Lösen einer Gleichung 3. Grades

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1 Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt eine Zhl i, die nicht im Beeich de eellen Zhlen liegt, sonden die die Einheit eine ndeen Zhlent (imginäe Zhlen) ist Definition: i Dus folgt zb: i Mn echnet mit i wie mit eine Fomviblen, schlet ds i lso duch die gnze Rechnung mit Es sei denn, es egibt sich eine Veeinfchung dduch, dss ds i qudiet wid Dnn kommt - heus Beisiele: + 4i + i + i ode ( i)( + i ) + i i i i + i i i + 7i ( ) + 7i+ 7+ 7i Zhlen, die sich in diese At us eine eellen Zhl und eine imginäen Zhl zusmmensetzen, nennt mn komlee Zhlen Mn tägt sie ghisch ls Punkte in eine Ebene uf, bei de ds Koodintensystem uf de -Achse die eellen Zhlen und uf de y-achse die komleen Zhlen enthält Es gilt, dss jede Wuzel eine komleen Zhl dei Wete ht, einen eellen Wet und zwei i i weitee Wete, die sich us duch Multiliktion mit + bzw egeben i Bitte usobieen: +! Auf Gund de Dstellung de komleen Zhlen im Koodintensystem knn mn zeigen, dss sich jede komlee Zhl duch Polkoodinten usdücken lässt: + bi (cos + i sin ) mit + b Nch dem Stz von Moive gilt: + bi + n i n + + cos sin Nun be los: und ctn b mit n {,, } Jede Gleichung Gdes knn mn in de Fom + + b + c mit, b, c R scheiben Flls vo dem esten Summnden nicht de Fkto steht, dividiet mn eben duch diese Zhl und ehält dnn die ngegebene Fom Nun substituiet mn: z : z + z + b z + c Löst mn die Klmmen uf und fsst nch Potenzen von z zusmmen (fü die este Klmme bucht mn die Fomel ( b) b + b b, fü die zweite Klmme die binomische Fomel ( b) b + b ), so egibt sich z + b z + b + c 7 ode z + z + q mit b und q b + c 7 Die Fälle und q sind tivil und weden nicht weite behndelt Seite von

2 Nun substituiet mn noch einml: z u + v Dus folgt ( u + v) + ( u + v) + q Ausklmmen: u + u v + uv + v + u + v + q Zusmmenfssen: u + v + q + ( uv + )( u + v) (Duch Ausmultilizieen beweisen!) Ist nun u + v + q und gleichzeitig uv +, dnn ist z u + v eine Lösung de Gleichung Die folgenden Schitte weden fü die Viblen u und v identisch duchgefüht Deshlb wid hie nu die Rechnung fü u gezeigt: Aus uv + egibt sich v Einsetzen liefet u q + u 7u Umfomen: u + q u u + q u k + q k mit k u q q Die Lösungsfomel fü qudtische Gleichungen egibt k, ± + und dmit 4 7 q q u, k ± q q Die Auflösung nch v egibt nlog v, k ± Die Pobe in u + v + q zeigt, dss die Vozeichen bei u und v unte de Wuzel veschieden sein müssen Also wählen wi: q q u und v q q Dmit ehlten wi die Lösung fü z, die mn uch Cdnische Fomel nennt: z q q q q (Übigens: Geonimo Cdno (-7) w nicht de Finde de Fomel, sonden diese stmmt von Niccolo Ttgli (um -7)) Neben den eellen Lösungen fü uu und vv gibt es noch (wie oben gezeigt) jeweils die beiden komleen Lösungen i u, u ± und v v i, ± D sich z us de Summe eines u- und eines v-wetes zusmmensetzt, wüde es bei u- und bei v-weten insgesmt 9 z-wete geben D be die Nebenbedingung uv + efüllt sein muss, gibt es nu die Lösungen i z u + v, z u + v und z u + v (wegen + i ) Seite von

3 Beisiel: + 9, dh, b, c 9 b 9 8 und q b + c ( ) z q q q q Reelle Lösung: z 4 Mit u 9 + gilt u 9 i, + ± und mit v 9 gilt v 9 i, ± Also: z u v 9 i 9 i i i i + + i + i dus folgt: z + i + i + i und z u + v + 9 i + 9 i i i i + i i dus folgt: z i i i Ht mn eine Lösung emittelt, knn mn uch mit Hilfe von Polynomdivision us de Gleichung Gdes eine Gleichung Gdes emitteln und dnn mit de beknnten Fomel fü qudtische Gleichungen die estlichen Lösungen finden Hie: Seite von

4 ( + 9):( 4) , ± ± ± Wegen de negtiven Diskiminnte gibt es lso nu eine eelle Lösung 4 4 Mn knn zeigen, dss es imme nu eine eelle Lösung gibt, wenn mn die Cdnische Fomel nwenden knn Nicht nzuwenden ist sie im sogennnten csus ieducibilis, bei dem die Zhl unte de Wuzel bei de Cdnischen Fomel negtiv ist Mn muss dnn Wuzeln us komleen Zhlen ziehen Viet gelng es um, diesen Fll zu lösen Übeschendeweise egeben sich dbei imme dei eellwetige Lösungen Heleitung de Fomel: Ist q q + <, dnn ist mit Sicheheit < und > Also gilt q + q + q + q q + i q ( ) q q Es knn geschieben weden (so) + i (cos + i sin ) mit und q cos : 7 und sin q : Nch dem Moiveschen Stz egeben sich fü u und v: q q q q u + + cos + i sin v + cos i sin 4 7, 4 7 und dmit z u v i i cos sin cos sin cos Nch Moive egeben sich be noch zwei weitee eelle Lösungen: Seite 4 von

5 z + cos und z + 4 cos Die Lösungen fü,, ehält mn nun mittels z Beisiel: 7 + Die Gleichung liegt schon in eduziete Fom vo, so dss -7 und q Es ist q <, lso liegt de csus ieducibilis vo und q cos : : Als Lösungen egeben sich 4 47, cos cos 7 7, dh 47, 4 47, cos + cos , cos + 4 cos Seite von

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