Unterrichtsentwurf Mathe

Transkript

1 Unterrichtsentwurf Mthe Them: Binomische Formeln Den Einstieg in die binomischen Formeln bildet folgende Problemstellung: Im Jugendclub gibt es eine qudrtische Tnzfläche, die für einen Discobend so vergrößert wird, dss sie wieder qudrtisch ist: Jede Seite der Fläche wird um 2 Meter verlängert. Für einen Kinobend wird die Tnzfläche verkleinert, sodss sie ebenflls qudrtisch ist: Jede Seite wird um 1 Meter verkürzt. Bei einer Sommerprty soll uch eine kleine qudrtische Bühne mit 2 Meter Seitenlänge uf der Tnzfläche stehen. Wie groß ist die Tnzfläche jeweils? Mit Hilfe einer kurzen Videosequenz wird ds erforderliche Vorwissen über ds Distributivgesetz noch einml wiederholt und offene Frgen in einem nschließenden Unterrichtsgespräch geklärt. Anschließend errbeiten sich die Schülerinnen und Schüler (SuS) in Einzelrbeit mit Hilfe von unterschiedlichen Zugängen die binomischen Formeln selbst; jede/r nch ihrem/seinem eigenen Tempo und mit den Aufgben, die ihr/m zusgen. Dbei müssen lle SuS mit Sttion 1 oder 1b strten, bei denen die 1. binomische Formel uf unterschiedliche Weise errbeitet wird. Außerdem sollten uch Sttionen 2 und 3 von llen im Anschluss berbeitet werden, bei der die 2. und 3. binomische Formel mit Hilfe des Distributivgesetzes und durch Nchlegen erschlossen werden. Dnch können sie die Reihenfolge und Anzhl der weiteren Sttionen selbst entscheiden. Möglichkeiten zur Unterstützung und Überprüfung sind hierbei stets gegeben. Abschließend werden lle SuS durch Präsenttion der Errbeitungssequenz des Videos uf den gleichen Stnd gebrcht; bereits erworbenes Wissen wird hierbei gefestigt. Als Husufgbe bietet sich die zu dem Video gehörende interktive Übung n, bei der die SuS ihr Wissen zu binomischen Formeln festigen, nwenden und weiter vertiefen.

2 Kurzinformtion Them Fch Zielgruppe Zeitrum Technische Vorussetzungen Mterilien Die binomischen Formeln Mthemtik Klsse 8 2 Stunden Smrtbord mit Internet oder Bemer mit PC und Internet; ggf. PCs/Tblets ls Hilfestellung Video: Die binomischen Formeln: Kompetenzen/Leitideen Mthemtisch rgumentieren (K1): Die SuS können ds Distributivgesetz nwenden. Die SuS können die binomischen Formeln wiedergeben und nwenden. Die SuS können einfche rechnerische Begründungen zu den binomischen Formeln geben und einfche logische Schlussfolgerungen ziehen. Probleme mthemtisch lösen (K2): Die SuS können einen Lösungsweg einer einfchen mthemtischen Aufgbe durch Identifiktion und Auswhl einer nheliegenden Strtegie (systemtisches Ausprobieren und Anlogiebetrchtung) finden. Mthemtisch modellieren (K3): Die SuS können eine Relsitution in Form der Problemstellung mit der Tnzfläche des Jugendclubs direkt in ein mthemtisches Modell, die binomischen Formeln, überführen. Mthemtische Drstellungen verwenden (K4): Die SuS können Stndrddrstellungen von mthemtischen Objekten und Situtionen nfertigen und nutzen, indem sie die pssende Terme verwenden. Mit symbolischen, formlen und technischen Elementen der Mthemtik umgehen (K5): Die SuS können elementre Lösungsverfhren in Form von Termumformungen und Lösen von Gleichungen verwenden. Die SuS können die binomischen Formeln direkt nwenden. Mthemtisch kommunizieren (K6): Die SuS können Informtionen us der Problemstellung mit der Tnzfläche des Jugendclubs identifizieren und uswählen. Leitidee Zhl (L 1): Die SuS nutzen Rechengesetze wie die binomischen Formeln uch zum vorteilhften Rechnen.

3 Leitidee Messen (L 2): Die SuS berechnen Flächeninhlt von Rechtecken bzw. Qudrten. Leitidee Rum und Form (L 3): Die SuS operieren gednklich mit Strecken und Flächen. Die SuS wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Berechnungen und Beweisen n. Vorwissen der Schülerinnen und Schüler Die SuS kennen ds Distributivgesetz und können es sicher nwenden. Die SuS können Flächeninhlte von Qudrten berechnen. Die SuS hben eine Vorstellung von dem Begriff Qudrtzhlen. Verlufspln Phse Inhlt Sozil-/Aktionsform Medien/Dtei Einstieg (5-10 min.) Problemstellung (Tnzfläche im Jugendclub) wird vorgestellt. Lehrervortrg ggf. Tfel für Informtionen zur Problemstellung Wiederholung (5 min.) Wiederholung des Distributivgesetzes mit Hilfe einer Videosequenz Präsenttion + Unterrichtsgespräch Video (0:40-1:08) Kurze Einweisung (5-10 min.) Erklärung der Lernsttionen: Unterrichtsgespräch s. Mteril im Anhng Sttion 1: 1. binomische Formel mit einer Skizze erschließen Sttion 1b: 1. binomische Formel rechnerisch/ systemtisch erschließen Sttion 2: 2. binomische Formel mit dem Distributivgesetz erschließen Sttion 3: 3. binomische Formel mit Ppier und durch Umlegen erschließen Sttion 4: Binomische Formeln beim Kopfrechnen nwenden

4 Phse Inhlt Sozil-/Aktionsform Medien/Dtei Sttion 5: Binomische Formeln bei Brüchen nwenden Sttion 6: Binomische Formeln üben Whlmöglichkeit Sttion 1 oder 1b,nschließend lle Sttion 2 und 3, dnch freie Whl Sttion 4, 5 und 6 Errbeitung (50 min.) Die SuS errbeiten je nch Tempo und Vorliebe die binomischen Formeln (Sttion 1 oder 1b, 2 und 3) und vertiefen ihr Wissen nschließend (Sttion 4, 5, und 6). Einzelrbeit mit Mteril der Sttionen s. Mteril im Anhng Sicherung (15 min.) Errbeitungssequenz des Videos wird gezeigt, nschließend Klärung des Problems us dem Einstieg (Tnzfläche Jugendclub) Husufgbe: Interktive Übung zum Video Präsenttion + Unterrichtsgespräch Video (1:28-4:52) Mterilien Problemstellung Im Jugendclub gibt es eine qudrtische Tnzfläche. Für einen Discobend wird sie so vergrößert, dss sie wieder qudrtisch ist: Jede Seite der Fläche wird um 2 Meter verlängert. Für einen Kinobend wird die Tnzfläche verkleinert, sodss sie ebenflls qudrtisch ist: Jede Seite wird um 1 Meter verkürzt. Bei einer Sommerprty soll uch eine kleine qudrtische Bühne mit 2 Metern Seitenlänge uf der Tnzfläche stehen. Wie groß ist die Tnzfläche jeweils?

5 Sttion 1 Für den Discobend im Jugendclub wird die qudrtische Tnzfläche vergrößert, indem jede Seite um 2 m verlängert wird. Beschrifte die Skizze von der großen qudrtischen Tnzfläche pssend. b. Finde zwei Möglichkeiten, wie du die große Tnzfläche berechnen knnst. c. Stell dir vor, du weißt nicht, um wie viel sich die Seite verlängert. Ersetze 2 m durch die Vrible b und schreibe uf, wie du nun die Tnzfläche berechnen knnst. kleine Tnzfläche Teilfläche 1 A= A= Teilfläche1 Teilfläche 2 A= A= 2 b. große qudrtische Tnzfläche: große qudrtische Tnzfläche: A= A= c. Tnzfläche mit und b: c. Tnzfläche mit und b: A= A= Die Formel, mit der du Qudrte mit einer Seitenlänge, die um b verlängert wird, berechnen knnst, heißt 1. binomische Formel.

6 Hilfen Sttion 1 b = 2 b oder Video, Szene 2:15-2:50 b b b b=b 2 Lösungen Sttion 1 +2 kleine Tnzfläche Teilfläche 1 A= = 2 A= 2 Teilfläche1 Teilfläche 2 A= 2 A= 2 2=2 2 2 b. große qudrtische Tnzfläche: große qudrtische Tnzfläche: A= (+2) (+2)=(+2) 2 A= = c. Tnzfläche mit und b: A= (+b) 2 = 2 +2 b+b 2

7 Sttion 1b Die qudrtische Tnzfläche im Jugendclub wird für den Discobend vergrößert, indem jede Seite um 2 m verlängert wird. Setze unterschiedliche Seitenlängen für ein und berechne den Flächeninhlt der lten Tnzfläche ( 2 ) und den Flächeninhlt der neuen Tnzfläche (+2) 2. Bereche uch die Differenz der beiden Flächeninhlte. Schreibe deine Ergebnisse in eine Tbelle: Seitenlänge lte Tnzfläche () Flächeninhlt lte Tnzfläche ( 2 ) Seitenlänge neue Tnzfläche (+2) Flächeninhlt neue Tnzfläche (+2) 2 Differenz der Flächeninhlte 1m 1 m 1 m = 1 m 2 1 m + 2 m = 3 m (1 m + 2 m) 2 = (3 m) 2 = 9 m 2 9 m 2-1 m 2 = 8 m 2 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m b. Untersuche die Differenz der Flächeninhlte. Ws fällt dir uf? c. Vermute, wie groß die Differenz der Tnzflächen bei einer Seitenlänge von 7 m, 8 m und 9 m ist und prüfe rechnerisch nch. d. Finde einen Term, mit dem du die Differenz der Tnzflächen berechnen knnst. Prüfe für weitere Seitenlängen, ob dein Term stimmt. Tipp: Die Seitenlänge und die zusätzliche Seitenlänge 2 m spielen dbei ebenso eine Rolle wie die zusätzliche Seitenlänge zum Qudrt (2 m 2 m = 4 m 2 ). e. Schreibe nun einen Term uf, mit dem du den Flächeninhlt jeder Tnzfläche mit einer lten Seitenlänge und einer hinzugekommenen Länge b berechnen knnst. Dies ist die 1. binomische Formel. Tipp: Der Flächeninhlt setzt sich us dem Flächeninhlt der lten Tnzfläche, 2 und der Differenz der beiden Tnzflächen zusmmen.

8 Hilfestellung Sttion 1b +2 kleine Tnzfläche Teilfläche 1 A= = 2 A= 2 Teilfläche1 Teilfläche 2 A= 2 A= 2 2=2 2 2 Lösung Sttion 1b Seitenlänge lte Tnzfläche () Flächeninhlt lte Tnzfläche ( 2 ) Seitenlänge neue Tnzfläche (+2) Flächeninhlt neue Tnzfläche (+2) 2 Differenz der Flächeninhlte 1 m 1 m 2 3 m 9 m 2 8 m 2 2 m 4 m 2 4 m 16 m 2 12 m 2 3 m 9 m 2 5 m 25 m 2 16 m 2 4 m 16 m 2 6 m 36 m 2 20 m 2 5 m 25 m 2 7 m 49 m 2 24 m 2 6 m 36 m 2 8 m 64 m 2 28 m 2 b. Die Differenz wird hier immer um 4 m 2 größer. c. Die Differenz beträgt bei einer Seitenlänge von = 7 m insgesmt 32 m 2, bei = 8 m insgesmt 36 m 2 und bei = 9 m insgesmt 40 m 2. d. Du knnst die Differenz der Flächeninhlte mit diesem Term berechnen: 2 Seite 2 m + (2 m) 2. Für die Seitenlänge = 5 m bedeutet ds zum Beispiel: 2 5 m 2 m + (2 m) 2 = 20 m m 2 = 24 m 2 e. Du knnst jede Fläche mit einer Seite und einer Verlängerung der Seite um b uf diese Art berechnen: b + b 2. Ds ist ds Gleiche wie (+b) 2. Dies nennt mn die 1. binomische Formel.

9 Sttion 2 Du kennst nun die 1. binomische Formel: ( + b) 2 = b + b 2. Sie gilt, wenn bei einem Qudrt eine Seite um eine Länge b verlängert wird. Für den Kinobend wird die qudrtische Tnzfläche im Jugendclub verkleinert, indem jede Seite um 1 m verkürzt wird. Stelle dfür mit deinem Wissen von Sttion 1 einen pssenden Term für die Seitenlänge der neuen Tnzfläche uf. b. Stelle mit Hilfe der Seitenlänge einen Term zur Berechnung der Fläche der neuen Tnzfläche uf. c. Multipliziere den Term mit Hilfe des Distributivgesetzes us. d. Finde eine Formel, mit der du jede qudrtische Fläche mit einer Seite, die um eine Länge b verkürzt wird, berechnen knnst. Tipp: Ersetze 1 m durch b. Dies ist die 2. binomische Formel. Hilfen Sttion 2 kleine Tnzfläche Teilfläche 1 A= A= Teilfläche1 Teilfläche 2 A= A= 1 Lösung Sttion 2 Seitenlänge neue Tnzfläche: ( - 1 m) b. Fläche neue Tnzfläche: ( - 1 m) 2 c. Ausmultipliziert mit dem Distributivgesetz: ( - 1 m) 2 = ( - 1 m) ( - 1 m) = m + (1 m) 2 d. Die 2. binomische Formel luet: ( - b) 2 = ( - b) ( - b) = 2 2 b + b 2

10 Sttion 3 Du kennst nun uch die 2. binomische Formel: ( - b) 2 = 2-2 b + b 2. Sie gilt, wenn bei einem Qudrt eine Seite um eine Länge b verkürzt wird. Für die Sommerprty wird uf die qudrtische Tnzfläche im Jugendclub eine kleine qudrtische Bühne mit 2 m Seitenlänge gestellt. Beschrifte die Skizze mit den pssenden Angben. b. Finde einen Term, wie du die grue Tnzfläche berechnen knnst. c. Nimm eine Schere und schneide die grue Tnzfläche us. Schneide die Tnzfläche uch entlng der hellgruen Linie in zwei Teile. Lege die Teile so, dss du nchweisen knnst: = ( + 2) ( - 2). d. Finde eine llgemeine Formel uf für qudrtische Flächen mit der Seitenlänge, von der eine kleinere qudrtische Fläche mit der Seitenlänge b bgezogen wird. Dies ist die 3. binomische Formel. Tnzfläche A= Bühne 2

11 Lösung Sttion 3 2 Tnzfläche (-2) Bühne A= 2 2=2 2 2 b. Fläche grue Tnzfläche: c. 2 Tnzfläche (-2) d. Die 3. binomische Formel lutet: ( + b) ( - b) = 2 - b 2

12 Sttion 4 Du kennst jetzt lle binomischen Formeln: 1. binomische Formel: ( + b) 2 = b + b binomische Formel: ( - b) 2 = 2-2 b + b binomische Formel: ( + b) ( - b) = 2 - b 2. Die binomischen Formeln können dir beim Kopfrechnen helfen. Überlege dir, wie du Aufgben wie oder mit Hilfe der binomischen Formeln schnell und leicht im Kopf rechnen knnst. b. Finde uch einen Trick, wie du leicht im Kopf rechnen knnst. c. Stelle dir selbst weitere Rechenufgben, die du mit Hilfe der binomischen Formeln schnell und einfch lösen knnst. Hilfen Sttion 4 oder Video-Ausschnitt 3:10-3:50 Lösungen Sttion = (30 + 2) 2 = = = = (30-2) 2 = = = 784 (oder: = (20 + 8) 2 = = = 784) b = (60 + 2) (60-2) = = = 3596 c. Weitere Aufgben können lle Qudrtzhlen sein und Produkte wie 49 51, 48 52, und so weiter.

13 Sttion 5 Du kennst jetzt lle binomischen Formeln: 1. binomische Formel: ( + b) 2 = b + b binomische Formel: ( - b) 2 = 2-2 b + b binomische Formel: ( + b) ( - b) = 2 - b 2. Die binomischen Formeln können dir beim Kürzen von Brüchen helfen. Überlege, wie du die folgenden Brüche mit Hilfe der binomischen Formeln so vereinfchen knnst, dss du kürzen knnst: b. Schreibe weitere Brüche uf, bei denen du mit Hilfe der binomischen Formeln vereinfchen knnst. Hilfen Sttion 5 oder Video-Ausschnitt 3:51-4:52 Lösungen Sttion 5 b. Du knnst hier lle möglichen Brüche ngeben, bei denen Zähler und Nenner Vielfche voneinnder sind und in unterschiedlicher Drstellung der jeweiligen binomischen Formel stehen.

14 Sttion 6 Du kennst jetzt lle binomischen Formeln: 1. binomische Formel: ( + b) 2 = b + b binomische Formel: ( - b) 2 = 2-2 b + b binomische Formel: ( + b) ( - b) = 2 - b 2. Die binomischen Formeln sind eine wichtige Rechenhilfe für viele verschiedene Aufgben. Übe die binomischen Formeln n den folgenden Aufgben. Aufgbe 1 Verwndle die folgenden Produkte in Summen: b. c. d. e. f. g. h. i. j. (2 + 3) 2 Aufgbe 2 Verwndle die folgenden Summen in Produkte: b. c. d. e. f. g. h. i. 9 Aufgbe 3 Ersetze die Zeichen mit den pssenden Zhlen oder Vriblen: b. c.

15 Lösungen Sttion 6 Aufgbe 1 Verwndle die folgenden Produkte in Summen: b. c. d. e. f. g. h. i. j. Aufgbe 2 Verwndle die folgenden Summen in Produkte: b. c. d. e. f. g. h. i. - Aufgbe 3 Ersetze die Zeichen mit den pssenden Zhlen oder Vriblen: b. c.