Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie

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1 Studiengng Diplom-Berufspädgogik Unterrichtsfch Mthemtik Proseminr über Multimedile Linere Algebr und Anlytische Geometrie Ausrbeitung einer Sttsexmensufgbe us der Lineren Algebr Aufgbe 5 usgerbeitet von: Andres Loibl präsentiert m: Seminrleitung: Dr. M. Kpln

2 1 Aufgbenstellung 1 Aufgbenstellung Sei P eine Pyrmide mit der qudrtischen Grundfläche F (Seitenlänge 2), die Spitze befinde sich über dem Mittelpunkt von F in der Höhe h =. Aus der Pyrmide wird durch eine Ebene prllel zu F ein Pyrmidenstumpf S mit der Grundfläche F und der Höhe h S = τh,0 < τ < 1, usgeschnitten. 1. Der Pyrmidenstumpf S besitzt eine Umkugel. Begründen Sie ds! 2. Ermitteln Sie den Mittelpunkt M dieser Umkugel! 2

3 2 Lösung - Teilufgbe 1 2 Lösung - Teilufgbe 1 Sei P eine Pyrmide mit der qudrtischen Grundfläche F (Seitenlänge 2), die Spitze befinde sich über dem Mittelpunkt von F in der Höhe h =. Aus der Pyrmide wird durch eine Ebene prllel zu F ein Pyrmidenstumpf S mit der Grundfläche F und der Höhe h S = τh,0 < τ < 1, usgeschnitten. Der Pyrmidenstumpf S besitzt eine Umkugel. Begründen Sie ds! 2.1 Umkreis um die Grundfläche Es hndelt sich um eine Vierseitenpyrmide. Die Grundfläche der Pyrmide entspricht einem Qudrt. Durch seine Digonlen lässt sich ds Qudrt in zwei gleichschenklig - rechtwinklige Dreiecke ufteilen (Abb.1). Diese besitzen einen Umkreis, wobei bei gleichschenklig - rechtwinkligen Dreiecken der Umkreismittelpunkt dem Mittelpunkt der Dreieckshypotenuse entspricht (Abb.2). Deshlb hben die Dreiecke den selben Umkreis, welcher uch der Umkreis um die qudrtische Grundfläche ist (Abb.3). Alle die Grundfläche betreffenden Größen werden mit dem Index 1 versehen. Abb. 1 Abb. 2 Abb Umkreis um die Schnittfläche Die Spitze der Pyrmide T liegt lotrecht mit dem Abstnd über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Zur Erzeugung des Pyrmidenstumpfs erfolgt ein Schnitt durch die Pyrmide prllel zur Grundfläche. Deshlb hndelt es sich bei der Schnittfläche wieder um ein Qudrt. Gemäß vorheriger Begründung existiert demnch uch hier ein Umkreis (Abb. 4). Der Umkreismittelpunkt wird mit M K2 bezeichnet. Alle die Schnittfläche betreffenden Größen werden mit dem Index 2 versehen. 3

4 2 Lösung - Teilufgbe 1 Abb. 4 Schnitt entlng zweier Knten des Pyrmidenstumpfs 2.3 Erzeugung der Umkugel um den Pyrmidenstumpf Durch einen Schnitt, der entlng einer Digonlen A 1 C 1 der Grundfläche verläuft und die Pyrmidenspitze T enthält (Abb. 5), entsteht ds Viereck A 1 C 1 C 2 A 2. Dieses Viereck entspricht einem Trpez. Sowohl A 1 C 1 A 2 ls uch A 1 C 1 C 2 besitzen einen Umkreis. Wegen der vorliegenden Symmetrie sind die erzeugten Umkreise identisch, d.h. ds Trpez besitzt einen Umkreis. Lässt mn diesen Umkreis um die MT -Achse rotieren, so wird die Umkugel um den Pyrmidenstumpf erzeugt. Die beiden Umkreise um die Grundfläche und um die Schnittfläche enthlten ebenflls die Eckpunkte des Pyrmidenstumpfs und sind dher uch Element der erzeugten Umkugel. Bezüglich des Umkreises um ds Trpez lässt sich uch folgendermßen rgumentieren (Husufgbe H7 in LA 1): Ein Viereck besitzt dnn einen Umkreis, wenn die Summe der Gegenwinkel im Viereck gleich groß (lso 180 ) ist. Alterntive Argumenttion: Es liegen nun zwei konzentrische Kreise mit dem Abstnd h S vor. Wie bereits rgumentiert, sind die Eckpunkte der Grundfläche bzw. die Eckpunkte der Schnittfläche Elemente dieser Kreise. Die beiden Umkreise sind Element der Umkugel (Kleinkreise) und erzeugen ufgrund ihrer Konzentrizität diese. Der Kugelmittelpunkt M liegt uf der Verbindungsgerden der beiden Umkreismittelpunkte M K1 und M K2 des Pyrmidenstumpfs. Er ergibt sich us dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Pyrmidenstumpfseiten (Abb. 5). Abb. 5 Umkugel um den Pyrmidenstumpf S 4

5 3 Lösung - Teilufgbe 2 Sei P eine Pyrmide mit der qudrtischen Grundfläche F (Seitenlänge 2), die Spitze befinde sich über dem Mittelpunkt von F in der Höhe h =. Aus der Pyrmide wird durch eine Ebene prllel zu F ein Pyrmidenstumpf S mit der Grundfläche F und der Höhe h S = τh,0 < τ < 1, usgeschnitten. Ermitteln Sie den Mittelpunkt M dieser Umkugel! Es wird wiederum die Schnittebene durch die Pyrmide entlng der Digonlen A 1 C 1 und der Verbindungsgerde der beiden Kreismittelpunkte M K1 und M K2 (im Folgenden Mittellinie gennnt) erzeugt. Der Kugelmittelpunkt ht von den jeweiligen Eckpunkten, in Abb. 11 exemplrisch A i, den selben Abstnd. Wie bereits in Teilufgbe 1 begründet, muss er uf der Mittellinie liegen. 3.1 Lösungsmöglichkeit 1 Es werden die Dreiecke A 1 MM K1 (Abb. 6) und A 2 MM K2 (Abb. 7) betrchtet. Abb. 6 A 1 MM K1 Abb. 7 A 2 MM K2 Abb. 8 Für ds Dreieck A 1 MM K1 ergibt sich mit dem Stz des Pythgors (wobei d der lotrechte Abstnd des Kugelmittelpunktes M von der Grundfläche F ist): r 2 Ku = r2 1 + d 2 Der Rdius r 1 des Umkreises um die Grundfläche beträgt (Abb. 9): r 1 = = 2 2 = 2 5

6 Abb. 9 Rdius des Grundkreisumkreises Eingesetzt in die Formel für r 2 Ku im Dreieck A 1MM K1 ergibt sich: r 2 Ku = r2 1 + d 2 = d 2 Für ds Dreieck A 2 MM K2 ergibt sich nlog: r 2 Ku = r2 2 + (d + h S ) 2 Der Rdius r 2 des Umkreises um die Schnittebene hängt vom Abstnd h S = τ zur Grundfläche b. Mit dem Strhlenstz ergibt sich (Abb. 10): r 1 r 2 = r 2 = r 1 ( h S ) h S = r 1 r 1 h S Mit r 1 = 2 ergibt sich: Abb. 10 Rdius des Umkreises um die Schnittfläche r 2 = 2 2 hs = 2 2h S = 2( h S ) 6

7 Eingesetzt in die Formel für rku 2 im Dreieck A 2MM K2 ergibt sich: rku 2 = r2 2 + (d + h S ) 2 = 2( h S ) 2 + (d + h S ) 2 Die beiden Gleichungen können nun gleichgesetzt werden: d 2 = 2( h S ) 2 + (d + h S ) d 2 = 2 ( 2 2h S + hs) 2 + d 2 + 2dh S + hs 2 Durch Kürzen und Umstellen ergibt sich: 2dh S = 4h S 2h 2 S h2 S 2dh S = 4h S 3h 2 S d = h S = τ Der Kugelmittelpunkt liegt lso im Abstnd von τ von der Grundfläche F des Pyrmidenstumpfs entfernt uf der Mittellinie. Abb. 11 Abstnd d des Kugelmittelpunkts von der Grundfläche 7

8 3.2 Lösungsmöglichkeit 2 Der Kugelmittelpunkt lässt sich uch mittels vektorieller Überlegungen ermitteln. Dzu wird ein krtesisches Koordintensystem mit dem Ursprung in M K1 eingeführt. Die Richtung der Koordintenchsen knn Abb. 12 entnommen werden, die positve z-achse zeige in Richtung Pyrmidenspitze. Bemerkung: Die Aufgbe könnte uch unter Nutzung der Symmetrie und der Argumenttion in 2.3 ls Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Pyrmidenstumpfknten gelöst werden. Die Rechnungen würden zwr ddurch erheblich einfcher, jedoch möchte ich es im dreidimensionlen lösen. Abb. 12 Einführung einens krtesischen Koordintensystems Durch Einführung dieses Koordintensystems ergeben sich für die Eckpunkte der Pyrmide folgende Koordinten: A 1 = (,,0) B 1 = (,,0) C 1 = (,,0) D 1 = (,,0) T = (0,0,) Der Kugelmittelpunkt M lässt sich ls Schnittpunkt von Ebenen, die uf den Pyrmidenstumpfknten senkrecht stehen und sie hlbieren, konstruieren (Abb. 13). Die Ebenen lssen sich sehr einfch in der Hessenormlform (HNF) ufstellen, d die jeweilige Pyrmidenstumpfknte Normlenvektor der entsprechenden Ebene ist. Beispielhft für die Ebene E senkrecht zur Knte A 1 T: Der Normlenvektor der Ebene ist der Vektor A 1 T. Der Mittelpunkt M A1 A 2 der Strecke A 1 A 2 ist Element der Ebene. Dieser ht nch dem Strhlenstz folgenden Abstnd von A 1 in Richtung T: 8

9 Abb. 13 Konstruktion des Kugelmittelpunkts M K1 T h S = A 1T A 1 A 2 τ = A 1T A 1 A 2 A 1A 2 A 1 T = τ Der Punkt M A1 A 2 lässt sich lso beschreiben durch: M A1 A 2 = OA τ A 1 T Für die Ebene E senkrecht uf der Pyrmidenstumpfknte A 1 T ergibt sich somit: [ 1 E : X A ] A 1 T 2 τ A 1 T, A 1 T = 0 mit 0 A 1 T = 0 = und A 1 T = 3. 0 Überführung in die Koordintenform: E : x τ y τ, = 0 1 x τ y + 1 z 3 2 τ, = 0 z 1 2 τ 1 2 τ 1 3 (( x τ ) + (y + 12 ) τ + (z 12 ) ) τ = ( x + y + z τ ) = 0 9

10 E : x + y + z τ = 0 Anlog lssen sich für die Knten B 1 T, C 1 T und D 1 T die geforderten Ebenen ufstellen. Zur Ermittlung des Kugelmittelpunkts werden die Ebenen zu A 1 T, B 1 T und C 1 T usgewählt. Für die Ebene F, die senkrecht uf der Pyrmidenstumpfknte B 1 T steht, ergibt sich: F : x + y + z τ = 0 Für die Ebene G, die senkrecht uf der Pyrmidenstumpfknte C 1 T steht, ergibt sich: G : x y + z τ = 0 Für die Ebene H, die senkrecht uf der Pyrmidenstumpfknte D 1 T steht, ergibt sich: H : x y + z τ = 0 Der Schnittpunkt der drei Ebenen ergibt sich durch Lösung des folgenden Gleichungssystems: x + y + z = τ x + y + z = τ x y + z = τ x y + z = τ Zur Lösung wird ds Linere Gleichungsystem in Mtrizenschreibweise überführt: x τ y = τ z τ τ τ τ τ 2 τ x = 0;y = 0;z = τ 0 Der Kugelmittelpunkt ht somit folgende Koordinten: M = τ 10

11 Abb. 14 Umkugel des Pyrmidenstumpfs S 11