7.3. Prüfungsaufgaben zu Ebenen

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1 7.. Prüfungsufgben zu Ebenen Aufgbe : Prmeterform () Gegeben sind die Gerden g und h mit g: x und h: x ) Zeigen Sie, dss g und h prllel, ber nicht identisch sind. b) Geben Sie eine Gleichung der Ebene n, in welcher die beiden Gerden liegen. 9 mit r, s R. ) g und h sind prllel, d ihre Richtungsvektoren liner bhängig (kolliner) sind: 9 Sie sind nicht identisch, d z.b. der Stützpunkt von h nicht uf g liegt: beiden Komponenten r und in der dritten Komponente r, keine Lösuing! () b) E: x + u + v. () erfordert in den ersten () Aufgbe : Prmeterform, Spurpunkte und Punktprobe () ) Bestimmen Sie eine Prmetergleichung der Ebene E durch die Punkte A( ), B( ) und C( ). () b) Geben Sie die Koordinten der Schnittpunkte S, S und S der Ebene E mit der x -, x und x -Achse n. () c) Zeichnen Sie ds Dreieck S S S in ein Koordintensystem () d) Liegt der Punkt D( ) in der Ebene E? () ) E: x b) S ( ), S ( ) und S ( ) () c) Zeichnung () d) D E mit s und t. () () Aufgbe : Prmeterform, Spurpunkte und Punktprobe () ) Bestimme eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A( ), B( ) und C( ). () b) Bestimme die Koordinten der Schnittpunkte S, S und S der Ebene E mit der x -, x und x -Achse n. () c) Zeichne ds Dreieck S S S in ein Koordintensystem () d) Liegt der Punkt D( ) in der Ebene E? () e) Bestimme den Schnittpunkte S der Gerden g: x Koordintensystem us c). () mit der x - x -Ebene und zeichne die Gerde in ds f) Berechne den Schnittpunkt E g und zeichne ihn ebenflls in ds Koordintensystem us c) ein. ()

2 ) E: x b) S ( ), S ( ) und S ( ) () c) Zeichnung () d) D E mit s und t. () () e) S ( ) für r mit Zeichnung () f) E g t 7 8 () () r S Eg( ). () Aufgbe : Prmeterform, Spurpunkte und Punktprobe () ) Bestimme eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A( ), B( ) und C( ). () b) Bestimme die Koordinten der Schnittpunkte S, S und S der Ebene E mit der x -, x und x -Achse n. () c) Zeichne ds Dreieck S S S in ein Koordintensystem () d) Bestimme den Schnittpunkte S S und S der Gerden g: x zeichne die Gerde in ds Koordintensystem us c). () e) Berechne den Schnittpunkt E g und zeichne ihn ebenflls in ds Koordintensystem us c) ein. () ) E: x mit den x -x -, x -x - und x -x -Ebenen und b) S (7 ) mit s 9 und t 8 7, S ( ) mit s und t sowie S ( ) mit s und t () c) Zeichnung () d) S ( ) für r, S ( ) für r und S ( ) für r mit Zeichnung () e) E g s r S Eg( 7 ). () () () ()

3 Aufgbe : Prmeterform von Gerde und Ebene mit Spurpunkten und gemeinsmen Punkten (9) In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A( ), B( ), C( ) und D( ) gegeben sowie für jedes R eine Gerde g mit der Gleichung x mit r R. ) Untersuchen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer Ebene liegen. () b) Bestimmen Sie eine Prmetergleichung der Ebene E durch A, B und C. (,) c) Geben Sie die Koordinten der Schnittpunkte S, S und S der Ebene E mit der x -, x und x -Achse n. (,) d) Zeichnen Sie ds Dreieck S S S in ein Koordintensystem mit LE cm und Verkürzungsfktor k Richtung. (,) in x - e) Für welchen Wert von ist die Gerde g prllel zur Ebene E? (: 8 ) () f) Zeichnen Sie diese Gerde ebenflls in ds Koordintensystem ein. (,) g) Überprüfen Sie, ob g sogr in E enthlten ist. () ) Die Punkte liegen in einer Ebene, d z.b. die Vektoren AB oder die Punktprobe der Ebene E us b) für den Punkt D positiv ist. () b) E: x c) S ( ), S ( ) und S ( ) d) Zeichnung e) g ist prllel zu E, wenn die drei Richtungsvektoren wenn s f) Zeichnung g) () s,, AC und 8 und AD liner bhängig sind koplnr bzw. liner bhängig sind, d.h., 8. () s und t g /8 liegt sogr in E! Aufgbe : Prmeterform von Gerden und Ebenen mit gemeinsmen Punkten (9) Gegeben sind die Ebene E: x und die Gerden g : x ) In welchem Punkt schneidet die Gerde g die Eben E? () b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene D, die durch die Gerden g und g ufgespnnt wird. () c) Bestimmen Sie die Gleichung ller gemeinsmen Punkte der Ebenen E und D. () d) Für welchen Wert von ist die Gerde g prllel zur Ebene E? () mit R.

4 ) g E / g E {( )} () b) D: x c) E D g ED : + u + v 8 () / / 7 / 8 / / / / d) g ist prllel zu E, wenn die drei Richtungsvektoren e) wenn s () s, / / s + 8 t. () und 8 koplnr bzw. liner bhängig sind, d.h., 8. () s und t g /8 liegt sogr in E! Aufgbe 7: Prmeterform von Gerden und Ebenen mit gemeinsmen Punkten () Gegeben sind die Ebene E : x + r + s und die Gerden g : x mit R. ) In welchem Punkt schneidet die Gerde g die Ebene E? () b) Bestimme die Gleichung der Ebene E, die durch die Gerden g und g ufgespnnt wird. () c) Bestimme die Schnittpunkte der Ebenen E und E mit den Koordintenchsen und skizziere den entsprechenden Ausschnitt. () d) Bestimme die Gleichung ller gemeinsmen Punkte der Ebenen E und E. () ) g E b) E : x + r + r + s + s g E {( )} () c) E : S x ( ), S y ( ) und S z ( ) und E : S x ( ), S y ( ) und S z ( ) () Beschriftete Skizze d) E E s s R und r r g: () ()

5 Aufgbe 8: Prmeterform von Gerden und Ebenen mit gemeinsmen Punkten () Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und C( ) sowie die Gerden g : x mit R. ) Bestimme die Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C. () b) In welchem Punkt schneidet die Gerde g die Ebene E? () c) Bestimme die Gleichung der Ebene D, die durch die Gerden g und g ufgespnnt wird. () d) Bestimme die Schnittpunkte der Ebenen E und D mit den Koordintenchsen und skizziere die entsprechenden Ausschnitte in ein gemeinsmes Koordintensystem. () e) Bestimme die Gleichung ller gemeinsmen Punkte der Ebenen E und D. () ) Ebene E: x b) g E c) D: x + r D + s D () g E {( )} () d) E: S Ex ( ), S Ey ( ) und S Ez ( ) und D: S Dx ( ), S Dy ( ) und S Dz ( ) () Beschriftete Skizze () e) E D s E s D R und r E r D E D: Aufgbe 8b: Prmeterform von Gerden und Ebenen mit gemeinsmen Punkten () Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und C( ) sowie die Gerden g : x mit R. ) Bestimme die Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C. () b) In welchem Punkt schneidet die Gerde g die Ebene E? () c) Bestimme die Gleichung der Ebene D, die durch die Gerden g und g ufgespnnt wird. () d) Bestimme die Schnittpunkte der Ebenen E und D mit den Koordintenchsen und skizziere die entsprechenden Ausschnitte in ein gemeinsmes Koordintensystem. () e) Bestimme die Gleichung ller gemeinsmen Punkte der Ebenen E und D. () ) Ebene E: x b) g E c) D: x + r D + s D () () () g E {( )} () d) E: S Ex ( ), S Ey ( ) und S Ez ( ) und D: S Dx ( ), S Dy ( ) und S Dz ( ) () Beschriftete Skizze () e) E D s E ; s D R; r E +s D und r D s D E D: + s D () ()