 5x - 0xy + y j) ( - + ) ( - - ) - k) ( y + ) ( -y + ) -9y + 9 l) ( -15-5b ) ( b ) b - 5b m) ( + 6 ) ( - 6 ) - ( b + 5 ) ( b - 5 ) - b - 11 n) ( 8x - 9y ) + ( 8x + 9y ) 18x + 16y o) ( 5m - 5 ) - ( 5m + 5 ) -100m p) ( m - ) - ( - m ) 0 q) ( x - y ) + ( x + y ) ( x - y ) x - xy r) ( - b ) ( + b ) + b ( + b ) + b Aufgbe.11 Klmmern Sie geeignete Fktoren us. ) 1-0b + 8 ( - 5b + ) b) -6x y - xy + 1x x (-xy- y + 6) c) x y - 6y + 15y y ( x - y + 5 ) d) x y - xy - xy xy ( x - y - ) e) 5 bc - b c - bc bc ( 5 - b - c ) f) x + x y - 6x yz x ( x + y - 6yz ) g) bc + 6 c 6 ( + c + bc ) h) -9 b + 6b + 9b b (- + b + ) i) 0b c + 5b c - 15b c 5b c ( b + bc - c ) j) -1x y - 8xy - 1xy xy (-7xy- y - 7 ) k) c - 0 c - bc 8c ( - 5c - bc ) l) 1 b + b - b b ( + b - 1 ) 0 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

16 Aufgbe.1 Zerlegen Sie die Summen und Differenzen in binomische Formeln. ) + b + 6b ( + 6b ) b) 9-6b + b ( - b ) c) ( 9 + ) ( 9 - ) d) c - cd + d ( c - d ) e) b + 9b ( 8 + 7b ) f) - 10b + 5b ( - 5b ) g) c - d ( c + d ) ( c - d ) h) 9c + 0cd + 5d ( c + 5d ) i) 16x - 8xy + y ( x - y ) j) -6c + cd - d ( -6c + d ) ( 6c - d ) oder - ( c - d ) k) -9m - m - 9 ( m + 7 ) (-m - 7) oder -1 ( m + 7 ) l) b - 16b (-10 + b ) ( 10 - b ) oder - ( 5 - b ) m) 1x - 60x + 75 ( x - 5 ) n) b - ( + b ) ( - b ) o) 65-81b ( 5 + 9b ) ( 5 + b ) ( 5 - b ) p) 81m - 16n ( 9m + n ) ( m + n ) ( m - n ) Aufgbe.1 Schreiben Sie die Summen und Differenzen ls Produkte zweier Terme. Bei einigen Aufgben ist es zweckmässig, zuerst eine Zhl uszuklmmern und den Rest noch ls Produkt zweier Terme zu schreiben; ds Resultt besteht dnn genu genommen us Fktoren. ) ( + ) ( - ) b) x + x - 1 ( x + 7 ) ( x - ) c) - - ( + 1 ) ( - ) d) ( - 1 ) ( - 1 ) e) 5x + 0x ( x + ) f) -8x + x ( x - ) g) x + 6x + x x ( x + 1 ) h) ( - 1 ) i) x - 1y ( x - y ) ( x + y ) j) -5x - 0x ( 5x + ) oder ( 5x + ) ( -5x - ) Aufgbe.1 Zerlegen Sie die Summen und Differenzen in so viele Fktoren wie möglich. ) x + 9x + 0 ( x + ) ( x + 5 ) b) c + 8cd + 9d ( c + 7d ) c) b + 10b + 9 ( b + 1 ) ( b + 9 ) d) x - 5x + ( x - 1 ) ( x - ) e) 6n - 1 ( 6n + 1 ) ( 6n - 1 ) f) u - u - 0 ( u + 5 ) ( u - 8 ) g) f - 0fg + 5g ( f - 5g ) h) 16r - rs + 9s ( r - s ) i) m + m - 5 ( m + 5 ) ( m - 1 ) j) 16m - 9n ( m + n ) ( m - n ) k) 9k - 6k 9k ( k + ) ( k - ) l) y - y - 0 ( y + 5 ) ( y - 6 ) m) - b + b ( - b ) ( - b ) n) 18z - ( z + 1 ) ( z - 1 ) oder ( + b ) ( - b ) o) p - 7p - 10 ( p + 8 ) ( p - 15 ) p) y + 0y + 00 ( y + 0 ) q) x - y ( x + y ) ( x - y ) r) 1r - 8r + 1 ( 6r - 1 )( r - 1 ) s) 5-10b + 5b 5 ( - b ) t) p - pq - 8q ( p + q ) ( p - q ) u) r + rs - 1s ( r + 7s ) ( r - s ) v) -u + 18uv - 7v - ( u - v ) w) x - x + 16 nicht zerlegbr x) 5x + 10x ( x + 5 ) ( x - ) Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 1

17 Aufgbe.15 Schreiben Sie die Summen und Differenzen ls Produkte zweier Terme. (Hierbei hndelt es sich um ufwändige und nspruchsvolle Zustzufgben.) ) 1-7b - 1b ( + b ) ( - b ) b) x + 19x - ( x + 11 ) ( x - ) c) x + 10xy + 1y ( x + y ) ( x + y ) d) x - 10xy - 8y ( x - y ) ( x + y ) e) b - b ( + b ) ( 5-6b ) f) 8x - x - ( x + 1 ) ( x - ) g) 18-7b - 0b ( - 5b ) ( 9 + b ) h) ( + ) ( - ) i) -16x - 6x - 9 ( 8x + 9 ) (-x - 1 ) j) x + 15x - 77 ( x + 11 ) ( x - 7 ) Aufgbe.16 Zerlegen Sie die Summen und Differenzen in so viele Fktoren wie möglich. ) x + 17x + xy x ( x + y + 17 ) b) x + 6x + 9 ( x + ) c) ( -1 ) ( - 7 ) d) x + 6x + 8 ( x + ) ( x + ) e) 81x + 16x + 9 ( 9x + 7 ) f) 5x - 1 ( 5x + 1 ) ( 5x - 1 ) g) 16x - x + 6 ( x - 8x + 9 ) h) x + 8x + 7 ( x + 1 ) ( x + 7 ) i) x + x - 5 ( x + 5 ) ( x - 1 ) j) 60x - 18x ( x - 5 ) k) x - 5x + 6 ( x - ) ( x - ) l) x - 8 ( x + ) ( x - ) m) x - x - 6 ( x + ) ( x - ) n) x + 8x + ( x + 1 ) o) 16x - 0xy + 5y nicht zerlegbr p) 8x - ( x + 1 ) ( x - 1 ) q) x + 1 nicht zerlegbr r) -5x - 0x ( x + ) s) x + x + ( x + ) ( x + ) t) u + u + ( u + 1 ) ( u + ) u) y + y - 6 ( y + 9 ) ( y - 7 ) v) y - y - 99 ( y + 9 ) ( y - 11 ) w) ( - 5 ) ( - 7 ) x) v + b - 6b nicht zerlegbr y) - 1 ( + 1) ( + 1) ( - 1) z) - ( + ) ( - ) oder ( 1 + ) ( 1 - ) Aufgbe.17 Zerlegen Sie die Summen und Differenzen in so viele Fktoren wie möglich. ) ( + ) b) c + 1cd + 1d ( c + d ) c) -k - k ( k - ) ( k + 5 ) d) -q r + qr - (-1) ( qr - ) e) b b (-1 ) ( - b ) f) 8x - 16xy + 6y ( x - y ) ( x - y ) g) ( 5 - ) ( + 5 ) h) -50c + 18d - ( 5c - 8d ) ( 5c + 8d ) i) -x x - ( 6x + 16x - 5 ) j) -1x + 1xy - y (- ) ( x - y ) ( x - y ) Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )