2.2. Figuren Dreiecke Winkelsumme in Dreiecken Besondere Dreiecke Vierecke

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1 .. Figuren Figuren sind zweidimensionle Geilde in der Eene. Die einfhsten Figuren sind Dreieke und Viereke.... Dreieke Bezeihnungen in Dreieken werden die Ekpunkte A, B, sowie die dzugehörigen Innenwinkel,, und die zugeordneten gegenüerliegenden Seiten,, gegen den Uhrzeigersinn gezählt. Dei liegen jeweils der kleinste Winkel der kürzesten Seite gegenüer und der größte Winkel der längsten Seite gegenüer. A B Üungen: Aufgen zu Figuren Nr.... Winkelsumme in Dreieken Aufgen zu Figuren Nr. Stz: In einem Dreiek ist die Summe ller Innenwinkel 80 : + + = 80. Die Winkel und ersheinen ein zweites Ml ls Sheitelwinkel zur Prllelen der Seite durh den Punkt. Offensihtlih ist + + = Besondere Dreieke Aufgen zu Figuren Nr. 3. In einem gleihshenkligen Dreiek sind zwei Seiten gleih lng und die eiden Bsiswinkel gleih groß.. In einem gleihseitigen Dreiek sind lle Seiten gleih lng und lle Winkel 60 groß. 3. In einem rehtwinkligen Dreiek heißen die dem rehten Winkel = 90 gegenüerliegende Seite Hypotenuse und die eiden nliegenden Seiten und Ktheten: Kthete Kthete Bsis gleihshenklig gleihseitig rehtwinklig = = =? = = = = 60 = 90 Hypotenuse Üungen: Aufgen zu Figuren Nr Viereke Bezeihnungen In einem Vierek werden die Ekpunkte A, B,, D sowie die Innenwinkel,,, δ und die zugeordneten nliegenden Seiten,,, d gegen den Uhrzeigersinn gezählt. Die Digonlen e und f verinden gegenüer liegende Ekpunkte. Aufgen zu Figuren Nr. 5 A d D δ B

2 ..5. Winkelsumme in Viereken Aufgen zu Figuren Nr. 6 Stz: In einem Vierek ist die Summe ller Innenwinkel 360 : δ = 360 Durh erlegung in zwei Dreieke mit den Innenwinkeln,, ε und,,, deren Summe jeweils 80 ist, ergit sih: ε = + + ε = = 360. ε..6. Besondere Viereke Aufgen zu Figuren Nr. 7. In einem Trpez sind zwei gegenüerliegende Seiten prllel.. In einem Prllelogrmm sind jeweils zwei gegenüerliegende Seiten prllel und gleih lng. Die Digonlen hlieren sih gegenseitig. 3. Ein Rehtek ist ein rehtwinkliges Prllelogrmm 4. In einem Drhen sind zwei Pre enhrter Seiten gleih lng. Eine Digonle hliert die ndere Digonle im rehten Winkel. 5. In einer Rute sind jeweils zwei gegenüerliegende Seiten prllel und lle Seiten gleih lng. Die Digonlen hlieren sih gegenseitig im rehten Winkel. 6. Ein Qudrt ist eine rehtwinklige Rute. Drhen Rute Vierek Qudrt Trpez Prllelogrmm Rehtek Üungen: Aufgen zu Figuren Nr Fläheneinheiten Flähen werden in Qudrten gemessen, woei ein Qudrt mit der Kntenlänge m die Einheit Qudrtmeter = m erhält. Verzehnfht mn die Kntenlänge, so verhundertfht sih die Flähe: Kntenlänge Fläheneinheit mm mm (Qudrtmillimeter) m m (Qudrtzentimeter) dm dm (Qudrtdezimeter) m m (Qudrtmeter) 0 m (Ar von engl. re = Flähe) 00 m h (Hektr von grieh. hekto = 00) km km (Qudrtkilometer) mm m = 00 mm dm = 00 m

3 Beispiele: 4 m = 400 dm, km = 00 h und 5 mm = 0,5 m Üungen: Aufgen zu Figuren Nr Fläheninhlt eines Rehteks Aufgen zu Figuren Nr. Stz: Ein Rehtek mit Breite und der Höhe ht den Fläheninhlt A =. In Worten: Flähe = Breite ml Höhe Ds Rehtek lässt sih mit Reihen von jeweils Qudrten mit dem Fläheninhlt LE üerdeken. Die Qudrte hen den Fläheninhlt A = LE. = m = 3 m Fläheninhlt A = 3 m = 6 m Beispiel: Welhen Fläheninhlt ht ein km reiter und 600 m lnger Aker? Lösung: Breite und Länge müssen erst in die gleihe Längeneinheit umgerehnet werden: Der Fläheninhlt ist A = 000 m 600 m = m = 000 = 0 H =, km. Üungen: Aufgen zu Figuren Nr. 3 und Fläheninhlt eines Dreieks Aufgen zu Figuren Nr. 5 Stz: Ein Dreiek mit der Grundseite und der Höhe h uf ht den Fläheninhlt A = h. In Worten: Flähe = Einhl Breite ml Höhe Ds Dreiek lässt sih durh Verdoppeln der eiden Teildreieke rehts und links von der Höhe h zu einem Rehtek mit dem Fläheninhlt A = h ergänzen. h Üungen: Aufgen zu Figuren Nr Fläheninhlt eines Trpezes Aufgen zu Figuren Nr. 7 Stz: Ein Trpez mit den Längen und der prllelen Seiten sowie der Höhe h ht den Fläheninhlt A = ( + ) h Am Rnd des Trpezes sind jeweils ds weiße und ds grue Dreiek dekungsgleih, d sie z.b. in der Höhe h, dem rehten Winkel und dem Sheitelwinkel üereinstimmen. Wenn mn die eiden gruen Dreieke uf die weißen Dreieke legt, erhält mn zwei Rehteke mit dem Fläheninhlt A = h + h = ( + ) h. h 3

4 ... Fläheninhlt eines Prllelogrmms Aufgen zu Figuren Nr. 8 ) Stz: Ein Prllelogrmm mit der Seitenlänge und der Höhe h uf ht den Fläheninhlt A = h. Am Rnd des Prllelogrmms sind ds weiße und ds grue Dreiek dekungsgleih, d sie z.b. in der Höhe h, dem rehten Winkel und dem Stufenwinkel üereinstimmen Wenn mn ds grue Dreiek uf ds weiße Dreiek legt, erhält mn eine Rehtek mit dem Fläheninhlt A = h.... Fläheninhlt eines Drhens Aufgen zu Figuren Nr. 8 ) Stz: Ein Drhen mit den Digonlen e und f ht den Fläheninhlt A = e f. h Am Rnd des Drhens sind jeweils ds weiße und ds grue Dreiek dekungsgleih, d sie z.b. in der Höhe f, dem rehten Winkel und dem Wehsel üereinstimmen Wenn mn die unteren Dreieke uf die oeren weißen Dreieke legt, erhält mn ein Rehtek mit dem Fläheninhlt A = e f. e f..3. Konvexe Polygone. Eine Figur heißt konvex (grieh. uhig), wenn die Streke zwishen zwei elieigen Rndpunkten immer innerhl der Figur liegt.. Eine Figur heißt konkv (grieh. usgehöhlt), wenn es Rndpunkte git, deren Verindungsstreke ußerhl der Figur liegt. 3. Eine Figur heißt Polygon (grieh. Vielek), wenn ihre Umrndung us Streken zusmmengesetzt ist. Die einfhsten Polygone sind Trigone (Dreieke), Tetrgone (Viereke), Pentgone (Fünfeke) und Hexgone (Sehseke). Beispiele: konvexe Figur konkve Figur Trigon Tetrgon konkves und konvexes Pentgon Üungen: Aufgen zu Figuren Nr. 0 und 4

5 ..4. Winkelsummen in konvexen Polyegonen Aufgen zu Figuren Nr. Winkelsummenstz: Die Summe der Innenwinkel in einem konvexen Polygon mit n Eken ist n = (n ) 80.. Durhwndert mn ds Polygon einml vollständig, so ht mn sih insgesmt genu einml um sih selst gedreht.. Wenn mn sih n der. Eke um, n der. Eke um, n der 3. Eke um 3 usw. nh links gedreht ht, muss die Summe dieser Linksdrehungen lso 360 ergeen: n = Die Innenwinkel,, 3, sind die Neenwinkel der Winkel,, 3,, d.h., = 80, = 80 usw. 4. Durh Einsetzen in die Winkelsumme erhält mn n = Auf der linken Seite steht nun insgesmt n ml 80, uf der rehten Seite steht 360 = ml 80 : n 80 ( n) = ieht mn uf eiden Seiten ml 80, so ergit sih (n ) 80 ( n) = 0 zw. (n ) 80 = n. Beispiel Winkelsumme Dreiek 80 Vierek 360 Fünfek