Pythagoras & Co Einleitung
|
|
|
- Karl Blau
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 mth_gew_techn_pythgors.nb 1 Pythgors & Co 5.1. Einleitung Pythgors von Smos wurde um 570 v. Chr. geboren. Der nch ihm bennnte Stz wr bereits früher beknnt. Pythgors zeigte, dss es unendlich viele rechtwinklige Dreiecke mit gnzzhligen Seitenlängen gibt ("pythgoräische Dreiecke"). Hier sind die Formeln von Diophntes von Alexndri (um 50 n.chr.) mit Hilfe derer mn unendlich viele solche Dreiecke erzeugen knn: = xy b = x - y c = x + y. Für x und y wähle mn zwei teilerfremde ntürliche Zhlen, x > y. Mit diesen Formeln lssen sich sogr lle pythgoräischen Zhlentripel erzeugen, indem mn gefundene Tripel llenflls noch erweitert oder kürzt. Beispiel: x = 4, y = 3 ï = 4, b = 7, c = 5. Es ist ttsächlich = 5. Ds Dreieck mit den Seitenlängen 4, 7 und 5 ist ein rechtwinkliges Dreieck. Ds beknnteste "pythgoräische Dreieck" ist ds Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3 : 4 : 5 (Bild oben links). Eine Schnur, die durch Knoten in 1 gleichlnge Abschnitte geteilt wird, knn so in der Feldmessung zur Erzeugung eines rechten Winkels dienen (siehe Bild oben links). Ein weiteres beknntes pythgoräisches Dreieck ist dsjenige mit den
2 mth_gew_techn_pythgors.nb Ein weiteres beknntes pythgoräisches Dreieck ist dsjenige mit den Seitenverhältnissen 5 : 1 : 13. Hier sind einige teilerfremde pythgoräische Zhlentripel: Herleitungen für Höhenstz, Kthetensätze und Stz von Pythgors Ein bildlicher Beweis für den Stz von Pythgors Gegeben ist ds weisse rechtwinklige Dreieck, in welchem wir noch die Höhe h c einzeichnen. Die ddurch entstehenden drei Teildreiecke sind winkelgleich und somit ähnlich zueinnder. Wir klppen sie nch ussen wie es ds Bild zeigt. Ihre Fläche ist ein bestimmter Bruchteil, sgen wir ÅÅÅÅ 1, der zugehörigen Qudrtfläche. k Wir hben A 1 + A = A 3 k ï k A 1 + k A = k A 3 ï + b = c
3 mth_gew_techn_pythgors.nb Zusmmenfssung der Sätze m rechtwinkligen Dreieck Aufgbe Wenn mn im rechtwinkligen Dreieck die Höhe h einzeichnet, entstehen drei zueinnder ähnliche Dreiecke. Erstellen Sie möglichst viele Ähnlichkeitsbeziehungen und wndeln Sie diese in Produktsätze um ("Innenprodukt = Aussenprodukt"). Höhenstz: q p = h Kthetensätze: p c = q c = b c(p + q) = + b Stz von Pythgors: c = + b Flächenstz: A = b = c h ï h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c = è!!!!!!!!!!!! +b
4 mth_gew_techn_pythgors.nb Gleichseitiges Dreieck, hlbes gleichseitiges Dreieck, Qudrt, Dreieck Lernen Sie die Beziehungen m gleichseitigen Dreieck und m gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck uswendig: Aufgbe Zeichnen Sie Ketten neinnderhängender und Dreiecke. Bezeichnen Sie eine Seite mit und drücken Sie lle übrigen Seiten durch us. Erfinden Sie mehrere solche Aufgben. Tuschen Sie diese untereinnder us. Beispiel:
5 mth_gew_techn_pythgors.nb Umgehen mit Wurzeln ("exkte Lösungen") Aufgbe Wählen Sie verschiedene rechtwinklige Dreiecke, von denen Sie zwei Seitenlängen mit einem Prmeter kennen. Berechnen Sie die dritte Seite exkt. Beispiel: 4 / c = "######################## 16 + H ÅÅÅÅ L = "###################### 16 + ÅÅÅÅÅÅ 4 = "################# ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 64 + ÅÅÅÅÅÅ = "########## ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 65 4 = è!!!!!! 65 4 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 5.5. Räumlicher Pythgors Aufgben ) Berechnen Sie die Körperdigonle eines Zimmers mit den Mssen, b und c. Ds Resultt wird räumlicher Pythgors gennnt. b) Berechnen Sie die Länge der Körperdigonle eines Würfels mit Kntenlänge Einfchere Einführungsufgben zu den Sätzen im rechtwinkligen Dreieck Dreiecke: Fehlende Stücke berechnen 1. Rechtwinkliges Dreieck: b c h q p A ) b) ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! c) 5 4 d) 8.5. Gleichseitiges Dreieck
6 mth_gew_techn_pythgors.nb 6. Gleichseitiges Dreieck h A ) 6 è!!! b) 5 c) 15 è!!! 3 3. Gleichschenkliges Dreieck mit Spitze C, Bsis c, Schenkel = b c h h c A ) 5 5 è!!!!! b) Digonlen berechnen (Lösungswege im Anhng) 4. Berechnen Sie die Länge der Digonlen in ) einem Qudrt mit = 5 b) einem Rechteck mit = 8, b = 6 c) einem Rhombus mit = 15 und e : f = 3 : 4 d) einem gleichschenkligen Trpez mit = 8, b = d = 17, c = 1 e) einem Prllelogrmm mit = 8, b = 15, h = Weitere Einführungsufgben (Lösungswege im Anhng) 5) Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ht Umfng 30. Wie lng sind die Seiten? b) In einem gleichschenkligen Dreieck sei die Bsis hlb so lng wie ein Schenkel. Der Flächeninhlt beträgt è!!!!! 15. Wie gross ist der Umfng? c) Die Digonlen in einem Rhombus messen 10 und 4. Gesucht sind Seitenlänge und Inkreisrdius. d) Ein Rechteck ht Umfng 34. Der Umkreisrdius beträgt 6.5. Wie lng sind die Seiten? e) In einen Trichter mit Öffnungswinkel 60 fällt ein Bll mit 10 cm Durchmesser. Wie weit sind Trichterspitze und Bllmittelpunkt voneinnder entfernt? f) Von einer qudrtischen Pltte mit Seitenlänge werden vier Dreiecke so bgesägt, dss ein regelmässiges Achteck entsteht. Berechnen Sie die Seitenlänge x des Achtecks und seinen Flächeninhlt (in der Form A = k, k uf 3 Dez.).
7 mth_gew_techn_pythgors.nb 7 g) Geg: Qudrt mit Seitenlänge. Es wird ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben, dessen eine Ecke mit einer Qudrtecke zusmmenfällt. x =? Lösungen 1. Rechtwinkliges Dreieck: b c h q p A ) b) ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!! è!!! c) è!!!!!! 17 d) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!! Gleichseitiges Dreieck h A ) 6 3 è!!! 3 9 è!!! 3 b) è!!! 5 è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! 3 3 c) è!!!!! 15 3 è!!! 5 15 è!!! 3 3. Gleichschenkliges Dreieck mit Spitze C, Bsis c, Schenkel = b c h h c A 5 ) è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 è!!! è!!!!! 0 b) 9 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 10 è!!!!!! 9 4. Digonlen: ) 5 è!!! b) 10 c) 4; 18 d) 5 e) è!!!!!!!! 337 ; Weitere Aufgben: ) è!!! 30 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + è!!! 30 ; + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b) 10 c) 13; 60 ÅÅÅÅÅÅ 13 d) 5; 1
8 mth_gew_techn_pythgors.nb 8 e) 10 f) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + è!!! ; ( è!!! - 1) g) è!!!!!!!!!!!!!!!! x - + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x = ï x - = I - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x M = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x + ÅÅÅÅÅÅ x ï x + è!!! x - 4 è!!! - ± = 0 ï x = è!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ( è!!! 6 - è!!! ) Lösungsweg zu f): x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! + x + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! = ï x (1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! ) = ï x (1 + è!!! ) = ï x = 1 + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ A = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x = - x = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ I1 + è!!! = - M = ( ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! ) = ( + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! ) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! = (1-1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! ) 5.7. Weitere Aufgben 1. Eine Kugel mit Rdius 5 mm fällt in ein Loch mit 48 mm Durchmesser. Um wieviele mm sckt der Mittelpunkt der Kugel ein? (Resultt uf Zehntelsmillimeter.)
9 mth_gew_techn_pythgors.nb 9. Drücken Sie x durch us: x 3 3. Eine.5 m lnge Leiter lehnt n einer Wnd. der Leiterfuss ist 70 cm von der Wnd entfernt. Wie hoch hinuf reicht die Leiter? 4. Ein m lnger Hlm wird so geknickt, dss seine Spitze den Boden erereicht und zwr cm vom Fusspunkt entfernt. Auf welcher Höhe befindet sich die Knickstelle? ) = 0.4 m. b) =. 5. In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kthete dreiml so lng wie die ndere. Die Hypotenuse misst 0 cm. Wie lng ist die kürzere Kthete? 6. Die gnze Plette von Berechnungsufgben m rechtwinkligen Dreieck: Folgende 7 Stücke können gegeben oder gesucht sein (der rechte Winkel ist stets gegeben): b c h q p A. Kennt mn (neben dem rechten Winkel) zwei dieser Stücke, lssen sich die übrigen berechnen. Auf wieviele Arten knn mn us 7 Elementen uswählen? Antwort: Auf J 7 N = 1 Arten. Somit sind theoretisch 1 verschiedene Berechnungsufgben möglich. Wählen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit gnzzhligen Seitenlängen (s. z.b. Tbelle gnz m Anfng). Berechnen Sie lle 7 Stücke. Dies ist Ihr "Lösungsbltt". Formulieren Sie nun mit diesen Zhlen möglichst viele verschiedene Berechnungsufgben. Geben Sie die fertigen Aufgben mit Ihrem Nmen versehen b. Lösen Sie Ihre Aufgben uch selber wieder uf. - Einige werden sehr einfch, ndere eher schwierig sein. Txieren Sie Ihre Aufgben mit "einfch", "mittel", "schwierig".
10 mth_gew_techn_pythgors.nb 10 Lösungen mm. è!!!!! cm 4. x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 - (in Metern) = 1 - ÅÅÅÅ è!!!!! 40 = è!!!!! Schwierig ist z.b.: c = 5 cm, h =.4 cm. Gesucht: und b. (1): b = c h = 1 (): + b = 5 Es folgt: + b + b = 49 ï (3): + b = 7 und - b + b = 1 ï (4): - b = 1 ï = 8, = 4, b = è!!! - und è!!! 3 -Aufgben 1. Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge. Wir gross ist der Inkreisrdius?. Gegeben ist der Umfng u eines Dreiecks. Wie lng sind die Seiten? 3. Einem Kreisbogen vom Rdius r ist ein Hütchen mit Öffnungswinkel 10 ufgesetzt. Gesucht ist die Höhe des Hütchens (von der Sehne bis zur Spitze). 4. Trpez mit Seiten, b, c, d. = Grundseite, c = Deckseite. Gegeben: c = 3 d, = 45, b = 150. Gesucht: usgedrückt durch d. 5. Einem 60 -Sektor mit Rdius r ist der grösstmögliche Hlbkreis so einbeschrieben, dss der Durchmesser uf einem Schenkel liegt und der Kreisbogen den ndern Schenkel berührt. Berechnen Sie den Hlbkreisrdius us r.
11 mth_gew_techn_pythgors.nb Berechnen Sie den Inhlt des punktierten Dreiecks us. 7*. Drücken Sie durch den Rdius r us (r = Rdius des Kreises). r r 8. Drücken Sie den Rdius x des einbeschriebenen Kreises durch us: 9. Drücken Sie den Flächeninhlt des gersterten Qudrtes durch und b us: b 10*. Einem Kreissektor mit Zentriwinkel 30 und Rdius r ist ein Qudrt einbeschrieben, so dss eine Seite uf einem Sektorschenkel liegt. Berechnen Sie die Seitenlänge x des Qudrtes us r.
12 mth_gew_techn_pythgors.nb 1 Lösungen: 1. è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6. x = u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!!, x = u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, xè!!! 3 = 3 u è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ u è!!! h = r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! = r è!!! 3 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4. = 6 d è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! d 3 + 3d - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! 5. x = 8. x = r è!!! 3 + è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! I + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 M = r "################ + è!!! 3 4 Hb - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 10. x = r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "################# 5 + è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5.9. Kreisberührufgben 1) Mn bestimme den Rdius y des grossen Hlbkreises ls Funktion von. b*) Mn berechne die Fläche A für = 4cm. Runden Sie uf cm genu. ) Gesucht: Rdius r des grossen Kreises usgedrückt durch die Qudrtseite. b*) Gesucht ist die schrffierte Fläche für = 96 mm uf gnze mm genu.
13 mth_gew_techn_pythgors.nb Ziehen Sie in der Figur Hilfslinien zu den Berührpunkten. Berechnen Sie dnn den Rdius r des kleinen, oberen Kreises. (Grundufgbe) 4. Gesucht ist der Rdius des kleineren Hlbkreises usgedrückt durch. (Grundufgbe) 5. Gesucht ist der Rdius des Hlbkreises usgedrückt durch. (Mturufgbe)
14 mth_gew_techn_pythgors.nb Gesucht ist x usgedrückt durch r (Vrinte: r = 16 cm). (Mturufgbe) Vorgehen bei Kreisberührungsufgben Ê Alle Berührrdien und Symmetriechsen einzeichnen. Ê Unbeknnte x wählen. Alle Ergänzungsstrecken durch x usdrücken und beschriften. Ê Pythgors ohne Wurzeln nwenden. Lösungen 1) y = ÅÅÅÅÅÅÅ 3 b) = 4 cm, y = 18 cm, A 1018 cm 7 ) r = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 41 b) 883 mm r = ÅÅÅÅ 5 3 m 4. ÅÅÅÅ 5. ÅÅÅÅÅÅÅ 7 6. x = ÅÅÅÅÅÅÅ 3 r 3 6
15 mth_gew_techn_pythgors.nb Weiteres Übungsmteril 1. Eine Person (Augenhöhe 1.6 m über dem Strndboden) steht m Meer und sieht ein Segelschiff (Mstenhöhe 15 m) ins Meer hinusfhren. Die Sicht ist äusserst klr. Mit der Zeit scheint ds Boot im Meer zu versinken, und schliesslich verschwindet uch die Mstspitze. In welcher Distnz zu den Augen der Person befindet sich zu diesem Zeitpunkt die Mstspitze des Segelschiffs? (Erdrdius = 6370 km). Gesucht ist x (r). Resultt exkt. 3. Gesucht ist x. 4. Diese Aufgbe führt uf eine qudrtische Gleichung: In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kthete 3 cm kürzer ls die Hypotenuse. Die ndere Kthete ist 3 cm kürzer ls der 4. Teil der längeren Kthete. Wie gross ist der Umfng des Dreiecks?
16 mth_gew_techn_pythgors.nb Die Streckenzüge stehen jeweils senkrecht ufeinnder. Ges: x. Resultt exkt. 6. Die beiden Vierecke sind Qudrte. Gesucht ist A (). Resultt exkt.
17 mth_gew_techn_pythgors.nb Wie gross ist der Rdius x des kleinen mittleren Kreises usgedrückt durch den Rdius r der Hlbkreise? 8. Wie gross ist die Fläche des kleinen Kreises in cm (uf 1 Stelle nch dem Komm genu)? Lösungen: 1. c km.. x = ÅÅÅÅÅÅÅ r 3. x = 4.8 cm 3 4. Die Seiten messen 13 cm, 10 cm und 7 cm, U = 70 cm. 5. è!!! 6 6. A = I 3 - è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M 7. x = r ( è!!! - 1) cm
18 mth_gew_techn_pythgors.nb Anhng Indische Sulbsutrs In der lten indischen Kultur (um 1000 v.chr.) gb es die "Schnurlehre" (sulbsutr). Sie diente ls Anleitung zum Bu von Altären. Mn findet dort etw folgende Anleitung: Ê Ds Seil, welches entlng der Digonle eines Qudrtes gespnnt wird, liefert eine doppelt so grosse Fläche wie ds ursprüngliche Qudrt. Ê Ferner wird eine Konstruktion ngegeben, die zum Ziel ht, ein Qudrt zu erhlten, ds die gleich grosse Fläche ht wie zwei vorgegebene, unterschiedlich grosse Qudrte zusmmen. Wie könnte mn diese "Qudrtverschmelzung" mit Hilfe des Stzes von Pythgors durchführen? Der Stz von Pythgors für Smileys 1 3 Der Stz von Pythgors gilt uch für Smileys! Die Gesichtsflächen von Smiley 1 und Smiley zusmmen sind gleich gross wie die Gesichtsfläche von Smiley 3. Anloges gilt für lle Elemente des Bildes von Pul Klee unter 5..1.
19 mth_gew_techn_pythgors.nb 19 Anhng : Lösungswege zu 5.6. und S. 6, 5.6.., Nr. 4 S.6, , Nr. 5 5) Sei x die Länge eines Schenkels, dnn ist x è!!! die Länge der Hypotenuse. Umfng = 30 = x + x + x è!!! = x + x è!!! = x( + è!!! 30 ) = 30 ï x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + è!!! b) x h x x/ x h = "################### 4 x - ÅÅÅÅÅÅ x 4 = "########## ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 15 x 15 Seite Höhe ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. A = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 Es ist A = è!!!!! è!!!!!! x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 : è!!!!! 15 ï 1 = ÅÅÅÅÅÅ x 4 ï 4 = x ï x =. ï U = 5x = 10 cm. 4 = x è!!!!!! x x è!!!!!! x è!!!!!!
20 mth_gew_techn_pythgors.nb 0 c) s s 5 1 s x x h s s = "################## = 13 A Rhombus = ÅÅÅÅÅÅÅ e f 4 10 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 10 = s h ï h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ï x = ÅÅÅÅ h d) Skizze. d = 13 cm. Sei x = Breite ï "################## 13 - x = Länge Hlber Umfng = 17 = x + "################## 13 - x ï (17 - x) = "################## 13 - x ï H17 - xl = x ï 89-34x + x = x ï x - 34x + 10 = 0 ï x - 17x + 60 = 0 ï x = 1 cm, Länge = 5 cm. e) = ÅÅÅÅÅÅ cm. x 5 x = 10 cm (Doppeltes von 5; siehe schrffiertes hlbes gleichseitiges Dreieck.)
2.2. Aufgaben zu Figuren
2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und
Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN:
Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Hinweise zu den nregungen zum Nchdenken und für eigene Untersuchungen zu 8.: zu 8.: Wenn die Dreiteilung des weißen Rechtecks durch
Satz des Pythagoras. c 2. a 2. b 2
Stz des Pythgors 01 c b Hypotenusenqudrt = Summe der beiden Kthetenqudrte ² = c² b² = c² b² ² + b² = c² b² = c² ² b= c² ² c² = ² + b² c= ² + b² 0 Der Stz des Pythgors und seine rechnerische Anwendung Beispiel:
Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1 5, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss
Einser-Flächen HEINZ KLAUS STRICK Online-Ergänzung MNU 66/7 (15.10.01) Seiten 1 5, ISSN 005-5866, Verlg Klus Seeberger, Neuss 1 HEINZ KLAUS STRICK Einser-Flächen Die bgebildeten Figuren hben eines gemeinsm:
Dreiecke als Bausteine
e ls usteine Jedes Viereck lässt sich in zwei e zerlegen. Wirklich jedes? Konstruktion eines s bei drei beknnten Seiten bmessen einer Strecke mit dem Geodreieck. Zirkelschlg um einen Punkt mit der zweiten
Satzgruppe des Pythagoras
Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mthemtik Dr. I. Lehmnn: Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik WS 2008/09 Referentinnen: Undine Pierschel & Corneli Schulz 16.12.2008 Stzgruppe des Pythgors
Tag der Mathematik 2011
Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.
2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras
Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete 6 1 4 1 13 17 15 Kthete b 8 1 7 8 11 Hypotenuse c 13 9 19 17 Aufgbe Berechne jeweils die Länge der dritten Seite: Aufgbe
Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck
-. ein Aufgbe us der pnischen Tempelgeometrie 3. August 006 Gegeben sei ds gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge. Auf der öhenlinie h c = CD befinden sich die Mittelpunkte der Kreise k 1 und k.
Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmturitätsschule Berufsmturitätsprüfung 2012 Mthemtik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tbellensmmlung ohne gelöste Beispiele,
Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten
Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel:
16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische
2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen
2.6. Prüfungsufgben zu Kongruenzbbildungen Aufgbe 1: Kongruenzsätze Konstruiere die Dreiecke us den gegebenen Größen und ergänze die fehlenden Größen: Teil b c α β γ A ) 5 cm 7 cm 9 cm b) 5 cm 7 cm 30
Quadratische Gleichungen. Aufgabe 1: Lösen von Gleichungen ohne Lösungsformel
Qudrtische Gleichungen Aufge : Lösen von Gleichungen ohne Lösungsformel ) 0,8 ) 7 c) - 867 0 d) e) 9 f) - 0 g) 0 h) i) 6 0 j) Aufge : Lösen von Gleichungen durch Zerlegung in Fktoren ) 4 0 ) 4 0 c) - 4
2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der
Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - rückenkurs Mthemtik 2016 Modul: Mthemtik Dtum: 2016
9 Satzgruppe des Pythagoras und Kongruenzabbildungen
Stzgruppe des Pythgors Mthemtik. Klsse 9 Stzgruppe des Pythgors und Kongruenzbbildungen Stz 4 Stz von Pythgors In einem rechtwinkligen Dreieck mit Ktheten und b und Hypotenuse c gilt: + b c Aufgbe 59 Beweisen
Aufgabentyp 2: Geometrie
Aufgbe 1: Würfel (1) () (3) (Schülerzeichnung) Wie wurde der links drgestellte Körper jeweils gedreht? Der Körper wurde nch links vorne gekippt. Der Körper wurde nch rechts vorne gekippt. Der Körper wurde
Stereometrie: Übersicht
Stereometrie: Übersicht Stereometrie ist die Lehre der dreidimensionlen Körper. Wir werden uns nun mit einigen von ihnen beschäftigen.. Prismen Ein Prism besteht us einer Grund und Deckfläche die gleich
Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik
Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur
Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik
Der Goldene Schnitt III. Der Goldene Schnitt in der Mthemtik 1. Herleitung des Goldenen Schnitt Per Definition des Goldenen Schnitt gilt: b = b. (>b>0) Nch der Drstellung (s.o.) gilt, wenn S (der mittlere
AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.
Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete
Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl.
1. 1. 2. Strecke B B Gerde Eine gerde, von zwei Punkten begrenzte Linie heißt Strecke. Eine gerde Linie, die nicht begrenzt ist, heißt Gerde. D.h. eine Gerde ht keine Endpunkte! 2. 3. 3. g Strhl Eine gerde
2 Trigonometrische Formeln
$Id: trig.tex,v 1.8 015/05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen.
1.1. Vorspiel bei den alten Griechen
1.1. Vorspiel bei den lten Griechen Die Mthemtiker der griechischen Antike wren ihrer Zeit und uch ihren Epigonen im "finsteren Mittellter" um Etliches vorus. Einige ihrer Entdeckungen werden wir im Lufe
7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen
7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen
Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Studiengng Diplom-Berufspädgogik Unterrichtsfch Mthemtik Proseminr über Multimedile Linere Algebr und Anlytische Geometrie Ausrbeitung einer Sttsexmensufgbe us der Lineren Algebr Aufgbe 5 usgerbeitet von:
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
1.2 Der goldene Schnitt
Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
MB1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe
M1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe Ds Wort Geometrie ist ltgriechischen Ursprungs und setzt sich us den Wörtern geo = Erde und metron = messen zusmmen. Die Geometrie wr die Wissenschft, die sich
ARBEITSBLATT 1-13. Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2,032801 km Lösung: 2,032801 km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm
ARBEITSBLATT 1-13 13 Mßeinheiten 1. Längenmße 1000 10 10 10 km m dm cm mm Beispiel: Schreib mehrnmig:,03801 km Lösung:,03801 km = km 3 m 8 dm 1 mm Beispiel: Drücke in km us: 4 km 0 m 3 cm Lösung: 4 km
Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a)
Rechnen mit Termen 1. Berechne ds Volumen und die Oberfläche. 2. 3 3 7 2 4b 3. 5 4 8 b 4. Löse die Klmmern uf und fsse zusmmen: ) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7(1 b)+5b(2 ) c) 4b( 3b) 4b( 2 3) 5. Löse die Gleichungen:
2. Flächenberechnungen
Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.
Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3
ufgben zur Vertiefung der Geometrie WS 2005/06 5./6. ezember 2005 ltt 3 1. Umkugel und Innenkugel eines Tetreders Leiten Sie die Formel für ds Volumen, die Oberfläche, den Rdius der umbeschriebenen und
Grundwissen Mathematik 9
Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel
Grundwissen 9. Klasse G8
Leibniz-Gymnsium Altdorf Grundwissen 9. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen I) Reelle Zhlen Für eine nichtnegtive Zhl heißt diejenige nichtnegtive Zhl, deren Qudrt ergibt, Qudrtwurzel
Muss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.
gnz klr: Mthemtik - Ds Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 8 Rettungsring Berechnungen m Dreieck & Viereck Begriffe: Umfng und Flächeninhlt 1 Muss der Umfng (u) oder der Flächeninhlt (A) erechnet werden? Kreuze
VORSCHAU. zur Vollversion. Inhalt. Seite. Vorwort 5. Zahlenarten 6 10 Zahlenarten. Grundrechenarten 7-11
Inhlt Seite Vorwort 5 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Zhlenrten 6 10 Zhlenrten Grundrechenrten 7-11 Die vier Grundrechenrten Übungskiste C Übungskiste D Punktrechnung und Strichrechnungen Positive und negtive Zhlen
Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers
www.mthegmi.de September 2011 Eine interessnte Eigenschft unseres Schreibppiers ichel Schmitz Zusmmenfssung ällt mn von einer Ecke eines I 4 lttes ds Lot uf die igonle durch die benchbrten Eckpunkte, so
Hans Walser, [ a] Fibonacci trifft Pythagoras Anregung: I. Y.
![Hans Walser, [ a] Fibonacci trifft Pythagoras Anregung: I. Y.](/thumbs/67/57160490.jpg "Hans Walser, [ a] Fibonacci trifft Pythagoras Anregung: I. Y.")
Hns Wlser, [0100514] Fiboncci trifft Pythgors Anregung: I. Y. 1 Worum geht es? Mit den Fiboncci-Zhlen werden pythgoreische Dreiecke konstruiert, die im Limes zu den Fiboncci-Zhlen zurückführen. Als Nebenresultt
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA
. Semester ARBEITSBLATT -6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA Definition: Prismen hben deckungsgleiche (kongruente), prllele und eckige Grund- und Deckflächen. Die Seitenknten sind lle gleich lng und zueinnder
Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090
OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende
Grundwissen 7. Jhrgngsstufe 1. Symmetrie ) chsenspiegelung : Symmetriechse Mittelsenkrechte Winkelhlbierende Konstruktion Spiegelpunkt, Spiegelchse Mittelsenkrechte: Winkelhlbierende: Lot: Eigenschften
Mathematik. Name, Vorname:
Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig
Pyramidenvolumen. 6 a2. 9 = a
Prmidenvolumen 1 Die Ecken einer dreiseitigen Prmide hben die Koordinten (0 0 0), ( 0 0), (0 0) und (0 0 ) mit > 0, H ist der Mittelpunkt der trecke [] lle Ergebnisse ls möglichst einfche Terme mit der
Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.
Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni
Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck
Bögen und Kreise II wo liegen denn die Mittelpunkte? - wie groß ist der Radius?
1. Die folgenden, kreisförmigen Fenster findet mn in der Zisterzienserbtei Huterive in Fribourg (Schweiz). Anlysiere die Konstruktion und fertige eigene Fenster uf der Grundlge des Konstruktionsprinzips
26. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen
26. Mthemtik Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Sison 986/987 Aufgben und Lösungen OJM 26. Mthemtik-Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und
Download. Klassenarbeiten Mathematik 5. Geometrische Figuren und Körper. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Downlod Mrco Bettner, Erik Dinges Klssenrbeiten Mthemtik 5 Geometrische Figuren und Körper Downloduszug us dem Originltitel: Klssenrbeiten Mthemtik 5 Geometrische Figuren und Körper Dieser Downlod ist
Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010
Kreis und Kreisteile. - Aufgaben Teil 2 -
- Aufgben Teil - Am Ende der Aufgbensmmlung finden Sie eine Formelübersicht 61. Bestimme den Inhlt 6. Bestimme den Inhlt Abhängigkeit von r. Abhängigkeit von. 63. Berechne r in Abhängigkeit von 64. Berechne
3 Hyperbolische Geometrie
Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die
Unterteile den Streckenzug zunächst in die Einzelstrecken a, b, c, d, e.
K. D Alcmo / J. Dy: Lerninhlte selbstständig errbeiten Mthemtik 0 Auer Verlg AAP Lehrerfchverlge GmbH, Donuwörth Alle Knten des Prisms sind lng. Unterteile den Streckenzug zunächst in die Einzelstrecken,
Tag der Mathematik 2016
Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Aufgben mit en Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt
Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.
6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,
Das Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele
Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die
11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Quadrate 1. Michael Schmitz
www.mthegmi.de Dezember 2009 Qudrte Michel Schmitz Zusmmenfssung Beim Flten von Ppier wird häufig qudrtisches Ppier ls Ausgngsmteril benutzt. Zu diesem Zweck gibt es eine Vielzhl qudrtischer Fltblätter
Übungen zu Elemente der Schulgeometrie
Übungen zu Elemente der Schulgeometrie k ( M, r ) { A AM r } Alterntive: k ( M, X ) Menge ller Punkte A, für die gilt: Entfernung von A und M soll konstnt r sein! AM AM d ( A, M ) [AM] [AM AM] AM Gerde
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - Brückenkurs Mthemtik 016 Winkelbeziehugen
Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit
Vorbereitung uf die Mthemtik Schulrbeit 7. März 0 Alles Gute ll deinen Bemühungen, KL, KV Viel Erfolg! . Schulrbeit: MATHEMATIK KL.: M3b/I. - S. Mi, 7.03.0 ) Zeichne ds Prllelogrmm us den Bestimmungsstücken
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Figuren, Körper, Flächeninhalt, Volumen - Stationenlernen
Unterrichtsmterilien in digitler und in gedruckter Form Auszug us: Figuren, Körper, Flächeninhlt, Volumen - Sttionenlernen Ds komplette Mteril finden Sie hier: School-Scout.de SCHOOL-SCOUT Lernzirkel -
Mathematik. Abschlussarbeit. Bildungsgang Hauptschule. Haupttermin: Hessisches Kultusministerium. Name der Schule
Abschlussrbeit Mthemtik Hupttermin: 30.05.005 Nme der Schule, Nme der Schülerin / des Schülers Klsse GESAMT NOTE 53 Punkte Ort, Dtum Korrigierende Lehrkrft Berbeitungshinweise Schreibe deinen Nmen uf lle
8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt
8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!
Aufgabe 3.1. Aufgabe 3.2 Man berechne den Schwerpunkt der nebenstehenden Platte aus homogenem Material mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe
Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3.1 ufgbe 3.1 Bestimmen Sie mit Hilfe der entsprechenden Guldin schen Regel die Höhe der Schwerpunkte von homogenen Blechstücken,
2 P a) Temperaturabnahme um 9 C b) Temperaturabnahme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6
Gnze Zhlen 1 35 Ausgngstempertur +6 C... ) Temperturbnhme um 9 C b) Temperturbnhme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6 36 Ausgngstempertur 4 C... ) Temperturzunhme um 10 C b) Temperturzunhme um 21 C (
a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x
Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik
π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
Grundwissen l Klasse 5
Grundwissen l Klsse 5 1 Zhlenmengen und Punktmengen {1; 2; 3; 4; 5; 6;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen. 0 {0; 1; 2; 3; 4; 5;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen mit Null. M {; ; C;... } Die Menge der
Abb. 1: Klassische Rhombenfigur
Hns Wlser, [216931] Rhombenfiguren 1 Worum geht es Es wird ein Beispiel einer Rhombenfigur vorgestellt, bei der im grfentheoretischen Sinne jeder Punkt den Grd 4 ht. 2 Problemstellung: Grd 4 Die Abbildung
Abschlussprüfung Mathematik
Abschlussprüfung 0 Mthemtik 5. Mi 0, Klssen F08 und F08b Nme: Klsse: Hinweise: Zur Lösung der Aufgben stehen drei volle Stunden zur Verfügung. Als Hilfsmittel sind ein nicht lgebrfähiger und nicht grphikfähiger
Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall
Hns Wlser Geometrische Spiele 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fll Wir strten mit einem elieigen rechtwinkligen Dreieck in der ülichen Beschriftung. A c B Strtdreieck C Nun versuchen
{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen
Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;
Welches der Rechtecke findest Du am schönsten (harmonisch, wohltuend)?
1 3 4 5 6 7 8 9 10 Welches der Rechtecke findest Du m schönsten (hrmonisch, wohltuend)? Umfrge von G. Th. Fechner, der 1876 einer Reihe von Personen jeglicher Herkunft und Bildung Rechtecke unterschiedlichen
Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b
Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende
56. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 8 Lösungen
56. Mthemtik-Olympide. Stufe (Regionlrunde) Olympideklsse 8 Lösungen c 016 Aufgbenusschuss des Mthemtik-Olympiden e.v. www.mthemtik-olympiden.de. Alle Rechte vorbehlten. 56081 Lösung 10 Punkte Nehmen wir
Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise
Multiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen
www.mthe-ufgben.com ufgben zu Keisen und Keisteilen Keisfläche: ( Rdius des Keises) Keisumfng: U Keisingfläche: ( ußen innen ) Keisusschnitt / Keissekto: Öffnungswinkel, b Keisbogen α bzw. b 60 α α b 60
7.9A. Nullstellensuche nach Newton
7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren
Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,
Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i
ergeben die Strecken eine Länge von 85 cm. Wie lang sind die Strecken? 1. Strecke: x 2. Strecke: 4x x 4x 85 x 17
Textgleichungen Aus der Geometrie Lösungen 1. Von zwei Strecken ist die eine viermal so lang wie die andere. Zusammen ergeben die Strecken eine Länge von 85 cm. Wie lang sind die Strecken? 1. Strecke:
Beispiellösungen zu Blatt 24
µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen
7 Bewegung von Punkten
81 7 Bewegung von Punkten 7.1 Übersicht Bewegung von Punkten Differenzierbrkeit. Wo liegt die Ableitung Tylorreihe, Vektordreieck Physiklische Bezeichnungen Abstnd zu einer Kurve Geschwindigkeit Bogenlänge
4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche
R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen
Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen
Inhaltsverzeichnis der Lösungen. der Aufgaben des Nachschlagewerkes
Inhltsverzeichnis der Lösungen der Aufgben des Nchschlgewerkes Grphen einer Funktion / Füllgrphen - Lösungen... II Prozentrechnung Lösungen...III Stz des Pythgors - Lösungen...IV Flächen / Flächeninhlte
Übungsteil: 1. Algebra
lgebr Übungsteil: lgebr Gleichungssysteme: estimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme: ) y + 7 = 5x x + y = 7 c) y = x 9 6x 0 = y b) y = 5x y = x d) x + 5y = 05 0,5y = x,5 e) 0(x + y) =
18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus
18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus Autor Friedrich Eisenrnd, Universität Dortmund Heute ehndeln wir den ältesten ereits us Aufzeichnungen us der Antike eknnten Algorithmus. Er wurde
Übungsblatt 1 zum Propädeutikum
Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen
Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs
Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen..... 1 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den
2. Berechnungen mit Pythagoras
2. Berechnungen mit 2.1. Grundaufgaben 1) Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken a) Wie lang ist die Hypotenuse, wenn die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks 3.6 cm und 4.8 cm lang sind? b)
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 10 SATZ DES PYTHAGORAS. Hypotenuse
Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester ARBEITSBLATT 10 SATZ DES PYTHAGORAS Definition: Ktete Ktete Hypotenuse Jene beiden Seiten, die den recten Winkel bilden (,b) nennt mn Kteten, die dritte
Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem
Arbeitsblatt 1 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/
1. November 006 Arbeitsbltt 1 Übungen zu Mthemtik I für ds Lehrmt n der Grund- und Mittelstufe sowie n Sonderschulen H. Strde, B. Werner WiSe 06/07 4.10.06 Präsenzufgben: 1. Zeige: Sei p eine (un) gerde
Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu