FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE

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1 FLÄCHENBERECHNUNG FLÄCHE/ UMFANG VOLUMEN/ OBERFLÄCHE Für die Berenung von Fläen git es für die versiedenen Figuren Formeln, die mn kennen sollte. Mit ein pr kleinen Triks mt mn si ds Leen llerdings viel leiter. I will ier die gängigsten Figuren zeigen. In der Regel renet mn IMMER Grundseite ml die Höe. Prolem ist, dss mn für die einzelnen Grundseiten nit immer oder einsetzen knn, sondern dss g versiede Werte en knn. Dies zeige i unten no in einer Üersit. Die Grundformel lutet lso: =. Für g und setzen wir dnn jeweils die Bezeinungen unserer Seiten ein. Mnml müssen wir die Formel er u logis modifizieren. Formel Qudrt: eim Qudrt sind die Grundseite und die Höe identis, so ds unsere Seiten lle glei lng sind. Also setzen wir jeweils für g und die Seitenlänge ein. Die Formel lutet deswegen = Formel Retek: eim Retek sind die Grundseite und die Höe versieden ( und ). Also setzen wir jeweils für g die Seitenlänge ein und für die Seitenlänge. Die Formel lutet deswegen = g Formel Dreiek: Wrum renen wir nun geteilt dur? Gnz einf. Ein Dreiek ist j nits nderes, ls ein Vierek, weles in der Mitte durgesnitten wurde. Wir renen lso genu wie ei unserem Vierek ( ) müssen dnn er een die Grundseite g dur teilen, d wir j een nur die Hälfte des gnzen Viereks, nämli unser Dreiek en (lso nur unten die Grundseite, die oere fällt weg). Die Formel lutet deswegen lso = Bei unserem retwinkligen Dreiek wird ds Gnze no klrer: Setzen wir zwei retwinklige Dreieke neinnder, dnn en wir ein Retek. g Exkurs: Ds ist ürigens u der Grund, wrum ein Dreiek 180 und ein Vierek 360 en. Ein Retek t vier 90 - Eken, lso 4 90 = 360 Teilen wir dieses nun, en wir j no einen reten Winkel (90 ) ml 45, lso zusmmen 180. Oder nders gesgt: Wir en j die Hälfte von 360 d wir zwei le Dreieke en! Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

2 g Formel Prllelogrmm: = Hier git es eigentli nit viel zu sgen. Wir en ein Vierek und ruen die Formel nit modifizieren. Formel Trpez: = Wie mn erkennen knn müssen wir die Grundseite wieder verändern. Unser Prolem diesml ist, dss unsere Seiten (oen und unten) und versiedene Längen en, so dss wir zwei versieden lnge Grundseiten en. Also müssen wir versuen us diesen eiden eine Mittellinie zu ilden um unsere Grundseite zu ekommen. Also renen wir und ekommen so den Wert für g. Wir sieen lso dur diese Formel und zusmmen zu unserem g g Formel Kreis: = ² r Diese Formel muss mn einf lernen. r ist der Rdius des Kreises, lso der Astnd vom Mittelpunkt zum Rnd und ist die Kreiszl (3, ) Figur Grundseite (g) Höe () Formel Qudrt A = Retek A = Dreiek A = Prllelogrmm g A = Trpez + A = + Kreis - - A = ² Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

3 UMFANGBERECHNUNG Um den Umfng einer Figur zu estimmen muss mn einf nur lle Seiten ddieren. Ds ist son lles. Bei ein pr Figuren knn mn die Renungen no zusmmenfssen und so vereinfen. Unten kommt wieder eine Telle, die lle Formeln uf einen Slg zeigt. Die einzige Besondereit en wir eim Kreis. Die Formel müssen wir wieder lernen. U = = 4 U = = + U = + + U = = + d oder Hier knn uns pssieren, dss wir wie die Zeinung zeigt die srägen Seiten im gleien Winkel nliegen en. Ds muss er nit sein. I sreie trotzdem eide Formeln uf: 1. U = d (wenn lle Seiten untersiedli lng sind). U = + + (flls die Seitenlängen glei sind) d r U = Figur Qudrt Retek Dreiek Prllelogrmm Trpez Kreis Formel U = 4 U = + U = + + U = + U = d U = Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

4 VOLUMENBERECHNUNG Nun kommen wir zu den Körpern und deren Berenung. Zum einen knn ier ds Volumen gesut sein. Um dieses zu finden müssen wir immer die GRUNDFLÄCHE ml die Höe renen (ete g wr die Grundseite G ist dgegen die GrundFLÄCHE!!). Nun greifen wir lso für G einf uf unsere Fläenformeln zurük (A =.) und setzen die Werte für G ein. Dnn multiplizieren wir diese mit der Höe. Diese knn ntürli je n Figur sttt u mit einer nderen Konstnten (,, et. ennnt sein) Volumen Würfel: Ein Würfel t ses Seiten und zwr jedes Ml die Fläe eins Qudrts. Um ds Volumen zu erenen renen wir nun lso unsere Grundfläe (Qudrt = ) unsere Höe. Diese ist u. Die Formel lutet deswegen V= Volumen Quder: Ein Quder t ein Retek ls Grundfläe (Retek = ) ds wir dnn mit der Höe multiplizieren müssen Die Formel lutet deswegen V= Prism Volumen Dreieksprism: Ein Dreieksprism t ls Grundfläe die Fläe eines Dreieks (Dreiek = ). Wir müssen nun ser vorsitig sein, d wir zwei Höen en. Einml die Höe des Dreieks und dnn die des Prisms. Höe Dreiek Dreiek g Die Formel lutet deswegen V = Höe Prism von Prism von Trpez Volumen Trpezförmiges Prism: Ein soles Prism t ls Grundfläe ein Trpez (Trpez = = ). Ansließend muss mn no die Höe des Prisms () multiplizieren. Höe Trpez Die Formel lutet deswegen V =( ) Höe Prism Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

5 Volumen Zylinder: Der Zylinder t ls Grundfläe einen Kreis (Kreis = ²) ml die Höe. Also lutet die Formel V = Kreis Volumen Pyrmide: Die Pyrmide knn versiedene Grundfläen en. Diese Formel müsst ir immer ml! renen, d die " Pyrmide j spitz zuläuft (Grundfläe knn jede x-elieige Figur sein: Qudrt, Retek, zwei zusmmengesetzte Trpeze). Ds Ergenis renen ir dnn ml die Höe der Pyrmide. Unter Umständen müsst ir die Höe üer den Stz des Pytgors erusfinden, flls nur die Höe einer Seitenfläe gegeen ist. Volumen Kegel: Au eim Kegel renet mn die Grundfläe ml die Höe, woei die Grundfläe die Formel für den Kreis ist, die llerdings ml! gerenet werden muss. Dnn no ml die Höe " des Kegels. Also: # = $ 1 3 & Figur Grundfläe (G) Höe der Figur () Formel Würfel V= Quder V= Dreieksprism (des Prisms) V = Trpez + (des Prisms) V =( Zylinder ² (des Prisms) V = Pyrmide 1 3 ' (der Pyrmide) V =! ' " Kegel 1 3 ² (des Kegels) V =! ² " Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

6 OBERFLÄCHENINHALT Jetzt kommt die Berenung des jeweiligen Oerfläeninlts. Hier werde i die dreidimensionlen Körper nit noml einfügen, sondern vielmer ufsreien, us welen Einzelfläen si der Gesmtkörper zusmmensetzt. Dieses logise Verständnis ist Vorussetzung für die ritige Berenung. Im Endeffekt ddieren wir die einzelnen Fläen einf nur. In der Regel en wir immer zwei Ml die Grundfläe ( ') + die jeweilige Mntelfläe. Diese unterseidet si er von Figur zu Figur. Trotzdem zeige i dies ier u m Ende wieder in einer Telle zur esseren Visulisierung. Oerfläeninlt Würfel: Ein einfer Würfel estet us 6 einzelnen gleien Fläen. Diese stellen jeweils ein Qudrt dr. Hierfür lutet die Formel:. D wir diese qudrtise Fläe ses Ml en renen wir lso = 6 ( = 6 ² Oerfläeninlt Quder: Ein Quder t in der Regel immer gegenüerliegende glei große Fläen. Dss edeutet, eine Fläe kommt immer zwei Ml vor, insgesmt en wir drei untersiedlie Fläen (d wir j insgesmt wie eim Würfel ses Fläen en!). 1. Fläe =. Fläe = 3. Fläe = Diese en wir jeweils zwei Ml, lso lutet unsere Formel: = ( ) + ( ) + ( ) Nun könnten wir no jeweils die usklmmern, so dss die Formel zusmmengefsst lutet: = ( + + ) Oerfläeninlt Dreieksprism: Bei unserem Dreieksprism müssen wir unterseiden, ws für ein Dreiek ls Grundfläe dient. Ein Dreieksprism ds ls Grundfläe ein llgemeines Dreiek t, t immer drei versieden große Seitenfläen, ein gleisenkliges Dreiek t zwei gleigroße Seitenfläen und eine, die kleiner oder größer ist und ei einem gleiseitigen Dreiek ls Grundfläe sind lle Seiten glei groß. I werde lle Alterntiven ufzeigen. Ws wir jedo immer en sind drei Seitenfläen und zwei Ml die Grundfläe, wie wir ds gnze zusmmenfssen können unterseidet si jedo: Allgemeines Dreiek ls Grundfläe: Grundfläe ist ein Dreiek, lso: = Formel für die Oerfläe diese ml zwei renen. Diese Fläe en wir zwei Ml, müssen lso glei ei unserer Seitenfläen sind drei versiedene Reteke. Die Grundformel lutet: In diesem speziellen Fll eißen unsere drei Seitenlängen des Dreieks jedo, und. Die ndere Seitenlänge des Reteks dgegen ist die Höe des Prisms, lso. Unsere drei Formeln für die Seitenfläen müssen lso luten: 1. Seitenfläe =. Seitenfläe = 3. Seitenfläe = Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

7 Die Oerfläenformel für unser Dreieksprism in diesem Fll lutet lso: Gleisenkliges Dreiek ls Grundfläe: ) = ( ) Ml ds Dreiek je eine Seitenfläe Hen wir dgegen ein gleisenkliges Dreiek en wir j zwei Seitenfläen, die identis sind. Die dritte unterseidet si. Also en wir unsere normle Formel für ds Dreiek ml plus Ml die Seitenfläe, die gleigroß ist plus die Seitenfläe, die eine ndere Fläe t. 1. Seitenfläe =. Seitenfläe = Diese Seitenfläe en wir zwei Ml Die Formel lutet ier lso: ) = ( ) + ( ) + Seitenfläe die 1 Ml vorkommt Ml ds Dreiek Seitenfläe die Ml vorkommt Gleiseitiges Dreiek ls Grundfläe: Bei dieser Form der Grundseite sind lle Seitenfläen glei groß, wir en diese lso drei Ml. Die Formel lutet modifiziert dnn: ) = ( ) + (3 ) Ml ds Dreiek Seitenfläe immer glei groß Wie mn siet, git es ier versiedene Möglikeiten, so dss ds Dreieksprism ret komplex ist und mn si ier leit vertun knn. Der ist es esonders witig, si die einzelnen Möglikeiten gut vor Augen zu füren. Oerfläeninlt Prism mit Trpez ls Grundfläe: Dssele gilt eenflls für die Oerfläe von einem Prism mit einem Trpez ls Grundfläe. Wir en die Grundfläe ( ) Ml plus vier versiedene Seitenfläen (die eiden seitlien könnten sogr identis sein, wenn die Winkel identis sind). Ir müsst die Oerfläenformel für ds Dreieksprism lso dingeend umstellen: ) = $ + & Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

8 Oerfläeninlt Zylinder: Der Zylinder stellt eine ret interessnte Figur für die Oerfläenerenung dr. Mn muss i vergegenwärtigen, ws für Fläeninlte wir ier en. An dieser Stelle möte i ds Gnze do mit einer kleinen Zeinung verdeutlien. Die Grundfläe ist nit esonders prolemtis, ier en wir einen Kreis gegeen. Ws er ist unsere Mntelfläe? Im Grund genommen einf nur ein Retek! d r Die kreisförmige Grundfläe en wir zwei Ml. Für die Grundfläe nutzen wir unsere normle Formel für die Kreisfläe. Weiterin kennen wir die eine Seite unseres Reteks, nämli. Wie ekommen wir nun die ndere Seite erus? Um si ds zu verdeutlien knn mn nun einf ml ein Din A4 Bltt rollen und si den oeren Rnd nsuen. Dieser ist nun ein Kreis! Also ruen wir ierfür unsere Formel für den Umfng des Kreises! Dieser ist glei der zweiten Seite unseres Reteks. Die Formel für die Grundfläe lutet lso: A = ² Die der Mntelfläe lutet: A = ( ) oder er A = ( ) ist dei die eine Seite und die Klmmer unsere ndere Seite, so dss wir diese Werte einf in unsere Formel für ds Retek eingesetzt en:,+, = (- = ( ) Insgesmt lutet unsere Formel für die Oerfläe des Zylinders lso: ) = + ( ) Ml die Kreisfläe Mntelfläe Retek Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

9 Oerfläeninlt Pyrmide: Jetzt wird es ritig kompliziert. Zumindest muss mn ier immer srf ndenken, wie viele versieden Fläen mn t. Wir en einml unsere Grundfläe, die z.b. ein Qudrt, Retek, Trpez oder er u zwei neinndergesetzte Trpeze sein können (letzter Fll wird u llgemeine Pyrmide gennnt!). Dfür renen wir mit den gnz normlen Fläenformeln. Die Seitenfläen lufen nun spitz n oen zu, wir en lso Dreieke, die gleigroß er u versiedengroß sein können. Wir multiplizieren lso unsere Dreieksfläenformel mit der Anzl der glei großen Dreieke oder ddieren unsere untersiedli großen Dreieke (die Fläe!) miteinnder. Im Zweifel knn es sein, dss mn u den Stz des Pytgors ierzu enötigt. Ir müsst ser eutsm vorgeen, dnn klppt es (ierzu wird es u ein Video geen!) Oerfläeninlt Kegel: Der Kegel estet us einem Kreis ls Grundfläe und seiner Mntelfläe, die ein Kreisussnitt ist. s s r r Für die Grundfläe renen wir lso wie immer für den Kreis ² und für die Mntelfläe erenen wir den Kreisussnitt:. und ddieren eide Formeln, um den Oerfläeninlt zu ekommen. ). Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd

10 Formeln zur Oerfläenerenung: Figur Grundfläe (G) [immer Ml] Mntelfläe (M) Formel (O) = / Würfel ' = = 4 ( ) 6 ² Quder ' = = + ( + + ) Dreieksprism (llg.) ' = = + + ) = ( ) Dreieksprism (gleisenklig) ' = = ( ) + ) = ( ) + ( ) + Dreieksprism ' = = 3 (gleiseitig) ) = ( ) + (3 ) Prism mit Trpez ls ' = + Grundfläe = ) = $ + & Zylinder ' = = ( ) ) = + ( ) Pyrmide G = jeweilige Figur (Retek, Qudrt, Trpez et.) = 3 (. ) ) = ' + Kegel ' = ² =. ) = +. Bei den Grundfläen, zw. u ei der Formel O knn mn ntürli die vor dem Bru und die zwei im Nenner des Brues gegeneinnder kürzen. Allerdings e i sitli druf verzitet, dmit mn verstet, dss wir ier die Fläeninltsformel vom Dreiek, zw. Trpez en. Kürzen könnt ir dnn immer no seler! x stet für die Anzl der dreiekigen Seitenfläen g stet für die Seitenlänge ( oder et.) unten s stet für die Höe der Seitenfläe es knn ei einem Retek z.b. pssieren, dss wir zwei Ml zwei untersiedli große Dreiksfläen en. Dnn müssen wir für g z.b. einml die Größe und einsetzen, die jeweiligen Ergenisse ml Zwei renen und ddieren. Flls s nit gegeen ist, sondern nur die Höe müssen wir s üer den Stz des Pytgors usrenen (Temen kommen IMMER wieder vor!) Nilfe mit Erfolg info@lernerfolge.eu Stnd