c) 75x 14x+33y 100a+26b 77a 80r 35r 45r 97t 97+3t 120x+116y +203z c) 4ab 3ab 5a 2 7ab 9xy 4x 3 y 2x 2 y 5 3x 3 y 2 4x 3xy 5y 8xy 2x 2 3y 2

Transkript

1 Aufgbe : Vereinfche so weit wie möglich! y z 8u 3u+6v r +r 7r s 5t+ +y +5+y 8 +3b c 5u+v 6r +t b y 00+6b 77 80r 35r 5r 97t 97+3t 0+6y +03z u+57v 8v 75w 83z 53w 6c+5d 6c 59g 00+g 00h 33h h Aufgbe : Vereinfche so weit wie möglich! 3 b y 5 3 r s r 9 b u v 8 u 5 b b 8 5b 3 6 y 3 y 5 r 9s 7r 3 6 b y 8 t 3 t 5 t 3 b 3b 5 7b 9y 3 y y y 3y 5y 8y 3y 8 3 5y 3 y 3b b 9uv 8uv 5uv 7y y 3r 9rs r s 8 3 Aufgbe 3: Löse jeweils die Klmmer uf! 5(3 7) ( 5 9( r) 6(9t q) 5(+y z) 8( ) (+y ) r(s+ t) (+7) (5 r(r +s) ( (7b (y 8z) r(0s ) c( 8 ( 3 ( y +5) 7 ( d ( y ) j) 8( 8) 7( 7 (r +) 0( 0) 3( y) 5r(s t) 7u(9v 3w) (y 50z) (y z +5) r(3 s+t) u(v w 3) (b c k) 6(5+) (3 9 5t(+5t) 3(7b (6y 5z) 8 ( 7 (s t) 5r (5b 7 0 (8b+3c 5 5(3y z ) 8(6 b+7 9( r s) l) (y +z).5(b c ) y(b+ 0.3r (s +t ) Aufgbe : Klmmere so us, dss der Term in der Klmmer möglichst einfch wird! 9b+9c 5r 5rs 7y +7 8uv 8vw 3b+bc y +yz 5uv 5ut rs 8st 0 +y Aufgbe 5: Löse die Klmmern uf. Fsse dnn zusmmen. ( (+ (+y) ( y) (u v) (v u) (r s) (r s) (3 +( 5) (+7) ( ) ( +(b (+y) (y ) yz + 8y 5r s 5rs 0uv 60uvw (8 3 (5+9 (+7y) ( +y) (+ (.b 6 ( 0 ( 3 +8 Aufgbe 6: Klmmere den Fktor ( ) us. 5 y b 7 r 9 +0 c+ +y +q q + b y c c d+e u.7+v 5 ++y Aufgbe 7: Löse die Klmmern uf. Fsse dnn zusmmen. (+y)+(y ) 3( y)+(+y) 3 ( 5(b+ (3++(8 3( y)+(+y) (y )+ ( y) 5(+y +z) 7( y +z) 8(+y z) +5(b+ 9( b (+ b( y) ( y z) b(y +z)

2 Aufgbe 8: Löse die Klmmern uf. Fsse dnn zusmmen. ( 3)(+7) (+)( 8) (9 )(+) ( 5)(0 ( r)( r) (8 t)(t+8) ( 5)(3 (8 7)(+) (+( (3 y)( 5y) (9 (5+ (7 3y)( 6y) ( y)(+y) ( +( 8 ( r s)( r +s) ( u+v)( 5u ( 9( 7 (+9(+7 Aufgbe 9: Löse die Klmmern uf. (+y)(7+z +t) ( (c+d ( r +s)(u v +w) (+(d ( y z)(u+v) (r s+t)(8 k) ( +(+c ( y)(r s t) ( u+v)( b+ Aufgbe 0: Wende die binomischen Formeln n. Notiere uch, welche Terme du für bzw. b einsetzen musst. (+5) ( 7) (+3)( 3) (6+ ( (+( Aufgbe : Löse die Klmmern uf. (+) (0 ) (+9)(9 ) (3+y) (8 y) (+y)( y) (7), (5m), (0.y), ( ) 5 r, ( ) k, (y) 0 Aufgbe : Wende die binomischen Formeln n. (3p+) (5p 3) (p+7)(p 7) (8+6r) ( 9r) (+5r)( 5r) (.5+) ( 0.8) (+3.)( 3.) Aufgbe 3: Berechne. (0. y) (+.5y) ( 0.y)(+0.y) (5+6y) (9 y) (7 3y)(7+3y) ( 5 y) ( + 3 y) ( 3 +y)( 3 y) (+3 (6 5 (9 (9+ ( k 5 6r) ( 7 5 t+0.s) (0.5u+ v )(0.5u v ) ( +) (+( 3)) ( ) ( r +s) ( r s) (r +( s)) ( 6+y) (++( 3y)) ( 5 7y) ( 3+ ( +( 3 (8u 7v)(8u+3v) Aufgbe : Löse die Klmmern uf; fsse zusmmen. (+3 +(+(+ (5 +(3+( 3 (+ +(7+(7 (6 +(8+ (3+ +(+3 ( +( j) k) l) (+y) (+y)(3+y) ( 6y) ( y)(5+y) ( y)(+y) (+3y) (8 y)(8 y) (8+y) (5+3y) ( y) (7 5y) (5 7y) Aufgbe 5: Fktorisiere (schreibe ls Produkt). y + 3b+9 rs rt+r 5++y 8b+bc+bd y +7+ 6b b+b 9 y z uv uvw u v

3 Aufgbe 6: Klmmere us je zwei Summnden den gemeinsmen Fktor us. 3++5y +by 8 b+3u+uv y +rs r b b +rs+s +y 3 b 7 y +5 Aufgbe 7: Schreibe ls Produkt. (+3)+y(+3) (+y)+(+y)b r( s)+s( s) (5 b(5 3( y) z( y) (b+ (b+ (y +7)+z(7+y) ( c+(b d r(u v) (v u) Aufgbe 8: Fktorisiere. +b+c+bc 5 y +5z yz +y +by + +b+b y z +y yz r rs+5r 5s + b b uv vw u+w +b+b+b Aufgbe 9: Fktorisiere mit Hilfe der dritten binomischen Formel. u v r s y k m 5 9 t 6 r 0.5 b 0.0. k 0. 9 y b r 00s 8u v 6 9b 6 5y 0.9r 0.0s.69p.q Aufgbe 0: Fktorisiere mit Hilfe der ersten bzw. zweiten binomischen Formel. +y +y r rs+s b+b Aufgbe : Fktorisiere mit Hilfe der ersten bzw. zweiten binomischen Formel y +00y 9 8b+6b 9r +6rs+8s u uv +v y +9y 900 0t+6t y +30y +9b 8b 6u +v 8uv 0rs+00r +s Aufgbe : Fktorisiere mit Hilfe einer binomischen Formel. 5 6y +b+9b 9r rs+9s 6 +b 8b 00 8y uv +36u +v 0.5 +b+b 9 0.6y +0.0y 0.0r 0.6s Aufgbe 3: Fktorisiere mit Hilfe einer binomischen Formel; klmmere zunächst einen geeigneten gemeinsmen Fktor us. 8 98b 5 +30y +5y 80u 360uv +0v 08 +5y +7y 0b+50b 980u 30v y +900y +b+b 500r 500s 3

4 Aufgbe : + b y +y y + 3y +y 5y y +y y + y y b + b b b 3b 6 5b b ( y) (+y) y 3 + +y j) k) l) + c b 9 y 5b y Aufgbe 5: ( 3 y 5y 6z ( 3 b 5c ( y + 3y ) 8 y ) ) b y ( u 3v + v u v ) v ( b ) b ( 5 b ) b ( 7b 8 5b ( bc ) ( + ) ( b ( ) ( b b +) j) k) l) ( + ( ( b + b Aufgbe 6: Multipliziere b c d y 3y 5b c b b y 7 9b y 3b 7 3y 5y y 3 6bc b 8 5 8y 6y 5 Aufgbe 7: Löse die Klmmern uf. ( ) ( ),, y ( ) u, v ( ) b, 7 ( ) 8pr 3y Aufgbe 8: c+d b c d 5 +y +y b b+b y +y 3b y y + Aufgbe 9: b 3b y 5 8 3b 8b 7y (+y) +b ( +y y (+y) b y ( y) 8+3b 7 ( y +y ( 3z) Aufgbe 30: m : b n y : u v 3 b : 5 b c : 7 c 5 6b : 5b 3c : 35m 5y u 39b 3c : 6c 85b 3 b 6b : 7y y 3 y 7b : 9y z b c Aufgbe 3: c+d : c d b +y u v : u+v : 3(+ b : +y b : +y b 3( y) (+ : 6( y) 5( b ) b (+ : b ( y) : y y +y

5 Eine Übungsserie von Fru Knecht:. Lösen Sie die Klmmern uf und fssen Sie zusmmen.. (7 ( 3 9+( 6+ (+9 =. (3m+3n) (38m n)+( 3m 8n) ( 3m+3n) = 3. (8p 3q +7) (7p q )+(p 3q 7) =. p [(5q 7) ( 3p+8q)] [9+( 6p 7q +5)] = 5. 3 [7b (+3]+[( 7] = 6. [3m (6n+)] [(8m 7)+(n 3) (m+5n)] = 7. 8p+[ 6q +(7p q)] [(3p q) 6p] = 8. 3 { 3 [ +(5 )+ ]} = 9. ( +{6 [3 ( 9 + 8)]} = 0. 3 {3 b b [(b 3 ]} =. {[(y 5 y) 3y ]} 7y +3 y =. Vereinfchen Sie so weit wie möglich.. ( ( 3 =. ( 3 = =. () 3 (3) = 5. 3 ( 3) = 6. ( ) 3 ( 3) = 7. 8 : ( = 8. ( 8 : ( = 9. ( 359yz) : (359) y z = bc : [( 957)b] c =. [3 y 5 y] : ( 8y) =. 3 y : [8y (y y)] = 3. ( y) : (y ) =. ( y) 3 : (y ) = 9. 8 : ( ) = 0. ( 8 : ( =. 5 y : ( ) 3y +8 3 y : ( 7 y) 6y =. ( 53 3 b ) : (7b ) 76( ) : + b : ( 0. = 3. 7(5 3 6b 3 ) =. ( 3 )(5b = 5. (p q +3q )pq = 6. ( y )( 3 y 3 ) = 7. (5b 5 : ( 5 = 8. 56y z : [( ) z] = 5

6 Aufgbe : Ausklmmern = (+3)y +(+3)z +(y +z) = b+6 = 5b+9 = 9b+5 = 5 0b+0 = 9 8 = 8b c+6 = y 6y +y = j) 6 y +8z = k) 8 y +6 = l) 8+6y + = m) 0 8y = n) y +8 = o) 6 b+6 = p) 8z 9+6y = q) 9z +6 = r) 0 5 = s) 7y = t) 7y y = u) +35y z = v) +35 z = w) 35 = ) = Aufgbe : Ausklmmern eines negtiven Fktors. 5+0b 5b = +6b = 3+7b 8 = b 3b+b = = +63 = 6 8y = +6y = Aufgbe 3: Fktorisiere. e f 30e 3 f 6 +7e f 5 = 60 y 90 y y = 80 5 b c b 5 c b 6 = 8f 3 g 5 h +g h 36f g 5 h 6 = ( ( 3b+7( = (+y) y +(+y) 3 = 3c 5d+3bc 5bd = 5b+7b y +5by 7b y = 6fk 5fl+3f +gk 5gl+g hk +0hl h = j) b 6 c = k) 8 y +5z 6 +0 y z 3 = l) 70e f 3 gh +5e f 6 +89g h = m) 50 b b b 7 = n) 7 8 y +7 6 y +8 y = o) 3k l m +l mn 9n = p) 6 b 6 b 3 c +9c 5f g 6 = q) 9 70b +5b 6c 56cd 9d = r) uw 8uw +9u 8vw +56vw 98v = s) 8r s 8 7r s t 6 +6t = 6

7 Aufgben von VK07ET Bruchterme ddieren b + 3 d y + 6 m b 5 + y y y b yz z 3 d 3y z3 3 y + y z n + 5z m 7 b 5 bc d d + cde b z y 3 y 3 y3 y y 8 7y d 3 d + d3 5c 3 5c 3b 5d 3v 3v 5 5 b + 6b3 5 3 b 6m 3 n n 8nm3 n m + y y +y y +y + y y b b b+ b e f e ef +f + e+f b e +ef +f b y + y y + + y + y +y + Bruchterme multiplizieren b 3 b zb bz z v + 6 b v v 3c c c 6 (e (e+ (e+ f + us 6su 9su su g+h h (c+ c d c d ++ 9y y 8 yz bc b y y 3y y + 3 hg mn g h n mn 3m + (+y)(y +z) y y yb y +b y b Bruchterme dividieren 6c 6 c : 3 3b : 6b n 3z m : mnp um 3 6pn 6m u : 0unm 9u 3 m h+ h h+3f : : 6f g g 6f k +c c+b : +c+c (z +) (b+ z (z +) z : z+ z + v + : v +v + 3 v3 3v 5z 8zy : z 9y fkk kf b b (+ (b+ m m z +y z y + z y z +y u v u + v u v c c c c+ gfs skfd v 3 + v c 3 m m cb zyc : y 5c y : y z y 3 3z : u z c : 3c 8 (z +) c z 3 : : (z +) z + u (u+3)(u 3) : (u+)(u ) u +6u+9 b (+ : b +3b 6z +6 6z (y +) y : y +y + (y ) 5c c 6 (c : (c+) b 8c (c) 7

8 Vermischte Aufgben ( 3y + 6y ) ( ) ( 5 5z 8y n + 8 ) ( ) ( 0 3v : m mn u v ) v u u ( y + y ) : ( z n + 5z ) nm ( 7 m z 5 ) : y y + 5 y 3 y + z + yz y y y + 5 b 3b (3b 6b q y z +y z y + z y z +y ( b d + cd b w w + b + b b b 6b 5b y + y 3 3y 3y y 8y + b(5c 0c 3y y p w 3v w 3vw 6w 3v 9w 3 5 c 0c b 6b + 5 6y 0 y y 5y 3p 3q 9p 3q p z y z +y y z +y +z z y z +y z +y z +y + z z y v v + 5w + w 30v ( + y y ) : ) + 9 5y + 8 y y + (+y) + y y 6 8

9 Bruchterme und Bruchgleichungen. Welche Zhlen drf mn nicht einsetzen? Bestimme die Definitionsmenge des Bruchterms. (+3) ( )(+) Kürze so weit wie möglich ( y) 7 9 0( y) 38( ) (+y) 57( ) 3 (+y) 9(y +) + 5y 6(y +) 3 3(+ ) yz j) bcd k) 7( y) l) ( )( ) m) bdef y y n) p) (+( b 3. Kürze so weit wie möglich y + 8(y ). Erweitere uf den Nenner N. N = N = y 3 y o) 6 3y y ( )( 3) ( y) (y ) 9 9 y yz yz z y y y N = ( y) y N = + 9

10 5. Berechne und kürze ds Ergebnis y +y + y +y +5b + 6. Berechne und kürze ds Ergebnis, wenn möglich y 5y 3 y + 3 y + y 3y + y +y 3 y +y j) Berechne und kürze, wenn möglich. 6 6 : b : b c c y y : y y 9b 3 8b 9b : 3 8b l) 8y y y j) m) +3 y : +3 k) 6 y y ( y) n) +y y : y 8. Löse die Bruchgleichung. 8 = 7+ = 9 5+ = = = 5 = = +5 7 j) = = k) = 7( ) = 5+ 0

11 9. Löse die Bruchgleichung. 6 + = = Löse die Bruchgleichung. + = 3 3 = = = = = = 7 (+)( 5) = 0 (5+)( 3) = (+5)(+6) + + = 6 (+)(+) 3 (+) + 5 ( )(+) = ( ) ( )( 9) + 3 ( )( 9) = 5 ( )( ). Löse die Bruchgleichung. 5 = = = = = = = = 5 5. Bestimme die Lösungsmenge. + > 0 > 3 < > + < 3 6 > 3 + > 3 < 0 > 3 3. Löse die Gleichung nch uf. + = = +3 3 = + b = 3 b = 3 = b = 3 + = = + j) + = k) = l) +b +b = b = 3+ m)

12 Aufgben zur Potenzrechnung A. 6 =. 3 3 = =. 8 6 = 5. ( 3) ( 3) 3 = = 7. ( ) n ( ) 3 = 8. ( ) n ( ) n = = 0. 9 =. z z =. 3 = 3. ( ) 3 ( ) 5 =. ( ( 3 = 5. ( y) ( y) = 6. ( c 5 = 7. ( 3 5 = 8. ( ( e ) = 9. ( 5 ( 5 ) = 0. ( 3 ( =. (+ (+ 3 =. (u v) (u v) (u v) 3 = 3. 3 n =. t m t n = 5. s m s m = 6. u k u = 7. v v 3n = 8. n+ n = 9. y m y n+ = 30. c n c n c n = B. ( n ( n+ =. ( ( n ( n+ = 3. ( ( n ( n+ =. 3c 5 7c 3 = k 7 k 3 = 6.. m+n 0.6 m n = 7. 3y 3 = 8. 3 b m k b = 9. 6 n y 3n ( 3 n y) = = 7 0 = 7 7 = 8 = = 65 ( 5) = ( 3) 7 ( 3) 3 = ( 3) 7 ( 3) 3 = ( 3) = ( 3) ( 3) 7 = 3 ( 3) 7 = ( ) ( ) 3 = ( ) n+ ( ) n = C = 5 7 = z 6 z 6 = y 9 y = y y 9 = ( 3 ( = ( ( = 7 ( = n m = t n t n = e m e m = w q+ w q+ = y m+ y m = k k = c p c p = u k+6 u 6 k = 3 m+3 7 = n+3 6 = 5 5 k+ = 9 7 m+ =

13 D b 6 7 b = c d 6 3c d 5 = 35 n+ b n n b = 6y m+ 5 k y m+ = 3 n+ 5bn 5bn n = 3 n+ 5bn : 5bn n = 3 n 3n+ : bn b n+ = p 7 ( ) q 5 r : p : q6 = r ( 6y 3 5b 3 5 ) 3b y : by = v n ( u w n : w n+ v 3n ) u n+ = ( ) p 3n+ q3 : qm s n. ( 3 ) = 3. ( ) 3 =. (3 3 ) = 5. (3 ) 3 = 6. (0. 5 ) = 7. (0.5 ) 5 = 8. ( ) = 9. [( ) ] = 0. [( ) 3 ] =. [( ) 3 ] 3 =. ( ) 3 = 3. ( ) = : ( p n+ s n : q s n ) = E. ( p ) q =. ( ) q = 3. ( p ) 3 =. ( k ) = 5. (z m+ ) 5 = 6. (y m ) 3n = 7. (b m ) m = 8. (u n+m ) n m = 9. [( m ] n = 0. [( p ] q =. ( 5 ) m =. ( z 6 ) n+ = 3. ( b 3 ) =. (5 3 ) = 5. (u v 3 ) n = 6. ( c n ) n = ( ) 7. = b 3 ( ) y = ( ) 3 9. n = ( ) 3 n 0. 5y =. =. = 3. =. = 5. = 6. = F. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 0. =. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 0. =. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 3

14 F Schreibe ls Potenz Bsis N möglichst klein n 6. 5 n 7. 6 m k Schreibe ls Qudrt n 6. y 8m 7. n+ 8. b n+ 9. 9y k 0. 6z 6n Kürze! n 5 n+ 0 n+ (7 8) n+ (6 n 9) 3 (6 n n ) 3 (7 8 3 ) n+ F. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 0. =. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 0. =. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = F. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 0. =. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 0. =. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = ( b ) 3 7 ( b 3 ) (5u) 5 (8u 3 w ) n (u w) n+ 9. = 9. =

15 Qudrtische Gleichungen. +3 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 0. 6 = = = = = = 0 7. /3 = /7 = = F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 0 3. = = 0 5. = = = = = 0 F =. 5 3 = = = = = = = = = 0. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 0. =. =. = 3. =. = 5. = 6. = 7. = 8. = 9. = 5

16 Qudrtische Gleichungen II. ( 6)( 5)+( 7)( ) = 0. ( 7)( 5) (3+)( 7) = 8 3. ( 5) ( 6) = 80. 8(99 3) (8+3) ( ) = 0 5. ( ) 3 ( 5) 3 = (+3) 3 (7 ) 3 = = = = = = = ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = (3 ) + = = ( +)+ = 0 8. b ( +b )+b = 0 9. (+ +(+3 = 3 0. ( ) +( = (. ( )(b ) = (. ( ) ( )( +( = ( 3. (n p) +(p m)+(m n) = 0. (+ (++ = 0 5. ( (c = ( (c 6. (++(+(d = 0 7. ( m) = ( )(m ) 8. ( = (+c (b+c 9. b (++ = 0 0. = 0. + b = 0. = b 3. m m( b = 0. = c = = = 5. +b( +b ) = (+ 6. ( b )( ) = ( +b ) 7. b+c m n+p = c p 6

17 Bruchungleichungen < 0 > 3 3 > + ( ) < < < > < > < > < > (+) > < ( ) 7

18 D = R\{ } L = { < } D = R\{0} L = { < / > 0} D = R\{ } L = { /3 < < } D = R\{} L = { /6 > } D = R\{5} L = { > 5} D = R\{ ;0} L = { < > 0} D = R\{} L = { < } D = R\{ /5} L = { < /5 /7} D = R\{0} L = { } D = R\{ } L = { < } D = R\{ 3} L = { 0 < 3} D = R\{5/3} L = { > 5/3 < 6} D = R\{ /7} L = { < 5/ > /7} D = R\{3/} L = { > /0 < 3/} D = R\{ 3} L = { > 3 < /3} D = R\{/3} L = { < 3/ > 6/5} D = R\{5/} L = { < 69/7 > 5/} D = R\{ 5/6} L = { 0 < 5/6} D = R\{ 3/} L = { > 3/ < 0} ndromed:/home/oli/t/bbz/mlec/mufg.ps version of. September 03 8