Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik

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1 Der Goldene Schnitt III. Der Goldene Schnitt in der Mthemtik 1. Herleitung des Goldenen Schnitt Per Definition des Goldenen Schnitt gilt: b = b. (>b>0) Nch der Drstellung (s.o.) gilt, wenn S (der mittlere Punkt) die Strecke AB (+b) im Goldenen Schnitt teilt: SB AS = AS AB x Wenn AS =x und AB= gesetzt werden, gilt: = x x. (>x>0) Wenn mn mit dem Huptnenner x multipliziert erhält mn durch weiteres Umformen die qudrtische Gleichung x² x ²=0. Durch die Lösungsformel erhält mn nur eine Lösung, d x nicht negtiv sein knn: x= = x= 5 1 =φ 0,618. x Also gilt: = x = 5 1. Setzt mn =1, dnn gilt: x Ds ist jedoch nur der Kehrwert der richtigen Lösung, sie lutet: Φ= 1 φ =1 φ= 5 1 Dher gilt hier: b = b = 5 1

2 . Konstruktionsverfhren Konstruktion nch Heron von Alexndrien: Zuerst konstruiert mn eine beliebige Strecke AB ( AB=. Dnn konstruiert mn eine Senkrechte in Punkt B ( BC =b), die hlb so lng ist wie. Mn verbindet die Punkte A und C und konstruiert einen Kreis mit dem Rdius AC =c im Punkt C, der die Strecke AB in Punkt D schneidet. Mn konstruiert einen Kreis in Punkt A mit dem Rdius AD, der die Strecke im Punkt S schneidet. S teilt AB im Goldenen Schnitt. Beweis: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC, in dem der Stz des Pythgors gilt ( c²=²+b²). D b hlb so lng ist wie, gilt: c²= 5 4 ² c= 5. Also gilt: AS = AD=c CD=c = 5 = 5 1 AB AS = = = = 5 1 = =5 1 4=4 w.z.b.w.

3 3. Goldene Dreiecke Goldene Dreiecke sind gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel Φ- ml so lng sind, wie die Grundseite. Flächeninhlt: A= 5 5 ² 4 Umfng: u= 5 4. Goldene Rechtecke A= ² u=4 Φ Goldene Rechtecke sind Rechtecke, deren längere Seite c sich us der Summe der Länge kürzeren Seite und einer weiteren Strecke b ergibt. Hierbei muss gelten: b = b Alle Goldenen Rechtecke lssen sich in ein Qudrt mit der Seitenlänge und ein weiteres Goldenes Rechteck zerlegen. 5. Reguläre Fünfecke und Pentgrmme Bei regulären Fünfecken gibt es gleich zwei Ml den Goldenen Schnitt, die Digonlen schneiden einnder im Goldenen Schnitt und ußerdem ist ds Verhältnis Seite : Digonle im Goldenen Schnitt. Ds Pentgrmm ist eines der ältesten mgischen Symbole der Kulturgeschichte und gilt ls Bnnzeichen für den Teufel oder böse Geister. Es ist eine sternenförmige Figur, die us den Digonlen eines regelmäßigen Fünfecks ufgebut ist. Dher teilen die Strecken des Pentgrmms einnder im Goldenen Schnitt. Andere Bezeichnungen sind Fünfstern, Pentlph oder Pentkel (nur mit Umkreis).

4 6. Die Goldene Spirle Ein Goldenes Rechteck lässt sich in ein Qudrt und ein weiteres Goldenes Rechteck zerlegen. Durch wiederholte Teilung erhält mn eine Figur, in die sich eine logrithmische Spirle einzeichnen lässt, die Goldene Spirle. Sie wird oft, wie in nebenstehender Abbildung, durch eine Folge von Viertelkreisen pproximiert. Ihr Rdius ändert sich bei jeder 90 - Drehung um den Fktor F. Die schneckenförmigen Klkgehäuse einiger Tierrten hben eine ähnliche Steigung, wie beispielsweise ds des Nutilus. Bei den meisten dieser Tierrten ist die Steigung jedoch eher geringer. 7. Ds Ikoseder V = ² Ds Ikoseder ist einer der fünf pltonischen Körper, ein Polyeder, und es besitzt zwnzig kongruente, gleichseitige Dreiecke ls Flächen, dreißig gleich lnge Knten und zwölf Ecken, n denen jeweils fünf Flächen zusmmentreffen. Die Ecken von einem Ikoseder ergeben jeweils 3 kongruente Goldene Rechtecke mit gemeinsmen Mittelpunkt, die im so gennnten Goldenen Schnitt- Stuhl ngeordnet sind. A O =5 3 ² 8. Zehnecke In regelmäßigen Zehnecken (Dekgon) verhält es sich wie in Fünfecken, ds Verhältnis der Längen Digonle : Seite ist der Goldene Schnitt. Ein regelmäßiges Zehneck zeichnet mn, indem mn uf dem Rdius den Goldenen Schnitt herleitet und diesen dnn zehn Ml m Umfng des Kreises bträgt. Ein Innenwinkel beträgt 144 und die Innenwinkelsumme A= 5 ² 5 5 u=10

5 9. Der Goldene Winkel Der Goldene Winkel Psi (Ψ) beträgt in etw 137,5. Mn erhält ihn durch Teilung des Vollwinkels im Verhältnis des Goldenen Schnitt. Ψ ist der größere Winkel, Ψ 1 der kleinere Winkel, der llgemein ls Goldener Winkel bezeichnet wird. Ψ = 360 Φ,5 Ψ 1 = Φ 137,5