Kapitel 2. Schwerpunkt

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1 Kpitel Schwepunkt

2 Schwepunkt Volumenschwepunkt Fü einen Köpe mit dem Volumen V emittelt mn die Koodinten des Schwepunktes S (Volumenmittelpunkt) us S dv dv z S S z S dv dv z dv dv z S S S Flächenschwepunkt S da da S da da S S Hiebei ist da S bzw da S ds sttische Moment de Fläche (Flächenmoment 1 Odnung) um die - bzwumdie -Achse Fü zusmmengesetzte Flächen bei denen die Lge ( i i) de Teilschwepunkte S i beknnt ist gilt S S ia i Ai i S i A i S Anmekungen: ia i Ai Bei Flächen (Köpen) mit Ausschnitten ist es oft zweckmäßig mit negtiven Flächen (Volumin) zu beiten Sind Smmetien vohnden dnn liegt de Schwepunkt uf den Smmetiechsen i D Goss et l Fomeln und Aufgben zu Technischen Mechnik 1 DO / _ Spinge-Velg Belin Heidelbeg 01

3 Schwepunkt Linienschwepunkt S ds ds S ds ds S S Besteht eine Linie us Teilstücken beknnte Länge l i mit beknnten Schwepunktskoodinten i i so folgt die Lge des Schwepunktes us S l i S il i li i S i S il i li i Mssenmittelpunkt Die Koodinten des Mssenmittelpunkts eines Köpes mit de Dichteveteilung ρ( z) ehält mn us S ρdv ρdv zρdv S z S ρ dv ρ dv ρ dv Besteht ein Köpe us Teilköpen V i de Dichte ρ i mit beknnten Schwepunktskoodinten i i und z i so gilt S iρ iv i iρ iv i ziρ S z S iv i ρiv i ρiv i ρiv i Anmekung: Beim homogenen Köpe (ρ const) fllen Volumenschwepunkt und Mssenmittelpunkt zusmmen

4 4 Schwepunktskoodinten Tbelle von Schwepunktskoodinten Flächen Deieck h 1 1 S S 1 (1 + + ) S 1 h S 1 (1 + + ) A 1 h A Hlbkeis Vietelkeis qud Pbel Vietelellipse h b S 0 4 π 0 4 π b S 4 π 4 π 5 h 4 π b A π π 4 4 bh π 4 b Köpe Kegel h Hlbkugel Linie Keisbogen α α S 0 S 0 S sin α α S 1 h 4 S 8 S 0 V 1 π h V π l α

5 Flächenschwepunkt 5 Aufgbe 1 Die dgestellte Fläche wid nch oben duch eine qudtische Pbel mit dem Scheitel bei 0begenzt Mn emittle die Schwepunktskoodinten b A1 Lösung Wi stellen zunächst die Gleichung de Pbel uf: α + β Die Konstnten α und β folgen us den Endpunkten / und 1 b 1 / zuβ / α /b Dmitwid ( ) + b Mit dem Flächenelement da d folgt: da d S da d b 0 b 0 [ ( b [ ( b ) + ) + ] d ] d 1 b da 5 6 b 5 b d Wenn wi zu Emittlung von S die Flächenelemente (b )d vewenden so teten kompliziete ntegle uf Wi bleiben dhe beim d da (b )d da d / Flächenelement da d und müssen nu beücksichtigen dss sein Schwepunkt in -Richtung bei / liegt Dnn gilt (die Fläche im Nenne ist dieselbe wie vohe): S d b 10 b b 0 ) ( 4 b + 4 b + d

6 6 Schwepunkt A Aufgbe Gesucht ist die Lge des Schwepunktes eines Keisusschnittes vom Öffnungswinkel α α Lösung Wegen de Smmetie liegt de Schwepunkt uf de -Achse: S 0 Zu Emittlung von S wählen wi ls Flächenelement einen infinitesimlen Keisusschnitt ( Deieck) und integieen übe den Winkel θ Dnn folgt S α α ( ) 1 cos θ dθ α 1 dθ α sin α α sinα α 1 da dθ dθ θ S m Genzfll α π/ folgt die Schwepunktslge des Hlbkeises zu S 4 π Anmekung: Mn knn den Schwepunkt uch duch Aufteilung de Fläche in Keisingelemente und ntegtionen übe emitteln Dnn muss be vohe die S Schwepunktlge S eines solchen Ringelementes beknnt sein ode est beechnet weden Die Schwepunktskoodinte S eines Keisbschnittes findet mn mit obigem Egebnis duch Diffeenzbildung: S A s A S A S S S S S S A S A A A sinα α α 1 scos α cos α α 1 s scos α 1A

7 Flächenschwepunkt 7 Aufgbe Fü die dgestellten Pofile emittle mn die Lge de Schwepunkte (Mße in mm) ) b) A Lösung ) Wi wählen ds Koodintensstem so dss die Smmetiechse mit de -Achse zusmmenfällt Dnn gilt S 0 und es muss nu noch S beechnet weden Hiezu zelegen wi ds Pofil in Rechtecke deen einzelne Schwepunktslgen beknnt sind Dmit folgt S ia i Ai (4 45) + 14(5 0) + 8 (8 15) mm b) Wi legen ds Koodintensstem in die linke untee Ecke und finden duch Zelegung in Teilechtecke 5(4 45) + 5(5 0) + 7 5(8 15) S mm (4 45) + 14 (5 0) + 8 (8 15) S mm Anmekung: Beim Veschieben de Flächen in -Richtung bleibt S unveändet

8 8 Flächenschwepunkt A4 Aufgbe 4 Gesucht ist die Lge des Schwepunktes de dgestellten Fläche mit einem Rechteckusschnitt (Mße in cm) Lösung Wi teilen die Fläche in Deiecke sowie ein goßes Rechteck und ziehen den kleinen Rechteckusschnitt b Fü diese sind die Göße de Flächen und ihe Schwepunktslgen beknnt V Die echneische Lösung efolgt zweckmäßig mit Hilfe eine Tbelle Teil- A i i ia i i ia i sstem i [cm ] [cm] [cm ] [cm] [cm ] V A A i 6 ia i 98 Dmit findet mn ia i S 98 A 6 49 ia i cm S 1 A 170/ 6 ia i cm

9 Linienschwepunkt 9 Aufgbe 5 Ein Dht konstnte Dicke wude zu nebenstehende Figu vefomt (lle Längen in mm) Wo liegt de Schwepunkt? A5 Lösung Wegen de Smmetie de Figu liegt de Schwepunkt uf de Smmetielinie die wi ls -Achse wählen dh es gilt S 0Ddie Schwepunktslgen i de Teilstücke de Länge l i beknnt sind folgt die Lge S des Gesmtschwepunkts us i l i S li Wi wollen die Aufgbe mit dei veschiedenen Unteteilungen lösen Dbei gilt l l i mm 1 Möglichkeit: S (80 }{{ 40 } + } 40 {{ 80 } ) 6 9 mm Möglichkeit: S 1 ( }{{} } 40 {{ 0 } ) 08 mm 40 Möglichkeit: Wi wählen ein spezielles Teilstück V so dss sein Schwepunkt in den Koodintenuspung fällt: S 1 60 [ ] ( 40) mm }{{} V V 40 V V Die Vinte ht den Voteil dss nu ds sttische Moment eines Teilstücks V beücksichtigt weden muss

10 40 Emittlung A6 Aufgbe 6 Ein dünne Dht wude in Fom eine Hpebelfunktion gebogen Wo liegt de Schwepunkt? S cosh Lösung Aus Smmetiegünden liegt de Schwepunkt uf de -Achse Mit de Ableitung sinh wid ds Element de Bogenlänge ds (d) +(d) 1+( ) d 1+sinh d cosh d ntegtion egibt die Bogenlänge + s ds cosh d sinh 1 Ds sttische Moment um die -Achse findet mn zu S ds cosh d + 1+cosh Dmit ehält mn die Schwepunktkoodinte ds S 1+ 1 sinh ds sinh d (1+ 1 sinh ) A7 Aufgbe 7 Aus einem deieckigen Blech ABC dsina dehb ufgehängt ist wid ein Deieck CDE heusgeschnitten Wie goß muss sein dmit sich BC hoizontl einstellt? B E D A C Lösung Ds Deieck hängt in de gefodeten Lge wenn sich de Schwepunkt unte dem Lge A befindet Ds bedeutet dss ds sttische Moment des Deiecks ADC bezüglich de Dehchse duch A gleich sein muss dem des Deiecks ABE: ( ) }{{}}{{} }{{} Fläche ADC Abstnd Fläche ABE 1 }{{} Abstnd 4 9

11

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