Geraden im Raum Vektoren

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1 Seite 8 Gerden im Rum Vektoren Punkte im Rum Seite 8 B A C D x D A B O C x x x x x b) A ( ); B ( ); C ( ); D ( ); E ( ); F ( ); G ( ); H ( ) ) Diese Punkte liegen in der x x -Ebene (x x -Ebene; x x -Ebene). b) Diese Punkte liegen uf der x -Achse. 6 P ( ), Q ( ), R ( ), S ( ), T ( ), U ( ) 7 ) Mittelpunkt der Knte AB: M (, ) Mittelpunkt der Knte BC: M (, ) Mittelpunkt der Knte CD: M (, ) Mittelpunkt der Knte AD: M (, ) Mittelpunkt der Knte EF: M (, ) Mittelpunkt der Knte FG: M 6 (, ) Mittelpunkt der Knte GH: M 7 (, ) Mittelpunkt der Knte EH: M 8 (, ) Mittelpunkt der Knte AE: M 9 ( ) Mittelpunkt der Knte BF: M ( ) Mittelpunkt der Knte CG: M ( ) Mittelpunkt der Knte DH: M ( ) b) Digonlenschnittpunkt des Vierecks ABFE: S (, ) Digonlenschnittpunkt des Vierecks DCGH: S (, ) Digonlenschnittpunkt des Vierecks BCGF: S (, ) Digonlenschnittpunkt des Vierecks ADHE: S (, ) 8 ) ) Die Strecke muss gnz in der x x -Ebene liegen. b) Strecken, die nicht in der Zeichenebene des Heftes liegen, lso lle Strecken, die nicht in der x x -Ebene liegen. ) x H G E F D C x x G F x H D A C B x b) E ( ); F ( ); D ( ); H ( ) c) BD = 9 _ + cm = 9 _ cm BH = cm = 9 _ 9 cm E x A B Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN Gerden im Rum Vektoren L

2 Seite 8 9 Vektoren C x A AB = + + cm = 8 cm _ B BC = + + cm = 7 cm x x Seite ) b) c) d) x e) f) g) h) x Seite 9 ) A ( ), B ( ), C ( ), D ( ) b) A ( ), B ( ), C ( ), D ( ) c) A ( ), B ( ), C ( ), D ( ) Zum Beispiel A ( ) und B ( ). Die x -Koordinte der Punkte ist oder. Individuelle Lösung. Individuelle Lösung. ) Zum Beispiel A ( ) und B ( ). b) Zum Beispiel A ( ) und B ( ) e) f) x x ) b) c) d) O x 6 ) P (, ), Q ( ) b) Zum Beispiel A ( 7 ), B ( 8 ), C ( 9 ). c) Die x -Koordinte und die x -Koordinte sind stets. Die x -Koordinte ist eine (beliebig wählbre) reelle Zhl. 7 S ( 6) ) æ AB =, æ BA = b) æ AB =, æ BA = c) AB = æ, æ BA = e) AB = æ 6 6, æ BA = 6 6 f) AB = æ,,, æ BA =,, d) æ AB =, æ BA = L Gerden im Rum Vektoren ) B ( 6) b) B ( ) c) A ( 9 8) d) A ( 7 8) ) P ( ) b) P ( ) c) P ( ) d) P ( ) Bezüglich des Vektors BA : nur Vorzeichenwechsel bei den Koordinten der Punkte von ) d). Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN

3 Seite 6 6 æ AB ) 7 b) c) 7 6 æ DC AD æ æ BC ) Viereck ABCD mit D (8 6) Viereck ABDC mit D ( 8 6) b) Viereck ABCD mit D ( 9 7) Viereck ABDC mit D ( 97 ) Seite Prllelogrmm? j j nein 8 ) Individuelle Lösung. b) Meersburg: Der Bllon lndet in der Schweiz. Wsserburg: Der Bllon schfft es gerde bis zum Strnd südlich von Rheinspitz. c) Individuelle Lösung (Koordinten verdoppeln sich / Richtung des neuen Vektors ist der Richtung des lten Vektors entgegengesetzt). 9 ) c) Individuelle Lösung. d) Der große Pfeil ist dreiml so lng wie der kleine Pfeil. ) Individuelle Lösung. b) Mn benötigt zwei Vektoren. M ( ), M ( 6,), M (,), M (,) b) M M = ) M M =, c) M M = d) M M = Rechnen mit Vektoren, ) _ e) _ 88 6 O 6 O 6 O x b) _ c) d) 9 f) _ 66 8 ) x c) b) d) x e) x x x Seite 6 ) b) c) d) b) c) d) 9 9 c) d) ) 7 ) 7 b) e) 7, 8, f) 9 Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN O x f) Gerden im Rum Vektoren L x

4 Seite 6 6 Zur Kontrolle der jeweiligen Zeichnung: Der Ergebnisvektor ) ist Ortsvektor des Punktes P ( ) b) ist Ortsvektor des Punktes P ( ) c) ist Ortsvektor des Punktes P ( ) d) ist Ortsvektor des Punktes P ( ) e) ist Ortsvektor des Punktes P ( ) f) ist Ortsvektor des Punktes P ( ) 7 ) b) 8 c) d) 7 e) 6 f) 6, g), h) 8 ) æ c),7 æ u,7 æ v e) + æ b æ g) æ + 8 æ b i) 9 æ + 6 æ b k) æ u æ v 7 9 Individuelle Lösung. Seite 7 7,,8,8 b) d æ e = æ ( æ d e æ ) d),8 + æ 8, b æ, c æ f) æ u + æ v h) æ + æ b j) æ æ b ) M ( ) M b (,,) M c (,,) b) M ( ) M b (,, ) M c (,, ) c) M (,) M b (, ) M c (,,) d) M ( ) M b (,) M c (,) ) S! _ b) S _! _! _ M (, 6 6,) Individuelle Lösung. c) r æ + b æ = r Å + b Å b = r Å + b Å + b = r ( Å + b Å ) r ( + b ) = r Å + r b Å r + r b = r Å r + r b Å r b = r Å + r b Å b = r æ + r æ b (r + s) æ = (r + s) Å = (r + s) Å (r + s) = r Å + s Å r + s = r Å r = s Å s = r Å + s Å = r æ + s æ 7 ) Sie liegen uf der x -Achse. b) Sie liegen in der x x -Ebene c) Sie liegen in der x x -Ebene. d) Sie liegen in der x x -Ebene. Gerden Seite ) g: x = æ t c) g: x = æ b) + t x b) g: æ x = 7 + t 6 O ) x Seite 8 ) AG = æ c) EC = + æ b æ c æ e) ME = _ æ _ æ + b + æ c æ b + c 6 æ = Å, æ b = b Å b, æ c = c Å c b) BH = æ d) BM = _ æ + b + æ c æ b æ ) æ + b æ + c = æ Å + b Å b + c Å c = Å + b Å + b + c Å c = Å + b Å + c Å + b + c = Å + (b Å + c Å ) + (b + c ) = Å + b Å + c Å b + c = Å + b Å b + c c = + æ æ b + c æ b) r (s æ ) = r s Å = r s Å s = r s Å r s = Å s r Å s r = s r Å r = s r Å = s (r æ ) c) x d) f) e) x x L Gerden im Rum Vektoren Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN

5 Seite 6 ) nein b) j (t = ) c) j (t = ) d) nein ) z. B. P ( ) (t = ) Q ( ) (t = ) b) R ( ) (t =,) c) S ( ) (t =,) d) Siehe Zeichnung. P S Q R g 6 x Individuelle Lösung. 6 w : x = æ t x w : æ x = t x Seite ) z. B.: x = æ æ x = + t + t ; æ x = + t ; b) Mn erhält die Ortsvektoren von Punkten der Gerden, wenn mn für t Zhlen einsetzt. c) P ( ) ) j b) nein c) nein d) j Individuelle Lösung (je nch gewählter Lge des Quders im Koordintensystem). ) x = æ 7 + t b) Individuelle Lösung. mit t ) y = _ x + æ x = t + b) Der Quotient us der y-koordinte und der x-koordinte des Richtungsvektors ist die Steigung der Gerden (mit x-koordinte ). c) J, mn drückt die Steigung ls Bruch us. Der Zähler des Bruches entspricht der y-koordinte und der Nenner des Bruches entspricht der x-koordinte eines Richtungsvektors. Seite 7 ) g: æ x = t c) g: x = æ t b) g: æ x = t 8 ) Eine der Winkelhlbierenden zwischen der x -Achse und der x -Achse. b) Eine der Winkelhlbierenden zwischen der x -Achse und der x -Achse. c) Eine Gerde, deren senkrechte Projektion uf die Koordintenebenen jeweils eine der entsprechenden Winkelhlbierenden ergibt. 9 ) g: x = æ + t ; h: æ x = + t ; i: x = æ b) g: x = æ i: x = æ 6 + t ; j: æ x = + t + t ; h: æ x = + t + t ; j: æ x = 6 + t ; Lge von Gerden Seite 6 ) S Å_! _ b) S ( ) c) S ( ) d) S ( 9) Die Gerden g und h ) schneiden sich nicht. b) schneiden sich nicht. c) schneiden sich nicht. d) schneiden sich nicht. Die Gerden g und h schneiden sich im Punkt S ( ) (s. Stützvektor). Die Gerden h und i hben den gleichen Richtungsvektor. Also müssen lut Aufgbenstellung die Gerden g und i zueinnder windschief sein. Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN Gerden im Rum Vektoren L

6 Seite 7 Seite 7 ) g, h prllel und verschieden b) g = h c) g, h schneiden sich in S ( ) d) g = h ) r =, s =, A ( ); r =, t =, B ( ); s =, t =, C ( ) b) r =, s = _, A ( ); r =, t =, B ( 6 ); s =, t =, C ( 8) 6 ) g und h sind prllel und verschieden. b) g und h sind windschief. c) g und h schneiden sich in S ( ). d) g und h schneiden sich in S ( ). Seite 8 7 ) h: æ j: x = æ b) h: x = æ j: x = æ x = + t 7 ; i: æ + t 7 + t ; i: æ + t + t ; i: æ x = t 7 ; x = t ; c) h: x = æ x = t 6 8 Individuelle Lösung. 9 ) Die Gerden g: æ + s x = ; j: æ + r h: x = æ sind windschief. b) Die Gerden g: x = æ + r, und h: x = æ x = und + s schneiden sich in S! 8_! _. + t ) Mn knn ds Koordintensystem so legen, dss der Ursprung in der hinteren, unteren, verdeckten Ecke des Würfels liegt und die Koordintenchsen entlng der ngrenzenden Würfelknten verlufen. Eine Einheit ist die Kntenlänge eines kleinen Würfels. Eckpunkte: ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ) b) P ( ); P ( ); E ( ); E ( ); E ( ) Gerde g durch E und E : æ Gerde h durch P und E : æ Gerde i durch P und E : æ x = t x = x = g und h sind zueinnder windschief. g und i sind zueinnder windschief. h und i schneiden sich in E. + t + t Teilt mn die y-koordinte des Richtungsvektors durch die x-koordinte des Richtungsvektors, so erhält mn,. D dies uch die Steigung der nderen Gerden ist, schneiden sich die beiden Gerden nicht. Wiederholen Vertiefen Vernetzen Seite 9 Die Punkte liegen uf Rumdigonlen. Ds heißt: Die senkrechten Projektionen dieser Gerden uf die Koordintenebenen ergeben die jeweiligen Winkelhlbierenden zwischen den Achsen. Individuelle Lösungen (je nch Whl des Koordintensystems). ) A ( ), B ( ), C ( ), D ( ) b) A ( ), B ( ), C ( ), D ( ) æ c = b ; æ d = æ ; æ e = æ b æ æ b) = æ d ; æ b = æ e æ d ; æ c = æ d æ e æ Individuelle Lösungen (je nch Whl des Koordintensystems). Die Lösungen der Aufgben 6 bis 8 befinden sich im Schulbuch uf S.. Seite 9 Individuelle Lösungen (je nch Whl des Koordintensystems). Individuelle Lösungen (je nch Whl des Koordintensystems). L 6 Gerden im Rum Vektoren Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN

7 " ) x = æ t b) æ x = + t 7 = ; Schnittpunkt S _! _! _ = _ ; S (,, ) Seite Definiert mn ein Koordintensystem so, dss der Ursprung mit der hinteren linken Würfelecke zusmmenfällt und wählt mn ls Längeneinheit die Länge einer Würfelknte, dnn sind folgende Gerden zu betrchten: g: x = æ t und h: æ x =, + t ; g und h schneiden sich im Punkt S (,,,). Die Gerden g: x = æ + s 6 und h: x = æ 6 + t,,, sind windschief. g, h schneiden sich in S _! 7_! _ ; g, i schneiden sich in T!! _ ; g, k sind windschief. h, i schneiden sich in E; h, k schneiden sich in B; i, k sind windschief. 6 ) Für t = schneiden sich g und h in S ( 9 ) (r = ; s = ). Für t sind g t und h t windschief. Bechten Sie: Für t = sind g und h prllel. b) Für t = _ schneiden sich g _ und h _ in S _! _! 6_ r = _ ; s = 9 _. Für t und t _ sind g t und h t windschief. Seite 8 ) Der Punkt P ht die x -Koordinte. b) Die Gerde h durchstößt die x x -Ebene im Punkt R ( 8 ), die x x -Ebene im Punkt S ( 8 6) und die x x -Ebene im Punkt R _!! 7 _. c) z. B.: x = æ d) z. B.: x = æ + r + r Exkursion: Entdeckungen Vektoren in nderen Zusmmenhängen Seite Werden Pkete und b Pkete und c Pkete bestellt, so ist die gesuchte Gleichung Å æ x = + b + c Å Å Å Å Seite Der Mnn wird mit c. 6,6 kn in die Richtung der Digonlen des Prllelogrmms gezogen, bei dem die Hundeleinen jeweils eine Seite festlegen. Ds Boot würde mit 9 _ 6 km_, lso c., h km_ h, reltiv zum stehenden Wsser fhren. Seine Richtung wäre schräg zum Ufer und schräg entgegen der ursprünglichen Fließrichtung des Wssers. 7 ) = _ ; b = 9; c = _ ; d = _ b) b = 9; d = _ ; weiterhin muss gelten _ oder c _. c) Ist b = 9 und d _, dnn muss + c = gelten, dmit ein Schnittpunkt existiert. Ist b 9 und d _, dnn lutet die Bedingung für die Existenz eines Schnittpunkts: b d + c d + b c d =. d) b = 9; d _ ; + c oder b 9; d _ ; b d + c d + b c d Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN Gerden im Rum Vektoren L 7

8 Seite 8 9 Modellieren von gerdlinigen Bewegungen Seite 8 ) Mithilfe der Punkte A ( ) bei t = und A ( ) bei t = knn mn unter der Annhme, dss ds Schiff gerdlinig fährt, den Richtungsvektor der Kursgerden und nschließend die Kursgerden ufstellen. Kursgerde für ds Schiff: æ x = + t ( ) ( ) = t +. b) Bei t = befindet sich ds Schiff in der Position ( ), denn æ x = + + = + =. Bei t = befindet es sich entsprechend in der Posi tion ( 9). c) Um nun zu prüfen, ob die Bojen germmt werden, muss mn kontrollieren, ob die Punkte der Bojen uf der Kursgerden des Schiffes liegen: Boje mit der Position ( ): Mn prüft, ob die Gleichung + t = gilt: + t = t = + t = + 6 = ; j, die Boje wird germmt. Boje mit der Position (,): Mn prüft, ob die Gleichung + t =, gilt: + t = t = + t = + 8 = 7,; nein, die Boje wird nicht germmt. Boje mit der Position (,,): Mn prüft, ob die Gleichung + t =,, gilt: + t =, t =, + t = + 7 = 6,; nein, die Boje wird whrscheinlich nicht germmt. D die Abweichung mit, Längeneinheiten sehr gering ist, knn mn zur Sicherheit noch den geringsten Abstnd bestimmen: Dzu knn mn den Abstndsvektor für beliebiges t bestimmen und mithilfe des Stzes von Pythgors den Abstnd für beliebiges t berechnen. Mithilfe des GTR ermittelt mn dnn ds Minimum. Mit A t ( + t + t) und der Position der Boje B (,,) erhält mn ls Abstndsvektor, ( + t) t æ AB =, ( + t) =, 6, t und die Abstndsfunktion d (t) = 9 (, t) + (6, t). Mithilfe des GTR er hält mn t min =, mit d min, Längeneinheiten. Dmit beträgt der minimle Abstnd, Längeneinheiten, ws ein Rmmen der Boje nicht völlig usschließt. Dies hängt von der Breite des Schiffes und der Boje und von den Mßeinheiten b, mit denen gerechnet wurde. ) Erstes Schiff: Mithilfe der Punkte A ( ) bei t = und A (7 ) bei t = knn mn unter der Annhme, dss ds Schiff gerdlinig fährt, den Richtungsvektor der Kursgerden und nschließend die Kursgerden des ersten Schiffes ufstellen. Kursgerde für ds Schiff: æ x = + t t 7 = +. Zweites Schiff: Entsprechend gilt für ds zweite Schiff mit B ( ) und B (7 ): æ x = + t 7 = + t. Um den geringsten Abstnd zu bestimmen, stellt mn zunächst den Abstndsvektor für beliebiges t uf und berechnet mithilfe des Stzes von Pythgors den Abstnd für beliebiges t. Mit A t ( + t + t) und der Position der Boje B ( ) erhält mn ls Abstndsvektor AC = ( + t) ( + t) t = t und die Abstndsfunktion ( t) + ( t). Mithilfe des GTR erhält d (t) = 9 mn t min =, Stunden mit d min,7 km. Mit B t ( + t t) und der Position der Boje B ( ) erhält mn ls Abstndsvektor BC = ( + t) ( t) t = 7 + t und die Abstndsfunktion (7 t) + ( + t). Mithilfe des GTR erhält d (t) = 9 mn t min,7 Stunden mit d min,78 km. b) Hierzu ermittelt mn den Abstndsvektor beider Schiffe zum Zeitpunkt t: AB = + t ( + t) t ( + t) = + t t. Die Abstndsfunktion lutet d (t) = 9 ( + t) + ( t). Mithilfe des GTR erhält mn t min =, Stunden mit d min,77 km = 77 m. Seite 9 Um zu kontrollieren, ws in Minuten ( Sekunden) pssiert, bestimmt mn zunächst die Kursgerden des Sportflugzeuges (Angben jeweils in Fuß): Mithilfe der Punkte A ( 967 ) bei t = Sekunden und A ( ) bei t = Sekunde knn mn unter der Annhme, dss ds Sportflugzeug gerdlinig fliegt, den Richtungsvektor der Kursgerden und nschließend die Kursgerden g ufstellen: ( 967) g: x = æ + t 6 ( ) = + t, 9 6 wobei t die Zeit in Sekunden ngibt. Nch Minu ten sind Sekunden vergngen (t = ). Ds Sportflugzeug ist dnn im Punkt ( 89 ), denn æ x = = 8 = L 8 Modellieren Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN

9 Seite 9 Es könnte demnch sein, dss die Windkrftnlge germmt wird. Zur Sicherheit der Abschätzung knn mn noch den geringsten Abstnd des Sportflugzeuges zur Spitze der Windkrftnlge W ( ) bestimmen: ( t) AW = ( + t) = 87 6 t 6 t. ( 6 t) t Mit d (t) = 9 ( 87 6 t) + (6 t) + ( t) erhält mn mithilfe des GTR t min Sekunden mit d min 7, Fuß =, m. Somit knn mn nicht usschließen, dss ds Sportflugzeug zumindest ein Rotorbltt der Windkrftnlge rmmt, d der Abstnd nch c. Sekunden mit c., m sehr gering ist. Ds Sportflugzeug sollte seinen Kurs ändern. Ergänzung: Die Windkrftnlge ht bei der Spitze eine Höhe von Fuß, ws einer Höhe von 97, m entspricht, weshlb die Aussge des Lotsen, dss es keine Blinklichter hben muss, stimmt. Aus den Angben knn mn direkt die Abstndsfunktion bestimmen: d (t) = 9 (( + t) ( + t)) + (( + t) (9 + t)) + (( + t) ( + t)). Mithilfe des GTR ermittelt mn t min =,6 h und d min,8 km. Also hben beide Flugzeuge in,6 Stunden (96 Minuten) den geringsten Abstnd von,8 km. Sie kollidieren demnch nicht. Flugzeug : Mithilfe der Punkte A ( 6) bei t = Minuten und A ( ) bei t = Minuten knn mn unter der Annhme, dss ds Flugzeug gerdlinig fliegt, den Richtungsvektor der Kursgerden und nschließend die Kursgerden ufstellen: æ x = + t = + t, wobei t die Zeiteinheit von Minuten ngibt. Ds heißt, in Minuten legt ds Flugzeug eine Strecke zurück, die durch den Vektor beschrieben wird. Demnch legt es in Minute ein Drittel dieses Vektors zurück: _ = _. _ Die neue Kursgerde lutet nun: æ x = s + _, wobei s die Zeit in Minuten ngibt. 6 _ Flugzeug : Mithilfe der Punkte A ( ) bei t = Minuten und A ( ) bei t = Minuten knn mn unter der Annhme, dss ds Flugzeug gerdlinig fliegt, den Richtungsvektor der Kursgerden und nschließend die Kursgerden ufstellen, wobei die Beschreibung erst nch Minuten beginnt: æ x = + t = + t. Der Richtungsvektor gibt dbei n, welche Strecke ds Flugzeug in Minuten zurücklegt. Wenn mn diese Strecke von dem Positionsvektor nch Minuten bzieht, erhält mn die Position des Flugzeuges zum Zeitpunkt t = : = 6. Des Weiteren erhält mn durch Division durch den Richtungsvektor für eine Zeiteinheit von Minu te: _ = ds Flugzeug lutet demnch æ _. Die neue Kursgerde für _ x = 6 s + _ _. D die Kursgerden die beiden Flugzeuge nun jeweils zur selben Zeit beschreiben, knn mn den geringsten Abstnd mithilfe der Abstndsfunktion ermitteln: d (t) = 9 (( s) (6 s)) + (( _ s) ( + _ s)) + ((6 _ s) ( + _ s)). Mithilfe des GTR ermittelt mn t min = Minuten und d min.9 Längeneinheiten. In Abhängigkeit von der Längeneinheit kollidieren sie oder nicht. Wenn die Angben in Kilometer sind, kollidieren sie nicht; wenn sie ber in Meter sind, würden die Flugzeuge kollidieren. 6 ) Ds Flugzeug ht Meilen (lso 8 m) im horizontlen Abstnd zum Lndestrtpunkt ( ) die Position F ( 8 9,) lle Angben in Meter. Wenn es gerdlinig uf die Lndebhn zufliegt, knn mn die Kursgerde mit + t æ x = 8 8 beschreiben, wobei 9, 9, t = die Zeit wäre, bis ds Flugzeug uf dem Lndes trtpunkt lndet. Zu den Bedingungen: () Meilen im horizontlen Abstnd zur Lndebhn sollte es eine Höhe von Fuß hben: Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN Modellieren L 9

10 Seite 9 Fuß = 9, m, d der horizontle Abstnd des Flugzeuges zum Lndestrtpunkt die x -Koordinte drstellt und die Höhe des Flugzeuges durch die x -Koordinte ngegeben ist, ht ds Flugzeug im hori zontlen Abstnd von Meilen (8 m) genu die Höhe 9, m die Bedingung ist erfüllt. () Bei 7 Meilen im horizontlen Abstnd zur Lndebhn sollte es eine Höhe von Fuß hben: Fuß = 69,6 m und 7 Meilen = 96 m. Also muss mn bestimmen, für welches t die x -Koordinte 96 nnimmt; es wird 96 und nicht + 96 ermittelt, weil der -Meilen-Abstnd bereits mit einer negtiven Koordinte ( 8 ) ngegeben ist: 8 + t 8 = 96 t =,. Durch Einsetzen von t =, knn mn die x -Koordinte und dmit die Höhe berechnen: 9, +, ( 9,) = 6,8. Bei einem horizontlen Abstnd von 7 Meilen ht ds Flugzeug demnch eine Höhe von c. 6 m, sodss die Bedingung erfüllt ist. () Bei Meilen im horizontlen Abstnd zur Lndebhn sollte es eine Höhe von Fuß hben: Fuß =,8 m und Meilen = 6 m. Also muss mn bestimmen, für welches t die x -Koordinte 6 nnimmt; es wird wie bei () 6 und nicht + 6 ermittelt: 8 + t 8 = 6 t =,7. Durch Einsetzen von t =,7 knn mn die x -Koordinte und dmit die Höhe berechnen: 9, +,7 ( 9,) = 7,. Bei einem horizontlen Abstnd von Meilen ht ds Flugzeug demnch eine Höhe von c. 7 m, sodss diese Bedingung nicht erfüllt ist. Die vorgeschriebene Höhe wird um c., m unterschritten. b) Die Kursgerde für den Lndenflug ist reltiv unrelistisch, weil der Lndenflug kurz vor der Lndung noch flcher erfolgen muss. Dzu wird der Höhenverlust nfngs noch stärker sein (reltiv hohe Steigung) und gegen Ende der Lndung strk bschwächen (geringe Steigung). b) Um die Geschwindigkeiten zu bestimmen, muss mn zunächst den Abstnd des Surfbretts bzw. des Bootes zum Schnittpunkt der Kursgerden (Ort der Kollision) ermitteln. In dieser Skizze misst mn unter Berücksichtigung des ngegebenen Mßstbes folgende Abstände: d Schnittpunkt Boot = m und d Schnittpunkt Surfbrett = m. D die Kollision nch Sekunde erfolgt, legt ds Boot in Sekunde c. m zurück und ds Surfbrett m. v (Boot) = _ m s =,6 km = 8,8 km 9 km_ h h h bzw. 9 m_ s v (Surfbrett) = _ m s =,6 km = 8,8 km h h 8 km_ h bzw. m_ s 7 ) Den Ort der Kollision knn mn zeichnerisch bestimmen. Dzu zeichnet mn den Schnittpunkt des Kurses des Surfbretts mit dem Kurs des Bootes in die Skizze ein. L Modellieren Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN

11 Seite 9 Bist du sicher? Seite 9 x B C O A x A liegt uf der x -Achse. B liegt in der x x -Ebene. C liegt in der x x -Ebene. OB = 9 _ x P ( ) x O x Bist du sicher? Seite DE = ; ED = P ( ) Bist du sicher? Seite 7 ) ) b), 9,7,7, c) 6 6 x b) x O 6 x P ( ) c) Der Ergebnisvektor ist Ortsvektor des Punktes P ( ). Knnst du ds noch? Seite 8 ) Erhöht mn die Werbeduer um min, so steigt der Verkuf in einem Mont um Stück. b) In, Monten werden Stück insgesmt verkuft, wenn die Annhme ) stimmt. Bist du sicher? Seite ) x = ( 7 ) + t ( ) b) x = + t ) z. B. P ( ); Q ( ) b) A liegt nicht uf der Gerden g. B liegt uf der Gerden g. Bist du sicher? Seite 8 Die Gerden g und h sind zueinnder (echt) prllel. S ( _ 6 ) Knnst du ds noch? Seite 9 6 ) Berechnung des Obstpreises, wenn kg Äpfel,7 kosten. b) Die Belegschft einer Firm mcht einem Kollegen ein Geschenk in Höhe von. Je mehr Mitrbeiter sich m Geschenk beteiligen, umso weniger muss jeder einzelne bezhlen. x 7 Die linke Tbelle knn zu einer ntiproportionlen Zuordnung gehören, die rechte zu einer proportionlen. 8 x: Eintrittspreis pro Person in y: Preis für die Führung in Aufstellen des LGS: x + y = ; x + y = 9 Lösung: x = 8; y = ; = Eine Gruppe mit 8 Personen bezhlt. Trining, Runde, Seite ) b) 8 c) 8 8 Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN Gerden im Rum Vektoren L

12 Seite 9 ) z. B. P () b) z. B. Q () c) z. B. R () d) z. B. Q () ) Die x-koordinte des Punktes ist. b) Die x -Koordinte des Punktes ist ungleich. c) Die x -Koordinte und die x -Koordinte des Punktes sind ungleich. ) b) 6 c), 6 _ 8 ) Die Gerden g und h sind zueinnder windschief. b) Die Gerden g und h schneiden sich im Punkt S ( ). Trining, Runde, Seite Zum Beispiel g: x = + r und g: x = + s Wählt mn z. B. ein Koordintensystem mit Einheit cm uf den Koordintenchsen und dem Ursprung bei A, so erhält mn A ( ), B ( ), C ( ), D ( ), E ( ), F ( ), G ( ), H ( ) und M ( ). Für die Gerde g durch A und M gilt: g: x = r. Für die Gerde h durch B und H gilt: h: x = + s. Die Gerden g und h sind zueinnder windschief. ) g: x = + r und h: x = + s b) g: x = + r und h: x = + s c) g: x = r und h: x = + s Bist du sicher? Seite 9 Die Flugbhnen werden ls gerdlinig ngenommen. Dnn knn zur Bentwortung der Frge der geringste Abstnd der Flugzeuge während des Fluges ermittelt werden. Zunächst bestimmt mn die Kursgerden: = und 8 9 = 7 6 g: x = + t h: x = 9 + s 7 ergeben: Durch zweifches Anwenden des Stzes von Pythgors knn mn nun den jeweiligen Abstnd zum Zeitpunkt t ufstellen: d (t) = 9 (( t) ( t)) + (( + t) (9 t)) + (( + t) (7 t)) Vereinfchen ergibt: d (t) = 9 9 t 6 t +. Mithilfe des GTR zeigt mn, dss die Extremstelle bei t =, liegen muss. Es folgt d (, ),. Dmit beträgt der kleinste Abstnd bei gerdlinigen Flügen mit konstnter Geschwindigkeit c., km, womit eine Kollision usgeschlossen werden knn und der Fluglotse nicht eingreifen muss. Allerdings muss die Sitution genu beobchtet werden, weil die Flugbhnen sich uch ändern können. ) Die Gerden schneiden sich im Punkt S ( 7_ 8 _ 8 ). b) Die Gerden sind zueinnder prllel. L Gerden im Rum Vektoren/Modellieren Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt Alle Rechte vorbehlten. Lösungen zu ISBN