ARBEITSBLATT Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2, km Lösung: 2, km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm

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1 ARBEITSBLATT Mßeinheiten 1. Längenmße km m dm cm mm Beispiel: Schreib mehrnmig:,03801 km Lösung:,03801 km = km 3 m 8 dm 1 mm Beispiel: Drücke in km us: 4 km 0 m 3 cm Lösung: 4 km 0 m 3 cm = 4,0003 km. Flächenmße km h m dm cm mm 3. Volumsmße m 3 dm 3 cm 3 mm 3 1

2 4. Msse t kg dg g dg cg mg dg...dezigrmm cg...zentigrmm mg...milligrmm 5. Flüssigkeitsvolumen hl l dl cl ml Zur Umwndlung dieser Volumsngben in die üblichen Volumseinheiten gilt folgender Zusmmenhng: 1l = 1 dm 3 Der Winkel Definition: Die Strhlen und b schließen einen Winkel ein; sie heißen Schenkel des Winkels. Ihr Schnittpunkt S ist der Scheitel des Winkels. Die Größe des Winkels können wir lso ls ds Mß für die Drehung uffssen.

3 Definition: Als Mß für die Winkelgröße verwenden wir 1. 1 ist der 90igste Teil eines rechten Winkels. Der 60igste Teil eines Grdes ist eine Winkelminute. 1 Winkelminute ht wiederum 60 Winkelsekunden: 1 = 60 1 = 60 Je nch Winkelgröße unterteilt mn die Winkel in verschiedene Arten: Spitzer Winkel Stumpfer Winkel Erhbener Winkel 0 < α < 90 Rechter Winkel 90 < α <180 Gestreckter Winkel 180 < α < 360 α = 90 α = 180 Definition: Zwei Winkel, die zusmmen 180 ergeben, nennt mn supplementär. Definition: Zwei Winkel, die zusmmen 90 ergeben, nennt mn komplementär. 3

4 Ds Dreieck Bezeichnung: Merke: Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Seite liegt immer gegenüber vom Eckpunkt A. Dsselbe gilt entsprechend für die Seiten b und c. Besondere Dreiecke Rechtwinkeliges Dreieck Gleichschenkeliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck C b= A c= B Ein Winkel ist 90 groß. Die beiden Seiten, welche den rechten Winkel bilden heißen Ktheten. Die längste Seite heißt Hypotenuse. Seiten sind gleich lng. Diese Seiten bezeichnet mn ls Schenkel. Die dritte Seite bezeichnet mn ls Bsis. 3 Seiten sind gleich lng. Alle Winkel sind 60 Definition: Die Summe ller drei Winkel in einem Dreieck ist stets

5 Dreieckskonstruktion 1. Drei Seiten sind gegeben: Beispiel: = 36 mm; b = 8 mm; c = 50 mm Merke: Fertigen Sie zunächst eine Skizze n und trgen sie gegebene Größen mit Frbstift ein. Lösung: Wir trgen zunächst die Seite c uf. A c B Nun nehmen wir die Seite b in den Zirkel, stechen bei A ein und zeichnen einen Teilkreis A c B Nun nehmen wir die Seite in den Zirkel, stechen bei B ein und schlgen b. C b A c B. 1 Seite und nliegende Winkel: Beispiel: c = 4 cm; α = 43 ; β = 3 Lösung: Wir trgen zunächst die Seite c uf und konstruieren dnn im Eckpunkt A den Winkel α und im Eckpunkt B den Winkel β. Im Schnittpunkt der beiden Linien liegt der Eckpunkt C. 5

6 3. 1 Seite, 1 nliegender Winkel und der gegenüberliegende Winkel: Beispiel: c =5 cm; α= 30 ; γ = 70 Lösung: D in einem Dreieck die Winkelsumme stets 180 beträgt, läßt sich β leicht berechnen: β = = 80. Nun ist die Konstruktion wie im obigen Beispiel. 4. Seiten und eingeschlossener Winkel: Beispiel: c = 37 mm; b = 9 mm; α = 36 Lösung: Wir trgen zunächst die Seite c uf. Im Eckpunkt A konstruieren wir den Winkel α. Der ddurch entstehende Schenkel entspricht der Seite b, dessen Länge wir bmessen können. 5. Seiten und nicht eingeschlossener Winkel: Beispiel: c = 54 mm; = 63 mm; α = 51 Lösung: Trge die Strecke c uf und errichte im Eckpunkt A den Winkel α. Dnn nehme die Länge der Seite in den Zirkel, steche in B ein und schlge uf der Seite b b. A α c B FLÄCHENINHALTE 1. DAS RECHTECK b A = b 6

7 . DAS RECHTWINKELIGE DREIECK Es ist leicht ersichtlich, dss einem rechtwinkeligen Dreieck genu die Hälfte der Fläche eines Rechtecks entspricht: b b A = 3. DAS QUADRAT Ds Qudrt ist j ebenflls ein Rechteck, lso gilt: A = b Beim Qudrt sind ber lle Seiten gleich lng, lso b =. Wir erhlten lso: A = = 4. DAS PARALLELOGRAMM Definition: Die Verbindungslinien zwischen gegenüberliegenden Eckpunkten nennt mn Digonlen. Bei einem Viereck wird die Verbindungslinie zwischen den Eckpunkten A und C mit e, jene zwischen B und D mit f bezeichnet. Eigenschften: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lng und prllel. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Anliegende Winkel sind supplementär. Die Digonlen hlbieren einnder. Nun überlegen wir uns die Berechnung des Flächeninhltes: Wir zeichnen ein beliebiges Prllelogrmm und konstruieren im Punkt D eine Normle (Gerde im rechten Winkel) uf die Seite. Eine derrtige Linie nennt mn die Höhe uf, bgekürzt h. 7

8 Wir nehmen nun ds Dreieck ADE und fügen es n die Seite BC n: Ds Prllelogrmm muss lso dieselbe Fläche wie ds Rechteck EFCD hben. Es folgt lso A = h Beispiel: Von einem Prllelogrmm kennt mn den Flächeninhlt A = 50 cm und die Seitenlänge = 10 cm. Berechnen Sie h: Lösung: Rechnung Anmerkungen A = h Die Formel zur Berechnung der Fläche Wir setzen unsere beknnten Werte ein. 50 = 10 h / : 10 5 = h 8

9 5. DAS DREIECK Um den Flächeninhlt eines Dreiecks zu erklären benötigen wir bermls den Begriff der Höhe: Definition: Die Höhe h ist eine Linie im rechten Winkel von der Seite zum Eckpunkt A. Die Höhe hb ist eine Linie im rechten Winkel von der Seite b zum Eckpunkt B. Die Höhe hc ist eine Linie im rechten Winkel von der Seite c zum Eckpunkt C. Nun müssen wir uns nur klr werden, dss der Flächeninhlt eines Dreiecks genu die Hälfte eines Prllelogrmms ist: Folglich berechnet sich die Fläche jedes Dreiecks: c h A c h = b h oder A = oder A = b 9

10 6. Die RAUTE (Der RHOMBUS) Eigenschften: Alle vier Seiten sind gleich lng. Gegenüberliegende Seiten sind prllel. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Anliegende Winkel sind supplementär. Die Digonlen stehen norml ufeinnder. Die Digonlen hlbieren einnder. Die Digonlen hlbieren die Winkel in den Eckpunkten. D die Rute nur ein Sonderfll des Prllelogrmms ist, gilt uch hier für die Flächenberechnung: A = h Zusätzlich lässt sich für die Rute ber eine zweite Flächenformel herleiten: Wir erhlten die Fläche der Rute ABCD, indem wir die Dreiecke ABM und BCM n die Knte AD bzw. CD verschieben. Als Resultt erhlten wir ds Rechteck ACEF, welches denselben Flächeninhlt wie unsere Rute hben muss. Die Länge dieses Rechtecks beträgt e, die Breite f. Folglich ist die Fläche ls f e f A = e =. Zusmmenfssend noch einml: 10

11 A = h e f oder A = 7. Ds DELTOID (DRACHENVIERECK) Eigenschften: Je zwei nliegende Seiten sind gleich lng. β=δ Die Digonlen stehen norml ufeinnder. Die Digonle e hlbiert die Digonle f. Die Digonle e hlbiert die Winkel α und γ. Für die Herleitung der Flächeninhltsformel gehen wir wie bei der Rute vor: E A B f M D e F C Wir erhlten die Fläche des Deltoids ABCD, indem wir die Dreiecke ADM und CDM n die Knte AB bzw. BC verschieben. Als Resultt erhlten wir ds Rechteck AEFC, welches denselben Flächeninhlt wie unser Deltoid hben muss. Die Länge dieses Rechtecks beträgt e, die Breite f. Folglich ist die Fläche ls f e f A = e =. 11

12 8. Ds TRAPEZ Eigenschften: Ein Pr gegenüberliegender Seiten ist prllel. α und δ bzw. β und γ sind supplementär. Dmit wir uns die Flächeninhltsformel überlegen, duplizieren wir ds Trpez, wenden es und fügen es n ds ursprüngliche Trpez n. Wir hben wieder die Höhe h eingezeichnet. Wir nehmen nun ds Dreieck EFG und geben es n die Seite AD. Die beiden Trpeze müssen lso denselben Flächeninhlt wie ds Rechteck AEGH hben, welches +c lng und h breit ist. Die Hälfte dieser Rechtecksfläche muss lso der Flächeninhlt des Trpezes sein. A = ( + c) h + c = h Eine Sonderform des Trpezes ist ds gleichschenkelige Trpez: Zusätzliche Eigenschften: Die Seiten b und d sind gleich lng. 1

13 Die Winkel α und β bzw. γ und δ sind gleich groß. Die beiden Digonlen sind gleich lng. 13