1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...

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1 .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche Die Addition von zwei Bruchtermen mit komplizierterem Nenner Die Addition von zwei Bruchtermen - Methode II Ds kgv Lösung der Aufgbe mit dem kgv Zusmmenfssung

2 Bruchterme Theoriebltt Bruchterme Theorie. Lernziele. Ich weiss, welche Bedingung erfüllt sein muss, dmit ich zwei Bruchterme ddieren knn.. Ich kenne zwei Methoden, um Brüche gleichnennrig zu mchen und kenne deren Vor- und Nchteile. 3. Ich weiss, wnn ich welche Methode mit Vorteil einsetze.. Repetition Terme hben wir gnz m Anfng des Semesters kennengelernt. Sie sind zusmmengesetzt us Zhlen, Vribeln, Klmmern und Bruchstrichen. Achtung: In Termen dürfen nie Gleichheits- und Ungleichheitszeichen vorkommen! Beispiele Diejenigen Terme, die einen oder mehrere) Bruchstriche) hben, nennen wir Bruchterme. Beispiele von Bruchtermen

3 Bruchterme Theoriebltt 3.3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Wir wollen folgende Aufgbe lösen: 4x+ x+ + 4x+ x =? Frge: Antwort: Frge: Antwort: Beispiel 4x+ x+ + 4x+ x =? Lösung

4 Bruchterme Theoriebltt 4.4 Doppelbrüche Doppelbrüche mit Zhlen hben wir bereits in der Unterstufe kennengelernt. Bei Doppelbrüchen hben die verschiedenen Bruchstriche verschiedene Prioritäten. Dmit der Doppelbruch eindeutig ist, muss der Huptbruchstrich gekennzeichnet sein, meistens ist er die längste Linie, in diesem Skript ist er die dickste Linie = Merke: Bei Doppelbrüchen werden die äusseren und die inneren Glieder miteinnder multipliziert. Aufgbe: Forme den folgenden Bruch zu einem Bruch mit einem Bruchstrich um Wenn wir wissen, wie wir einen Doppelbruch mit Zhlen lösen müssen, dnn können wir uch ohne Probleme einen Doppelbruch mit Vribeln lösen: Bei der nächsten Aufgbe kommt eine zusätzliche Schwierigkeit dzu. Bis jetzt htten wir oberhlb des Huptbruchstriches dicker Bruchstrich) und unterhlb des Bruchstriches schöne Brüche. In der folgenden Sitution ist ds nicht mehr so. Oberhlb des Bruchstriches hben wir eine Summe von Brüchen. Die Aufgbe sieht so us: 5 x+ 7 x x Die Lösung ist nicht viel schwieriger ls beim vorherigen Beispiel. Wir müssen einfch zuerst die beiden Brüche zusmmenzählen, dnch befinden wir uns in der beknnten Sitution des oberen Beispiels.

5 Bruchterme Theoriebltt 5.5 Die Addition von zwei Bruchtermen mit komplizierterem Nenner Wir betrchten nun eine Aufgbe mit komplizierteren Nennern. 4x+ x+)3x+) + 4x+ x+)x+3) Lösung 4x+ x+)3x+) + 4x+ x+)x+3) = 4x+ x+)x+3) x+)3x+)x+)x+3) + 4x+ x+)3x+) x+)x+3)x+)3x+) = 4x+)x+)x+3)+4x+)x+)3x+) x+)3x+)x+)x+3) Mit der Multipliktionsmethode erhlten wir einen sehr grossen Ausdruck der zur Vereinfchung viele Schritte erfordert. Es stellt sich deshlb die Frge, ob es nicht eine einfchere Methode gibt, um Brüche miteinnder zu ddieren..6 Die Addition von zwei Bruchtermen - Methode II.6. Ds kgv Bei dieser Methode geht es um ds kleinste gemeinsme Vielfche. Dieses ist folgendermssen definiert: Definition Gegeben sind die Zhlen,b N. Ds kleinste ntürliche Zhl, von der und b Teiler sind, nennen wir kleinstes gemeinsmes Vielfches von und b, bgekürzt kgv, b). Beispiel: kgv3,5) = kgv4,6) = Bei grösseren Zhlen können wir ds kgv beknntlich mit Hilfe der Primzhlzerlegung bestimmen wenn es ohne TR geschehen soll). Wir betrchten dieses Verfhren hier, weil wir dieses Prinzip nchher uch uf Terme mit Vribeln übertrgen können. Ds kgv4,54) bestimmen:

6 Bruchterme Theoriebltt 6 Die Anwendung uf ds Bruchrechnen: =? Frge: Antwort: Beispiele:. Bestimme ds kgv der Terme,b,,b 3 und c.. Bestimme ds kgv der Terme x,3y und 4x. 3. Bestimme ds kgv der Terme x+)x+),x+) x+) und x+)x+3). 4. Bestimme ds kgv der Terme 3xx+)x+),x yx+) x+) und 6y x+)x+3). 5. Bestimme ds kgv der Terme x+y,x y und x+y+z.6. Lösung der Aufgbe mit dem kgv Lösen wir die Aufgbe us Abschnitt.4 nun mit der Methode des kgv: 4x+ x+)3x+) + 4x+ x+)x+3)

7 Bruchterme Theoriebltt 7 Diese Methode funktioniert ntürlich uch für Aufgben mit mehr ls zwei Bruchtermen..7 Zusmmenfssung Wir stnden vor dem Problem, dss wir Brüche ddieren mussten, die nicht den gleichen Nenner htten. Wir hben uns gefrgt, wie wir gleiche Nenner erhlten können. Wir hben herusgefunden, dss die Nenner dnn gleich werden, wenn wir sie miteinnder multiplizieren. Die Methode wr leider nur bei einfchen Nennern erfolgreich. Bei Brüchen mit grossen Nennern htten wir ds Problem, dss die Zähler sehr gross wurden. Aus diesem Grunde mussten wir uns eine zweite Methode überlegen. Wir kmen uf die Idee, ds kgv zu nehmen, wodurch sich die Rechnungen erheblich vereinfchten. Wir hben uns die Frge gestellt: Welche Methode wird wnn m besten ngewndt? Wir fnden herus: Methode II, wenn die Nenner Gemeinsmkeiten ufweisen, sonst die Methode I. Die Methode I ht den grossen Vorteil, dss sie nur eine Überlegung brucht und deshlb sehr leicht zu merken ist.

8 Bruchterme Übungsbltt 8 Übungen. Berechne die folgenden Ausdrücke! = b) = = d) 3 5 =. Berechne die folgenden Ausdrücke! 3 5 = b) 5 3 = 3 5 : = d) 5 : 4 = 3. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. e) 4b 5 5b 0+0b 7b 3 4 [ ] b) 4y b b) 6x+40 4x+0 4y b +b) +b 3b 3 x 4 y 4 x xy+y x y x + xy [ 3 y+ ] [ 3 ] d) x y x + y x + xy x y) [ xx+y) x y ] [ x +y x ] 4. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. x + 4xy+y 3xy) : x y 9x y 9z + w z 0 : 9z4 6w 8z 30 [ x+y) yx y) ] b) 6u 9b 4b+u) : 4u 3b 36u+b) 9 [ ] d) c d d 3z 4w) c : 4c+3 c 3 5. Mche bei den folgenden Aufgben die Brüche gleichnmig. +b b b +b b) 7 t + 6 t [ 34u+3b) ] [ c+d c )d ] 6. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. +b b b +b x x x [ 4b +b) b) ] b) 7 t + 6 t [ x ) x ] d) k l 4k+4l + k+4l 6k+6l 7. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. b ) : b b ) [ b ] b) m + ) : n m ) [ n n+m] n m 8. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. [ t ] [ 5 ]

9 Bruchterme Übungsbltt 9 d) + b + b b 7 +b + 45 b : o+4s o 4s 3o 5s 3o+5s b ) +b ) +b ) : [ +b) +b ] b) ) ) + [ ] [ 6 b ] o 4s 9o 5s [ 44os o+s)s s) ] 9. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. 5 x+ 7 x x [ x 6] b) + 0. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. 4 8b 4b 5 [ 0 ] b) x + +b x x +x [ x ] + + [ ] [ +) + ]. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. x [ x ] b) x+ x r+s r s r s r+s r + s r s [ r s ] d). Bestimme ds kgv der folgenden Zhlen mit Hilfe der Primzhlzerlegung. 35 und 05 b),5 und 5 3. Mche die folgenden Brüche mit Hilfe der Primzhlzerlegung gleichnmig: 35 und Unterstreiche gleiche Ausdrücke mit der gleichen Frbe. 5,x+),x+),, ) 4,,+b) 3 +4 [] + + c +b +c 6 bc+6b c [ ] 6c+ b b), 4 5 und 7 5 b) x+3)x+5),x+)x+4) 3 x+5) und x+3) x+4)x+5) 3 +b) b)+,3+b) b) 3,+b) und 5+b) b)+ d) +b+c,+b und b+c 5. Bestimme ds kgv der folgenden Terme:,3,5 und 6 b) x,y,z,x und z 3

10 Bruchterme Übungsbltt 0 3x,4z,5y und y 3 d) x+),x+) und x+) x+) e) 3x+3)x+5),x+)x+5) und 4x+3) x+4) f) +b, b und +b+c 6. Bestimme ds kgv der folgenden Terme, indem Du zuerst fktorisierst: s 4 und s b) u v,v u und u+v z z,z und z + z 7. Mche die Brüche gleichnmig. Dbei sollte der Nenner so klein im Sinne des kgv) wie möglich sein. s+7 3s 6 s+4 s s b) u uv+v v u + uv z z z + z + z d) x x 3 xx+) x 9 3x 8. Bechte, dss die Aufgben zum Teil oben schon vorgekommen sind. Fsse nun so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden knn. e) f) s+7 3s 6 s+4 s s z z z + z + z b) + b b b + c c c b) u u v + v v u u+v u+v [ s+6 ] b) u 3s uv+v v u + uv [ ] d) x z z )z+) x 3 xx+) x 9 3x [ u v vu ] [ x 6 3xx+3) ] [0] [ u+v ]